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2025年全国高考统一考试押题预测押题卷(一)新高考 I卷
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,2}， = { | ( 1) = 0}，则 ∪ =( )
A. {0} B. {0,1,2} C. { 1,0,1,2} D. { 1,0,2}
2.复数 满足 = 2 1，则在复平面内，复数 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量 = ( + 1,2)， = (1, ).若 ⊥ ，则 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 13 D.
1
3
4.已知 sin( + ) = 35，tan = 2tan ，则 sin( ) =( )
A. 1 B. 15 5 C.
2
5 D.
3
5
5.如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是 的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥(以圆柱的上底
面为底面，下底面圆心为顶点)剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边
几何体的截面面积为 1，截得半球的截面面积为 2，则( )
A. 1 < 2 B. 1 = 2
C. 1 > 2 D. 1与 2的大小关系不确定
6.已知{ }是公差不为 0 的等差数列，其前 项和为 ，则“ ∈ ， ≥ 9”是“ 9 ≤ 0”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若函数 ( ) = 2sin + cos 3, ∈ (0, π)的两个零点分别为 1和 2，则 cos( 1 + 2) =( )
A. 3 B. 1 C. 1 D. 35 5 5 5
8.已知 ( )是定义在 上的增函数，且存在函数 ( )使得 ( ( )) = ，若 1， 2分别是方程 ( 1) + = 4
和 ( + 1) + = 2 的根，则 1 + 2 =( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法中，正确的命题是( )
A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的绝对值越接近于 1
B.口袋中有大小相同的 7 个红球、2 个蓝球和 1 个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量 ，
则 7的数学期望 ( ) = 5
C.若随机变量 , 2 ，当 不变时， 越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
D.对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测，从中任取 2 件，已知其中一件为正品，则另一
5
件也为正品的概率是13．
10.若实数 ， 满足 4 2 + 2 = 1 + ，则( )
A. ≤ 1 23 B. ≥ 1 C. + ≤ 1 D. + ≤ 5 10
11.如图，在直三棱柱的两条棱上分别取点 1, 2, 3, , , +1, 1, 2, 3, , , +1，使得 //
+1 +1 = 1,2,3, , ，且直线 与直线 +1 +1之间的距离均为 2，分别过直线 作垂直于该三棱
柱底面的截面，得到 个四棱柱，若该三棱柱的高为 1，记 1 1 = 1， 2 2 = 2，则( )
A. = 2 1 + 2 1 B. +1 +1 = 1 + 2 1
C.第 个四棱柱的体积为 3 1 2 + 2 2 21 D.前 个四棱柱的体积之和为 2 1 + 2 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.有 4 辆车停放在 5 个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停
放，则共有 种不同的停放方法．
13.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的
轴.如图，抛物线 : 2 = 4 的焦点为 ，由点 发出的光线经点 反射后经过点 ，若点 在 上，且| | = | |，
∠ = 6， = 3 ，则| | =
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14.函数 ( ) 的定义域为 ，满足：① ( )在 内是单调函数；②存在[ 2 , 2 ] ，使得 ( )在[ 2 , 2 ]上的值域
为[ , ]，那么就称函数 = ( )为“优美函数”，若函数 ( ) = ( )( > 0, ≠ 1)是“优美函数”，
则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已知 2 = 2 cosB.
(1)求角 ;
(2)若 = 4，点 在边 上， 为∠ 的平分线，且 = 2 3，求边长 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，三角形 是以 为斜边的等腰直角三角形， // ， ⊥ ， = 2 =
2 = 2， 为 的中点．
(1)证明： //平面 ;
(2)若∠ = 60 ，求直线 与平面 的夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的
实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取 75 人进行调查，得到如
下 2 × 2 列联表：
成绩有进步 成绩没有进步 合计
参加周六到校自主自习 55 20 75
未参加周六到校自主自习 30 45 75
合计 85 65 150
(1)依据表中数据，判断是否有 99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联
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(2)从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取 10 人.若从
这 10 人中随机抽取 2 人，记 为成绩有进步的学生人数，求 的分布列及数学期望．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + ) , = + + + .
