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二〇二五年初中学业水平考试（中考）模拟
数学试题（三）
注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3. 非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每题只有一个选项符合题目要求。
1. 下列各数中最大的是（ ）
A. 22 B. |－3| C. D. 50
2. 中国是全球可再生能源领域的引领者，近年来在风能、太阳能、水电、储能技术等方面取得显著进展，为全球可持续发展提供了“中国方案”。2024年全国可再生能源新增装机3.7亿千瓦，将3.7亿用科学记数法表示应为（ ）
A. 3.7×106 B. 37×107 C. 3.7×108 D. 0.37×109
3. 下列各个立体图形的主视图是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若点P(a＋1，a－1)在第四象限，那么a的取值范围是（ ）
A. －1 < a < 1且a≠0 B. －1 < a < 1 C. a >－1 D. a < 1
5. 下列运算正确的是（ ）
A. a5＋a4＝a9 B. (－a2b3)2＝a4b5 C. 2a2b3 3ab2＝6a3b5 D. a6÷a2＝a3
6. “孔子周游列国” 是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（ ）
A. ＋1 B. ＋1 C. －1 D.
7. 如图，直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P(－2，1)，则关于x的不等式(1－k)x+(b+1)<0的解集为（ ）
A. x >－2 B. x <－2 C. x > 1 D. x < 1
8. 如图，已知∠B＝90°，∠DAB＝55°，∠CAB＝45°，AB＝a，则CD的长是（ ）
A. a cos55°－a B. a sin55°－a C. a tan55°－a D. a－a
9. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（ ）
A. 15 B. 215 C. 25 D. 8
10. 如图，△ABC与正方形BCDE的一条边BC重合，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将正方形BCDE沿CA向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形BCDE与△ABC重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。只要求填写最后的结果。
11. 若mn＝2，m－n＝－1，则代数式m2n－mn2的值是________．
12. 用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为________．
13. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率＝________．
14. 如图，点A为反比例函数y＝－(x < 0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例y＝(x > 0)的图象交于点B，则的值＝________．
15. 下列一组方程：①x＋＝3，②x＋＝5，③x＋＝7，s小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为x1＝1，x2＝2；第②个方程的解为x1＝2，x2＝3；第③个方程的解为x1＝3，x2＝4，若n为正整数，且关于x的方程x＋＝2n-2的一个解是x＝7，则n的值等于________．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（8分）（1）计算：(－2)-1＋2tan60°－＋(π－3.14)0；
（2）先化简()÷，再选择恰当的数代入求值．
17.（8分）为了加强体育锻炼，增强学生的体质．某校在课后活动中组织九年级学生掷铅球测试，每人掷4次，每一次达到中学生国家体育标准计1分．随机抽取了a名学生的4次测试成绩，将收集到的数据整理统计．以下是抽取的测试成绩频数分布表和扇形统计图的部分信息．
成绩（分） 频数
4 12
3 b
2 15
1
0 6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝________，b＝________；
（2）抽取学生成绩是1分的百分比是多少？
（3）若该校九年级有800名学生参加测试，统计得分超过2分的学生约有多少人？
18.（8分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度i＝1:2时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
19.（8分）如图1，在△ABC纸片中，∠ABC＝90°，将该纸片折叠，使得点C的对应点P落在AB边上且OP⊥AB，折痕为OM．
（1）若BC＝8，BM＝3，求OP的长；
（2）请在图2中探究思考，用无刻度的直尺和圆规作出符合题意的折痕OM．（不需要写出作法，但要保留作图痕迹）
20.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(2，4)，B(a，－2)两点，与x轴相交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出当y1≤y2时，x的取值范围．
21.（10分）如图，AM，BN是⊙O的切线，切点为A、B，AM∥BN，点D，C分别是AM，BN上的点，OD平分∠ADC，⊙O的半径是6，设AD＝x，BC＝y．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）梯形ABCD的面积为78cm2，求AD的长．
22.（10分）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是1 < AD < 5．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE＋CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
23.（13分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交于点A(-1，0)和点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P，对称轴与x轴交于点Q．
（1）求抛物线的表达式，并写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点C'的坐标；
（2）点M是线段AC'上的一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．
①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段PQ的中点，并说明理由；
②当线段MN最长时，求点M的坐标．
22025 年单县初中学业水平测试数学模拟试卷（三）
参考答案
阅卷须知：
1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考
生将主要过程正确写出即可.
2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.
