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一次函数综合题（三）
一．填空题（共10小题）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与双曲线y交于A，B两点，直线OA与双曲线的另一个交点为C，现给出以下结论：
①△ABC一定是直角三角形；
②△ABC一定不是等腰直角三角形；
③存在实数k，使得ABb；
④对于任意的正数k，都存在b，使得AB＝OA；
其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）
2．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A坐标是 　 　．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，那么点A的坐标是　 　．
4．对于一个矩形ABCD及⊙Q给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙Q上一点的距离都相等，那么称这个矩形ABCD是⊙Q的“伴侣矩形”，如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx﹣3交x轴于点Q，⊙Q的半径为3，矩形ABCD沿直线l运动（即BD在直线l上运动），且AD＝2，AB∥y轴．
①当矩形以每秒2个单位的速度沿直线l向上运动，起始位置为CD与y轴重合，那么当t＝　 　时矩形对角线的交点正好落在⊙Q上；
②当矩形ABCD是⊙Q的“伴侣矩形”时，此时点C的坐标为 　 　
5．已知A1，A2，A3，…，An，An+1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，An+1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1，B2，B3，…，Bn，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，…，AnBn+1，BnAn+1，依次相交于点P1，P2，P3，…，Pn．若△A1B1P1，△A2B2P2，△A3B3P3，…，△AnBnPn的面积依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn为　 　．
6．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝90°，直线AQ交y轴于点C．
（1）当a＝1时，则点Q的坐标为 　 　；
（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a＝　 　时，AQ+BQ的值最小为 　 　．
7．如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　 　．
8．已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线yx相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3…的半径分别是r1、r2、r3…．，则当r1＝1时，则r2012＝　 　．
9．在直角坐标系中，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、…、AnBn nCn﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y＝kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、 n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为　 　．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BC⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F．已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是 　 　．
二．解答题（共20小题）
11．将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝12，OC＝6．
（1）如图①，沿OB折叠矩形，点C落在C'处，BC'交OA于点F，求点F的坐标；
（2）如图②，点D是OC中点，点E在OA上，求BE+DE的最小值；
（3）如图③，折叠该纸片，使点C落在边OA上的点为C′（4，0），折痕为MN，点M在边BC上，求直线C′M的函数解析式．
12．如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4），一次函数图象与y轴的交点为C（0.2）与x轴的交点为D．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在点P，使得S△ODP＝3，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如果在一次函数y＝kx+b的图象存在点Q，使△OCQ是以CQ为腰的等腰三角形，请求出点Q的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为C（a，4）．
（1）求a的值与一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）若在x轴上存在一点P使△POC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
14．如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）如图①，将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，交AC于点E，求直线CD的函数关系式；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4交坐标轴于A，B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC．
（1）OC的长为 　 　，OD的长为 　 　，直线CD的表达式为 　 　；
（2）若点E（1，b）为直线AB上的点，点P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（2，0），三角形△ABO的面积为2．动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在射线OB上运动，动点Q从B出发，沿x轴的正半轴于点P同时以相同的速度运动，过P作PM⊥x轴交直线AB于M．
（1）求直线AB的解析式．
（2）当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．
（3）过点Q作QN⊥x轴交直线AB于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形？若存在，求出时间t值．
17．综合与实践
杆秤是我国传统的计重工具，也可算作华夏“国粹”．它制作轻巧、经典，使用也极为便利，作为商品流通的度量工具，活跃在大江南北，代代相传．天地间有杆秤，人们不断赋予秤的文化内涵，公平公正的象征，天地良心的标尺，一桩桩交易就在秤砣与秤盘的此起彼伏间完成．
【查阅资料】
自制杆秤
原理 杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，称重时根据被称物的轻重，使砣与砣绳在秤杆上移动以保持平衡．根据平衡时砣绳所对应的秤杆上的刻度，即可读出被称物的质量示值．精确的杆秤必须满足秤砣的质量×每增加1千克的刻度间的距离＝提纽与秤盘悬挂点的距离．
制作步骤
步骤1准备材料 秤杆、秤砣、秤盘、秤纽、刻度标记
步骤2制作秤杆 根据需要称量的最大重量和精度，选择合适的秤杆长度和直径．在秤杆上确定支点位置，通常位于秤杆的中间或稍偏一端．在秤杆上刻制刻度，根据杠杆原理，确定每个刻度的位置．
步骤3安装秤盘和秤纽 在秤杆的一端安装秤盘，确保秤盘稳固且能自由摆动．在秤杆的另一端或适当位置安装秤纽．
步骤4校准秤杆 使用已知重量的物体进行校准，确保秤杆在不同重量下的读数准确．根据校准结果调整秤砣的重量或刻度标记的位置，以达到所需的精度．
【建立模型】如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，表中为校准秤杆时若干次称重所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 3 4 5 6
y（斤） 0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.8
【解决问题】
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对数是错误的？以坐标的形式表达出来．
（2）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤钩所挂物重y增加 　 　斤；
（3）根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题．
①y与x之间的函数表达式；
②当秤钩所挂物重是6.2斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？
18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、点B，直线CD与AB相交于点C（2，m），与x轴相交于点D（1，0），与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点．
（1）求直线CD的表达式；
（2）求△BCE的面积；
（3）连接CP、DP，
①当∠BPC＝∠OPD时，求点P的坐标；
②当△CDP的面积等于△BCE面积的一半时，请直接写出点P的坐标为 　 　．
19．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根（OB＞OC）．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，tan∠MND，求的值；
（3）在（2）的条件下，在直线EF上是否存在点P（不与点E重合），使△NCE与△NCP相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：yx+b交x轴于点C，交y轴于点D，直线l1与直线l2相交于点．
（1）求点M坐标和直线l2的函数表达式；
（2）如图2，点G（t，0）为x轴上动点，过点G作GE∥y轴，交l1于点E，交l2于点F．
①当t＝4时，△EMC的面积为 　 　．
②当EF＝3FG时，t的值为 　 　．
③当点E在点F上方时，y轴上存在动点N，使△EFN是等腰直角三角形，此时t的值为 　 　．
（3）如图3，∠DCA＝30°，点Q为x轴上一动点，MQCQ最小值为 　 　．
21．如图1所示的直角三角形ABC中，∠A是锐角，那么锐角A的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数分别为：
，，，．
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，，，我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题．
（1）若90°＜α＜180°，则在角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα中，它们的相反数取负值的是 　 　；
（2）若角α的终边与直线y＝3x重合，则sinα+cosα＝ 　 　；
（3）若角α是钝角，其终边上一点，且，则tanα＝ 　 　；
（4）若180°≤α≤270°，求sinα+cosα的取值范围．
22．（模型建立）
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
（模型应用）
