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2024-2025 学年河南省部分学校高一下学期 5 月阶段性测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法中正确的是( )
A.棱柱的所有面都是四边形 B.棱柱的侧面一定是平行四边形
C.棱柱的侧棱不全相等 D.各条棱长都相等的棱柱一定是正方体
2.已知复数 满足(1 + ) = 2 2，则 =( )
A. 1 + B. 1+ C. 1 D. 1
3 2 .某圆锥的侧面展开图是一个半径为 3，圆心角为 3的扇形，则该圆锥的表面积是( )
A. 4 B. 3 C. 2 2 D. 2
4.已知向量 = ( 2,2)， = ( + 1,2 )， = (2, 1)，(2 + )// ，则实数 =( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
5.如图，在正四棱锥 中， 为底面 的中心.若 = 3， = 2，则△ 绕 旋转一周形
成的几何体的体积为( )
A. 2 2 B. 2 2 C. 2 3 3 D. 2
6.已知△ 的面积为 1， 为△ 所在平面内一点，且 4 = + 2 ，则△ 的面积为( )
A. 25 B.
1
6 C.
1
3 D.
1
4
7.如图，在正方体 1 1 1 1中， 1 = 2 2， 为正方形 1 1内(含边界)一动点， 是棱 1的
中点，且 = 2 3，则点 的轨迹的长度为( )
A. 3 3 B.

2 C. D. 2
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8.教材中关于数量积有如下性质“| | ≤ | | | |，当且仅当 // 时等号成立”，应用该结论可以解决某
些函数最值问题，则函数 ( ) = + 1 3 的最大值是( )
A. 1 B. 2 3 C. 6 2 63 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 1， 2 ∈ ，则下列结论正确的是( )
A.若 1 21 = 0，则 1 ∈ B.若 2 =
2
2，则 2 ∈
C. 21 + 2 2 22 ≥ 2 1 2 D. | 1| + | 2| ≥ 2| 1 2|
10.已知 ， 为两个不同的平面， ， 为两条不同的直线，则下列结论正确的是( )
A.若 // ， // ， // ，则 //
B.若 ⊥ ， // ， // ，则 ⊥
C.若 ∩ = ， // ， // ，则 //
D.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
11.如图，在正方体中， 是底面的中心， 是所在棱的中点， ， 为顶点，则满足 ⊥ 的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数 = 2 + ，且 (1 + 2 )为纯虚数，则实数 = ．
13.在△ 中， = = 5， = 6， 为 边上的动点，则 + = ．
14.已知四棱锥 的体积为 3 3，底面 为矩形，∠ = 60 ，∠ = 90 ， = 2，则该四
棱锥外接球表面积的最小值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 3
已知复数 = 3 + 1 2 ．
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(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)设 ， 2在复平面内对应的点分别为 ， ，求向量 在向量 上的投影向量的坐标( 为坐标原点)．
16.(本小题 15 分)

如图，在锐角△ 中， = 3， = 7， = 8，3 = 2 ．
(Ⅰ)求△ 的面积;
(Ⅱ)求 sin∠ ．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱锥 中， ⊥ ，∠ = 60 ， 是 的中点，点 ， 分别在线段 ， 上，且 =
2 ， = 2 ．
(Ⅰ)求证： //平面 ;
(Ⅱ)求异面直线 与 所成角的大小．
18.(本小题 17 分)
如图，在正三棱台 1 1 1中， 1 1 = 2 = 2 1 = 2．
(Ⅰ)求证： 1 ⊥ ;
(Ⅱ)求正三棱台 1 1 1的体积;
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(Ⅲ)求正三棱台 1 1 1内能容纳的最大球的体积．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，侧面 是边长为 2 的等边三角形，点 ， ， ， 在同一个圆的圆周上，
且∠ = 90 ， = 2 = 5，平面 ⊥平面 ．
(Ⅰ)求证：平面 ⊥平面 ;
(Ⅱ)求三棱锥 的体积;
(Ⅲ)求二面角 的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.32
14.16
3
15. (Ⅰ) = 3 + 2 = 3 + 2+ = 3 + ( 2+ ) 解： 1 2 1 2 + 2 = 3 + ．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 = 3 + ， 2 = 8 + 6 ，即 (3,1)， (8,6)，
所以 = (3,1)， = (8,6)，
所以向量 在向量 12 9上的投影向量的坐标为 = ( , ).| | | | 5 5
