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2024-2025 学年浙江省金华市高一下学期 5 月四校联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足 (1 + ) = 1 ，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 22 D. 2
2.下列说法正确的是( )
A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
D.棱台的侧棱都相等
3.设 ， 是不同的直线， , 是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )
A.若 // , ,则 // B.若 ⊥ , // ,则 ⊥
C.若 // , // ,则 // D.若 // , , ,则 //
4.已知| | = 1, ( + ) = 2，则| |的范围为( )
A. [1, + ∞) B. [0,2] C. [2, + ∞) D. [1,2]
5.已知函数 ( ) = 2( + 1 + 2) + 2，若 ( 2 3) + (3 1) > 4，则实数 的取值范围为( )
A. ( 4,1) B. ( ∞, 4) ∪ (1, + ∞)
C. ( 3 17 , 3+ 172 2 ) D. ( 1,3)
6.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， cos = 3 cos ，则 的最大值为( )
A. B. C. 6 4 3 D.
5
12
7.在直三棱柱 1 1 1中，点 ， ， 满足： 1 = ，2 1 = ， 1 = ，则下列说法正确
的是( )
A.三棱锥 1 体积为定值
B.三棱锥 1 体积为定值
C.当 = 1 时，三棱柱被截面 分成的上下两部分体积相等
D.当 = 3 时，三棱柱被截面 分成的上下两部分体积相等
8.三棱锥 中．设∠ = ，∠ = ，∠ = ，二面角 的平面角大小为 ，则一定
成立的是( )
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A. cos = cos cos cos cos +cos cos sin sin B. cos = sin sin
C. cos = sin sin sin cos cos D. cos =
sin +sin sin
cos cos
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从某小区抽取 100 户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在 50 650 之间，进行
适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，以下选项正确的有( )
A. = 0.0022
B.本组样本的众数为 250
C.本组样本的第 45 百分位数是 300
D.用电量落在区间[150,550)内的户数为 82
10.抽样调查得到 10 个样本数据，记作 1, 2, , 10，计算得平均数 = 7，方差 2 = 2，现去掉一个最大值
10，和一个最小值 4 后，对新数据下列说法正确的是( )
A.极差变大 B.中位数不变 C.方差变大 D.平均数不变
11.勒洛四面体是德国机械学家勒洛(1829～1905)首先研究发现的，它能在两个平行平面间自由转动，并且
始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球
心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体 的棱长为 2，
则下列说法正确的是( )
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A.勒洛四面体 被平面 截得的截面面积是 8 3
B.勒洛四面体 内切球的半径是 4 6
C.勒洛四面体的截面面积的最大值为 2 2 3
D. 6勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知一个圆锥的高为 2，且轴截面为等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 ．
13.三棱锥 中， = 4， = = 3， = = 5，∠ = 60°，则三棱锥 外接球的
表面积为 ．
14. 满足 sin sin = sin2 sin +sin ，则 sin 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,2)， 满足 ( ) = 0．
(1)求| |最小值；
(2)若| | = 3，求向量 的坐标表示．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 ( + 2 ) + (

6 ),．
(1)若 ( ) = 0，求 的值；
(2)若 ∈ 0, 2 ，求函数 ( )的值域．
17.(本小题 15 分)
已知三角形 中， = 2， = 4，∠ = 120°， 为 边上的高， 为 边上的中线， 为∠ 的平
分线，( , , 为 边上的点)．
(1)求 的长；
(2)若 = + ，求 , 的值；
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，侧面 ⊥底面 ，底面 为矩形， = ， 为 的中点， ⊥ ．
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(1)求证： ⊥ ；
(2)若 上存在点 ，使得 //平面 ，求 的值
(3)若 与平面 6所成角的正弦值为 3 ， = 2，求四棱锥的 的体积．
19.(本小题 17 分)
已知正三棱台 1 1 1，点 ， ， 分别在 1 ， 1 ， 上，且 2 1 = ， 1 = 2 ， = 3 ，
= 4 1 1 = 4， 1 = 3
(1)求过点 、 、 的平面截正三棱台 1 1 1的截面周长；
(2)求直线 与平面 1 1所成的角的正弦值；
(3)求二面角 平面角的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4 2
13.28
14. 2, 5
15.解：(1)设 和 的夹角为 ，
由题意，得| | = 12 + 22 = 5，
因为 ( ) = 2 = 5 5| |cos = 0，
5
则 = cos ≤ 1，| |
所以| | 5，即| |最小值为 5；
(2)设 = ( , )，
由 ( ) = 0，可得 + 2 = 5，
由| | = 3，可得 2 + 2 = 9，
4 5 4 5
+ 2 = 5 = 1 5 = 1 +即 5 2 + 2 = 9，解得： 或 ， = 2 + 2 55 = 2
2 5
5
= 1 4 5 , 2 + 2 5 = 1+ 4 5 , 2 2 5则 5 5 或 5 5 ．
16.解(1) ( ) = 3sin( + ) + cos( 2 6 ) = 3cos +
3 1
2 + 2 sin
= 3 32 cos +
1
2 sin = 7sin( + )，(其中 tan = 3 3)，
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由 ( ) = 3 32 cos +
1
2 sin = 0，可得 tan = 3 3；
(2) ( ) = 7sin( + )(其中 tan = 3 3)，
由 ∈ (0, 2 ) + ∈ ( , 2 + )，
∵ ∈ (0, 2 )，又 sin =
3 21
14 > sin(