（2）如图2，已知直线l1：yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线l2与l1交于点D（1，m），与x轴交于点C（﹣1，0），与y轴交于点E．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点F为线段AB上一动点，过点F作FK⊥x轴于点K，连接OF，当△OFK的周长最小时，在x轴正半轴上找一点G，连接EG，EF，FG，若S△EFG＝1，求点G的坐标；
（3）将△ABO绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤180°）得到△AB'O'，在旋转过程中，边AO'，AB'所在直线分别交l2于点M、N，当△AMN为等腰三角形时，直接写出点N的坐标．
24．建立模型：（1）如图1，过线段CD上一点B作AB⊥BE，过A、E分别作AC⊥CD于C，ED⊥CD于D，且AB＝BE，求证：△ACB≌△BDE；
类比迁移：（2）如图2，直线AB交两坐标轴于点A（0，a）、B（b，0），a、b满足．
①求a、b的值；
②点C在第二象限内，连接BC、AC，若在直角△ABC中，AC是斜边，且BC＝AB，求点C的坐标；
③如图3，在②的条件下，在边AC上取一点D，作DE⊥BD，且DE＝BD，连接AE，求∠DAE的大小．
25．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．
【全等模型】如图1，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．易证：△ABD≌△CAE．
（1）①如图1，若BD＝3，CE＝5，则DE＝ 　 　；
②如图2，∠AOB＝90°，OA＝OB，点B的坐标为（1，2），连接AB交y轴于点M，求点A的坐标，点M的坐标．
【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFO，AH是BC边上的高，延长HA交BG于点I，若BH＝2，CH＝3，则AI＝ 　 　；
【拓展探究】（3）如图4，y＝2x+6的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，点D坐标为（0，﹣1），点C在直线AB上，连结CD，当CD与y＝2x+6的图象的夹角为45°时，请直接写出点C的坐标 　 　．
26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx+3k交x轴于点B，交y轴于点A．
（1）如图1，求点B坐标；
（2）如图2，经过点A的直线y＝﹣x+3k交x轴于C，△ABC的面积为S，求S与k的函数关系式（不要求写出k的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D在AC上，连接OD，点E在第二象限，连接AE、OE，AE＝CD，∠OAE+2∠ODC＝225°，，，求直线OD解析式．
27．如图1，已知在△ABC中，AB＝4，边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ABC＝45°，B的坐标为（3，0），点K是y轴上一个动点，它的坐标是（0，m），直线AK交直线BC于点P．
（1）求直线AC的表达式；
（2）若m＝1，点Q为直线BC上一点，且AK平分∠CAQ，求Q的坐标；
（3）如图2，连接OP，以OP为直角边作等腰直角△OPM（O、P、M三点按照逆时针顺序排列），使得∠OPM＝90°，PO＝PM．
①试说明在点K的运动过程中，△ABM的面积是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由；
②点K从C运动到O的过程中，点M的运动路径长为 　 　．
28．如图1，一次函数y＝kx+6的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且S△ABO＝24，点C为x轴上一动点，过点B、C作直线BC．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若将△ABC沿直线BC折叠，当点A落在y轴上时，求点C的坐标；
（3）若点C为x轴正半轴上，且∠BCO＝45°，点M是直线BC上的一个动点，点N是y轴上的一个动点，当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求点M的坐标．
29．如图1，已知直线l1：y1＝kx﹣2与坐标轴交于A、H两点，直线l2：y2＝2x+4与y轴交于点B，且两直线交于点C，C点坐标为（﹣4，n）．
（1）求出k值．
（2）如图2，连接AB，求出△ABC的面积．
（3）在（2）的前提下，平面内是否存在一点，使得△ACD与△ABC面积相等？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图3，已知点P（0，﹣5），点Q在x轴的负半轴上运动，连接PQ，与直线BC交于点E，与直线AC交于点F，当△CEF与△HPF面积相等时，直接写出点E的坐标．
30．探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥CD，过点B作BE⊥CD，垂足分别为D、E．
（1）求证：AD＝CE；
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标；
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线PQ与x轴交于点Q（1，0），与y轴交于点P（0，3），试判断在第一象限内是否存在一点R，使△PQR为等腰直角三角形，若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数综合题（三）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与双曲线y交于A，B两点，直线OA与双曲线的另一个交点为C，现给出以下结论：
①△ABC一定是直角三角形；
②△ABC一定不是等腰直角三角形；
③存在实数k，使得ABb；
④对于任意的正数k，都存在b，使得AB＝OA；
其中正确的是 　①②④　．（写出所有正确结论的序号）
【分析】作直线y＝x，连接OB，根据直线y＝﹣x+b与双曲线y都关于直线y＝x对称，知点A与点B关于直线y＝x对称，又双曲线y关于原点O对称，可得OA＝OB＝OC，即可得∠ABC＝90°，判断①正确；假设△ABC是等腰直角三角形，可知ABOA，设OA＝t＝OB，则ABt，有OA2+OB2＝AB2，∠AOB＝90°，这与反比例函数y的图象与坐标轴无交点矛盾，判断②正确；设A（p，q），可得|p﹣q|＝b，而点A的横坐标与纵坐标差的绝对值不可能等于b，可判断③错误；对于任意的正数k，在双曲线上取点A，使直线OA与y轴正半轴的夹角为15°，取点B，使直线OB与x轴正半轴的夹角为15°，可知△AOB为等边三角形，OA＝AB，设A（m，n），可得直线AB为y＝﹣x+m+n，即b＝m+n，判断④正确．
【解答】解：作直线y＝x，连接OB，如图：
∵直线y＝﹣x+b与双曲线y都关于直线y＝x对称，
∴点A与点B关于直线y＝x对称，
∴OA＝OB，
∵双曲线y关于原点O对称，
∴OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，
∵∴∠OAB+∠OBA+∠OCB+∠OBC＝180°，
∴2∠OBA+2∠OBC＝180°，
∴∠OBA+∠OBC＝90°，即∠ABC＝90°，
∴△ABC一定是直角三角形，故①正确；
假设△ABC是等腰直角三角形，则ACAB，
∴2OAAB，
∴ABOA，
设OA＝t＝OB，则ABt，
∴OA2+OB2＝2t2，AB2＝2t2，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
这与反比例函数y的图象与坐标轴无交点矛盾，
∴△ABC一定不是等腰直角三角形，故②正确；
设A（p，q），则B（q，p），
∴AB|p﹣q|，
∵ABb，
∴|p﹣q|＝b，
而b为直线y＝﹣x+b在y轴上的截距，
由图可知，点A的横坐标与纵坐标差的绝对值不可能等于b，
∴不存在实数k，使得ABb，故③错误；
对于任意的正数k，只需在双曲线上取点A，使直线OA与y轴正半轴的夹角为15°，取点B，使直线OB与x轴正半轴的夹角为15°，则A，B关于直线y＝x对称，如图：
∴∠AOB＝60°，
由双曲线对称性知OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB，
设A（m，n），则B（n，m），
可得直线AB为y＝﹣x+m+n，即此时b＝m+n，
∴对于任意的正数k，都存在b，使得AB＝OA，故④正确；
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数图象的对称性．
2．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A坐标是 　（，）　．
【分析】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，根据M的坐标求得k为，进一步得出k′为，通过证得△COE≌△OAD，得出CE＝OD，OE＝AD，所以设A（a，b），则C（﹣b，a），然后根据待定系数法求得直线AC的k′为，从而得出，整理得b＝7a，然后在Rt△AOD中，根据勾股定理得出（7a）2+a2＝128，解得a，b．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，
∵点M（﹣3，4），
∴4＝﹣3k，
∴k，
∵四边形ABCO是正方形，
∴直线AC⊥直线OM，
∴k′为，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°
∴∠COE＝∠OAD，
在△COE和△OAD中，
，
∴△COE≌△OAD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝AD，
设A（a，b），则C（﹣b，a），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
，
解得m，
∴，
整理得，b＝7a，
∵正方形面积为128，
∴OA2＝128，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得
AD2+OD2＝OA2，
∴（7a）2+a2＝128，
解得，a，
∴b＝7a＝7，
∴A（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据直线AC的k′值列出方程是本题的关键．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，那么点A的坐标是　（﹣2，0）或（4，0）　．
【分析】根据题意画出草图分析．
直线的位置有两种情形．
分别令x＝0、y＝0求相应的y、x的值，得直线与坐标轴交点坐标表达式，结合P点坐标及直线位置求解．
【解答】解：令x＝0，则y＝b； 令y＝0，则x．
所以A（，0），B（0，b）．
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），
∴k+b＝1．
①若直线在l1位置，则OA，OB＝b．
根据题意有3，∴k．
∴b＝1．
∴A点坐标为A（﹣2，0）；
②若直线在l2位置，则OA，OB＝b
．根据题意有3，∴k．
∴b＝1﹣（）．
∴A点坐标为A（4，0）．
故答案为（﹣2，0）或（4，0）．
【点评】此题考查一次函数及其图象的综合应用，难点在分类讨论．
4．对于一个矩形ABCD及⊙Q给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙Q上一点的距离都相等，那么称这个矩形ABCD是⊙Q的“伴侣矩形”，如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx﹣3交x轴于点Q，⊙Q的半径为3，矩形ABCD沿直线l运动（即BD在直线l上运动），且AD＝2，AB∥y轴．
①当矩形以每秒2个单位的速度沿直线l向上运动，起始位置为CD与y轴重合，那么当t＝　或s　时矩形对角线的交点正好落在⊙Q上；
