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湖北省 2025届高三年级五月适应性检测
数学试卷(押轴卷)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.图中的阴影部分表示的集合为( )
A. ∩ ∩ B. ∩ ∩ C. ∩ ∩ D. ∩ ∩
2.已知复数 = 1 + ，则|2 + | =( )
A. 2 B. 10 C. 3 D. 4
3.在平面直角坐标系 中，设角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ( , 1)，
sin + 2 =
5
5 ，则 =( )
A. 2 B. 12 C.
1
2 D. 2
4.如图，在平行四边形 中， = 2，∠ = 45°， 为 的中点，若 = 2 ，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
5.数列{( 1) 1· }( ∈ )的前 2025 项和为( )
A. 1012 B. 1012 C. 1013 D. 1013
6.某地统计了辖区内从 2017 年至 2024 年这 8 年的新能源汽车和纯电动汽车的销量(单位：百辆)，得到如
下折线图：
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现对 2021 年至 2024 年这 4 年的数据进行分析，设新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的方差
分别为 21 和 22 ，新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的年平均增长率分别为 1和 2，则( )
A. 21 < 2 2 22 ， 1 < 2 B. 1 > 2 ， 1 < 2
C. 2 < 21 2 ， 2 21 > 2 D. 1 > 2 ， 1 > 2
7.正三棱柱 1 1 1的 9 条棱长均相等，且体积为 36． ， ， 分别是棱 1， 1， 1上的点，其
中 = 1， = 2 1， = 3 1，则几何体 的体积为( )
A. 22 B. 23 C. 24 D. 25
8.已知函数 ( )的定义域为 ，且满足下列性质：
① ， ∈ ， ( ) ( ) = ( )；② ， ∈ [1,2]， ( ) ≥ ( ) ( ).
则下列说法一定正确的为( )
A. ( ) 1在( 1,1)上无最小值 B. ( )在 0, 2 上单调递减
C. ( )在( 1,1) 1上有最小值 D. ( )在 0, 2 上单调递增
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.使关于 ， 的不等式 + 1 > + 成立的充分不必要条件是( )
A. > 1 且 > 1 B. < 1 且 < 1 C. | | < 1 且| | < 1 D. | | > 1 且| | > 1
10 .函数 ( ) = ln + ( ∈ )的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.在平面直角坐标系 中， 为坐标原点．已知曲线 ： 2 + 2 2 = 2 + 2 ，点 ( 0, 0)为曲线
上的任意一点，下列结论正确的是( )
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A.曲线 关于 轴对称
B.曲线 围成的封闭图形的面积大于
C.过原点 的直线与曲线 有且仅有两个交点
D.点 到原点 的距离不超过 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知抛物线 ： 2 = 2 ，直线 与 交于 ， 两点， (2,1)为弦 的中点，则直线 的斜率为 ．
13.若函数 ( ) = 2sin 6 ( > 0)在区间 0,

4 上单调，则 的取值范围为 ．
14.甲乙两位同学一起玩掷骰子的游戏，骰子为均匀的正方体，且正方体的六个面上分别标注了点数 1，
2，…，6.现甲乙两位同学轮流掷骰子，规定玩家完成一轮投掷的规则如下：
①玩家开始投掷骰子，若玩家掷出的点数为 6，则获得 6 分，且玩家继续掷骰子，本轮投掷继续；
②若玩家掷出的点数小于 6，则获得相应点数的得分，此时将骰子交给对手投掷，该玩家完成了一轮投掷．
称甲乙两人各完成一轮投掷为完成了一轮游戏．则甲在三轮游戏中共得 14 分的概率为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ( )ln ( ∈ ).
(1)若 = 1 为 ( )的极值点，求 ；
(2)当 ≥ 1 时， ( ) ≥ + 1 恒成立，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
在三棱柱 1 1 1中，底面 是正三角形， 1 ⊥ ， 1 ⊥ ．
(1)求证： 1 = 1 = 1 ；
(2)若∠ 1 = ∠ 1 = 45°，且 = 2，求直线 1与平面 1 1 所成角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
2 2
设 是坐标原点，双曲线 ： 3 2 = 1( > 0)的左、右焦点分别为 1( , 0)， 2( , 0) =
2 3
，离心率 3 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
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(2)直线 ： = + 交双曲线 的右支于 ， 两点，且 关于 轴的对称点为 ′，△ ′ 的外心为 ，
(ⅰ)求外心 的坐标(用 表示)；
(ⅱ) 求 2| | 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
盒子里有编号为 1，2，…， 的 个大小、形状、质地完全相同的小球，在盒子中连续有放回地取出两个小
球，记 为第 次取出的小球的编号( = 1,2)， = | 1 2|.
