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2024-2025学年安徽省金榜教育高二下学期五月份阶段性考试
数学试卷(A)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知曲线 : 5 2 4 2 = 20，则 的离心率为( )
A. 12 B.
3
4 C.
3
2 D. 2
2.曲线 = 2 + 1 在点(0,2)处的切线与直线 2 + + 1 = 0 垂直，则 等于( )
A. 12 B.
1 C. 14 4 D.
1
2
3.二项式(1 ) 的展开式中 2系数为 15，则 等于( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.已知 ( ) > 0， ( ) > 0， ( | ) = ( )，则( )
A. ( | ) = ( ) B. ( ) = ( ) C. ( ) + ( ) = 1 D. ( | ) = ( )
5.设空间两个单位向量 = ( , , 0)， = (0, , )， 与向量 = (1,1,1) 的夹角等于3，则向量
，
夹角的余弦值等于( )
A. 1 B. 1 14 8 C. 4 D.
1
8
6.等差数列{ }的前 项和为 ，已知 4 = 20， 3 + 7 = 20，则数列{
1
}的前 10 项和为( )
A. 10 B. 9 5 311 10 C. 6 D. 4
7.已知直线 21: = 2 和直线 2: 3 + 4 + 6 = 0，抛物线 = 4 上一动点 到直线 1和直线 2的距离之和的
最小值是( )
A. 2 B. 3 C. 72 D. 5
8.已知 ( ) = 3 + 2 + + ( < 0)有两个极值点 1， 2，且 ( 1) = 2， ( )的导函数为 ( )，则关
于 的方程 [ ( )] = 0 的不同实根个数为( )
A. 6. B. 5 C. 4 D. 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知棱长为 1 的正方体 1 1 1 1，点 为线段 的中点，点 为棱 1的中点，则( )
A. //平面 1 1 B. 与 1共面
C.过点 ， 5 3， ， 的球的表面积等于 4 D. 与 所成角的正弦值为 3
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10.已知圆 : 2 + ( 1)2 = 4，直线 : ( + 1) + 2 1 = 0，则( )
A.直线 经过定点 B.直线 与圆 相交
C. 2圆心 到直线 距离 2 时，直线 的倾斜角为45
或135 D. = 0 时，直线 被圆 截得的弦长最短
11.已知数列{ }的前 项和为 ，满足 1 = 2， + ( 1) +1 = ， ∈ +1 ，则( )
A.存在 ， ∈ ，满足 2 1 = 2 B. 2025 2024 = 2025
C. { 2 +1 + 2 1}构成公差为 4 的等差数列 D. 2 +2 + 2 = 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知公比不为 1 的等比数列{ }，且 23 = 7， 6 + 2 4 = 3 5，则数列的通项公式 = ．
13.已知有 4 名工人分别在 4 个不同的岗位，现根据需要进行轮岗调整，则至少有 3 名工人岗位变动的轮岗
方式种数有 ．
14. ∈ ， ≥ ( + 1 )ln(
2 + 1)， ∈ (0, + ∞)恒成立，则 最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某班开展生态环保知识竞赛，共答两道试题.试题分甲、乙两组，答对甲组一道试题得 2 分，答对乙组一道
试题得 3 分，答错得 0 分.规则如下：第一次答题在甲、乙两组中随机选择一组，并从中抽取一道试题作答，
若回答正确，则第二次答题题组与第一次相同，并从中抽取一道试题作答;若回答错误，则第二次从另一组
7
中抽取一道试题作答.各次答题正确与否相互独立.已知同学 正确回答甲组内的题的概率为10，正确回答乙
1
组内的题的概率为2．
(1)求同学 第 1 次答题正确的概率;
(2)记同学 答题总得分为 ，求 的分布列及数学期望．
16.(本小题 15 分)
如图，三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， 1 = ，∠ 1 = 60°，点 1在底面 上的射影在 上．
(1)求证： 1 ⊥ 1 ；
(2)当 = 2 时，求二面角 1 的余弦值．
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17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 + ．
(1)若 ( )为 上的增函数，求 的取值范围;
(2)若 = 2， 1 ≠ 2，且 ( 1) + ( 2) = 4，证明： 1 + 2 < 0．
18.(本小题 17 分)
已知 ， 两点的坐标分别为( 2,0)，(2,0) 3，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积是 4．
(1)求点 的轨迹 的方程;
(2)已知点 (1,0)，设过点 (4,0)的直线 与 交于 ， 两点．
①若 ， 的斜率分别为 1， 2，证明： 1 + 2 = 0;
②若点 在线段 上，且| || | = | || |.证明： ⊥ 轴．
19.(本小题 17 分)
定义在 上的函数 ( )，若存在实数 ， ， ∈ 1 = [ , + )， ( ) = ( ).且满足 ( ) = ( + )，其中
常数 > 0， > 0，则称函数 ( )为“ ( )周期延拓”函数， ( )称为基函数.已知 ( )为“ ( )周期延拓”
函数，基函数为 ( ) = ， ∈ 1 = [ 1,1)，满足 ( ) = 2 ( + 2)， = [2 3,2 1)， ∈ ．
(1)分别写出 = 2，3，4 时， ( )的解析式，猜想函数 ( )在区间 上的解析式(不需证明);
1
(2)已知函数 ( ) = 2 2 ， ∈ (0, + ∞)，函数 = ( )与 = ( )的交点为 1( 1, 1)， 2( 2, 2)， 2( 3, 3)，
， 2( , )， ，满足 < 时， < ，( , ∈ ).