2 + ) = cos =
7
14，
∴ ( ) = 7sin( + ) > 7 × 714 =
1
2，
∴ ( ) = 7sin( + ) ≤ 7 1，即 ( ) ∈ ( 2 , 7]，
故 ( ) 1的值域为( 2 , 7].
17.解(1):由角平分线性质得： = + 1 = 2 + 1 3 3 3
2 4 2 1
则 = +
2
+ 4 = 4 × 22 + 1 × 42 + 4 × 2 × 4 × 1 = 169 9 9 9 9 9 2 9，
则 = | | = 43；
(2)由题意， = 1 + 1 22 2 ， = 3
+ 1 3 ，
则 = + = ( + 2 2 3 ) + (

2 +

3 )
，
则 = [( + 2 ) + ( + ) ] ( 2 3 2 3 ) = 0，
2 2
则( 2+

3 )
( + 2 ) + 2 3 3
= 6 + 4 3 = 0 ①，
又因为 ， ， 三点共线，则 + = 1 ②，
由 ① ②可得： = 27， =
9
7
18.(1)证明：连接 ，∵ = ∴ ⊥ ，又∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，∴ ⊥
平面 ， 平面 ，∴ ⊥
又 ∵ ⊥ , ∩ = , , 平面 ，所以 ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，又 ⊥
平面 ， 平面 ，
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∴ ⊥ ，∴ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ；
(2)分别取 ， 中点为 ， ，连 ， ， ，∵ // ， 平面 ， 平面 ，又∵ // ，
平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
∵ ∩ =
∴ // ∴ / / 1平面 平面 ， 平面 ，此时 = 2
(3)由(1)可知 ⊥ ，又 为矩形，且 = 2，∴ = 2
设 = ，则 = 2 + 2记点到面的距离为 点 面，∵ //平面

， = 2，∴ = =
2 2 = 2+1
2 2 6设 与平面 成 角，则 sin = = = = 2+2 2+1 3
整理得： 4 3 2 + 2 = 0，解得： = 1 或， = 2，即 = 1 或 2
1 2
所以： 2 2 = 3 · = 3或 3
19.解：(1)延长 ， 交于点 ，连接 交 于 ，连接 则截面为 ，
过 作 // 1 ，可知 为 中点，
∴ = 2 则 = = 2，
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过 作 // ，则 = 3，

=

=
3×2
= 3 = 2，
所以 是 的中点．
在△ 中， = 2， = 3，∠ = 60 ，
则 = 2 + 2 2 · ·cos∠ = 22 + 32 2·2·3· 12 = 7，
在△ 中， = 1， = 2，∠ = 60 ，
则 = 2 + 2 2 · ·cos∠ = 12 + 22 2·1·2· 1 = 3，2
在△ 中， = 1， = 2，∠ = 60 ，
则 = 2 + 2 2 · ·cos∠ = 12 + 22 2·1·2· 12 = 3，
在等腰梯形 1 1中，可求得 = 7，
所以截面 周长为 2 7 + 2 3；
(2)延长侧棱交于点 ，则三棱锥 为正四面体，
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∵ = 3 = 3 × 6 4 4 3 × 4 = 6，
又 = 7，
设 与平面 成 角，
sin = 则 =
6 42
7 = 7
(3)由(1)(2)可知 ， 分别是正四面体棱 ， 的中点，可得 = 2 2，
又 = = 7， = = 3，∴ = 10，
在△ 中， 到 的距离 = 3 35 ，7
由(2)得： 到面 的距离 = 6，
设二面角 为 ，
则 sin = = 6 × 7 = 42 ， 3 35 3 5
由正四面体 可知点 在面 的投影为 上，
故二面角 为钝角，
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则 cos = 1 42 = 1545 15
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