= ( 2 ) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.(本小题 17 分)
2 2 1
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率 = 2，过点(1,0)的动直线 与椭圆相交于两点，当直线 与 轴垂
直时，直线 被椭圆 截得的线段长为 3．
(1)求椭圆 的方程;
(2)直线 = 与椭圆 交于 ， 两点， 是椭圆 上一动点(不同于 ， )，记 ， ， 分别为直线 ，
， 的斜率，且满足 = ，求点 的坐标(用 表示);
(3)过左焦点 1的直线交椭圆于 ， 两点，是否存在实数 ，使| | = 1 1 恒成立 若存在，求此时
| |的最小值;若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
若函数 = ( )和 = ( )同时满足下列条件： ①对任意 ∈ ，都有 ( ) ≤ ( )成立; ②存在 0 ∈ ，使
得 ( 0) = ( 0)，则称函数 = ( )为 = ( )的“ 函数”，其中 0称为“ 点”．
(1)已知图像为一条直线的函数 = ( )是 = sin 的“ 函数”，请求出所有的“ 点”;
(2)设函数 = ( )为 = ( )的“ 函数”，其“ 点”组成集合 ;函数 = ( )为 = ( )的“ 函数”，
其“ 点”组成集合 .试证明：“函数 = ( )为 = ( )的“ 函数”的一个充分必要条件是“ ∩ ≠
”;
(3) 记 ( ) = ( 为自然对数的底数)， ( ) = + ( , ∈ )，若 = ( )为 = ( )的“ 函数”，且
“ 点” 0 > 0，求实数 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13.4 373
14.(0, 14 )
2 2 2 2 2 2
15.解：(1)因为 2 = 2 = 2 + = + 2 ，
所以 2 2 = 2 + 2 2，即 2 + 2 2 = ，
2 2 2
所以 = + 12 = 2，
因为 ∈ (0, )，
所以 = 3，
(2)因为在△ 中， △ = △ + △ ，
1
所以2 · · ·sin∠ =
1
2 · · ·sin∠ +
1
2 · · ·sin∠ ，
所以 4 · 3 = (4 ∠ + · ∠ )，
因为 为∠ 的平分线，
所以∠ = ∠ = 1∠ = 2 6，
所以 2 3 = 12 4 + ，
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由 = 2 3 1，所以 2 3 = 2 × 2 3 4 +
所以 = 4，
所以边长 的值为 4．
16.解：(1)取 中点为 ，连接 ， ，则 // // ，
且 = 12 = ，从而四边形 为平行四边形．
则 // ，又 平面 ， 平面 ，则 //平面 ；
(2)如图取 中点为 ，连接 ， ．
因三角形 是以 为斜边的等腰直角三角形， = 2，
= 2, = 1则 2 = 1.
1
因 = = = 2 = 1， // ，
则四边形 为平行四边形，则 = 1， // ，结合 ⊥ ，
则 ⊥ ， = 2，结合∠ = 60 ，则 为等边三角形，
得 = 2.又 = 1， = 1，则 2 + 2 = 2，故 ⊥ ．
又 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，则 ⊥ 平面 ．
故如图建立以 为坐标原点的空间直角坐标系．
则 0,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , 0, 1,0 , 1,1,0 , 0,0,1 ，
因 为 的中点，则 0, 1 , 12 2 ．
1 1
从而 = 1, , ， 2 2 = 1,0, 1 ，
= 1,1, 1 ．

设平面 = , , = = 0法向量为 ，则 , = + = 0
取 = 1,0,1 ，设直线 与平面 的夹角为 ，
1+1
则 sin = cos , = 2 = 3，从而 cos = 1 2 = 33．
1+1 14+4× 2
6 6
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17.解：(1)零假设为 0：认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”没有关联，
150×(55×45 30×20)2
经计算得 2 = 75×75×85×65 ≈ 16.968 > 10.828，
根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，有充分证据推断 0不成立，
所以有 99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联．
(2)按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取 4 人，成绩没有进步同学抽取 6 人
的所有可能取值为 0，1，2，
2
( = 0) = 62 =
1
，
10 3
1
( = 1) = 4
1
6 8
2
= ，
10 15
2
( = 2) = 4 22 = ， 10 15
的分布列为：
0 1 2
1 8 2
3 15 15
1 8
所以 的期望为： ( ) = 0 × 3 + 1 × 15 + 2 ×
2 4
15 = 5．
18.解：(1) 3 1由题意，可得点(1, 2 )在椭圆 上，且椭圆的离心率 = 2，
1
