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第3章 一次方程与方程组 综合素质评价
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2．已知，下列等式变形不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3．方程去分母正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知有理数，满足方程组则的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
5．由方程组，可得出与的关系式是（ ）
A. B. C. D.
6．第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市成功举办，赛事前对原有设施进行维修改造.甲工程队单独做需8天完成，乙工程队单独做需10天完成.现在由甲工程队先做3天，然后甲工程队和乙工程队合作共同完成.若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7．如图是2025年1月的月历表，用“”型框框中5个数（如阴影部分所示），移动“”型框，若框中的五个数的和是126，则框中的五个数中，最小的数是（ ）
A. 15 B. 19 C. 20 D. 22
8．已知方程组的解,互为相反数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9．[［2025南阳月考］]如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数，，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注问号的圆圈中的数应是（ ）
A. 122 B. 66 C. 178 D. 以上都错误
10．已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若方程是关于，的二元一次方程，则的值为_ _ _ _ .
12．[［2024贵州］]在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是.
13．按下面的程序计算：
若输入的为正整数，输出结果是133，则满足条件的的值是 _ _ _ _ _ _ .
14．[［2025六安期末］]在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且,满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“久久方程”.例如：一元一次方程的解是，即，方程的所有解是或，当时,，所以为一元一次方程的“久久方程”.
（1） 已知关于的方程：，，其中哪个方程是一元一次方程的“久久方程”？请直接写出正确的序号:_ _ _ _ ；
（2） 若关于的方程是关于的一元一次方程的“久久方程”，则的值为_ _ _ _ _ _ .
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程组：
（1）
（2）
小7．清代诗人徐子云曾写过一首诗：
巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧.
三百六十四只碗，看看用尽不差争.
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹.
请问先生明算者，算来寺内几多僧.
意思是：山林中有一座古寺，不知道寺内有多少僧人.已知一共有364只碗，刚好能够用完.每三个僧人一起吃一碗饭，每四个僧人一起吃一碗羹.请问寺内一共有多少个僧人？请解答上述问题.
18．若关于，的二元一次方程组与有相同的解.
（1） 求，的值；
（2） 求的值.
污旧比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
两，即.
（1） 若，求的值；
（2） 若，求的值.
六、（本题满分12分）
21．[［2025杭州月考］]规定：形如关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组.
（1） 若关于，的方程组为共轭方程组，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ .
（2） 若方程中，的值满足下表，求方程的共轭二元一次方程.
0
0 2
（3） 若共轭方程组的解是请直接写出与的数量关系.
七、（本题满分12分）
22．【情境导入】 某服装成本为每件100元，售价为每件120元，则利润为每件元；
【课本再现】 下面是北师大版数学教科书七年级上册第160页的部分内容：
某商店出售两件衣服，每件售60元，其中一件赚，而另一件赔，商店卖出这两件衣服是赚了，还是赔了，或者不赚也不赔呢？
回答：_ _ （填“赚了”“赔了”或“不赚不赔”）；
【解决问题】 七年级实践小组去水果店调查，了解到水果店以每箱100元的价格购进了250箱水果，定价为每箱200元，水果店在市场调研后设计了两种方案：
方案一是全部按定价销售，但最终会有50箱水果因销售不及时坏掉，所以导致这50箱赔本；
方案二是先以定价销售一部分水果后，将剩下的水果在定价的基础上每箱降价销售，最终可以销售完毕.
已知方案二比方案一利润多4 000元，请你算一算方案二中降价前共售出多少箱？
八、（本题满分14分）
23．[［2025滁州期末］]将两个完全相同的长方形，按如图所示的方式放置在数轴上.
（1） 若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数.
（2） 若长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上相向而行，设两个长方形重叠部分的面积为，移动时间为秒.
① 在整个运动过程中，的最大值是多少？持续时间为多少秒？
② 当是长方形的面积的一半时，求的值.
第3章 一次方程与方程组 综合素质评价 答案版
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．已知，下列等式变形不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
3．方程去分母正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
4．已知有理数，满足方程组则的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
5．由方程组，可得出与的关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6．第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市成功举办，赛事前对原有设施进行维修改造.甲工程队单独做需8天完成，乙工程队单独做需10天完成.现在由甲工程队先做3天，然后甲工程队和乙工程队合作共同完成.若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
7．如图是2025年1月的月历表，用“”型框框中5个数（如阴影部分所示），移动“”型框，若框中的五个数的和是126，则框中的五个数中，最小的数是（ ）
A. 15 B. 19 C. 20 D. 22
【答案】C
8．已知方程组的解,互为相反数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
9．[［2025南阳月考］]如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数，，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注问号的圆圈中的数应是（ ）
A. 122 B. 66 C. 178 D. 以上都错误
【答案】A
【点拨】根据题意可得，解得所以顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数）转换后得到下一个圆圈中的数，当时，，即标注问号的圆圈中的数应是122.
10．已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【点拨】方程可变形为.又因为关于的一元一次方程的解是，所以，解得.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若方程是关于，的二元一次方程，则的值为_ _ _ _ .
【答案】1
12．[［2024贵州］]在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是.
【答案】20
13．按下面的程序计算：
若输入的为正整数，输出结果是133，则满足条件的的值是 _ _ _ _ _ _ .