②当矩形ABCD是⊙Q的“伴侣矩形”时，此时点C的坐标为 　（，）或（，）　
【分析】①分两种情形分别求出DN的长即可解决问题；
②如图，解直角三角形求出DH，CG的长即可解决问题；
【解答】解：①如图所示，当矩形对角线的交点正好落在⊙Q上，
根据直线l：yx﹣3得：OM，ON＝3，
由勾股定理得：MN2，
当矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，
由tan∠ABD＝tan∠ONM，
∴，AB＝2，则BD4，
∵DE＝BE＝2，EM＝3，
∴DM＝EM﹣DE＝1，DN＝MN﹣DM＝21，
∴t，
当矩形在x轴的上方时，同法可得DN＝23+2＝25，
∴t，
综上所述，t的值为或s时，矩形对角线的交点正好落在⊙Q上，
故答案为或s．
②当矩形对角线的交点正好落在⊙Q上，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，
当矩形在x轴的下方时，
∵DG∥y轴，
∴△MDG∽△MNO，
∴，
∴，
∴DG，
∴CG＝2，
同理可得：，
∴，
∴DH，
∴C（，），
矩形在x轴上方时，同理可得：C（，）；
故答案为：（，）或（，）；
【点评】此题主要考查了一次函数综合题，圆的综合应用以及相似三角形的性质和矩形等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．同时，正确理解题意准确画出符合条件的矩形是本题的关键，这就需要熟练掌握矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等．
5．已知A1，A2，A3，…，An，An+1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，An+1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1，B2，B3，…，Bn，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，…，AnBn+1，BnAn+1，依次相交于点P1，P2，P3，…，Pn．若△A1B1P1，△A2B2P2，△A3B3P3，…，△AnBnPn的面积依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn为　　．
【分析】首先根据OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝1，可得OB1＝B1B2＝B2B3＝…＝BnBn+1；然后根据三角形的面积公式，求出△OA1B1的面积是1，进而判断出△A1B1B2的面积也是1；再根据A1B1∥A2B2，可得，所以，所以；同理，分别判断出S2，S3，…的大小，再总结出一般规律，求出Sn的大小即可．
【解答】解：因为OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝1，
所以OB1＝B1B2＝B2B3＝…＝BnBn+1；
△OA1B1的面积是：
1×（1×2）÷2
＝1×2÷2
＝1
因为OB1＝B1B2，
所以△A1B1B2的面积也是1；
因为A1B1∥A2B2，
所以，
所以，
所以；
△OA2B2的面积是：
2×（2×2）÷2
＝2×4÷2
＝4
因为OB2＝2B2B3，
所以△A2B2B3的面积是：
4；
因为A2B2∥A3B3，
所以，
所以，
所以S22；
同理，可得S3，
…，
所以Sn．
故答案为：．
【点评】（1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；解答此题的关键是从S1，S2，S3，…的大小总结出Sn的大小．
（2）此题还考查了三角形的面积的求法、三角形的面积大小比较，以及平行线的性质，要熟练掌握．
6．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝90°，直线AQ交y轴于点C．
（1）当a＝1时，则点Q的坐标为 　（4，4）　；
（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a＝　　时，AQ+BQ的值最小为 　　．
【分析】（1）要求点Q的坐标，可作QF⊥BP，由于BP、OB已知，只需求出PF和QF．从条件“△APQ为等腰直角三角形”出发，构造全等，即可解决问题．
（2）本题要求动点Q到两定点A、B的距离之和AQ+BQ的最小值，属于“将军饮马型”，只需求出动点Q所在直线的解析式，然后运用解决“将军饮马型”的方法即可解决问题；要求AQ+BQ取最小值时对应的a的值，只需运用相似三角形对应高的比等于相似比建立关于a的方程，就可求出a的值．
【解答】解：（1）过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F，如图1．
∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF＝∠PEO＝90°．
∵∠APQ＝90°，∴∠EPA＝∠FPQ＝90°﹣∠APF．
在△PEA和△PFQ中，
∴△PEA≌△PFQ．
∴PE＝PF，EA＝QF．
∵a＝1，∴P（1，3）．∴OE＝BP＝1，PE＝3．
∵A（2，0），∴OA＝2，∴EA＝1．∴PF＝3，QF＝1．
∴点Q的坐标为（4，4）．
（2）若点P的坐标为（a，3），则PF＝PE＝3，QF＝AE＝|2﹣a|．
∴点Q的坐标为（a+3，5﹣a）．
∵无论a为何值，点Q的坐标（a+3，5﹣a）都满足一次函数解析式y＝﹣x+8，
∴点Q始终在直线y＝﹣x+8上运动．
设直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点M、N，如图2所示．
当x＝0时y＝8，当y＝0时x＝8．∴OM＝ON＝8．
∵∠AOB＝90°，∴∠OMN＝45°．
过点A关于直线MN作对称点A′，连A′Q、A′M，
则A′Q＝AQ，A′M＝AM＝6，∠A′MN＝∠AMN＝45°．
∴∠A′MA＝90°，AQ+BQ＝A′Q+BQ．根据两点之间线段最短可知：
当A′、Q、B三点共线时，AQ+BQ＝A′Q+BQ最短，最小值为A′B长．
设直线BP与A′M相交于点H，则BH⊥A′M．
在Rt△A′HB中，∠A′HB＝90，BH＝OM＝8，A′H＝A′M﹣MH＝6﹣3＝3，
∴A′B．
当A′、Q、B三点共线时，
∵BN∥A′M，∴△BQN∽△A′QM．
根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：
，解得xQ．
∴a+3．∴a．
∴当a 时，AQ+BQ的值最小为．
故答案为：（4，4）、、．
【点评】这道题考查了全等的性质与判定、相似的性质与判定，两点之间线段最短，勾股定理等知识，综合性很强，求出动点Q所在直线的解析式是解决这道难题的关键；当直角坐标系中出现等腰直角三角形时，可考虑构造全等三角形，找出线段之间的等量关系，从而将条件与所求线段有机地联系起来；若要求一个动点到两个定点的距离之和的最小值，应联想到“将军饮马”这个基本模型．
7．如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　　．
【分析】（1）首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；
（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长．
【解答】解：由题意可知，OM，点N在直线y＝﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ONOM．
如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn
∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAC＝∠B0ABn，
又∵AB0＝AO tan30°，ABn＝AN tan30°，∴AB0：AO＝ABn：AN＝tan30°（此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得），
∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，
∴B0Bn＝ON tan30°．
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi
∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP＝∠B0ABi，
又∵AB0＝AO tan30°，ABi＝AP tan30°，∴AB0：AO＝ABi：AP，
∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi＝∠AOP．
又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn＝∠AOP，
∴∠AB0Bi＝∠AB0Bn，
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为．
故答案为：．
【点评】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．
8．已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线yx相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3…的半径分别是r1、r2、r3…．，则当r1＝1时，则r2012＝　32011　．
【分析】设三个半圆与直线yx分别相切于A、B、C点，分别连接圆心与切点，根据切线的性质得到三个直角三角形，再由直线OC的方程得到直线的倾斜角为30°，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到OC1＝2C1A，0C2＝2C2B，0C3＝2C3C，再由三半圆彼此外切，得到相两圆的圆心距等于两半径相加，得出r1、r2、r3间的关系，由r1的值可得出r2、r3的值，按照此规律可归纳出r2012的值．
【解答】解：设半圆C1、半圆C2、半圆C3直线yx分别相切于点A，B，C，连接C1A，C2B，C3C，
则C1A⊥OA，C2B⊥OB，C3C⊥OC，
∵tan∠COC1，
∴∠COC1＝30°，
又∵三半圆彼此相外切，
∴OC1＝2C1A＝2r1，0C2＝2C2B＝2r2＝OC1+r1+r2＝3r1+r2，0C3＝2C3C＝OC2+r2+r3＝3r1+2r2+r3＝2r3，
∴2r2＝3r1+r2，3r1+2r2+r3＝2r3，
∴r2＝3r1，r3＝3r1+2r2，
∵r1＝1＝30，
∴r2＝3＝31，
∴r3＝9＝32，
∴按此规律归纳得：rn＝3n﹣1，
∴r2012＝32011．
故答案为：32011．
【点评】此题考查了两圆相切的性质，切线的性质，含30°直角三角形的性质以及一次函数的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
9．在直角坐标系中，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、…、AnBn nCn﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y＝kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、 n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为　（2n﹣1﹣1，2n﹣1）　．
【分析】首先求得直线的解析式，分别求得A1，A2，A3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
【解答】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，
∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），
代入y＝kx+b得，
解得：．
则直线的解析式是：y＝x+1．
∵A1B1＝1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是1，A2的纵坐标是2．