2 +
9
4 2 = 1 2 = 4
所以 = = 1 ，解得 2 = 3， 2 2
2
= 1
= 2 + 2
2 2
所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．
(2)设点 ( 1, 1)，
2 2
因为点 3在椭圆上，所以 14 +
1
3 = 1，即
2
1 = 3 4
2
1，
3
同理，设点 ( 2 22, 2)，则 2 = 3 4 2，且 1 ≠± 2，
又因为直线 ： = 过原点，
所以 ， 关于原点对称，所以点 ( 2, 2)，
= 1 2 × 1+ 2 =
2
1
2 3 2 2
所以 2 = 4
( 1 2) 3
1 + 2 2 2 2
= ，
2 1 2 1 2 1 2 4
3
可得 = 4，
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=
联立 2 2 ，消去 并整理得(3 + 4 2) 2 = 12，
4 + 3 = 1
2 3 2 3 2 3 2 3
解得 = ， = 或 = ， = ，
3+4 2 3+4 2 3+4 2 3+4 2
3 4 3 4 3用 4 代替上述坐标中的 ，可得 ( , )或 ( , )，其中 ≠ 0．4 2+3 4 2+3 4 2+3 4 2+3
(3)由(1)知，左焦点 1( 1,0)，
当直线 斜率为零时，不妨设 ( 2,0)， (2,0)，
则 1 = ( 1,0)， 1 = (3,0)，可得 1 1 = 3，| | = 4，
则存在 = 4，使| 3
| = 1 1 成立；
当直线 的斜率不为零时，设直线方程为 = 1，
= 1
联立 2 2 ，消去 并整理得(3 2 + 4) 2 6 9 = 0，
4 + 3 = 1
= ( 6 )2 + 36(3 2 + 4) > 0，
设 ( 3, 3)， ( 4, 4)，
+ = 6 9所以 3 4 3 2+4， 3 4 = 3 2+4，
则|
2
| = 1 + 2| | = 1 + 23 4 ( 3 + 4)2 4 3 =
12( +1)
4 3 2+4 ，
1 1 = ( 3 + 1, 3) ( 4 + 1, 4) = 3 4 + ( 3 + 4) + 1 + 3 4，
因为 3 4 = 2 3 4 ( 3 + 4) + 1， 3 + 4 = ( 3 + 4) 2，
所以 1
2
1 = ( 2 + 1) 3 =
9( +1)
4 3 2+4 ，
所以| | = 4 1 1 3 ，
| 12(
2
| = +1)又因为 3 2+4 = 4
4
3 2+4，
所以当 = 0 时，| |最小，最小值为 3．
综上，存在 = 4，使| | = 1 3 1
恒成立，此时| |的最小值为 3．
19.解：(1)取 0 =
π
2 + 2 π, ∈ Z， ( ) = 1，
π
此时 sin 0 = sin 2 + 2 π = 1, ∈ Z， 0 = 1，
故函数 ( ) = 1 是 = sin π的“ 函数”，“ 点”为 0 = 2 + 2 π, ∈ Z；
(2) = ( )为 = ( )的“ 函数”，其“ 点”组成集合 ，
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故 ( ) ≤ ( )，设 = 1, 2, 3, , ，
函数 = ( )为 = ( )的“ 函数”，其“ 点”组成集合 ，
故 ( ) ≤ ( )，设 = ′1 , ′ ′2 , 3 , , ′ ，
显然对任意 ∈ ， ( ) ≤ ( ) ≤ ( )成立，①成立，
充分性，若 ∩ ≠ ，
不妨设 = ′ ，此时 = = ′ = ′ ，②成立，
故②成立，所以函数 = ( )为 = ( )的‘ 函数’，充分性成立；
必要性，若函数 = ( )为 = ( )的‘ 函数’，
则存在 ，使得 = ，
由于对任意 ∈ ， ( ) ≤ ( ) ≤ ( )成立，故 = = ，
故 ∈ , ∈ ，所以 ∩ ≠ ，充分性成立；
故“函数 = ( )为 = ( )的‘ 函数’”的一个充分必要条件是“ ∩ ≠ ”；
(3) ( ) = e 定义域为 ，
′( ) = 1 e ，当 < 1 时，
′( ) > 0，当 > 1 时， ′( ) < 0，
所以 ( ) = e 在( ∞,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
且当 > 0 时， ( ) = e > 0 恒成立，
(1) = 1 1又 e，取 0 = 1， ( ) = e，
满足 ( ) ≤ ( )且 0 = 0 ，
= ( )为 = ( )的“ 1函数”，此时 = e，
当 ∈ (0,1)时，取 = ，
故当 = ( )为 ( ) = e 在 = 处的切线方程时，才满足要求，
′ = 1 = 1 e ，故切线方程为

e e ，
2
令 = 0 = 得 e ，
2
由于 ∈ (0,1)

，设 ( ) = e ， ∈ (0,1)，
2
所以 ′( ) = 2 = (2 )e e > 0 在 ∈ (0,1)上恒成立，
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2
故 ( ) = e 在 ∈ (0,1)上单调递增，
=
2 12 1
所以 e < e1 = e，

当 ∈ (1, + ∞)时，结合图象，可知 ( ) = e 单调递减且下凸，
对任意的 ( ) = + ( ∈ )，无法做到 ( ) ≤ ( )恒成立，
1
综上，实数 的最大值为e．
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