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湖南2025届高三天壹冲刺压轴大联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则在复平面内，对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知命题：，，命题：，，则
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.正方形中，，，设，，则
A. B. C. D.
4.棱长为的正方体中，点到平面的距离为
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递增，则的取值范围是
A. B. C. D.
6.若曲线：与：依次交于，，，四点，则四边形的面积为
A. B. C. D.
7.已知某圆锥轴截面等腰三角形的顶角和其侧面展开图扇形所对的圆心角之和为，则该圆锥轴截面等腰三角形的顶角为
A. 锐角 B. 直角
C. 钝角 D. 锐角，直角，钝角都有可能
8.为了落实“五育并举”的相关政策，某高中开设了六门劳动实践课，每名学生从“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果栽培”“蔬菜种植”“打印”这六门劳动实践课中任选两门参加，则甲、乙、丙这名学生至少有名学生所选劳动实践课全不相同的方法种数共有
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设公比为的等比数列的前项和为，已知，，则
A. B. C. D.
10.已知菱形，为抛物线：的焦点，为的准线与轴的交点，在轴正半轴上，直线交于，两点，在线段上，则
A. B.
C. 为线段的中点 D. 为锐角三角形
11.在中，，则
A. 若，则有最小值 B. 若，则有最大值
C. 若，则有最大值 D. 若，则无最值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为________．
13.下表所示的是相关变量与之间的数据，若与满足经验回归方程，则该曲线必过点________．
14.若曲线上存在横，纵坐标均为整数的点，则称该曲线为容整曲线．已知双曲线：，，，，，，若取每个值的可能性完全相同，则为容整曲线的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
求；
设，数列的前项和为，证明：．
16.本小题分
已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，．
求的面积；
证明：．
17.本小题分
某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占，合格率为；乙品牌占，合格率为；丙品牌占，合格率为，现从该商店随机买一台机器人．
求该机器人是甲品牌合格品的概率；
求该机器人是合格品的概率；
若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率．
18.本小题分
如图，四棱锥中，，，是等边三角形，平面．
证明：平面；
若，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，求球的表面积；
若，且平面与平面夹角的正弦值为，求．
19.本小题分
如图，曲线：的图象形似一个鸡蛋的截面，其中为坐标原点．
求曲线与椭圆的公共点个数；
证明：曲线的图象关于轴对称，且其图象上不存在关于轴对称的两点；
若，为曲线上不同的两点，为中点，已知不在坐标轴上，证明：直线与直线的斜率之积小于是点在轴右侧的充要条件．
参考答案
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15.解：设等差数列的公差为，
由和得：，
联立得，所以，
通项公式为；
前项和为；
证明：由得，因此：，
数列的前项和为： ，
累加后得：，
由于，故．
16.解：由，为锐角三角形，可得，
而，，，
所以 ，
即，可得，则，
故；
由易知，则，
由及余弦定理有，
所以，又，所以．

17.解：用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，
则，，
所以该机器人是甲品牌合格品的概率．
用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌，
；
由知，该机器人是不合格品的概率，
若该机器人是不合格品，它是丙品牌的概率．
18.解：延长，交于点，由平面，且平面，
所以，即，
同理可得，
由，得，
所以，
又，且是等边三角形，
所以，
由几何知识可得，
所以，
又，
由几何知识可得，
所以，
又，
所以平面，
即平面；
由得，，，两两互相垂直，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，且，
可得，
所以，，，，
又，由勾股定理可得，
所以，．
由题意，四边形的各个顶点均在球的一个截面圆上，设，所以，
联立，解得，
所以，
设，由，得，解得，即，
设球的半径为，表面积为，则，．
另解：几何法：
考虑，“二面角”四点共球与原问题等价．
由为直二面角，的外接圆半径：，得，
故，
同理，
所以在正方形中，，

所以外接球半径：，
所以；
由得，设，，，则，
，，，，
设平面的法向量，
则．
取，
设平面的法向量，则
可取，
所以，，
即，解得，舍去，
所以
另解：，结合可得．
取，中点，，连接，，，．
，平面，平面．
平面，
设平面平面，
，
又，，
，，
即为所求二面角的平面角，
设，由题意，
又，
解得，
，
．
19.解：公共点的个数即为使方程成立所对应的解的组数，
由题易得若，则有两个互为相反数的值满足条件，
公共点个数即为函数小于的零点个数的两倍，
易得，，，
设，则，
则在上小于，在上大于，
故，单调递增，故为的唯一零点，
因此曲线与椭圆的公共点个数为．
易得，
故曲线关于轴对称
曲线上不存在关于轴对称的两点，即，时，，
令，则，
，
故单调递增，
时，故，时，，命题得证．
设，，则，，
两式相减得，
由题得直线，斜率存在，
故，
先证明，
不妨设，即证，
令，即证，，
由有，
故，
当在第一象限时，，，易证时，，
故，
故
当在第四象限时，由对称性，作与，与关于轴对称，中点为，则在第一象限，则，，
同理可得
当在第三象限时，，，，
故
当在第二象限时由对称性同理可得
又斜率存在，不在坐标轴上，
故直线的斜率与直线的斜率之积小于是点在轴右侧的充要条件．
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