在直线y＝x+1中，令x＝3，则纵坐标是：3+1＝4＝22；
则A4的横坐标是：1+2+4＝7，则A4的纵坐标是：7+1＝8＝23；
据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．
故点An的坐标为 （2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
故答案为：（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BC⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F．已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是 　　．
【分析】根据解析式确定A、B两点的坐标，利用直角三角形和射影定理，最后用中位线定理计算出结果．
【解答】解：因为AB的解析式为y＝kx+1，所以B点坐标为（0，1），A点坐标为（，0），
由于图象过一、二、三象限，故k＞0，
又因为BC⊥AB，BO⊥AC，
所以在Rt△ABC中，BO2＝AO CO，代入数值为：1 CO，CO＝k，
同理，在Rt△BCD中，CO2＝BO DO，
代入数值为：k2＝1 DO，DO＝k2又因为A恰好是线段EC的中点，所以B为FD的中点，OF＝1+1+k2，Rt△FED中，
根据射影定理，EO2＝DO OF，即（k）2＝k2 （1+k2+1），
整理得（k）（k）（k2+2）（k2+1）＝0，解得k．
根据中位线定理，EF＝2GB＝2DC，DC，EF＝2．
【点评】根据图中的直角三角形的特点，多次利用射影定理，用未知数k表示出各边长并建立起关于k的方程，再利用中位线定理解答．
二．解答题（共20小题）
11．将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝12，OC＝6．
（1）如图①，沿OB折叠矩形，点C落在C'处，BC'交OA于点F，求点F的坐标；
（2）如图②，点D是OC中点，点E在OA上，求BE+DE的最小值；
（3）如图③，折叠该纸片，使点C落在边OA上的点为C′（4，0），折痕为MN，点M在边BC上，求直线C′M的函数解析式．
【分析】（2）先根据平行线和折叠的性质得：OF＝BF，设OF＝x，根据勾股定理得：x2＝62+（12﹣x）2，解出可解答；
（3）如图②，作点B关于OA的对称点B'，连接DB'，交OA于E，此时DE+BE的值最小，即DB'的长，根据勾股定理可解答；
（4）如图③，过M作MH⊥x轴于H，设CM＝a，根据勾股定理列方程得a2＝（a﹣4）2+62，求得M（6.5，6），然后利用待定系数法求得CM的解析式为y＝2.4x﹣9.6．
【解答】解：（1）如图①，由折叠得：∠OBC＝∠OBF，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝12，BC∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC，
∴∠AOB＝∠OBF，
∴OF＝BF，
设OF＝x，则BF＝x，AF＝12﹣x，
在Rt△ABF中，AB＝OC＝6，
由勾股定理得：BF2＝AB2+AF2，
∴x2＝62+（12﹣x）2，
x，
∴F（，0）；
（2）如图②，作点B关于OA的对称点B'，连接DB'，交OA于E，此时DE+BE的值最小，即DB'＝DE+BE，
过B'作B'G⊥y轴于G，
∴B'G＝BC＝12，
∵D是OC的中点，
∴ODOC＝3，
∴DG＝3+6＝9，
在Rt△DGB'中，由勾股定理得：DB'15，
即DE+BE的最小值是15；
（3）如图③，过M作MH⊥x轴于H，
∵C′（4，0），
∴OC'＝4，
设CM＝a，则CM'＝a，C'H＝a﹣4，
在Rt△MC'H中，由勾股定理得：C'M2＝C'H2+MH2，
∴a2＝（a﹣4）2+62，
a＝6.15，
∴M（6.5，6）．
设C′M的解析式为y＝kx+b，将C′（4，0），M（6.5，6）代入得：
，
解得：，
∴CM的解析式为y＝2.4x﹣9.6．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键．
12．如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4），一次函数图象与y轴的交点为C（0.2）与x轴的交点为D．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在点P，使得S△ODP＝3，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如果在一次函数y＝kx+b的图象存在点Q，使△OCQ是以CQ为腰的等腰三角形，请求出点Q的坐标．
【分析】（1）先将A（m，4）代入y＝2x，求出点A的坐标，再由待定系数法即可求解；
（2）先求出点D的坐标，得出OD＝2，再由，即可求解；
（3）设点Q（t，t+2），得出OC2＝22＝4，OQ2＝t2+（t+2）2＝2t2+4t+4，CQ2＝t2+（t+2﹣2）2＝2t2，分两种情况：当OC＝CQ时，当OQ＝CQ时，分别列出方程，求出结果即可．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4），将点A的坐标代入正比例函数y＝2x得：
∴4＝2m，
解得m＝2，
∴A点的坐标（2，4）；
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（2，4）和点C（0，2），将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+2；
（2）一次函数y＝kx+b的图象上存在一点P，使得S△ODP＝3；理由如下：
对于一次函数y＝x+2，令y＝0，得：0＝x+2，
解得x＝﹣2，
∴点D（﹣2，0），
∴OD＝2，
设点P（m，n），
根据题意可知：，
解得n＝±3，
当n＝3时，3＝m+2，
解得：m＝1，
当n＝﹣3时，﹣3＝m+2，
解得：m＝﹣5，
∴P点的坐标（1，3）或（﹣5，﹣3）；
（3）设点Q（t，t+2），
则OC2＝22＝4，
OQ2＝t2+（t+2）2＝2t2+4t+4，
CQ2＝t2+（t+2﹣2）2＝2t2，
当OC＝CQ时，OC2＝CQ2，
∴2t2＝4，
解得：或，
此时点Q的坐标为或；
当OQ＝CQ时，OQ2＝CQ2，
∴2t2＝2t2+4t+4，
解得：t＝﹣1，
此时点Q的坐标为（﹣1，1）；
综上，点Q的坐标为或或（﹣1，1）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题，注意进行分类讨论．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为C（a，4）．
（1）求a的值与一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）若在x轴上存在一点P使△POC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【分析】（1）将点C代入正比例函数解析式求得a的值，进而根据A，C的坐标待定系数法求解析式；
（2）根据（1）求得直线AC的解析式，令x＝0，求得点B的坐标，进而根据三角形面积公式即可求解；
（3）根据等腰三角形的定义，分别以P，O，C分别为等腰三角形的顶点，分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵点C在正比例函数图象上，
∴，
解得：a＝3，
∵点C（3，4），A（﹣3，0）在一次函数图象上，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）在中，令x＝0，
解得y＝2，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
∵点C（3，4），
∴xC＝3，
∴S△BOCOB×xC2×3＝3；
（3）P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（6，0）或（，0）．理由如下：
∵C（3，4），
在直角三角形AOC中，由勾股定理得：CO5，
设P（m，0），OP＝|m|，当OP＝OC时，
∴m＝±5，即P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）；
当CO＝CP时，则（3﹣m）2+42＝52，
解得m＝0或m＝6，
∴P的坐标为（6，0）；
当PC＝PO时，m2＝（m﹣3）2+42，
解得，
∴P的坐标为（，0）．
综上所述，P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（6，0）或（，0）．
【点评】本题考查了一次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，等腰三角形的定义，勾股定理求两点距离，掌握以上知识是解题的关键．
14．如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）如图①，将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，交AC于点E，求直线CD的函数关系式；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；
（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．
【解答】解：（1）已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，
当x＝0时，t＝4，
当y＝0时，得：﹣2x+4＝0，
解得：x＝2，
∴A（2，0）；C（0，4）；
（2）由折叠知：CD＝AD．设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x，
根据题意得：（4﹣x）2+22＝x2，
解得：，
此时，AD，，
设直线CD为y＝kx+4，把代入得，
解得：，
∴直线CD解析式为；
（3）存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等；P1（0，0）；；；理由如下：
①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0），
②当点P在第一象限时，如图①，
由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，AD，PD＝BD，AP＝BC＝2，
由AD×PQ＝DP×AP得：，
∴，
∴，把代入得：，
此时；
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二象限时，如图②，
同理可求得：，
∴，
此时，
综上，存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等；P1（0，0）；；．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查对于一次函数图象的应用以及等腰三角形和全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4交坐标轴于A，B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC．
（1）OC的长为 　4　，OD的长为 　2　，直线CD的表达式为 　yx+2　；
（2）若点E（1，b）为直线AB上的点，点P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出OA＝2，OB＝4，由全等三角形的性质可得OD＝2，OC＝4；利用待定系数法可求直线CD的函数表达式；
（2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+4得：y＝4，
∴点B（0，4），
∴OB＝4，
把y＝0代入y＝﹣2x+4得：x＝2，
∴点A（2，0），
∴OA＝2，
∵△AOB≌△DOC，
∴OC＝OB＝4，OD＝OA＝2．
设直线CD对应的函数表达式为：y＝kx+b，
