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2024-2025学年河南省TOP二十名校高一下学期5月调研考试
数学试卷(B)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知圆台的上、下底面直径长分别为，，侧面积为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
6.在正四棱台中，，，高为，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，小胡同学为了测量地面上一栋大楼的高度大楼垂直于地面，在与楼底同一水平面内选取两个测量基点和，在点测得大楼顶部的仰角是，在点测得大楼顶部的仰角是，测得水平面上的，米，则该大楼的高度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.设向量，的夹角为，定义，已知平面内互不相等的两个非零向量，满足，且与的夹角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B.
C. 在复平面内对应的点位于第三象限 D.
10.已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，则
C. 若，则是直角三角形
D. 若，，，则符合条件的有个
11.如图，在棱长为的正方体中，点为的中点，点是正方形内的一点包含边界，则下列说法正确的是( )
A. 正方体的外接球的表面积为 B. 二面角的正切值为
C. 的周长的最小值为 D. 若平面，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学校有高中学生人，初中学生人，为了了解学生对学校规章制度的了解程度，采用按比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了人，则在高中学生中抽取了 人
13.底面边长为的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为的正三棱锥，所得棱台的体积为 ．
14.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则 若，，所在平面内的一点满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正四棱锥中，点，分别为，的中点，点，分别为棱，上的一点，且，．
若，，求四棱锥的体积
求证：，，，四点共面
求证：直线，，三条直线交于一点．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，点是棱的中点．
求证：平面
若，求证：．
17.本小题分
如图，在矩形中，点是边上的一点，且，点是线段上的一点不同于点．
若，求的值
若，，求的最小值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，，，，点，分别为棱，的中点．
求证：平面
求二面角的正切值
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，．
若．
(ⅰ)求证：是等腰三角形
(ⅱ)已知的面积为，点满足，求线段的最小值
对于，若存在，使得，，，则称为的伴随三角形若存在伴随三角形，求出三个内角中的最大值．
参考答案
1.
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4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，
所以四棱锥的高，
所以四棱锥的体积．
证明：连接，因为点，分别为，的中点，
所以，，
又点，分别为棱，上的一点，且，，
所以，，
所以，所以，，，四点共面．
证明：由知，，
所以直线，相交，记交点为，
所以，又平面，所以平面，
又平面平面，
所以，即直线，，三条直线交于一点．
16.证明：连接交于点，连接，
如图所示：
在直三棱柱中，四边形是平行四边形，
所以，
又点是棱的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
因为，点是棱的中点，
所以，
在直三棱柱中，平面，
又平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
因为，，
所以，
又，
所以，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
17.解：由题意知，
又，
所以，，
所以；
因为，，
所以
，
所以，
又，
所以，
设，则，
所以
，
所以的最小值为，此时．
18.解：证明：在中，，，，
由余弦定理，得
，
即，
所以，
所以，
因为四边形是矩形，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
在中，，，点是的中点，
所以，
又，，平面，
所以平面；
过点作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示：
由知平面，
又，平面，
所以，，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，
所以，
又，，
所以，
所以，解得，
在中，，，，
所以，
即二面角的正切值为；
取的中点，连接，，
易得，，
又平面，平面，
所以平面，
即点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为平面，平面，
所以，
所以，
所以，
设点到平面的距离为，
又，
所以，解得，
设直线与平面所成角为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：证明：因为，所以--，
由正弦定理得，
所以，
所以，所以是等腰三角形．
(ⅱ)因为点满足，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，又，
所以，整理得，，
因为，所以，
所以，，
所以，
当且仅当，时取等号，所以线段的最小值为．
若，则或，若，，，由所以
与矛盾，不符合题意
不妨设，由所以
所以，又，，所以，解得，
即三个内角中的最大值为．
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