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第4章 几何图形初步 综合素质评价
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A. B.
C. D.
2．中华武术是中国传统文化之一，是中华民族在日常生活中结合社会哲学、中医学、伦理学、兵学、美学、气功等多种传统文化思想和文化观念逐步形成的独具民族风貌的运动项目.“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ）
A. 点动成线，线动成面 B. 线动成面，面动成体
C. 点动成线，面动成体 D. 点动成面，面动成线
3．下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A. 如图①，延长线段到点
B. 如图②，点在射线上
C. 如图③，直线的延长线与直线的延长线相交于点
D. 如图④，射线和线段没有交点
4．如图所示，点是线段上的一点，点是线段的中点，若，，则（ ）
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
5．如图，下列说法中错误的是（ ）
（第5题）
A. 的方向是北偏东 B. 的方向是北偏西
C. 的方向是南偏西 D. 的方向是东南方向
6．[［2024广西］]如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
（第6题）
A. B. C. D.
7．如图，平分，则等于（ ）
（第7题）
A. B. C. D.
8．如图，，，，则（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
9．点在射线上，当或时，称点是射线的超级点.已知点是射线的超级点，若，则的长度不可能是（ ）
A. 18 B. 12 C. 6 D. 3
10．已知，，三点在同一条直线上，则下列条件：；；；.其中可以判断点是线段中点的有（ ）
A. ③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．数学源于生活，寓于生活，用于生活，在修建公路时，有时需将弯曲的道路改直，其依据是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
12．一个角的补角为，则这个角的余角是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
13．[［2024贵州］]如图，在三角形中，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，连接.若，则的长为_ _ _ _ .
14．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点，，分别将，沿点，折叠，点，分别落在绳子上的点，处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）.
（1） 当点与点恰好重合时，_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 当时，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
（1） ；
（2） .
16．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大 ，求这个角的度数.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．尺规作图：已知 ， ，求作，使得 .（不写作法，但要保留作图痕迹）
18．如图，为线段上一点，点为的中点，且，，求的长.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，已知，两点把线段分成三部分，点为的中点，，求和的长.
20．如图，已知 ，是内部的一条射线，且.
（1） 求的度数；
（2） 过点作射线，使得，求的度数.
六、（本题满分12分）
21．[［2025安庆校级期末］]综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.
【操作探究】 （1）综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图①中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成一个无盖的正方体纸盒；
【问题解决】 （2）图②是综合实践小组的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后与有“卫”字一面相对的面上的字是_ _ _ _ _ _ ；（字在盒外）
【拓展探究】 （3）如图③，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成一个无盖长方体纸盒.当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积.（纸张厚度忽略不计）
七、（本题满分12分）
22．欧拉公式讲述的是多面体的顶点数、面数、棱数之间存在的等量关系.
（1） 如图，通过观察图中几何体，完成下列表格：
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4 _ _
五面体 5 _ _ 8
六面体 8 6
（2） 通过对如图所示的多面体的归纳，请你补全欧拉公式：_ _ _ _ .
【实际应用】
（3） 足球一般由32块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形.如果我们近似地把足球看成一个多面体.你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程.
八、（本题满分14分）
23．如图①，以直线上一点为端点在上方作射线，使 ，将一个含 角的三角板的直角顶点放在点处，一条直角边与直线重合.
（1） ；
（2） 如图②，将三角板绕点按顺时针方向旋转，若恰好平分，则_ _ _ _ _ _ ；
（3） 将三角板绕点按顺时针方向旋转，如果 ，,求的度数.
第4章 几何图形初步 综合素质评价 答案版
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2．中华武术是中国传统文化之一，是中华民族在日常生活中结合社会哲学、中医学、伦理学、兵学、美学、气功等多种传统文化思想和文化观念逐步形成的独具民族风貌的运动项目.“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ）
A. 点动成线，线动成面 B. 线动成面，面动成体
C. 点动成线，面动成体 D. 点动成面，面动成线
【答案】A
3．下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A. 如图①，延长线段到点
B. 如图②，点在射线上
C. 如图③，直线的延长线与直线的延长线相交于点
D. 如图④，射线和线段没有交点
【答案】D
4．如图所示，点是线段上的一点，点是线段的中点，若，，则（ ）
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
【答案】B
5．如图，下列说法中错误的是（ ）
（第5题）
A. 的方向是北偏东 B. 的方向是北偏西
C. 的方向是南偏西 D. 的方向是东南方向
【答案】A
6．[［2024广西］]如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
（第6题）
A. B. C. D.
【答案】C
7．如图，平分，则等于（ ）
（第7题）
A. B. C. D.
【答案】A
8．如图，，，，则（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
【答案】B
9．点在射线上，当或时，称点是射线的超级点.已知点是射线的超级点，若，则的长度不可能是（ ）
A. 18 B. 12 C. 6 D. 3
【答案】B
【点拨】当时，如图①,因为，
所以.