∵OC＝4，OD＝2，
∴C（﹣4，0），D（0，2），
把C（﹣4，0），D（0，2）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴直线CD对应的函数表达式为yx+2，
故答案为：4；2；yx+2，
（2）直线CD上存在点Q，使得△EPQ是以点E为直角顶点的等腰直角三角形；理由如下：
∵E（1，b）为直线AB上的点，
∴b＝﹣2×1+4＝2，
∴E（1，2），
①当点P在点B下方时，如图2，连接DE，过点Q作QM⊥DE，交DE的延长线于M点，
∵D（0，2），
∴DE⊥y轴，DE＝1，点M的纵坐标为2，∠M＝∠EDP＝90°，
∵△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴EP＝EQ，∠PEQ＝90°，
∴∠QEM+∠PED＝90°＝∠QEM+∠EQM，
∴∠DEP＝∠EQM，
∴△DEP≌△MQE（AAS），
∴MQ＝DE＝1，
∴Q点的纵坐标为3，
把y＝3代入yx+2中得：x＝2，
∴点Q（2，3）；
②当点P在点B上方时，如图3，过E点作EM∥y轴，过点Q作QM⊥EM于M点，过P点作PN⊥EM交ME的延长线于N点．
则∠M＝∠N＝90°，
∴N点的横坐标为1，
则PN＝1，
∵△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形，
∴EP＝EQ，∠PEQ＝90°，
∴∠QEM+∠PEN＝90°＝∠PEN+∠NPE，
∴∠MEQ＝∠NPE，
∴△EQM≌△PEN（AAS），
∴EM＝PN＝1，
∵E（1，2），
∴M点的纵坐标为1，
∴Q点的纵坐标为1，
把y＝1代入yx+2中得：x＝﹣2，
∴Q（﹣2，1）；
综上所述，直线CD上存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为（2，3）或（﹣2，1）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（2，0），三角形△ABO的面积为2．动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在射线OB上运动，动点Q从B出发，沿x轴的正半轴于点P同时以相同的速度运动，过P作PM⊥x轴交直线AB于M．
（1）求直线AB的解析式．
（2）当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．
（3）过点Q作QN⊥x轴交直线AB于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形？若存在，求出时间t值．
【分析】（1）根据三角形的面积求出OA，再写出点A的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质表示出PM，再求出PQ的长，然后利用直角三角形的面积公式列式整理即可得解；
（3）表示出PM、QN，再利用勾股定理列式表示出QM2，再求出MN，然后分MN＝QN，MN＝QM，QN＝QM三种情况列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点B（2，0），
∴OB＝2，
∴S△ABOOB OA2 OA＝2，
解得OA＝2，
∴点A（0，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（2）∵OA＝OB＝2，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，
∴PM＝PB＝OB﹣OP＝2﹣t，
PQ＝OB＝2，
∴△MPQ的面积为SPQ PM2×（2﹣t）＝2﹣t，
∵点P在线段OB上运动，
∴0≤t≤2，
∴S与t的函数关系式为S＝2﹣t（0≤t≤2）；
（3）t秒时，PM＝PB＝|2﹣t|，QN＝BQ＝t，
所以，QM2＝PM2+PQ2＝（2﹣t）2+4，
MN（QN﹣PM）（t﹣t﹣2）＝2，
①若MN＝QN，则t＝2，
②若MN＝QM，则（2﹣t）2+4＝（2）2，
整理得，t2﹣4t＝0，
解得t1＝0（舍去），t2＝4，
③若QN＝QM，则（2﹣t）2+4＝t2，
整理得，4t﹣8＝0，
解得t＝2，
此时点P在与点B重合，不合题意舍去，
综上所述，t＝2或4时，△MNQ是等腰三角形．
【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了三角形的面积，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，难点在于（3）分情况讨论，用t表示出△MNQ的三边是解题的关键．
17．综合与实践
杆秤是我国传统的计重工具，也可算作华夏“国粹”．它制作轻巧、经典，使用也极为便利，作为商品流通的度量工具，活跃在大江南北，代代相传．天地间有杆秤，人们不断赋予秤的文化内涵，公平公正的象征，天地良心的标尺，一桩桩交易就在秤砣与秤盘的此起彼伏间完成．
【查阅资料】
自制杆秤
原理 杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，称重时根据被称物的轻重，使砣与砣绳在秤杆上移动以保持平衡．根据平衡时砣绳所对应的秤杆上的刻度，即可读出被称物的质量示值．精确的杆秤必须满足秤砣的质量×每增加1千克的刻度间的距离＝提纽与秤盘悬挂点的距离．
制作步骤
步骤1准备材料 秤杆、秤砣、秤盘、秤纽、刻度标记
步骤2制作秤杆 根据需要称量的最大重量和精度，选择合适的秤杆长度和直径．在秤杆上确定支点位置，通常位于秤杆的中间或稍偏一端．在秤杆上刻制刻度，根据杠杆原理，确定每个刻度的位置．
步骤3安装秤盘和秤纽 在秤杆的一端安装秤盘，确保秤盘稳固且能自由摆动．在秤杆的另一端或适当位置安装秤纽．
步骤4校准秤杆 使用已知重量的物体进行校准，确保秤杆在不同重量下的读数准确．根据校准结果调整秤砣的重量或刻度标记的位置，以达到所需的精度．
【建立模型】如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，表中为校准秤杆时若干次称重所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 3 4 5 6
y（斤） 0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.8
【解决问题】
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对数是错误的？以坐标的形式表达出来．
（2）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤钩所挂物重y增加 　0.7　斤；
（3）根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题．
①y与x之间的函数表达式；
②当秤钩所挂物重是6.2斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？
【分析】（1）根据数据描点即可判断；
（2）根据表中数据当x＝1时，y＝0.6，当x＝2时，y＝1.3，由此即可求解；
（3）①设y与x的函数关系式为y＝kx+b，根据表中数据有当x＝1时，y＝0.6，当x＝2时，y＝1.3，代入即可得到二元一次方程组，求解即可得到函数解析式；
②把y＝6.3代入函数解析式，求解x的值即可解答．
【解答】解：（1）把表中数据描点如下：
观察图象可知：由于y是x的一次函数，（6，4.8）没有位于直线上，
∴x＝6，y＝4.8这组数据错误，
故（6，4.8）是错误的；
（2）由表中数据可知：
当x＝1时，y＝0.6，
当x＝2时，y＝1.3，
∴x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y增加了：1.3﹣0.6＝0.7（斤），
故答案为：0.7；
（3）①∵y是x的一次函数，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（1，0.6）、（2，1.3）代入得：
，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝0.7x﹣0.1．
②当y＝6.2时，6.2＝0.7x﹣0.1，
解得x＝9，
答：秤钩所挂物重是9斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为10厘米．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、点B，直线CD与AB相交于点C（2，m），与x轴相交于点D（1，0），与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点．
（1）求直线CD的表达式；
（2）求△BCE的面积；
（3）连接CP、DP，
①当∠BPC＝∠OPD时，求点P的坐标；
②当△CDP的面积等于△BCE面积的一半时，请直接写出点P的坐标为 　（0，2）或（0，﹣4）　．
【分析】（1）将点C（2，m）代入直线yx+2得m＝1，利用待定系数法可得直线CD的表达式：
（2）由直线yx+2可得B（0，2），由直线CD：y＝x﹣1得E（0，﹣1），即可得△BCE的面积；
（3）①设点P的坐标为（0，p），分两种情况：Ⅰ点P在y轴正半轴时，Ⅱ点P在y轴负半轴时，分别求解即可；
②设点P的坐标为（0，p），分两种情况：Ⅰ点P在y轴正半轴时，Ⅱ点P在y轴负半轴时，利用三角形的面积公式分别求解即可．
【解答】解：（1）把C（2，m）代入中，得m＝1，
∴C（2，1），
设直线CD的表达式y＝kx+b，把C（2，1）和D（1，0）代入得：
，
解得：k＝1，b＝﹣1，
∴CD的表达式为y＝x﹣1；
（2）∵直线yx+2与y轴相交于点B，
∴B（0，2），
∵直线CD：y＝x﹣1与y轴相交于点E，
∴E（0，﹣1），
∵点C（2，1），
∴BE＝3，
∴S△BCE3×2＝3；
（3）①点P在y轴正半轴时，过点C作CH⊥y轴于H，如图1，
∴∠CMP＝∠PMG＝90°，
∵∠BPC＝∠OPD，
∴∠CPM＝∠GPM，
∵PM＝PM，
∴△CPM≌△GPM（AAS），
∴CM＝GM，
在△POD和△GND中，
，
∴△POD≌△GND（ASA），
∴OP＝NG，
设OP＝x，则NG＝MN＝x，CG＝1+x，GM＝CM，
∴CM+MNx＝1，
∴x，
∴点P的坐标为（0，）；
点P在y轴负半轴时，如图2，
由图得当点P与点E重合时，∠BPC＝∠OPD，
∴点P的坐标为（0，﹣1）；
综上，点P的坐标为（0，）或（0，﹣1）．
②设点P的坐标为（0，p），
点P在y轴正半轴时，如图3，
∵S△CDP＝S△PCE﹣S△PDE2（p+1）1（p+1）（p+1）S△BCE，
S△BCE＝3，
∴（p+1），
∴p＝2，
∴点P的坐标为（0，2）；
点P在y轴负半轴时，如图4，
∵S△CDP＝S△PCE﹣S△PDE2（﹣p﹣1）1（﹣p﹣1）（﹣p﹣1）S△BCE，
S△BCE＝3，
∴（﹣p﹣1），
∴p＝﹣4，
∴点P的坐标为（0，﹣4）；
综上，点P的坐标为（0，2）或（0，﹣4），
故答案为：（0，2）或（0，﹣4）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，数形结合以及分类讨论是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根（OB＞OC）．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，tan∠MND，求的值；
（3）在（2）的条件下，在直线EF上是否存在点P（不与点E重合），使△NCE与△NCP相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）结合OB，OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根（OB＞OC），进行解方程，即可作答．
（2）根据平行四边形的性质，得AD＝BC＝6，再得出xM＝﹣3，结合直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，得F（0，b），OF＝b；E（b，0），OE＝b；然后得出△EOF，△MDF是等腰直角三角形，得出yM＝OD＝3+b，再证明△DOC∽△NKC，则OC＝NK：CK＝（3+b）：2，再证明△NEK是等腰直角三角形，得，再运用勾股定理列式解得，再结合，得EH：EN＝1：4，代入数计算，即可作答．
