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金太阳联考2025届高三下学期5月三模
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合的元素个数为
A. B. C. D.
2.的展开式中含的项的系数为
A. B. C. D.
3.直线：截圆：所得的弦长为
A. B. C. D.
4.若函数在上有零点，则的取值范围为
A. B. C. D.
5.在中，内角，，所对的边分别为，，若，为边上的点，且，，，则
A. B. C. D.
6.已知某圆锥的外接球的体积为，若球心到该圆锥底面的距离为，则该圆锥体积的最大值为
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数满足对任意的，，，，则
A. B. C. D.
8.正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等．已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，是这个正六边形内部包括边界的动点，则的最大值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则下列结论正确的是
A. 可能为 B.
C. 的实部与虚部之积不大于 D. 在复平面内对应的点可能是
10.已知的顶点均在抛物线：上，且的重心为抛物线的焦点若，则
A.
B. 的周长小于
C. 的三个顶点到轴的距离之和为
D. 上一动点到直线的距离的最小值为
11.已知函数有两个极值点，，则下列结论正确的是
A. B.
C. D. 若，，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆：的离心率为 ．
13.函数在上的值域为 ．
14.在正四棱柱中，，，，是正四棱柱内含表面的动点，且，则点在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校为了了解高三年级的学生参加户外拓展意愿的情况，随机抽取了位高三学生进行问卷调查，其中参加户外拓展的意愿分种情况，每种情况对应的人数如下表所示：
意愿情况 非常期待 无所谓 不愿意
人数
若从样本中随机抽取位学生，求所抽取的位学生意愿情况不同的概率．
用样本估计总体，以频率代替概率．若从高三年级所有学生中随机抽取位学生，记所抽取的学生意愿情况为非常期待的人数为，求的分布列与数学期望．
16.本小题分
如图，在三棱台中，平面，，，为的中点，平面．
证明：．
求的长．
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，．
若，求曲线在点处的切线方程；
若，恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为，虚轴长为，左、右顶点分别为，．为直线：上一点，直线与直线分别与交于另一点，不与，重合，设直线的方程为．
求的标准方程．
证明：且．
试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
19.本小题分
已知数列满足，且若整数能被正整数整除，则称为的一个正约数．设的正约数个数为，将这个正约数从小到大排成一排，分别为，，，，．
证明：是等比数列．
证明：为定值．
在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列．
当时，求．
在的前提下，是否存在正整数，，使得？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.解:(1)记事件A为“所抽取的2位学生意愿情况不同”,
则P(A)=1-P()=1-=,
故所抽取的2位学生意愿情况不同的概率为；
(2)X的可能取值为0,1,2.
设事件B为“所抽取的学生意愿情况为非常期待”,则P(B)==,
则X~B(2,).
P(X=0)==,P(X=1)=(1-)=,P(X=2)==,
所以X的分布列为
因为X~B(2,),所以E(X)=2=.
16.解：证明：因为平面，平面，所以．
因为平面，平面，所以．
因为，平面，平面，所以与相交，
所以平面．
因为平面，所以．
解：连接因为平面，所以，
又为的中点，所以是等腰三角形，所以．
因为，，所以．
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
，，，，，
则，
由易得是平面的一个法向量
设平面的法向量为，则取，
，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：由题意得，则，
得所求切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
方法一的定义域为，
．
当，即时，，单调递减
当，即时，，单调递增．
所以在处取得最小值，最小值为
因为恒成立，所以，因为，所以，
即，解得，
故的取值范围为
方法二易证．
由，得．
设，则，
当时，，当时，，
所以，
所以，
故的取值范围为
18.解：根据题意可得，，
所以，
故C的标准方程为．
证明：由题可得直线的斜率不为零联立
得，则，得
由，得．
解：设，由得，
由题意易得直线与直线的斜率均存在，且，设．
因为，，三点共线，所以，即．
因为，，三点共线，所以，即，
得．
由，得，
所以，
即，
即，
，
．
因为，不与，重合，所以，所以，
即，得，
直线的方程为，故直线过定点，且定点坐标为．
19. 解：证明：由，
得，
即．
因为，
所以，
所以，，
故是首项为，公比为的等比数列．
证明：由得，
所以．
整数的所有正约数为，，，，，共个，则．
故，为定值．
解：设公差为，则，
则，
，
，
则，
所以．
假设存在正整数，，使得成立．
由，得．
当时，，此时
当时，，此时
当时，，，此时，不符合题意．
故所有的正整数对为和

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