16.解：(Ⅰ)设 = ．
在△ 中，由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 cos 3，
即 49 = 64 + 2 2 × 8 × × 12，
即 2 8 + 15 = 0，解得 = 3 或 = 5，
当 = 3 时，得 cos < 0，这与△ 是锐角三角形相矛盾，舍去．
当 = 5 时，满足题意，故 BC= 5，
又 3 = 2 ，
易得| | = 2，| | = 3，
2 2 1
所以 △ = 5 △ = 5 × 2 × × × sin 3 = 4 3．
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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 = 3，
△ 在 中，由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 cos 3
= 64 + 9 2 × 8 × 3 × 12 = 49，即 = 7．
在△ 3 7中，由正弦定理，得sin∠ = sin ，即sin∠ = 3，
2
解得 sin∠ = 3 314 ．
17.解：(Ⅰ)如图，在线段 上取一点 ，使得 = 2 ，连接 ．
2 2 1 1
由已知得 // ，且 = 3 = 3 × 2 = 3 ．
在线段 上取一点 ，使得 = 2 ，连接 ， ．
由已知得 // ，且 = 13 ，
所以 = ，且 // ，因此四边形 为平行四边形，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(Ⅱ)由 ⊥ ，∠ = 60 ，不妨设 = ，则 = 2 ．
延长 ， 交于点 ，如图，则∠ 即为异面直线 与 所成的角．
( ) = 1 = 2 = 2 2 由 知 3 3， 3 = 3，
所以△ 为等边三角形，即∠ = ∠ = 60 ，
从而∠ = 30 ，即异面直线 与 所成角的大小为30
18.解：( )延长 1 ， 1 ， 1 交于点 ，如图.因为 1 1 = 2 = 2 1 = 2，
所以三棱锥 1 1 1是所有棱长均为 2 的正三棱锥．
设 在底面 1 1 1内的射影为 1，则 1为底面 1 1 1的中心．
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连接 1 ， 1 1，则 1 ⊥ 1 1， 1 1 ⊥ 1 1，
又 1 ∩ 1 1 = 1， 1 ， 1 1 平面 1 1，
所以 1 1 ⊥平面 1 1，又 1 平面 1 1，
所以 1 ⊥ 1 1，即 1 ⊥ 1 1，又 / / 1 1，所以 1 ⊥ ．
(Ⅱ)设底面 1 1 1的中心为 1，连接 1 ， 1 1．
易知 1 1 =
2 3，则
3 1 = 4
4
3 =
2 6，
3
则正三棱台 1 1
6
1的高 = ，3
所以 1 3正三棱台 = 3 × ( 4 × 4 +
3 × 4 × 3 34 4 × 1 + 4 × 1) ×
6 = 7 2．
1 1 1 3 12
(Ⅲ)如图，设正三棱台 1 1 1的上底面的中心为 2，
的中点为 ， 1 1的中点为 ，
连接 1 2， 2 ， 1 ， ，则当球最大时，其球心 在线段 1 2上.
易知 2 =
3， = 31 ，正三棱台的高
6，斜高 3，
6 3 1 2 = 3 = 2
因为 2 + 1 = ，所以球 最大时球面与正三棱台的上、下底面及侧面均相切，
此时球 的半径 = 1 = 6，体积 = 4 3 42 1 2 6 3 = 3 × (
6 3 6
6 ) = 27
19.(Ⅰ)证明：取 的中点 ，连接 ，如图(1)，
因为△ 为等边三角形，
所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
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又 平面 ，
所以 ⊥ ．
因为点 ， ， ， 在同一个圆的圆周上，∠ = 90 ，
所以∠ = 90 ，
即 ⊥ ，又 ∩ = ， ， 平面 ，
故 AD⊥平面 ，
又 平面 ，故平面 ⊥平面 ;
(Ⅱ) △ = 2 + 2 = 5解：在 中， 2，
在 △ 中， = 2 2 = 32，
又由(Ⅰ)知 ⊥平面 ，
故 1 1 1 3 3 3．三棱锥 = 三棱锥 = 3 △ = 3 × 2 × 4 × 2 × 2 = 2
(Ⅲ)解：设 的中点为 ，连接 ，则 ⊥ .过点 作直线 // 交 于点 ，
由(Ⅰ)可知， ⊥平面 ，
所以 ⊥平面 ，
过点 作 // 交 于点 ，连接 ，
则 ⊥ ，∠ 即为二面角 的平面角，
如图(2).在底面 中，过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 ，如图(3)，
则四边形 是矩形，
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2 + 2 = 5 ,
不妨设 = ， = ， ， > 0，则有 4
( 3 2 22+ ) + (2 ) = 5,
解得 =
1
2 , (负值舍去)，所以 为 的中点， = 2．
= 1
于是在 △ 中， = 2， = 1 3，所以 22 = 2 = +
2 = 19，2
则 sin∠ = = 4 19，故二面角 的正弦值为4 19． 19 19
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