（3）根据点P在直线EF上，使△NCE与△NCP相似，第一种是△NCE∽△NPC，第二种是△NCE∽△NCP，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答．
【解答】解：（1）由x2﹣6x+8＝0，得（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0，或x﹣4＝0，
∴x1＝4，x2＝2，
∵OB＞OC，
∴OB＝4，OC＝2，
∵B在x轴的负半轴，
∴B（﹣4，0）；
（2）∵OB＝4，OC＝2，
∴BC＝6，
∵平行四边形ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，
∴AD＝BC＝6，AD∥BC，∠ADO＝∠COD＝90°，
∵M是AD的中点，
∴MD＝3，
则xM＝﹣3，
∵直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，
∴令x＝0时，则y＝b；即F（0，b），OF＝b；
∴令y＝0时，则x＝b；即E（b，0），OE＝b；
∵OE＝OF＝b，∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠DFM＝∠OFE＝∠FEO＝∠NEC＝45°，
∵∠ADO＝90°，
∴△MDF是等腰直角三角形，MD＝DF，
∴把xM＝﹣3代入y＝﹣x+b，得y＝3+b，
即yM＝OD＝3+b，
过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，如图1，
∵∠DOC＝∠NKC＝90°，∠DCO＝∠NCK，
∴△DOC∽△NKC，
∴DO：OC＝NK：CK＝（3+b）：2，
∴，xN＝OC+CK＝2+CK，
∵∠NKC＝90°，∠NEC＝45°，
∴△NEK是等腰直角三角形，，
由勾股定理得：，
∴，
∵点N在直线y＝﹣x+b，
∴，
解得，
∴，
同理证明△ECH是等腰直角三角形，EH＝HC，
由勾股定理得：EH2+HC2＝EC2，，
即，
∵，
∴，
∵EH＝HC，
∴，
∴EH：EN＝1：4，
即，
整理得，
∴，
∵OE＜OC＝2，
∴b＜2，则，
解得b＝1，
经检验：b＝1是的解．
∴OD＝3+b＝4，
则；
（3）在直线EF上存在点P（不与点E重合），使△NCE与△NCP相似；理由如下：
∵b＝1，
∴直线y＝﹣x+1，
∵点P在直线EF：y＝﹣x+1上，且△NCE∽△NPC，如图2：
由（2）得出b＝1，则EO＝1，，
∴E（1，0），
∵，
∴N（3，﹣2），
则，
∵C（2，0），
∴，
设点P的坐标为（n，﹣n+1），
∴PN2＝（3﹣n）2+（n﹣3）2＝2（n﹣3）2，
∵△NCE∽△NPC，
∴，
即，
则，
解得，
∴或，
如图3：
即，，
∵点P不与点E重合，且CN＝CN，
故不存在△NCE∽△NCP，
综上，在直线EF上存在点P（不与点E重合），使△NCE与△NCP相似；或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，因式分解法解一元二次方程，坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
20．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：yx+b交x轴于点C，交y轴于点D，直线l1与直线l2相交于点．
（1）求点M坐标和直线l2的函数表达式；
（2）如图2，点G（t，0）为x轴上动点，过点G作GE∥y轴，交l1于点E，交l2于点F．
①当t＝4时，△EMC的面积为 　　．
②当EF＝3FG时，t的值为 　﹣15或3　．
③当点E在点F上方时，y轴上存在动点N，使△EFN是等腰直角三角形，此时t的值为 　或　．
（3）如图3，∠DCA＝30°，点Q为x轴上一动点，MQCQ最小值为 　　．
【分析】（1）先利用直线l1解析式求出点M的坐标，再利用待定系数法求出直线l2的函数表达式即可；
（2）①先求出点A、C、E的坐标，再根据S△EMC＝S△EAC﹣S△MAC列式计算即可；②求出E、F的坐标，进而表示出EF，FG，再根据EF＝3FG建立方程求解即可；③分当∠NFE＝90°，NF＝EF时，当∠NEF＝90°，NE＝EF时，当∠ENF＝90°，EN＝FN时，三种情况讨论求解即可；
（3）作∠OCP＝30°交y轴负半轴于P，过点Q作QT⊥CP交直线CP于T，连接PM，证明△CAD≌△CAP，得到OD＝OP，CP＝CD，求出，得到，进而求出；利用勾股定理求出；再证明，得到，则当M、Q、T三点共线，即当MT⊥CP时，MQ+QT有最小值，即此时有最小值，最小值为MT的长，利用等面积法求出MT的长即可得到答案．
【解答】解：（1）在中，当时，，
∴，
把代入到中得，
解得，
∴直线l2的函数表达式为；
（2）①如图2.1，连接CE，
∵GE∥y轴，
∴GE⊥x轴，
在中，当x＝4时，，
∴；
在中，当y＝0时，x＝﹣1，
在中，当y＝0时，x＝6，
∴A（﹣1，0），C（6，0），
∴AC＝7，
∴S△EMC＝S△EAC﹣S△MAC
；
②在中，
当x＝t时，，
在中，
当x＝t时，，
∴，，
∴，，
∵EF＝3FG，
∴，
∴或，
解得t＝3或t＝﹣15，
故答案为：﹣15或3；
③当∠NFE＝90°，NF＝EF时，则FN⊥EG，
∴FN⊥y轴，
∴FN＝t，
由（2）②可得，
∴，
解得；
当∠NEF＝90°，NE＝EF时，则FN⊥EG，
∴FE⊥y轴，
∴FE＝t，
由（2）②可得，
∴，
解得；
当∠ENF＝90°，EN＝FN时，如图所示，过点N作NH⊥EF于H，
∵△NEF是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或；
故答案为：或；
（3）如图3，作∠OCP＝30°交y轴负半轴于P，过点Q作QT⊥CP交直线CP于T，连接PM，
∵∠DCO＝∠PCO＝30°，OC＝OC，∠COD＝∠COP＝90°，
∴△CAD≌△CAP（ASA），
∴OD＝OP，CP＝CD，
在中，当x＝0时，，
∴，
∴，
∴，
∵C（6，0），
∴OC＝6，
∴；
∵，
∴，
∴；
在Rt△OCD中，由勾股定理得，
∴；
∵QT⊥CT，∠QCT＝30°，
∴，
∴，
∴当M、Q、T三点共线，即当MT⊥CP时，MQ+QT有最小值，即此时有最小值，最小值为MT的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
21．如图1所示的直角三角形ABC中，∠A是锐角，那么锐角A的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数分别为：
，，，．
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，，，我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题．
（1）若90°＜α＜180°，则在角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα中，它们的相反数取负值的是 　sinα　；
（2）若角α的终边与直线y＝3x重合，则sinα+cosα＝ 　或　；
（3）若角α是钝角，其终边上一点，且，则tanα＝ 　　；
（4）若180°≤α≤270°，求sinα+cosα的取值范围．
【分析】（1）由90°＜α＜180°，推出x＜0，y＞0，根据，，，，即可判断；
（2）分两种情形讨论即可解决问题；
（3）如图2中，作PE⊥x轴于E．勾股定理求出OE的长，根据三角函数的定义即可解决问题；
（4）首先求出当α＝180°时，x+y＝﹣1，当α≠180°时，根据三角形的两边之和大于第三边得到sinα+cosα＝x+y＜﹣1，然后由（x﹣y）2≥0整理得到，进而得到，然后求出，即可求解．
【解答】解：（1）在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，90°＜α＜180°，
∴x＜0，y＜0，
∴α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是sinα，取负值的是cosα、tanα、cotα．
∴它们的相反数取负值的是sinα，
故答案为：sinα；
（2）角α的终边与直线y＝3x重合，如图1中，
①当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E．设OE＝a，则PE＝3a，
∴，
∴，，
∴；
②当点P在第三象限时，作P′E′⊥x轴于E．设OE′＝a，则PE′＝2a，
∴，
∴同理可得，，，
∴；
综上所述，sinα+cosα或，
故答案为：或；
（3）角α是钝角，其终边上一点，且，如图2中，作PE⊥x轴于E．
由题意，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）若180°≤α≤270°，设OP＝1，
则sinα+cosα＝x+y，
∵当α＝180°时，x+y＝﹣1，
当α≠180°时，根据三角形的两边之和大于第三边，则﹣x﹣y＞1，
∴x+y＜﹣1，
∴sinα+cosα＝x+y＜﹣1，
∴sinα+cosα≤﹣1；
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2﹣2xy≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了三角函数的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
22．（模型建立）
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
（模型应用）
（2）如图2，已知直线l1：yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标．
【分析】（1）由∠CBE+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°得∠ACD＝∠CBE，进一步得出结论；
（2）作BC⊥AB交l2于C，作CE⊥y轴于E，可得△ABC为等腰直角三角形，根据模型结论得CE＝OB＝3，BE＝OA＝2，从而得出点C（﹣3，5），进一步得出结果；
（3）根据模型得出点A的坐标，进而求得三角形AOB的面积，从而得出△AOM或△BOM的面积是1，进一步得出结果；
（4）分为三种情形：∠PCD＝90°，∠CPD＝90°及∠PDC＝90°的两种情况，当∠PCD＝90°，PC＝CD时，作PE⊥y轴于E，作DF⊥y轴于F，可得：CF＝PE＝3，OF＝OC+CF＝7，从而得出D点的纵坐标是﹣7，进而求得点D的横坐标，同样的方法解另外情形，并注意检验，从而得出结果．
【解答】（1）证明：∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）如图1，
作BC⊥AB交l2于C，作CE⊥y轴于E，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝45°，
∴BC＝BA，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵直线l1：yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，3），
由（1）得：CE＝OB＝3，BE＝OA＝2，
∴点C（﹣3，5），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线l2的函数表达式为：y＝﹣5x﹣10；
（3）由（1）知：△BOC≌△CDA，
∴AD＝OC＝1，CD＝OB＝2，
∴OD＝AC+CD＝3，
∴，
∴S△AOM＝4﹣3＝1或S△BOM＝1，
当S△AOM＝1时，AD＝1，
∴，
∴OM＝2，
∴M（2，0），
当S△BOM＝1时，，
∴，
∴OM＝1，
∴M（﹣1，0），
综上所述：M（2，0）或（﹣1，0）；
（4）如图2，
当∠PCD＝90°，PC＝CD时，
作PE⊥y轴于E，作DF⊥y轴于F，