(1)试计算 1比 2大的概率 ( 1 > 2)；
(2)求 的分布列和期望；
(3)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量 ， ，有 ( + ) = ( ) + ( )，试分别计算 =
{ 1, 2}， = { 1, 2}的期望．其中， { , }表示 ， 中的最小者， { , }表示 ， 中的最大
者．
(参考公式：12 + 22 + … + 2 = ( +1)(2 +1)6 )．
19.(本小题 17 分)
已知集合 = { 1, 2, …, }，其中 ∈ (1 ≤ ≤ )，集合 = { + 2 |1 ≤ , ≤ , ≠ }.定义运算 =
{ | ∈ ( ∪ ), ( ∩ )}，记| |为集合 中元素的个数．
(1)若 = {1,2,3,4}，求| |的值；
(2)若集合 中的元素 (1 ≤ ≤ )构成等差数列，且公差 > 0．
(ⅰ)当 = 3 时，求| |的最小值；
(ⅱ)当 = 2025 时，求| |的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.0 < 83
14. 118
15. (1) ( ) = ( )ln ( ) = ln + 解： 函数 ，求导得： ′ ，
= 1 1 由题知 是极值点，故： ′(1) = ln 1 + 1 = 1 = 0 = 1，
此时 ′( ) = ln + 1 ，且 ∈ (0,1)， ′( ) < 0，函数单调递减， ∈ (1, + ∞)， ′( ) > 0，函数单
调递增，所以 = 1 为 ( )的极小值点， 满足题意；
(2)原不等式 ( )ln ≥ + 1 在 ≥ 1 时恒成立，
整理得： ( ln + 1) ≥ (ln + 1) ．
构造函数： ( ) = ln +1ln +1 ，
′ ( )2+1 1
求导分析单调性： 1, ( ) = ( +1)2 0，
故 ( )在 ≥ 1 单调递增，最小值 (1) = 0，故 0．
16.(1)证明：作 1 ⊥平面 ，则 1 ⊥ ，
因为 1 ⊥ ， 1 ∩ 1 = 1，
所以 ⊥平面 1 ，
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因为 平面 1 ，
所以 ⊥ ．
同理 ⊥ ，
所以 是底面三角形 的垂心，
因为底面 是正三角形，
所以 是底面三角形 的外心，即 = = ，
所以 1 = 1 = 1 ；
(2)解：过 ⊥ ， ⊥ 分别交 ， 于 ， ，连接 1 ， 1 ，
因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又 1 ∩ 1 = 1， 1 ， 1 平面 1 ，故 AC⊥平面 1 ，
又 1 平面 1 ，所以 ⊥ 1 ，
同理 ⊥ 1 ，
又∠ 1 = ∠ 1 = 45 ，所以 1 ≌ 1 ，
故 AE= ， 1 = 1 ，可得 1 ≌ 1 ，
所以 = ， ≌ ，∠ = ∠ = 30 ，
由 1 ⊥平面 可知∠ 1 为直线 1 与底面 1 1 1所成角，
设 1 = ，则 = = 1 cos45 =
2
2
6
， = cos30 = 3 ，
因为 = 2，所以 = 2 33 ，所以 1 = 2，
所以 1 = 4+ 2 2 × 2 × 2 × (
2
2 ) = 10．
设 1到平面 1 1 的距离为 ，
2
因为 1 = 3 3，
1 3 2 2 1 1 2所以 1 1 1 = 3 × 4 × 4 × 3 3 = 3 = 1 1 1 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 ，
所以 = 2，
所以直线 1与平面 1 1
2
所成角的正弦值为 10，
15
所以直线 1与平面 1 1 所成角的余弦值为 5 ．
17.解：(1)因为双曲线 的离心率 = = 2 3 3 ， = 3，所以 = 2，
2
因此 2 = 1，所以双曲线 的方程为 23 = 1．
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(2)(ⅰ)设 1, 1 、 2, 2 ，则 ′ 1, 1 ．
= + 2
因为 = 2，所以直线 的方程为： = + 2，因此由 2 2 22 得 3 + 4 + 1 = 0，
3 = 1
4 1 + 2 = 2所以 3．
1 2 =
1
2 3
2 3 ≠ 0
△= 16 2 4 2 3 > 0
因为直线 与双曲线 的右支有两个不同交点，所以 1 + 2 = 1 + 2 + 4 > 0
,
1 = 22 1 2 + 2 1 + 2 + 4 > 0
2 3 ≠ 0 2 3 ≠ 0
3 2 + 3 > 0 3 2 + 3 > 0
即 4
2
2 3 + 4 > 0
