资源简介

(共58张PPT)
12.1 函数
第12章 一次函数
知识点
常量与变量
知1－讲
1
1. 定义 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 .
知1－讲
说明：(1)“常量” 是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母 . 如在匀速运动中的速度 v就是一个常量 .
(2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量 . 如在 s＝vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量 .
知1－讲
2. 判断一个量是常量还是变量的方法
看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变(或者说是否会取不同的数值)，若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量 .
知1－讲
特别提醒
1. 常量与变量只与在某一个变化过程中的数值是否发生改变有关 .
2. 变量、常量与字母的指数没有关系，如y＝100－2x2中，x，y是变量，而不能说 x2是变量 .
3. 在一个变化过程中，变量或常量有时不止一个 .
知1－练
例 1
[母题 教材 P26 练习 T1]分别指出下列关系中
的变量和常量：
(1)一支冰激凌的价格是 5 元，买 a 支冰激凌共支付 b 元；
(2)标准体重是衡量身体健康状况的一项指标 . 男性标准体重 m（ kg）与身高 h（ cm）之间的关系式为 m=（ h－80）×70%；；
(3)在三角形ABC中，它的底边长a一定，底边上的高为h，则三角形ABC的面积S＝ah.
知1－练
解题秘方：紧扣“常量与变量”的定义进行辨识.
解：(1)a，b是变量，5是常量.
(2)m，h是变量，80，70％是常量.
(3)S，h是变量，，a是常量.
表示不变量的字母
也可以作为常量
知1－练
1-1. [中考·广东] 水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是(　　)
A. 2是变量 B. π是变量
C. r是变量 D. C是常量
C
知2－讲
知识点
函数
2
1. 函数的定义 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量.
知2－讲
说明：(1) 变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)；
(2)函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如对于两个变量x与y，y是x的函数，不能说成y是函数.
知2－讲
特别提醒
函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量x的每一个确定的值，y有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同，如：函数y＝x2中，当x＝1 和x＝－1 时，y的值都是1.
知2－讲
2. 判断一个关系是否是函数关系的方法
一看是否在一个变化过程中；
二看是否存在两个变量；
三看对于自变量每取一个确定的值，因变量是否都有唯一确定的值与其对应.
三者缺一不可.
知2－练
判断下列各式中y是否是x的函数，并说明理由.
(1)y＝±x；(2)y＝x3；(3)2x2＋y2＝10；(4)y＝|x|.
例 2
解题秘方：紧扣函数的定义进行解答.
知2－练
解：(1)y不是x的函数，因为x每取一个不为0的值时，y有
两个对应值，不满足唯一确定.
(2)y是x的函数，因为x的每一个值都有唯一的y值与之对应.
(3)y不是x的函数，例如当x＝1时，y有两个对应值，不满足唯一确定.
(4)y是x的函数，因为x的每一个值都有唯一的y值与之对应.
知2－练
2-1. [月考·合肥蜀山区]下列关于变量x和y的关系式：
x－y＝0，y2＝x，|y|＝2x ，y2＝x2，y＝3－x，y＝2x2－1，y＝，其中y是x的函数的个数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
知3－讲
知识点
函数关系的表示方法
3
1. 函数关系的表示方法
(1)列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法.
(2)解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法.
(3)图象法：用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫作图象法.
知3－讲
2. 函数关系的三种表示方法的对比
表示方法 优点 缺点
列表法 一目了然，由表格中已有自变量的每一个值，可直接查出函数的对应值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数值之间的对应关系
知3－讲
续表
表示方法 优点 缺点
解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 从函数表达式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析法表示出来
图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 由自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值
知3－讲
特别提醒
函数的几种表示方法各有优缺点，它们之间可以相互转化.
知3－练
在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得
弹簧的长度y(cm)随所挂
物体的质量x(kg)的变化
关系如图12 .1-1 所示.
例 3
知3－练
解题秘方：根据自变量、因变量的定义结合题意进行判断；
(1)图中反映的变化过程中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？
解：所挂物体的质量x是自变量，
弹簧的长度y是因变量.
知3－练
解题秘方：根据图象填写表格；
(2)根据以上图象补全表格：
16
所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 8 10 12 14
18
知3－练
解题秘方：根据图象得出结论；
(3)由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是多少千克？
解：由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是5 kg.
知3－练
解题秘方：根据图象可知所挂物体的质量每增加1 kg，弹簧伸长2 cm，据此解答即可.
(4)在弹簧承受范围内，请直接用含有x的代数式表示y.
解：因为所挂物体的质量每增加1 kg，弹簧伸长2 cm，
所以y＝2x＋8(0 ≤ x ≤ 5).
知3－练
3-1. 如图是一辆汽车从甲地到乙地所行驶的路程和时间的部分图象.