可得：CF＝PE＝3，
∴OF＝OC+CF＝7，
∴点D的纵坐标为﹣7，
由﹣2x+1＝7得，
x＝﹣4，
∴D（4，﹣7），
当∠CD′P′＝90°，CD′＝P′D′时，
设点D′（a，﹣2a+1），
由GC＝HD′得，
（﹣2a+1）﹣（﹣4）＝3﹣a，
∴a＝2，
∴D′（2，﹣3），
此时P′H＝2，
∴AP′＝5＞4，
故舍去，
当∠CD″P″＝90°，CD″＝P″D″时，
由CM＝ND″得，
﹣4﹣（﹣2a+1）＝3﹣a，
∴a，
当x时，y＝﹣21，
∴D″（，），
如图3，
当∠CPD＝90°，PC＝PD，
D（a，﹣2a+1），则R（a，﹣2a+4），
∴CT＝﹣2a+8，BP＝PR＝a﹣3，
∴﹣2a+8＝a﹣3，
∴a，
当a时，y＝﹣21，
∴D（，），
综上所述：D（4，﹣7）或（，）或（，）．
【点评】本题主要考查了在坐标系中如何使用等腰直角三角形来构造“一线三直角”，从而得出全等三角形等知识，解决问题的关键是构造出等腰直角三角形．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线l2与l1交于点D（1，m），与x轴交于点C（﹣1，0），与y轴交于点E．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点F为线段AB上一动点，过点F作FK⊥x轴于点K，连接OF，当△OFK的周长最小时，在x轴正半轴上找一点G，连接EG，EF，FG，若S△EFG＝1，求点G的坐标；
（3）将△ABO绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤180°）得到△AB'O'，在旋转过程中，边AO'，AB'所在直线分别交l2于点M、N，当△AMN为等腰三角形时，直接写出点N的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）先计算OA＝OB＝3，得△AOB是等腰直角三角形，则∠BAO＝45°，又得△AKF是等腰直角三角形，AK＝FK，确定当OF最小，即OF⊥AB时，△OFK的周长最小，此时点F的坐标为（，），
如图1，过点F作FH⊥y轴于H，根据三角形的面积差即可解答；
（3）分AM＝MN或AM＝AN或AN＝MN情况，正确画图，作辅助线根据等腰直角三角形和勾股定理即可解答．
【解答】解：（1）当x＝1时，m＝﹣1+3＝2，
∴D（1，2），
设直线l2的解析式为：y＝kx+b，
把D（1，2）和C（﹣1，0）代入得：，
解得：，
∴直线l2的解析式为：y＝x+1；
（2）在直线y＝﹣x+3中，当x＝0时，y＝3；
当y＝0时，﹣x+3＝0，x＝3，
∴A（3，0），B（0，3），
∴AO＝OB＝3，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°，
∵FK⊥x轴，
∴∠FKA＝90°，
∴△AKF是等腰直角三角形，
∴AK＝FK，
∴OK+FK＝OK+AK＝OA＝3，
∵△OFK的周长＝OF+FK+OK＝OF+3，
∴当OF最小，即OF⊥AB时，△OFK的周长最小，此时点F的坐标为（，），
如图1，过点F作FH⊥y轴于H，
设G（t，0），
∵S△EFG＝S△OFH+S△OGF﹣S△EHF﹣S△OEG＝1，
∴t1×t＝1，
∴t＝1，
∴点G的坐标为（1，0）；
（3）分四种情况：
①当AM＝AN时，如图2，过点M作MP⊥x轴于P，
由旋转得：∠MAN＝45°，
∵∠ACD＝∠DAC＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∵AC＝3+1＝4，
∴CD＝AD＝2，
∵AM＝AN，MN⊥AD，
∴DM＝DN，∠DAN＝∠DAM22.5°＝∠CAM，
∴DM＝PM＝CP，
∵AM＝AM，∠ADM＝∠APM＝90°，
∴△ADM≌△APM（AAS），
∴AD＝AP＝2，
∴CP＝PM＝4﹣2，OP＝AO﹣AP＝3﹣2，
∴M（3﹣2，4﹣2），
∵MN的中点D的坐标为（1，2），
∴点N的坐标为（21，2）；
②当AM＝MN时，如图2，此时M与D重合，
∴∠AMN＝90°，
∴∠ANM＝∠NAM＝45°，
∵∠ACN＝45°，
∴∠CAN＝90°，
∴△ACN是等腰直角三角形，
∴AN＝AC＝4，
∴N（3，4）；
③当AM＝AN时，如图3，过点N作NQ⊥x轴于Q，
∴∠AMN＝∠ANM，
∵∠A'AB'＝45°＝∠ANM+∠AMN，
∴∠ANM＝22.5°，
∵∠ACD＝∠NCQ＝45°，
∴∠CAN＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠CNA，
∴AC＝CN＝4，
∵∠CQN＝90°，
∴△CNQ是等腰直角三角形，
∴CQ＝QN＝2，
∴N（﹣1﹣2，﹣2）；
④当AN＝MN时，如图4，此时N与D重合，M与C重合，
∴N（1，2）；
综上，当△AMN为等腰三角形时，点N的坐标为（21，2）或（3，4）或（﹣1﹣2，﹣2）或（1，2）．
【点评】本题是一次函数的综合题，主要利用了三角形的面积，旋转的性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，难点在于（3）分情况讨论，正确画图是解题的关键．
24．建立模型：（1）如图1，过线段CD上一点B作AB⊥BE，过A、E分别作AC⊥CD于C，ED⊥CD于D，且AB＝BE，求证：△ACB≌△BDE；
类比迁移：（2）如图2，直线AB交两坐标轴于点A（0，a）、B（b，0），a、b满足．
①求a、b的值；
②点C在第二象限内，连接BC、AC，若在直角△ABC中，AC是斜边，且BC＝AB，求点C的坐标；
③如图3，在②的条件下，在边AC上取一点D，作DE⊥BD，且DE＝BD，连接AE，求∠DAE的大小．
【分析】（1）证明∠A＝∠EBD，再根据AAS证明△ACB≌△BDE即可；
（2）①根据绝对值和平方根的非负性质即可求解；②证明△AOB≌△BQC，得出，CQ＝BO＝1，进而即可求解；③过点B作BF⊥AC于点F，过点E作EH⊥AC于点H，根据AAS证明△BFD≌△DHE，得BF＝DH，DF＝EH，由等腰直角三角形的性质得AF＝BF＝DH，从而可得AH＝DF＝EH，故可得∠DAE＝45°．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BE，过A、E分别作AC⊥CD于C，ED⊥CD于D，且AB＝BE，
∴∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD，
在△ACB和△BDE中，
，
∴△ACB≌△BDE（AAS）；
（2）解：①直线AB交两坐标轴于点A（0，a）、B（b，0），a、b满足，
∴，b+1＝0，
解得，b＝﹣1；
②由①可得，，B（﹣1，0），
在直角△ABC中，AC是斜边，且BC＝AB，过C作CQ⊥OB于Q，如图2，
由题可得，∠AOB＝∠CQB＝∠ABC＝90°，
∴∠OBA+∠ABO＝90°，∠ABO+∠CBQ＝90°，
∴∠OAB＝∠CBQ，
在△ABO与△BCQ中，
，
∴△ABO≌△BCQ（AAS），
∴，CQ＝BO＝1，
∴，
∴；
③过点B作BF⊥AC于点F，过E作EH⊥AC于H，
则∠BFD＝∠DHE＝90°，
∴∠DBF+∠BDF＝90°，∠EDH+∠BDF＝90°，
∴∠FBD＝∠HDE，
，
∴△FBD≌△EDH（AAS），
∴BF＝DH，DF＝EH，
∵∠BFA＝90°，∠BAF＝45°，
∴∠ABF＝45°，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴AF＝BF，
∴AF＝DH，
∴DF+FH＝AH+FH，
∴AH＝DF，
∴AH＝EH，
∵∠AHE＝90°，
∴∠EAD＝45°．
【点评】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，非负数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
25．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．
【全等模型】如图1，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．易证：△ABD≌△CAE．
（1）①如图1，若BD＝3，CE＝5，则DE＝ 　8　；
②如图2，∠AOB＝90°，OA＝OB，点B的坐标为（1，2），连接AB交y轴于点M，求点A的坐标，点M的坐标．
【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFO，AH是BC边上的高，延长HA交BG于点I，若BH＝2，CH＝3，则AI＝ 　　；
【拓展探究】（3）如图4，y＝2x+6的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，点D坐标为（0，﹣1），点C在直线AB上，连结CD，当CD与y＝2x+6的图象的夹角为45°时，请直接写出点C的坐标 　（，）或（，）　．
【分析】（1）①根据垂直的定义得到∠BDA＝∠CEA＝90°，根据余角的性质得到∠CAE＝∠ABD，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，于是得到结论；
②如图2，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，根据垂直的定义得到∠ACO＝∠BDO＝90°，根据余角的性质得到∠CAO＝∠BOD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．根据正方形的性质得到AE＝AB，∠BAE＝90°，根据全等三角形的性质得到AM＝BH＝2，EM＝AH，同理，AN＝CH＝3，GN＝AH，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论；
（3）如图所示，当C在x轴下方时，以D为直角顶点作等腰直角三角形CDE，同理可得△DCN≌△EDM，设C（m，2m+6），则CN＝﹣m，DN＝﹣1﹣2m﹣6＝﹣7﹣2m，进而表示出E点的坐标，代入一次函数解析式，即可求解．
【解答】解：（1）①∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE，
∵BD＝3，CE＝5，
∴DE＝8，
故答案为：8；
②如图2，
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠CAO+∠AOC＝∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠CAO＝∠BOD，
在△ACO与△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC＝OD，OC＝BD，
∵点B的坐标为（1，2），
∴OD＝1，BD＝2，
∴AC＝1，OC＝2，
∴A（﹣2，1），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A，点B代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
当x＝0时，，
∴；
（2）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝∠GNI＝90°，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AE＝AB，∠BAE＝90°，
∵AH⊥BC，
∴AHB＝∠AHC＝90°，
∴∠EAM+∠MEA＝∠EAM+∠BAH＝90°，
∴∠AEM＝∠BAH，
∴△AEM≌△BAH（AAS），
∴AM＝BH＝2，EM＝AH，
同理，AN＝CH＝3，GN＝AH，
∴EM＝GN，
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴，
∴，
故答案为：；
（3）如图4，当C在x轴下方时，以D为直角顶点作等腰直角三角形CDE，
设C（m，2m+6），则CN＝﹣m，DN＝﹣1﹣2m﹣6＝﹣7﹣2m，
同理可得△DCN≌△EDM，
∴EM＝DN＝﹣7﹣2m，MD＝CN＝﹣m，
∴E（7+2m，﹣1﹣m），
∵E在y＝2x+6上，
∴﹣1﹣m＝2（7+2m）+6，
解得：，
∴，，，