【答案】46或17
14．[［2025六安期末］]在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且,满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“久久方程”.例如：一元一次方程的解是，即，方程的所有解是或，当时,，所以为一元一次方程的“久久方程”.
（1） 已知关于的方程：，，其中哪个方程是一元一次方程的“久久方程”？请直接写出正确的序号:_ _ _ _ ；
（2） 若关于的方程是关于的一元一次方程的“久久方程”，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ②
（2） 48或47
【解析】
（1） 【点拨】解，得；解，得；解，得，而,，所以是一元一次方程的“久久方程”；
（2） 【点拨】因为，所以或，解得或；对于，解得；当时，，解得；当时，，解得.综上，或47.
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程组：
（1）
（2）
【答案】
（1） 【解】变形，得
，得，解得.
把代入②，得，解得.
所以原方程组的解为
（2）
，得，④
，得，即，⑤
，得.
把代入⑤，解得.
把，代入①，解得.
所以原方程组的解为
16．已知关于的方程与的解相同，求的值.
【解】解第一个方程，得，
解第二个方程，得.
所以，解得.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．清代诗人徐子云曾写过一首诗：
巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧.
三百六十四只碗，看看用尽不差争.
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹.
请问先生明算者，算来寺内几多僧.
意思是：山林中有一座古寺，不知道寺内有多少僧人.已知一共有364只碗，刚好能够用完.每三个僧人一起吃一碗饭，每四个僧人一起吃一碗羹.请问寺内一共有多少个僧人？请解答上述问题.
【解】设寺内有个僧人，
由题意得，解得.
答：寺内一共有624个僧人.
18．若关于，的二元一次方程组与有相同的解.
（1） 求，的值；
（2） 求的值.
【答案】（1） 【解】因为关于，的二元一次方程组与有相同的解，所以的解即为两个方程组的解，解得
（2） 因为所以解得
所以.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．[［2024山西］]当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
【解】设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克，
根据题意，得解得
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1 000克.
20．若一个两位数十位、个位上的数字分别为，，我们可将这个两位数记为，即.
（1） 若，求的值；
（2） 若，求的值.
【答案】
（1） 【解】因为，，
所以.所以.
（2） 因为，，
所以.
所以.所以.
所以，或，或，.
所以或22或31.
六、（本题满分12分）
21．[［2025杭州月考］]规定：形如关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组.
（1） 若关于，的方程组为共轭方程组，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ .
（2） 若方程中，的值满足下表，求方程的共轭二元一次方程.
0
0 2
（3） 若共轭方程组的解是请直接写出与的数量关系.
【答案】（1） 1；1
（2） 【解】由题意得解得
所以原方程为，
所以这个方程的共轭二元一次方程是；
（3） 与的数量关系为.
【解析】
（3） 【点拨】将代入得
所以，
所以，则，
因为，所以.
七、（本题满分12分）
22．
【情境导入】 某服装成本为每件100元，售价为每件120元，则利润为每件元；
【课本再现】 下面是北师大版数学教科书七年级上册第160页的部分内容：
某商店出售两件衣服，每件售60元，其中一件赚，而另一件赔，商店卖出这两件衣服是赚了，还是赔了，或者不赚也不赔呢？
回答：_ _ （填“赚了”“赔了”或“不赚不赔”）；
【解决问题】 七年级实践小组去水果店调查，了解到水果店以每箱100元的价格购进了250箱水果，定价为每箱200元，水果店在市场调研后设计了两种方案：
方案一是全部按定价销售，但最终会有50箱水果因销售不及时坏掉，所以导致这50箱赔本；
方案二是先以定价销售一部分水果后，将剩下的水果在定价的基础上每箱降价销售，最终可以销售完毕.
已知方案二比方案一利润多4 000元，请你算一算方案二中降价前共售出多少箱？
【情境导入】 20
【课本再现】 赔了
【解决问题】 方案一的利润为（元），
则方案二的利润为（元），
设方案二中降价前共售出箱，
根据题意，得，解得.
答：方案二中降价前共售出100箱.
【课本再现】 【点拨】设赚了的那件衣服成本为元，赔了的衣服成本为元，
根据题意，得，，
解得，，
（元），
所以商店卖出这两件衣服是赔了.
八、（本题满分14分）
23．[［2025滁州期末］]将两个完全相同的长方形，按如图所示的方式放置在数轴上.
（1） 若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数.
（2） 若长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上相向而行，设两个长方形重叠部分的面积为，移动时间为秒.
① 在整个运动过程中，的最大值是多少？持续时间为多少秒？
② 当是长方形的面积的一半时，求的值.
【答案】
（1） 【解】由题图可得，
设，则.
因为，所以，解得，
因为，所以点表示的数为1.
（2） ① 由题图可得，
因为长方形，完全相同，
所以.
从点和点重合，到点和点重合时，重叠部分面积最大，.
因为，，长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上相向而行，
所以，解得，
综上，的最大值为16，持续时间为秒.
② 因为，，
所以长方形的面积为.
当是长方形的面积的一半时，.
当在,之间时，如图①，
因为，，所以，
所以，解得，
当点在,之间时，如图②，
同理可得，
所以，解得.
综上可得，的值为或4.
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