①证明： ( )在区间 1上有唯一零点 1;
1②若△ ，满足 = ( 1, 1)， = ( 2, 2)，则 △ = 2 | 1 2 2

1|，记△ 3 2 3 1 3 ， ∈ 的
面积为 ，证明：{ }构成等比数列．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 +1
13.17
14.1
15.解：(1)设同学 第 1 次选择甲组题为事件 ，乙组题为事件 ，答题正确为事件 ．
已知 ( ) = ( ) = 12， ( | ) =
7
10， ( | ) =
1
2，
则 ( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 1 × 72 10 +
1 × 1 = 32 2 5，
3
故同学 第 1 次答题正确的概率5；
(2)同学 总得分 可取 0，2，3，4，6，则
( = 0) = 1 × 32 10 ×
1 + 12 2 ×
1 × 3 32 10 = 20，
( = 2) = 1 × 7 3 1 1 7 72 10 × 10 + 2 × 2 × 10 = 25，
( = 3) = 1 3 1 1 1 1 12 × 10 × 2 + 2 × 2 × 2 = 5，
( = 4) = 1 7 7 492 × 10 × 10 = 200，
( = 6) = 12 ×
1
2 ×
1 1
2 = 8．
的分布列为：
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0 2 3 4 6
3 7 1 49 1
20 25 5 200 8
( ) = 0 × 3 + 2 × 720 25 + 3 ×
1
5+ 4 ×
49
200 + 6 ×
1 = 2898 100．
16.解：(1)连接 1 ，
在平行四边形 1 1中， 1 = ，
所以四边形为菱形， 1 ⊥ 1，
设点 1在底面上的射影为 ，
则 1 ⊥面 ， 面 ，∴ 1 ⊥ ，
又 ⊥ ， 1 ∩ = , 1 , 面 1 1，
所以 ⊥面 1 1， 1 面 1 1，∴ ⊥ 1，
∵ 1 ∩ = , 1 , 面 1 ，
所以 1 ⊥面 1 ， 1 面 1 ，
∴ 1 ⊥ 1 ；
(2)如图建立空间直角坐标系，
易知 (1,0,0)， ( 1,1,0)， 0,0, 3 ，
设面 1 的法向量为 = , , ，
·
所以 1
= 0 , ∴ + 3 = 0
· = 0 2 + = 0
，
解得 = 3,6, 3 ，
而面 的法向量为 = 0,0,1 ，
→ → → →
所以 , = · → → =
3 1
| |·| | 9+36+3×1
= 4，
所以二面角 1
1
的余弦值为4．
17.解：(1) ′( ) = 2 2 + ，
若 ( )为 上的增函数，则 ′( ) = 2 2 + ≥ 0 恒成立，即 2 2 ≥ 恒成立．
设 ( ) = 2 2 ，则 ′( ) = 2( 1)，
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当 ∈ ( ∞,0)时， ′( ) < 0，当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) > 0，
所以 ( )在( ∞,0)上单调递减，在(0, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (0) = 2，故 ≤ 2，所以 ≥ 2．
(2)若 = 2，由(1)知 ( )为 上的增函数.由于 (0) = 2，已知 1 ≠ 2，且 ( 1) + ( 2) = 4，
不妨设 1 < 0 < 2，欲证： 1 + 2 < 0，即证明 ( 1) < ( 2)，即证明 ( 2) + ( 2) 4 > 0，
令 ( ) = ( ) + ( ) 4， ∈ (0, + ∞)，即证明 ( ) > 0．
由 ( ) = ( ) + ( ) 4 = 2 + 2 2 2 4，
′( ) = 2 2 4 ，
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = 2 + 2 4 ≥ 4 4 = 0，
故 ( ) = ′( )在(0, + ∞)上单调递增，
故 ′( ) > ′(0) = 0，故 ( )在(0, + ∞)上单调递增，得 ( ) > (0) = 0，得证!