当且点在线段上时，如图②，
则.
当且点在的延长线上时，如图③，
则.
综上，或6或18.故选.
10．已知，，三点在同一条直线上，则下列条件：；；；.其中可以判断点是线段中点的有（ ）
A. ③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】A
【点拨】①当时，点不一定是线段的中点，故①错误；②当时，点不一定在线段上，故②错误；③当时，点一定是线段的中点，故③正确；④当时，点不一定在线段上，故④错误.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．数学源于生活，寓于生活，用于生活，在修建公路时，有时需将弯曲的道路改直，其依据是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】两点之间的所有连线中，线段最短
12．一个角的补角为，则这个角的余角是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
13．[［2024贵州］]如图，在三角形中，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，连接.若，则的长为_ _ _ _ .
【答案】5
14．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点，，分别将，沿点，折叠，点，分别落在绳子上的点，处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）.
（1） 当点与点恰好重合时，_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 当时，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
（1） 【点拨】由折叠的性质，得,,所以当点与点恰好重合时，.
（2） 当点落在点的左侧时，如图①，
由折叠的性质，得,.
因为，，
所以.
所以，
所以.
当点落在点的右侧时，如图②，
由折叠的性质，得,.
因为,
所以,
所以.
综上，或.
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 【解】原式.
（2） 原式.
16．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大 ，求这个角的度数.
【解】设这个角是 ，
则这个角的余角是 ，补角是 ，
根据题意，得，解得.
所以这个角的度数为 .
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．尺规作图：已知 ， ，求作，使得 .（不写作法，但要保留作图痕迹）
【解】如图，为所作.
18．如图，为线段上一点，点为的中点，且，，求的长.
【解】因为点为的中点，，
所以，所以.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，已知，两点把线段分成三部分，点为的中点，，求和的长.
【解】设，则，，
所以.
因为点是的中点，所以.
因为，所以，所以.
所以，.
20．如图，已知 ，是内部的一条射线，且.
（1） 求的度数；
（2） 过点作射线，使得，求的度数.
【答案】
（1） 【解】因为，
，
所以 .
（2） 因为，所以 .
当在内部时，
;
当在外部时，
.
综上，的度数为 或 .
六、（本题满分12分）
21．[［2025安庆校级期末］]综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.
【操作探究】 （1）综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图①中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成一个无盖的正方体纸盒；
【问题解决】 （2）图②是综合实践小组的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后与有“卫”字一面相对的面上的字是_ _ _ _ _ _ ；（字在盒外）
【拓展探究】 （3）如图③，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成一个无盖长方体纸盒.当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积.（纸张厚度忽略不计）
【操作探究】 （1）【解】画图如下（答案不唯一）.
【问题解决】 （2）“大”
【拓展探究】 （3）纸盒的容积.
答：纸盒的容积为.
七、（本题满分12分）
22．欧拉公式讲述的是多面体的顶点数、面数、棱数之间存在的等量关系.
（1） 如图，通过观察图中几何体，完成下列表格：
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4 _ _
五面体 5 _ _ 8
六面体 8 6
（2） 通过对如图所示的多面体的归纳，请你补全欧拉公式：_ _ _ _ .
【实际应用】
（3） 足球一般由32块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形.如果我们近似地把足球看成一个多面体.你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程.
【答案】（1） 6；5；12
（2） 2
（3） 【解】设正五边形有块，则正六边形有块，
则，，
，
根据欧拉公式得，
则，
解得，，
所以，这个多面体中正五边形有12块，正六边形有20块.
【解析】
（1） 填表如下：
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4 6
五面体 5 5 8
六面体 8 6 12
八、（本题满分14分）
23．如图①，以直线上一点为端点在上方作射线，使 ，将一个含 角的三角板的直角顶点放在点处，一条直角边与直线重合.
（1） ；
（2） 如图②，将三角板绕点按顺时针方向旋转，若恰好平分，则_ _ _ _ _ _ ；
（3） 将三角板绕点按顺时针方向旋转，如果 ，,求的度数.
【答案】（1） 25
（2）
（3） 【解】①如图，当在内部时，设 ，则 ，所以.因为 ，所以 ，解得 ，即 .
②如图，当在内部，在上方时，
设 ，则 ，.因为 ，所以 ，解得 ，即 .此时 ，与题设矛盾，舍去.
③如图，当在内部，在下方时，
设 ，则 ，
所以.
因为，
所以，解得 ，即 .
综上，的度数为 或 .
【解析】
（1） 【点拨】 .
（2） 【点拨】因为恰好平分 ，所以 ，所以 .
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