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安徽师范大学附属中学2025届高三考前适应性检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的虚部为 ( )
A. B. C. D.
3.若等比数列的第项和第项分别为和，则的第一项( )
A. B. C. D.
4.甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，人的名次排列可能有种不同情况？
A. B. C. D.
5.已知( )
A. B. C. D.
6.已知函数 既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点，则( )
A. B. C. D.
8.已知个样本数据的平均值为，方差为，则这个数据的分位数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是函数定义域内的极小值点
B. 的单调减区间是
C. 在定义域内既无最大值又无最小值
D. 若有两个不同的交点，则
10.已知，则下列结论正确的有( )
A. B. 的最小值为
C. 的最小值为 D.
11.如图所以，为的等腰三角形，，为等边三角形，分别在线段和上移动，满足，，，现将绕着旋转，当二面角的平面角为时，则下列结论正确的是 ( )
A. 和是异面直线
B. 三棱锥的体积为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中的系数为，则 ．
13.已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的 条件
14.记函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
求最小正周期及对称中心；
在中，，，分别为角，，的对边，且，求的面积．
16.本小题分
已知函数为偶函数．
求的值；
求的最小值；
17.本小题分
某地，，，四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，年月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如下表单位：十台
商场 商场 商场 商场
购进该型冰箱数
销售该型冰箱数
已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程
假设每台冰箱的售价均定为元若进入商场的甲、乙两人购买这种冰箱的概率分别为，，且甲乙是否购买冰箱互不影响若两人购买冰箱总金额的期望不超过元，求的取值范围．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，．
18.本小题分
如图，在斜三棱柱中，平面平面，分别为棱的中点，．
若四边形为菱形，证明：平面；
若
求平面与平面夹角的余弦值；
若斜三棱柱内存在两个体积相等且相切的球，且每个球都与该三棱柱的一个底面及三个侧面相切，求点到平面的距离．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过点且倾斜角为度的直线交双曲线于，两点，在轴右侧且
求双曲线方程
若直线是过的右支上点的切线，且不与轴垂直，过分别作直线的垂线，垂足为
求证：点均在以为圆心的定圆上，且
求证：是定值。
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13必要不充分
14
15解：
，
最小正周期，
又，，
，，
即对称中心是，
，
，
，，
，，
．

16解：因为为偶函数，
所以，则，
所以，即恒成立，
因为不恒为，所以，故．
由得，
，
因为，则，当且仅当，即时，等号成立，
所以，故最小值为

17解：，，
所以，
则，
故关于的线性回归方程为．
设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为，则的所有可能取值为，，
，
，
所以
令，即，
解得：，又，所以．
所以的取值范围为

18解：如图，连接，
因为四边形为菱形，所以，
因为分别为棱的中点，所以，所以，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面．
．
由可知平面，
以为原点，所在直线为轴，以过点且与平行的直线为轴，平面内过点且与垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
在中，，
则在等腰中可得，
则，
则，
则，
所以的一个方向向量为的一个方向向量为，
由，得，则直线上存在点，
所以的一个方向向量为，
设平面的法向量为，
则，取，所以，
设平面的法向量为，
则，取，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
设与平面相切的球的球心为，与平面相切的球的球心为，
由题意知球均与平面相切，设切点分别为，
连接，则，，
因为球均与平面相切，所以平面，
因为平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
设球的半径为，球心，则，
因为平面，所以点到平面的距离为，则，
由，得，
由，得，
代入，解得，
所以，
则线段在轴上的投影长度为，
所以斜三棱柱的高为，
所以点到平面的距离为．

19解：，
由题意可知，直线的方程为，
联立
设 ，
则 ，且
又 ，
解得，
，
又，
，
设，，
由双曲线光学性质，，
，，
，均为等腰三角形，
，，，，
又，分别为，的中位线，
，，
又，
，同理，，
，在以原点为圆心的单位圆上．
设关于的对称点为点，设处双曲线的切线交于，
由对称性：，

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