18.解：(1)设点 的坐标为( , )，
2 2
由已知 +2

2 =
3
4，整理得 4 + 3 = 1，
2 2
由于 ≠± 2 ，故点 的轨迹 的方程为 4 + 3 = 1( ≠± 2)；
(2) ①依题意设直线 的方程为： = + 4， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 4
联立方程组： 2 2 ，有(3 2 + 4) 2 + 24 + 36 = 0，
4 + 3 = 1
则 = (24 )2 144(3 2 + 4) > 0，即 > 2 或 < 2，
且 24 361 + 2 = 3 2+4， 1 2 = 3 2+4，( )
因为 1 = 1 + 4， 2 = 2 + 4，
+ = 1 + 2 = 所以 1( 2 1)+ 2( 1 1) 2 1 2+3( 1+ 2)1 2 1 1 2 1 ( 1 1)( 2 1)
= 2 1 2+3( 1+
，
2)+9
由于 2 1 2 + 3( 1 + 2) = 2 ×
36 + 3( 24 3 2+4 3 2+4 ) = 0，故 1 + 2 = 0；
②设点 坐标为( 0, 0)，
由| || | = | || | | | | |，有| | = | |，
| | = | 1| 1 | | | | 由 ①可得 0 1 0 1| | | 2|
= ，2 | |
= | 0 |
=
2 0
，
2
故 = 1 2+ 2 10 + ，由于 1 = 1 + 4， 2 = 2 + 4，1 2
= 2( 1+4)+ 1( 2+4)则 0 + =
2 1 2+4( 1+ 2) = 2 1 2 + 4，
1 2 1+ 2 1+ 2
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24 36由 ①知 1 + 2 = 3 2+4， 1 2 = 3 2+4，
故 0 = 1，故 DF⊥ 轴．
19. 1解：(1) = 2 时， ( ) = ( 12 ) ( 2)
2，
= 3 时， ( ) = ( 12 )
2( 4) 4，
= 4 时， ( ) = ( 1 3 62 ) ( 6) ，
猜想： ( ) = ( 1 ) 12 ( 2 + 2)
2 +2， = [2 3,2 1)， ∈
1 1
(2) ①当 ∈ 1 = [ 1,1)时，由 ( ) = ( )有 = 2
2 ，令 ( ) = 2 2
1
则 ′( ) = ( + 1) + 2 2 1ln2 > 0，故 ( )在区间 1上单调递增，
(1) = 2由于 2 > 0， (0) = 1 < 0，故 ( ) ( )在区间 1上有唯一零点．
1
②当 ∈ = [2 3,2 1)， ∈ 时，由 ( ) = ( ) (
1
，得 ) 1( 2 + 2) 2 +2 = 2 2 2 ，
1
即( 2 + 2) 2 +2 = 2 2 2 +2
1
，令 = 2 + 2，则 ∈ [ 1,1)， = 2 2 ，
由上可知，函数 = ( )与 = ( )在区间 上有唯一交点，且 2 + 2 = 1，
即 = 1 + 2 2， ∈ ，故 +1 = 2，
故{ }构成首项为 1公差为 2 的等差数列， = 1 + 2( 1)．
1
= ( ) = ( ) +1 = (

+1) 2
+1 1
由于 ，故 ( ) =
( +1) 2 2( +1 ) 1
( )
=
1
= 2 = ，
2 2 2
1
而 ( 1) = 1 1 > 0，故{ }构成首项为 1 = ( 1)，公比为2的等比数列
故 = ( )( 1 ) 1 = 1 1 12 (
1 1
2 )
故 3 2( 1 + 2(3 3), 1 1(
1 )3 32 )， 3 1( 1 + 2(3 2),
1( 1 )3 21 2 )，
1 3 13 ( 1 + 2(3 1), 1 1( 2 ) )，
从而 3 1 3 2 = ( 2, 1 1(
1 3 2 1 3 1
2 ) )， 3
1 3 = (2, 1 1( 2 ) )，
1 1
由已知 = | 2 1( )3 1 2 1 2 2 1
1( 1 3 2 1 1 3 22 ) | = 1 ( 2 ) ，
1 1
故 +1 = 8，且

1
= 1 12 > 0，故 构成等比数列
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