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2024-2025学年安徽省江南十校高二下学期5月份阶段联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
2.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量X~B(4,0.5), 随机变量Y~N(0,1), 则下列结论正确的是（）
A. P(X2)< P(Y0) B. P(X2)< P(Y0)
C. P(X=2)< P(Y<0) D. P(0< X<3)< P(Y>0)
5.已知双曲线两焦点为，，直线与双曲线的交点在以为直径的圆上，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.在平行六面体中，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知正三棱柱的棱长均为，为线段上的动点含端点，当截面的周长最小时，平面与平面的夹角为( )
A. B. 或 C. D. 或
8.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，数轴上的点，分别对应实数，，质点从原点出发，每次随机地向左或向右移动个单位长度，移动了次以下结论正确的是( )
A. 质点移动过程中每次离点的距离都不超过个单位长度的概率为
B. 质点最终移动到点的概率为
C. 质点在经过点的条件下，最终回到点的概率为
D. 质点在经过点的条件下，最终回到点的概率为
10.曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的值为( )
A. B. C. D.
11.已知与都是大于零的常数，经过点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的是( )
A. 的面积有最大值
B. 的面积有最小值
C. 为锐角的充要条件是
D. 若，取的中点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在之间的正整数中，所有能被整除的数的和为
13.在，，，这四个数中任取两个不同的数作为点的横、纵坐标，再在这些点中任取三个点作为三角形的顶点，可以得到不同的三角形的个数为
14.已知线段的长度为，动点满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式
设数列的前项和为，数列的前项和为，若，求的最大值．
16.本小题分
已知一道数学多项选择题有个选项，其中有个是正确选项，每选对个得分，全选对得满分分，但是有选错的得分学生甲对这个选项都无法判断是否正确，故其只能猜答案他有个方案：猜个选项猜个选项猜个选项若甲猜每一个选项都是等可能的，请你根据得分期望的大小帮他确定哪一个方案最好．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面、都与底面垂直．
求证：平面
若二面角的余弦值为，求与底面所成角的大小．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程
在曲线上，是否存在三个不同的点，，，使得，，成等比数列，且的图象在点处的切线与直线平行若存在，求出直线的斜率若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点．
证明椭圆的光学性质
如图，过的直线交椭圆于，两点非左右顶点．
(ⅰ)求面积的最大值
(ⅱ)求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上．
参考答案
1.
2.
3.
4.C
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设的公差为，则，
解得或舍去，
即的通项公式为
，
，
，
由，即，解得，
的最大值为．
16.解：设方案，，的得分分别为随机变量，，，
的所有可能取值为，，
，
，
的所有可能取值为，，
，
，
的所有可能取值为，，
，
，
选择方案最好．
17. 证明：平面平面，平面平面，，平面，
平面，平面，
，同理，，又，、平面，
平面
解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设，，得，，，
，，，
设平面，平面的法向量分别为，，
则，，取，
，解得，
因为平面，所以与底面所成角为，
，得
即与底面所成角为．

18.解：，曲线在点处的切线斜率，
该切线方程为
假设这样的点，，存在，则，，
，
得，
，
，
不妨设，令，得，
设，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
，即，在上单调递增，，
所以方程无解．
这样的点，，不存在．
19.证明：当时，，，性质成立
当时，，，，
因为点在椭圆上，所以，，
设与直线，的夹角分别为，，
则
同理，，，．
该性质成立
解：设，，，代入得，
，，
．
令，
则，．
当时，，
当且仅当，即时取等号，得，
的最大值为
当时，在上单调递增，
时，取最大值的最大值为．
当时，面积的最大值为
当时，面积的最大值为．
证明：两条切线的方程分别为，，
消去得：，
，，
因为，
所以．
点在定直线上
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