(1)观察图象可知，汽车2 小时行驶
______千米；
(2)王叔叔驾驶这辆汽车从甲地到乙
地，大约要行驶660 千米，需要_____小时.
160
8.25
知4－讲
知识点
函数自变量的取值范围与函数值
4
1. 自变量的取值范围 使函数有意义的自变量取值的全体实数叫作自变量的取值范围.
知4－讲
2. 确定自变量取值范围的方法
观察函数
表达式
寻找自变量
满足的条件
构造不等
式（组）
确定解集
知4－讲
常见函数自变量取值范围的确定
类型 取值范围
整式型 全体实数
分式型 使分母不为0的实数
偶次根式型 使根号下的式子的值大于或等于0的实数
零次幂、负整数次数幂 使幂的底数不为0的实数
综合型 使各部分都有意义的实数
知4－讲
3. 函数值 如果在自变量取值范围内给定一个数值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
知4－讲
4. 求函数值及自变量值的方法
(1)当已知函数关系式时，求函数值实质就是利用代入法求代数式的值；
(2)当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x2－1中，当y＝0 时，x＝±1.
知4－讲
特别提醒
1. 对于实际问题中的函数关系，函数值与自变量的值都要使实际问题有意义，如汽车的行驶时间t ≥ 0.
2. 自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数.
3. 函数与函数值的区别：
函数表示的是两个变量之间的一种对应关系，而函数值是一个数值.
4. 一个函数的函数值是着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值.
知4－练
[母题 教材 P27 例 1]求下列函数中自变量x的取值范围.
(1)y＝3x＋7；(2) ；(3)y＝.
例 4
解题秘方：紧扣“确定自变量取值范围的方法”求解.
解：
(1)函数表达式右边是整式，所以x的取值范围为全体实数.
(2)由7－x ≠ 0得x ≠ 0，所以x的取值范围是x ≠ 7 .
(3)由x ≥ 0且 x ≠ 0，得x ＞0，所以x的取值范围是x ＞0.
知4－练
知4－练
4-1. 求下列函数自变量的取值范围：
(1)y＝2x2－3；
(2)y＝；
解：x取全体实数．
由题意得x≥0且x－2≠0，解得x≥0且x≠2.
所以x的取值范围为x≥0且x≠2.
知4－练
(3)y＝－(x－3)＋(x－3)0；
(4)y＝x－2＋.
解：由题意得x－3≠0，解得x≠3.
所以x的取值范围为x≠3.
由题意得x≠0且x－2≠0，解得x≠0且x≠2.
所以x的取值范围是x≠0且x≠2.
知4－练
[母题 教材 P27 例 2]当 x=2 时，求下列函数的函数值：
(1) y=2x－5；(2) y=－3x2； (3) y= ；(4) y= ．
解题秘方：把 x 的值代入函数表达式求值即可.
例 5
解：(1)当 x=2 时， y=2× 2－5=－1．
(2)当 x=2 时， y=－3× 2 2=－12．
(3)当 x=2 时， y= =2．
(4)当 x=2 时， y= = 0．
知4－练
5-1. 如图是输入一个x的值，计算函数y的值的程序框图.
知4－练
(1)当输入x的值为100时, 输出的y的值为多少？
解：把x＝100代入y＝1 000－5x，
得y＝1 000－500＝500，
把x＝500代入y＝1 000－5x，
得y＝1 000－2 500＝－1 500<0，
所以当输入x的值为100时，输出的y的值为－1 500.
知4－练
(2)当输入一个整数x0时， 输出的y的值为－500，则输入的整数x0的值是多少？
解：把y＝－500代入y＝1 000－5x，
得－500＝1 000－5x，解得x＝300；
把y＝300代入y＝1 000－5x，
得300＝1 000－5x，解得x＝140；
知4－练
把y＝140代入y＝1 000－5x，
得140＝1 000－5x，解得x＝172.
把y＝172代入y＝1 000－5x，得172＝1 000－5x，
解得x＝165.6(舍去)．
综上所述，输入的整数x0的值是300或140或172.
知4－练
一辆汽车油箱内有油 48 L，从某地出发，以每千米
0.06 L的耗油量行驶，设剩油量为 y L，行驶路程为 x km.
(1)写出 y 与 x 之间的函数表达式 .
(2)写出自变量 x 的取值范围 .
(3)行驶 200 km 后，油箱内还剩多少油？
(4)当油箱内还剩 24 L 油时，已经行驶了多远？
例 6
知4－练
(1)写出 y 与 x 之间的函数表达式 .
(2)写出自变量 x 的取值范围 .
解题秘方：根据等量关系列出函数表达式；
解： y 与 x 之 间 的函 数 表 达 式 为 y= 48－0 .0 6x，
即 y=－ 0 .0 6x+48 .
