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2025年广东省广州六中高考数学三模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.已知复数为虚数单位，则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的条件．
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知向量、的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
4.若不等式为自然对数的底数对任意实数恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知，都是锐角，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线：的左右焦点分别为、，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线交另一渐近线于点，若，则双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
7.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每个月延迟个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间 年月月 年月月 年月月 年月月
改革后法定退休年龄 岁
个月 岁
个月 岁
个月 岁
个月
那么年月出生的男职工退休年龄为( )
A. 岁个月 B. 岁个月 C. 岁个月 D. 岁
8.已知棱长为的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据，，，的方差，则( )
A. 这组样本数据的总和等于
B. 这组样本数据的中位数一定为
C. 数据，，，的标准差为
D. 现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差
10.已知函数，则下列结论一定正确的是( )
A. 的图象关于轴对称 B. 的值域是
C. 的最小正周期为 D. 不是中心对称函数
11.已知函数满足：对任意，，，且当时，下列说法正确的是( )
A. B. 为偶函数
C. 当时， D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆可以看作是由圆经过“压缩”或“拉伸”而来若将圆：上各点横坐标“拉伸”到原来的倍纵坐标不变，得到椭圆则的离心率为______．
13.若的展开式中的系数为，则的值为______．
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧劣弧沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心即三角形三条高线的交点如图，已知锐角外接圆的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点若：：：：，则 ______，的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且，，成等比数列，，，成等差数列．
求数列和的通项公式；
令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前项并求的前项和．
16.本小题分
如图，在直三棱柱形状的木料中，，，是棱的中点，过上底面内一点在上底面所在平面内作一条直线与垂直．
画出直线并说明作法和理由；
当为重心时，求直线与平面所成的角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程；
若有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知直线与抛物线：交于，两点，且．
求；
，为抛物线上异于顶点的两点，为焦点若，求面积的最小值．
若点，问轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点、两点，且点到直线、的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
19.本小题分
现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中．
若，求的分布列和数学期望；
求；
求证：．
参考答案
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15.设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由足，且，，成等比数列，，，成等差数列得，
，即，
又，，
解得，，
所以；
由得，
去掉第项后，前项依次为，，，，
，
综上．
16.如图所示，连接，在上底面过点作直线即可，
因为面，所以，
根据作法知，
又因为，，在平面内，
所以平面，
所以；
依题，，两两垂直
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，
，所以，
所以直线的一个方向向量为，
设为平面的法向量，
，即，
令，可取，
可得，，，
所以，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为，．
所以直线与平面夹角的正弦值为．
17.当时，，
因为直线的斜率为，所以切线斜率为，
令，解得，则，即切点为，
所以切线方程为，即；
函数的定义域为，，
当时，，函数在单调递减，此时最多一个零点，舍；
当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
由知，当时，取得最小值，最小值为，
因为当时，；时，，
所以函数有两个零点当且仅当，
设，知函数在单调递增．
因为，的解集为．
综上所述，的取值范围是．
18.解：因为直线与抛物线：交于，两点，
设，，
由，
，，
，
即，因为，
解得；
由得抛物线：，
因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，，
由，
可得，
，
则，，
因为，
所以，
即，
即，
将，代入得，
，，
所以，且，
解得或，
设点到直线的距离为，则，
，
所以的面积，
而或，
所以当时，的面积，
假设存在这样的点满足条件，设为，
因为点到直线、的距离相等，所以为的角平分线，
则，可得，显然直线的斜率不能为零，
故设直线的方程为，由，
联立得，
设，，
则有，
，
即，
整理得：，
即，得，
即对于任意的恒成立，所以，且此时满足，
所以存在点到直线，的距离相等．
19.由题可得，的取值可能为，，，，当时，
则，
，
，
，
所以分布列为：
；
个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞，
不妨设在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率，
所以
；
证明：个周期结束后共有个细胞，设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，
这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，另一个一直保持分裂为个细胞，
此事件的概率为：
，
所以
，
其中，，
令，，
记，，
令，得，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
故，
即．
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