∴，，
当C在E点的位置时，，
综上所述，点C的坐标为（，）或C（，），
故答案为：（，）或（，）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx+3k交x轴于点B，交y轴于点A．
（1）如图1，求点B坐标；
（2）如图2，经过点A的直线y＝﹣x+3k交x轴于C，△ABC的面积为S，求S与k的函数关系式（不要求写出k的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D在AC上，连接OD，点E在第二象限，连接AE、OE，AE＝CD，∠OAE+2∠ODC＝225°，，，求直线OD解析式．
【分析】（1）令y＝0，则0＝kx+3k＝k（x+3），可得x＝﹣3，可得点B坐标为（﹣3，0）；
（2）求解点C坐标为（3k，0），点A坐标为（0，3k），再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）如图，把△AOE沿y轴对折得△AON，作∠2＝∠1，CD＝CT，连接OT，过D作DH⊥CO于H，过C作CQ⊥BT于Q，证明OA＝OC，∠CAO＝∠ACO＝45°，设∠1＝α，求解∠OAN＝45°+90°﹣2α＝135°﹣2α，∠OCT＝180°﹣2α﹣45°＝135°﹣2α，证明△OAN≌△OCT，可得，∠AON＝∠COT，过O作OK⊥DT于K，求解OK＝DK＝OD sin45°＝2，，DQ＝QT＝3，设DH＝t，而∠ACO＝45°，由cos∠5＝cos∠2，可得，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx+3k交x轴于点B，交y轴于点A．
∴令y＝0，则0＝kx+3k＝k（x+3），
∵k≠0，
∴x+3＝0，
∴x＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，0）；
（2）经过点A的直线y＝﹣x+3k交x轴于C，△ABC的面积为S，
∴0＝﹣x+3k，
∴x＝3k，
∴点C坐标为（3k，0），
∴BC＝3k﹣（﹣3）＝3k+3，
令x＝0，则y＝3k，
∴点A坐标为（0，3k），
∴；
（3）点D在AC上，点E在第二象限，AE＝CD，∠OAE+2∠ODC＝225°，，，如图3，把△AOE沿y轴对折得△AON，
∴AE＝AN，∠OAE＝∠OAN，，
作∠2＝∠1，CD＝CT，连接OT，过D作DH⊥CO于H，过C作CQ⊥BT于Q，
∵点C坐标为（3k，0），点A坐标为（0，3k），
∴OA＝OC，∠CAO＝∠ACO＝45°，
设∠1＝α，
∴∠ODC＝45°+α，
∵∠OAE＝∠OAN＝45°+∠4，∠OAE+2∠ODC＝225°，
∴45°+∠4+2（45°+α）＝225°，
∴∠4＝90°﹣2α，
∴∠OAN＝45°+90°﹣2α＝135°﹣2α，
∵CD＝CT，∠2＝∠1＝α，
∴∠DCT＝180°﹣2α，∠OCT＝180°﹣2α﹣45°＝135°﹣2α，
∴∠OAN＝∠OCT，
∵OA＝OC，AE＝AN＝CD＝CT，
∴△OAN≌△OCT，
∴，∠AON＝∠COT，
过O作OK⊥DT于K，
∵∠ODC＝45°+α＝α+∠ODT，
∴∠ODT＝45°，
∵，
∴OK＝DK＝OD sin45°＝2，
∴，
∴DT＝2+4＝6，
∵CD＝CT，CQ⊥DT，
∴DQ＝QT＝3，
设DH＝t，而∠ACO＝45°，
∴，
∵DH⊥x轴，则DH∥AO，
∴∠5＝∠1＝∠2＝α，
∴cos∠5＝cos∠2，
∴，即，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
∴设OD为y＝nx，
∴，
解得：，
∴直线OD为：．
【点评】本题考查的求解一次函数与坐标轴的交点坐标，列面积函数关系式，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
27．如图1，已知在△ABC中，AB＝4，边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ABC＝45°，B的坐标为（3，0），点K是y轴上一个动点，它的坐标是（0，m），直线AK交直线BC于点P．
（1）求直线AC的表达式；
（2）若m＝1，点Q为直线BC上一点，且AK平分∠CAQ，求Q的坐标；
（3）如图2，连接OP，以OP为直角边作等腰直角△OPM（O、P、M三点按照逆时针顺序排列），使得∠OPM＝90°，PO＝PM．
①试说明在点K的运动过程中，△ABM的面积是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由；
②点K从C运动到O的过程中，点M的运动路径长为 　6　．
【分析】（1）先分别求出A、C两点的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）证明△APC≌△APQ得CP＝PQ，再求出直线BC、AK的解析式，联立求得P（1，2），根据中点即可求解；
（3）①作OH⊥BC，MN⊥BC，垂足为H、N，分点P在H上方和点P在H下方两种情况证明M在经过点C且平行于x轴的直线上运动，从而可得，即可得解；
②当K与点O重合时，点P与点B重合，点H与点N重合，证四边形OBMC是平行四边形，得CM＝OB＝3，当K与点C重合时，P、K、C三点重合，由①得△PMN≌△OPH，利用全等三角形的性质即可得解．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，B的坐标为（3，0），AB＝4，
∴∠OCB＝90°﹣45°＝45°＝∠ABC，OB＝3，
∴OC＝OB＝3，OA＝AB﹣OB＝1，
∴A的坐标为（﹣1，0），C的坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝mx+n，
∵直线BC的解析式为：y＝mx+n过（﹣1，0）和（0，3），
∴，
解得，
∴y＝3x+3；
（2）如图1，
∵m＝1，
∴K（0，1），
∴AK＝AO，
∴∠AKO＝∠KAO＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠APB＝90°，
∴∠APC＝∠APQ＝90°，
∵AK平分∠CAQ，
∴∠CAP＝∠QAP，
∵AP＝AP，
∴△APC≌△APQ（ASA），
∴CP＝PQ，
∴P是CQ的中点，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∵直线BC的解析式为：y＝kx+b过（3，0）和（0，3），代入得：
，
解得，
∴BC表达式为：y＝﹣x+3，
设直线AK为：y＝px+q，
∵直线AK为：y＝px+q过（﹣1，0）和（0，1），代入得：
，
解得，
∴AK表达式为：y＝x+1，
联立，
解得，
∴P（1，2），
设Q（a，﹣a+3），
∴1，2，
解得a＝2，
∴Q（2，1）；
（3）①作OH⊥BC，MN⊥BC，垂足为H、N，如图2.1，
（Ⅰ）当P在H上方时，
∵OH⊥BC，MN⊥BC，∠OPM＝90°，
∴∠PNM＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠POH＝90°，∠OPH+∠MPN＝180°﹣90＝90°，
∴∠MPN＝∠POH，
∵PM＝OP，
∴△PMN≌△OPH（AAS），
∴MN＝PH，OH＝PN，
OB＝OC，OH⊥BC，
∴OHBC＝HC，
∴HC＝PN，
∴HC﹣PC＝PN﹣PC，
∴NC＝PH＝MN，
∴∠MCN＝45°＝∠ABC，
∴MC∥x轴；
（Ⅱ）当P在H下方，如图2.2，
同理证得：∠MCN＝45°＝∠ABC，MC∥x轴，
∴M在经过点C且平行于x轴的直线上运动，
∴S△ABM＝S△ABC4×3＝6；
②当K与点O重合时，点P与点B重合，点H与点N重合，如图2.3，
由①得NC＝NB，NO＝NM，
∴四边形OBMC是平行四边形，
∴CM＝OB＝3，
当K与点C重合时，P、K、C三点重合，
由①得△PMN≌△OPH，
∴PM＝CM＝OC＝3，
∴点M的运动路径长为3+3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的交点，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，坐标与图形，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握一次函数的解析式，一次函数的交点，全等三角形的判定及性质以及平行四边形的判定及性质是解题的关键．
28．如图1，一次函数y＝kx+6的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且S△ABO＝24，点C为x轴上一动点，过点B、C作直线BC．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若将△ABC沿直线BC折叠，当点A落在y轴上时，求点C的坐标；
（3）若点C为x轴正半轴上，且∠BCO＝45°，点M是直线BC上的一个动点，点N是y轴上的一个动点，当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求点M的坐标．
【分析】（1）先求解B（0，6），结合S△ABO＝24，可得A（﹣8，0），再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）如图1，将△ABC沿直线BC折叠，当点A落在y轴上点A′时，设AC＝A′C＝n，可得AB＝A′B，求解，OC＝8﹣n，可得A′O＝10﹣6＝4，再利用勾股定理求解即可；
（3）如图2，当M在线段BC上时，过M作MJ⊥y轴于J，作MK⊥x轴于K，证明△NMJ≌△AMK，可得MJ＝MK，AK＝NJ，求解直线BC为：y＝﹣x+6，设M（m，﹣m+6），可得m＝﹣m+6，可得M（3，3）；如图3，当M在线段CB的延长线上时，过M作MG⊥x轴于G，过N作NF⊥MG轴于F，同法可得方程无解，舍去；如图4，当M在线段BC的延长线上时，过M作MJ⊥y轴于J，作MK⊥x轴于K，同法此时方程无解，舍去；从而可得答案．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+6的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且S△ABO＝24，
当x＝0时，y＝6，
∴B（0，6），
∴S△ABO，
解得：AO＝8，
∴A（﹣8，0），
将点A的坐标代入y＝kx+6得：
∴﹣8k+6＝0，
解得：，
∴直线AB解析式为：；
（2）将△ABC沿直线BC折叠，当点A落在y轴上，如图1，设AC＝A′C＝n，
∴AB＝A′B，
在直角三角形AOB中，AO＝8，BO＝6，
∴OC＝8﹣n，
由勾股定理得：AB10，
∴AB＝A′B＝10，
∴A′O＝10﹣6＝4，
OC＝8﹣n，
∴n2＝42+（8﹣n）2，
解得：n＝5，
∴OC＝8﹣5＝3，
∴C（﹣3，0）；
（3）如图2，当M在线段BC上时，过M作MJ⊥y轴于J，作MK⊥x轴于K，
∴∠NJM＝90°＝∠AKM，而∠JOK＝90°，
∴∠JMK＝90°，
∵∠AMN＝90°，AM＝MN，
∴∠NMJ+∠AMJ＝90°＝∠AMJ+∠AMK，
∴∠NMJ＝∠AMK，
∴△NMJ≌△AMK（AAS），
∴MJ＝MK，AK＝NJ，
∵点M是直线BC上的一个动点，∠BCM＝45°，
∴OB＝OC＝6，
∴C（6，0），
设直线BC为y＝ex+6，
∴6e+6＝0，解得：e＝﹣1，
∴直线BC为：y＝﹣x+6，
设M（m，﹣m+6），
∴m＝﹣m+6，
解得：m＝3，
∴M（3，3）；
如图3，当M在线段CB的延长线上时，
过M作MG⊥x轴于G，过N作NF⊥MG轴于F，
∴FN＝OG，
同理可得：△MAG≌△NMF，
∴MG＝FN，
设M（m，﹣m+6），
∴﹣m＝﹣m+6，
∴方程无解，舍去；
如图4，当M在线段BC的延长线上时，过M作MJ⊥y轴于J，作MK⊥x轴于K，
同理可得：△NMJ≌△AMK，
∴MJ＝MK，
设M（m，﹣m+6），
∴m＝m﹣6，
此时方程无解，舍去；
综上：M的坐标为（3，3）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用

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