解题秘方：根据实际意义求自变量的取值范围；
油箱内有油 48 L，全部耗完需要 48÷ 0.06=800(km)，
故自变量的取值范围是 0 ≤ x ≤ 800.
知4－练
(3)行驶 200 km 后，油箱内还剩多少油？
(4)当油箱内还剩 24 L 油时，已经行驶了多远？
解题秘方：求当 x=10 时的函数值；
解： 将 x=200 代入函数表达式，得 y=－0.06× 200+ 48=36.
答：行驶 2 0 0 km 后，油箱内还剩 36 L 油 .
解题秘方：求当 y=24 时自变量的值 .
当 y=24 时，由 - 0 .0 6x+48=24，得 x= 4 0 0 .
答：当油箱内还剩 24 L 油时，已经行驶了 4 0 0 km.
知4－练
6-1. [月考· 阜阳] 已知一长方体蓄水池的体积为700 m3， 其底部是边长为10 m 的正方形， 经测得现有水的高度为2 m，现打开进水阀， 每小时可注入水40 m3.
(1)写出水池中水的体积V(m3) 与时间t(h)之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围)；
知4－练
解：由已知条件知，现有水的体积为10×10×2＝200(m3)，
故水池中水的体积V(m3)与时间t(h)之间的函数关系式为V＝40t＋200.
池中还可蓄水700－200＝500(m3)，注水速度为
40 m3/h，注满需500÷40＝12.5(h)．
故自变量t的取值范围是0≤t≤12.5.
知4－练
(2)5h后，水池中水的体积是多少立方米？
解：当t＝5时，V＝40×5＋200＝400，
故5 h后，水池中水的体积是400 m3.
知5－讲
知识点
函数的图象及画法
5
1. 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．
知5－讲
2. 函数图象的画法步骤
(1)列表：列表给出自变量和函数的一些对应值.
(2) 描点：以表中各组对应值为坐标, 在坐标平面内描出相应的点.
(3)连线：按照自变量由小到大的顺序, 把所描各点用平滑曲线依次连接起来.
注意：(1)描出的点越多，所得的图象越准确；
(2)在画图象时, 应考虑自变量的取值范围.
知5－讲
特别提醒
1. 函数图象上的任意点P(x，y)中的x，y都满足函数表达式.
2. 满足函数表达式的任意一个有序实数对(x，y)所对应的点一定在函数的图象上.
知5－讲
判断点是否在函数图象上的方法：
要判断点P(x，y)是否在某一函数的图象上，只需把x的值代入该函数的表达式，如果所求得的函数值与y的值相等，那么这个点就在该函数的图象上，否则就不在该函数的图象上.
知5－讲
[母题 教材 P30 练习 T2 ]已知函数y＝2x－1.
(1)画出此函数的图象；
(2)试判断点A(－1，3)和点B(，－)是否在此函数的图象上；
(3)已知点C(a，a＋1)在此函数的图象上，求a的值.
例 7
知5－讲
解题秘方：紧扣“函数图象的画法步骤”进行作图，并利用函数图象上的所有点的坐标满足函数表达式进行解答.
知5－讲
(1)画出此函数的图象；
解：列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －7 －5 －3 －1 1 3 5 …
描点、连线就得到函数y＝2x－1 的图象
(如图12.1-2).
知5－讲
(2)试判断点A(－1，3)和点B(，－)是否在此函数的图象上；
解：因为当x＝－1 时，y＝－3 ≠ 3，
所以点A不在函数y＝2x－1 的图象上.
因为当x＝时，y＝2×－1＝－，
所以点B在函数y＝2x－1的图象上.
知5－讲
(3)已知点C(a，a＋1)在此函数的图象上，求a的值.
解：因为点C(a，a＋1) 在函数y＝2x－1的图象上，
所以把x＝a，y＝a＋1 代入y＝2x－1，
得a＋1＝2a－1. 解得a＝2 .
知5－讲
7-1. 已知函数y＝－2x＋4.
(1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
解：列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y＝－2x＋4 … 4 2 0 －2 …
描点、连线得到函数y＝－2x＋4的图象如图所示．
知5－讲
(2)若点P(－2，p)和点Q(－5，q)都在函数y＝－2x＋4 的图象上，试比较p，q的大小，并说明理由.
解：p将点P(－2，p)和点Q(－5，q)的坐标分别代入y＝－2x＋4，得p＝(－2)×(－2)＋4＝8，
q＝(－2)×(－5)＋4＝14，所以p函数
函数
画函
数图
象的
步骤
常量
变量
自变量
因变量
函数值
列表法
解析法
图象法

展开更多......

收起↑