，即 122 > 0 ，解得 0
2 < 3．
3
2 4 2+4
2 3 2 · 2 + 4 > 0 2 3 < 0 3
设线段 6 , 2 8 的中点为 ，则 2 3 2 3 ，因此线段 的垂直平分线方程为： = 2 3．
因为 △ ′ 的外心 是三边垂直平分线的交点，而 关于 轴的对称点为 ′，
8 8 8
所以点 是直线 = 2 3与 轴的交点，因此令 = 0 得 = 2 3，即 0, 2 3 ．
2 2 2+9 2+1
(ⅱ)因为 2 2,0 ，所以
8
2 = 2 3 + 4 = 3 2 ．
1 + =
4
2 2
由(ⅰ)知： 3 ,
1 2 =
1
2 3
2 2
因此 = 1+ 2· 21 + 2 4 1 2 = 1 + 2·
16 4 2 2 3 1+
2 3 2 2 3
= 1+ · 3 2 ，
2 2 2| | +9 +12 3 2= = +9 3 8所以 | | 2 3 2+1 3 2+1 = 3 1 + 2+1．
因为 0 2 < 3，所以 3 < 1 + 8 | 2| 2+1 3，因此 1 < | | 3

，即 2| | 的取值范围是 1, 3 ．
18.解; (1)样本总数为 2，因抽取有放回， 1与 2对称，
故 ( 1 > 2) = ( 1 < ) =
1 ( 1= 2)
2 2
而 ( 1 = 2) =
= 1 2 ，
1 1
代入得 ( 1 > 2) = 2 =
1
2 ;
(2)当 = 0 时， = 0 1对应 1= 2，概率为 ；
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当 1 ≤ ≤ 1 时，满足 | 1 2| = 的情况共有 2( )种，
故概率为： ( = ) = 2( ) 2 ，
期望 ( )： ( ) = 1 2( ) 2 1 =1 2 = 2 =1
1 2
=1 ，
1 = ( 1) , 1 2 = ( 1) (2 1)代入求和公式： =1 2 =1 6 ，
2
整理得： ( ) = 2 ( 1) ( 1) (2 1) 1 2 2 6 = 3 ;
(3)由 + = 1+ 2且 = ，
( ) + ( ) = ( 1) + ( ) =
+1
2 2 × 2 = + 1
结合期望线性可加性得： 2
( ) ( ) = ( ) = 13
( ) = ( +1)
2
1 = 2
2+3 +1 = (2 +1)( +1)联立解得： 2 6 6 6 ，
( +1) 2 1 4 2 ( ) = + = +3 12 6 6 ．
19.(1)解：集合 = 1,2,3,4 ，求 = + 2 ∣ ≠ 的元素：
= 1 1 + 2 2 = 5,1 + 2 3 = 7,1 + 2 4 = 9;
= 2 2 + 2 1 = 4,2 + 2 3 = 8,2 + 2 4 = 10;
= 4 4 + 2 1 = 6,4 + 2 2 = 8,4 + 2 3 = 10.
集合 = {4,5,6,7,8,9,10,11}，
∪ = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}，交集 ∩ = 4 ，
得 = {1,2,3,5,6,7,8,9,10,11}，
所以 = 10；
(2)(ⅰ)解：设 的首项为 ， = { , + , + 2 }( ∈ ， > 0)，
所以 = {3 + , 3 + 2 , 3 + 4 , 3 + 5 }
由于 ∈ , > 0， ， 中的公共元素只有 + 2 = 3 + ，即 = 2 ，
此时| |的最小，
此时 = { , 3 , 5 }， = {5 , 7 , 11 , 13 }
则 = { , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 }， = {5 }
从而 = { , 3 , 7 , 11 , 13 }，
所以 最小值为 5；
(ⅱ)集合 中元素个数| | = = 2025，
考虑 + 2 的取值，可得 中元素个数最多为 2 1 个，
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= 2025， 中最多 2 1 = 4049 个元素，
因为 中的元素为等差数列，要使| |最小，即| ∩ |最大，
由于 是等差数列， ∩ 中元素个数最多为 1 个，
根据| | = | ∪ | | ∩ | = | | + | | 2| ∩ |，
把| | = = 2025，| | ≥ 2 1，| ∩ | ≤ 1 代入
得：| | = | | + | | 2| ∩ | ≥ + (2 1) 2( 1) = + 1，
当 = 2025 时，| | ≥ 2026，即| |的最小值为 2026．
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