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河南省八市2025届高三下学期5月考前适应性考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.已知，且，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，其中点在第一象限，点在第二象限，若是以为直角的等腰直角三角形，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，，函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别为，，，若是边长为的等边三角形，则函数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一次比赛中，名裁判员对运动员甲的评分分别为，，，，，，，关于这组数据，下列说法正确的有( )
A. 这组数据的中位数大于平均数
B. 这组数据的分位数为
C. 这组数据的众数为
D. 去掉一个最低分和一个最高分后，新的一组数据的平均数会变大
10.在如图所示的透明的正三棱台形容器内注入一些水容器厚度忽略不计，水平放置时水平面与底面平行，且水平面与下底面的距离为，，，正三棱台形容器的高为，下列结论正确的有( )
A. 正三棱台形容器的体积为
B. 正三棱台形容器的侧面积为
C. 等边三角形的边长为
D. 水的体积为
11.已知圆，且，正方形的四个顶点的坐标分别为，，，，是正方形边上的动点，过坐标原点作直线的垂线，垂线与交于点，点的轨迹记为曲线，则下列结论正确的有( )
A. 直线与圆相切 B. 曲线的周长为
C. 曲线所围成图形的面积为 D. 圆与曲线没有公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的最小值为 ．
13.已知函数为奇函数，则实数 ．
14.如图，有三个不同单位的各两名代表要坐在长方形桌子的个座位用序号表示上开会，则同一单位的两名代表既不能正对面例如：一个人坐号座位，则同单位的另一个人不能坐号座位也不能左右相邻就坐的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且，的面积为．
求角
求的值
若点为的中点，，求的周长．
16.本小题分
在等差数列中，，数列的前项和．
求数列的通项公式
求数列的通项公式
求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，．
证明：平面平面
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆经过点，离心率为．
求椭圆的方程
若直线交椭圆于，两点均异于点，且，则直线是否过定点若过定点，求出定点坐标若不过定点，请说明理由．
19.本小题分
若函数在开区间内满足：，在处的切线的斜率均为，则称为内的“缘分函数”．
判断是否为内的“缘分函数”，并说明理由
若为内的“缘分函数”，求实数的取值范围
证明：不是内的“缘分函数”
参考答案
1.
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10.
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14.
15.解：由正弦定理得，，又，故，化简得，又，故，分又，故B．
由的面积为，故，得．
因为点为的中点，所以，故，
故，
即，又，故，得，，由余弦定理得，，故，故的周长为．
16.解：数列的公差，
所以．
由，得．
当时，，
则，
也符合上式，
故数列的通项公式为．
由得，
则，
，
得，，
即，
所以
17.解：证明：因为，，则，
又为的中点，故，
由，，，平面，，故AB平面，
又平面，故AB，
又，平面，，故平面．
又平面，故平面平面．
因为，分别为，的中点，故 DE，
又平面，故DE平面，
如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，
平面内作垂直于于点的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
，，，，
设为平面的法向量，
则即
取，所以．
设为平面的法向量，
则即
取，所以，
故，，
又由图像可知，平面与平面的夹角为锐角，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：由椭圆经过点，
，得，又离心率为，故，
解得，，故椭圆的方程是．
直线过定点，
当直线的斜率不存在时，直线的方程设为，
不妨令，，
由得，，解得或舍去，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立整理得，，
，，
又，，
由得，，即，
得，
故，
化简得，
即或，
若，则，过点，与题意不符，
若，则，直线过定点
综上，直线过定点
19.解：不是．
理由如下：
由，得，
若是内的“缘分函数”，
则，即有两个不相等的正根，
但的两根分别为和，故不成立，
即不是区间内的“缘分函数”；
由，得，
若为内的“缘分函数”，
则，
即在区间内有两个不相等的实数根，
也即直线与函数有两个公共点，且两个公共点的横坐标均在区间内，
易得在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，当时，当时，，
若有两个交点，则的取值范围为，
即的取值范围为．
证明：由，得，
若是内的“缘分函数”，
则在内有个不相等的实数根．
令，，
则，，
令，，
易知在上单调递增，，，
故存在，使得，即，
故在上，，即，故单调递减
在上，，即，故单调递增，
故，
又，故，，
故，
故只有一个正实数根，
即在内只有一个实数根，
所以不是内的“缘分函数”
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