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安徽省百师联盟2025届高三下学期５月二轮复习联考(三)
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则函数在区间上的零点个数为( )
A. B. C. D.
5.在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
6.记曲线，若直线与曲线相切，则( )
A. B. C. D.
7.计算：( )
A. B. C. D.
8.已知函数，当时，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 焦点到抛物线的准线的距离为
B.
C. 若的中点的横坐标为，则
D. 若，则
10.已知函数，则( )
A. ，使得为单调函数
B. ，的图象恒有对称中心
C. 当时，
D. 若，，是方程的三个不同的根，则
11.已知的内角，，的对边分别为，，，，的平分线交于，，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B.
C. 的最大值是
D. 的周长的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，则 ．
13.已知是奇函数，则 ．
14.从，，，，，，，，中任取个不同的数，且这三个数之积为偶数，记满足条件的这三个数之和为从，，，，中任取个不同的数，且这两个数之积为偶数，记满足条件的两个数之和为则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校有高一学生人，高二学生人，学校采取按比例分配的分层抽样的方式从中抽取人进行体育测试测试后，统计得到高一样本的一分钟跳绳次数的均值为，方差为，高二样本的一分钟跳绳次数的均值为，方差为．
计算总样本的一分钟跳绳次数的均值和方差
将一分钟跳绳次数视为及格，整理出以下列联表：
及格 不及格 合计
高一
高二
合计
试根据小概率值的独立性检验，分析一分钟跳绳次数及格情况是否与年级有关结果保留小数点后三位
如果将表格中的所有数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断一分钟跳绳次数及格情况与年级之间的关联性，结果还一样吗请你试着解释其中的原因．
附：，．
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
16.本小题分
已知函数
若曲线在点处的切线过点，求的值
求的极值点．
17.本小题分
已知椭圆，点在椭圆上椭圆上关于原点对称的任意两个不与点重合的点，和点连线的斜率之积为．
求椭圆的方程
若一条斜率存在且不为的直线交椭圆于，两点，且线段的中点的纵坐标为，过作直线定点到直线的距离记为，求的最大值并求出对应的直线的方程．
18.本小题分
如图，底面为正方形的四棱锥中，，，记，
证明：为直角三角形
当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成角的余弦值
记直线与平面所成角为，求的最大值．
19.本小题分
对于非空数集，定义，若，则称数集具有性质．
若数集具有性质，证明：判断，是否具有性质，并说明理由．
若满足，，当时，都有．
(ⅰ)判断“数集具有性质”是否是“数列为等差数列”的充要条件，并说明理由
(ⅱ)已知数集具有性质且，，求数集具有性质的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知高一学生有人，高二学生有人，
抽取的高一学生人数和高二学生人数按比例分配，
总人数人，抽取人，
则抽取高一学生人数人，
抽取高二学生人数人．
所以总样本的均值为：
．
方差为：．
提出零假设一分钟跳绳次数及格情况与年级无关．
已知，，，，，
可得：
．
已知小概率值时，临界值，
因为，所以依据小概率值的独立性检验，
没有充分证据推断不成立，即认为一分钟跳绳次数及格情况与年级无关．
将表格中所有数据都扩大为原来的倍，则，，，，，
则，
因为，所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为一分钟跳绳次数及格情况与年级有关．
所以统计量与样本容量有关，当列联表中的数据都扩大为原来的倍时，
的值变为原来的倍，在本题中数据扩大倍，值增大，使得检验结果发生了变化．
16.解：对求导得 ，
计算，，
切线方程为，
把代入得：解得；
由知，则定义域为，
，
令即，
因为，所以 ，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的极大值为，极小值为
17.解：因为点在椭圆上所以，
设，则，．
由可得：，
则，
所以椭圆的方程为．
设直线的方程为，，线段的中点，
由消去整理得：，
，即，
则，，
则，
所以，则，所以，
解得：．
所以直线的方程为．．
定点到直线的距离为，
所以
令，，
则，
因为，所以，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数．
所以，，的最大值为，
故的最大值为．
则的最大值为，此时，．
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
18.证明：已知，则，，，
在中，，，
所以，
根据勾股定理逆定理可得，
因为底面是正方形，所以，，则，
又，，，平面，
根据直线与平面垂直判定定理可知平面，
因为平面，所以，所以为直角三角形；
解：因为四棱锥的底面积定值，
因为平面，平面，
所以平面平面，
所以四棱锥高，
则四棱锥体积，
当，即时，体积最大，此时．
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则平面的法向量，
设平面的法向量，，，
由，令，则，，所以，
设平面与平面所成角为，
则．
由知平面平面，所以以为原点，分别以，所在直线为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，，
设平面的法向量，，，
由
令，则，，
所以，
又
所以，
设，
令，则，
当且仅当，即，时等号成立，
此时取得最大值．
19.解：证明
因为是非空数集且具有性质，即，
那么存在，，使得，
令，则，所以，
又因为，所以
判断
，，，，，，，
，所以具有性质．
判断
，，，，，，
所以不具有性质．
若是等差数列，，设公差为，，则，
，
所以，所以数集具有性质，
已知数集具有性质，，
因为是中最大元素，所以，
又因为，那么也在中．
由于，且中元素从小到大排列为，
所以，
同理，，
所以是首项为，公差为的等差数列
所以“数集具有性质是“数列为等差数列”的充要条件．
因为数集具有性质且是等差数列，，
设公差为，，
又，即，
因为，所以，，
，的非空子集个数为个．
要使具有性质，设，，最大，且，，，
即中的元素成等差数列，
的元素个数可以为，，，，因为一定在中，所以
元素个数为时，有种
元素个数为时，有种
元素个数为时，有种
元素个数为时，有种
元素个数为时，有种．
元素个数为时，有种．
元素个数为时，有种．
元素个数为时，有种．
元素个数为时，有种．
元素个数为时，有种．
元素个数为时，有种．
满足具有性质的子集个数为个．
所以数集具有性质的概率．
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