3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数
一.选择题（每题 3 分，共 10 小题，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B C A B C B D
二.填空题（每题 3 分，共 5 小题，共 15 分）
1
11 1． ﹣2 ．12．5 ．13． ．14． ．15．9或 10．
3 2
三.解答题（共 8 小题，共 75 分）
16．（8分）解：（1）( 2) 1 + 2 60° 27 + ( 3.14)0
1
＝（ 2）+2 3 3 3 +1
= 12 3；
+1 3 1
（2）原式 = ( +1)( 1) ( +2)( 2)
= 2
1
( +1)( 1) ( +2)( 2)
= 1( +1)( +2)
= 1 2+3 +2，
∵当 x＝±1或±2时，原分式无意义，
∴x可以取除这四个值之外的任意一个值，
1
例如 x＝0时，原式=
2
17 8 15．（ 分）解：（1）依题意， = 25% = 60（人），b＝60×30%＝18（人），
故答案为：60，18；
（2）60﹣12﹣18﹣15﹣6＝9（人），
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9
∴ × 100% = 15%，
60
即抽取学生成绩是 1分的百分比是 15%；
18+12
（3）得分超过 2分的学生的占比乘以 800可得：800 × 60 = 400（人），
答：估计得分超过 2分的学生人数为 400人．
18．（8分）解：（1）由题意，∠PBQ＝∠TPB＝60°，
∵∠PQB＝90°，
∴∠BPQ＝30°，
3
∴BQ＝PQ tan30°＝9× 3 =3 3（米）．
（2）如图，过点 A作 AM⊥QB于 M，AH⊥PQ于 H．
由题意，∠PAH＝∠TPA＝30°，
设 AM＝a米，则 BM＝2 3a米，
∵∠AHQ＝∠HQM＝∠AMQ＝90°，
∴四边形 AHQM是矩形，
∴AH＝QM＝（3 3 +2 3a）米，QH＝AM＝a米，PH＝PQ﹣HQ＝（9﹣a）米，
Rt APH tan PAH= 在 △ 中， ∠ ，
3 9
∴ = ，
3 3 3+2 3
解得 a＝2，
∴AM＝2（米），BM＝4 3（米），
∴AB= 2 + 2 = 22 + (4 3)2 =2 13（米）．
答：电子眼区间测速路段 AB的长 2 13米．
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19．（8分）解：（1）连接 PM，PC，交 MO于点 N，
由翻折的性质可得，OC＝OP，PM＝CM，OM⊥CP，
∴∠OPC＝∠OCP，
∵OP⊥AB，
∴∠APO＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∴OPC＝∠PCM，
∴∠OCP＝∠PCM，
∴OC＝CM，
∴OC＝OP＝CM＝PM，
∴四边形 COPM为菱形．
∵BC＝8，BM＝3，
∴CM＝5，
∴OP＝5．
（2）如图，直线 OM即为所求的折痕．
20．（10 分）解：（1）∵一次函数 y1＝kx+b（k 0

≠ ）的图象与反比例函数 2 = ( ≠ 0)的图象相交于第
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一、三象限内的 A（2，4），B（a，﹣2）两点，
∴m＝2×4＝a×（﹣2），
∴m＝8，a＝﹣4，
8
∴反比例函数解析式为 y= ，
∵A（2，4），B（﹣4，﹣2）在一次函数 y1＝kx+b（k≠0）的图象上，
2 + = 4 = 1
4 + = 2，解得 = 2，
∴一次函数解析式为 y＝x+2；
（2）如图，连接 OA、OB，
在一次函数 y＝x+2中，当 y＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），即 OC＝2，
∴S 1 1△AOB＝S△AOC+S△BOC= 2 × 2 × 4 + 2 × 2 × 2 =6；
（3）当 y1≤y2时，x的取值范围为：0＜x≤2或 x≤﹣4．
21．（10分）（1）证明：，AM，BN是⊙O的切线，OD平分∠ADC，如图 1，过点 O作 OE⊥CD于点 E，
则∠OED＝90°，
∴∠OAD＝90°，∠ADO＝∠EDO，
在△OAD和△OED中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
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∴△OAD≌△OED（AAS），
∴OA＝OE，
∵OA是⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：AM，BN，CD是⊙O的切线，⊙O的半径是 6，如图 2，过点 D作 DF⊥BC于点 F，
∴∠MAO＝∠NBO＝90°，
∴四边形 ABFD是矩形，
∴DF＝AB＝2r＝12，
由切线长定理得：AD＝DE，CB＝CE，
∵AD＝x，BC＝y，
∴CF＝BC﹣BF＝y﹣x，CD＝x+y，
在 Rt△DCF中，CD2＝DF2+CF2，即（x+y）2＝122+（y﹣x）2，
36
化简得 = ( ＞0)；
3 ( + )× （ ）解：∵梯形 ABCD是直角梯形，则 梯形 =
2
2 = 78cm ，
设 AD＝x，由（2 36）可知 = ，
( +36 )×12
∴ = 78，
2
化简得 x2﹣13x+36＝0，
解得 x＝4或 x＝9，
∴AD长为 4cm或 9cm．
22.（10分）解：（2）BE+CF＞EF，
证明：延长 FD至点 M，使 DM＝DF，连接 BM、EM，如图②所示．
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同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：
BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．
（3）AF+CF＝AB．
证明：如图③，延长 AE，DF交于点 G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中，
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
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23．（13分）解：（1）将点 A（﹣1，0）代入 y＝﹣x2+bx+3 中，
得：0＝﹣1﹣b+3，
解得：b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝1，点 C关于对称轴的对称点 C′的坐标为（2，3）；
（2）①点 M是线段 PQ的中点，理由如下：
由点 A、C′的坐标得：直线 AC′的解析式为 y＝x+1，
当 x＝1时，y＝2，
∴此时点 M的坐标为（1，2），
对于 y＝﹣x2+2x+3，当 x＝1时，y＝4，
∴点 P的坐标为（1，4），
∴点 M为线段 PQ的中点；
②∵MN⊥x轴，
∴MN＝﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，
当 x= 12时，MN最长，
1
将 x= 2代入 y＝x+1，
得：y= 32
1 3
∴当线段 MN最长时，点 M的坐标为（ ， ）．
2 2
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