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（4）二元一次方程组—七年级下册数学人教版（2024）期末四步复习法
第一步：学习目标
1.二元一次方程组的概念 （1）理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的概念； （2）能够检验一对数值是否是某个二元一次方程（组）的解； （3）能够根据实际问题列出简单的二元一次方程（组）.
2.消元——解二元一次方程组 （1）了解解二元一次方程组的基本思想——消元思想； （2）能够用代入法或消元法解二元一次方程组； （3）利用二元一次方程组解决简单的实际问题.
3.实际问题与二元一次方程组 （1）掌握应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤； （2）在运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，进一步提高分析问题、解决问题的能力.
4.三元一次方程组的解法 （1）了解三元一次方程组的概念； （2）能解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元思想”， （3）能够利用三元一次方程组解决简单的实际问题.
第二步：思维导图
第三步：重难知识、易混易错
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.
【例题】若关于x的方程是二元一次方程,则______.
答案：-2
解析：根据题意得：,
解得：.
故答案为-2.
二元一次方程组：有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
【例题】下列方程组是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：A.是二元一次方程组,故此选项符合题意;
B.有一个方程含有分式,不是二元一次方程组,故此选项不符合题意;
C.有一个方程的次数是2,不是二元一次方程组,故此选项不符合题意;
D.有一个方程的次数是2,不是二元一次方程组,故此选项不符合题意:
故选:A.
二元一次方程的解：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的一组解.
【注意】二元一次方程有无数组解，但如果对未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个解.
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【例题】已知是二元一次方程的解，则m的值是( )
A.5 B.2 C.1 D.
答案：A
解析：把代入方程，得：，
∴；
故选：A.
代入消元法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，代人另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.
代入法解二元一次方程组的步骤：
①变形：选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②代入：将①中的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的）；
③求解：解这个一元一次方程，求出未知数的值；
④回代：将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；
⑤写解：用“{ ”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
⑥检验：最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.
【例题】二元一次方程组的解为__________.
答案：
解析：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
方程组的解为：.
故答案为：.
加减消元法：加减消元法：将二元一次方程组中两个方程相加(或相减，或进行适当变形后再加减)，消去一个未知数，得到一元一次方程.通过求解一元一次方程，再求得二元一次方程组的解.这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
加减法解二元一次方程组的步骤：
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等；
②加减消元；
③解一元一次方程；
④求另一个未知数的值，得方程组的解．
【解题技巧】（1）当方程组中某一个未知数的系数是1（或）时，优先考虑代入法；
（2）当两个方程中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减法较简单；
（3）当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数都比较复杂时，往往选用加减法.
【例题】已知a，b满足方程组 则的值为________
答案：3
解析：
得：，即，
故答案为：3.
二元一次方程组解应用题的一般步骤：
1.审题：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系；
2.设元：用字母表示题目中的未知数；
3.列方程组：根据题中的等量关系列出方程组；
4.解方程组：解方程组，求出未知数的值；
5.检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
【例题】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中《盈不足》名记载了一道数学问题： “今有共买物，人出六，赢二； 人出五，不足三.问人数、物价各几何 译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱； 每人出5钱，又差3钱.问人数、物价各多少 ”请解答上述问题.
答案：有5人，物价为28钱.
解析：设有x人，物价为y钱，
由题意可得，，
解得，
答：有5人，物价为28钱.
【例题】蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意.某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，购买两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元.求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格？
答案：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元
解析：设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元，
依题意可得：，
解得：，
答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元.
三元一次方程组：由三个方程组成，含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组.
三元一次方程组的解题思路：
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程.
【例题】解方程组：
答案：
解析：
，得.④
，得.⑤
由④和⑤组成一个二元一次方程组解得
把代入②，得，解得.
故原方程组的解为
第四步：对接中考
1．[2024年辽宁中考真题]我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为( )
A. B. C. D.
2．[2024年四川宜宾中考真题]某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为( )
A.8箱 B.9箱 C.10箱 D.11箱
3．[2024年四川绵阳中考真题]如图,每只蜻蜓有6条腿,2对翅膀,每只蝉有6条腿,1对翅膀.现有若干蜻蜓和蝉,共有42条腿,10对翅膀,则蜻蜓和蝉的只数分别是( )
A.3,4 B.4,3 C.2,5 D.5,2
4．[2024年江苏宿迁中考真题]若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是_________.
5．[2024年江苏淮安中考真题]《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著,其中有这样一个问题：“今有客不知其数.两人共盘,少两盘；三人共盘,长三盘.问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人.若2个人共用1个盘子,则少2个盘子；若3个人共用1个盘子,则多出来3个盘子.问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题.
6．[2024年江苏苏州中考真题]解方程组：.
7．[2024年浙江中考真题]解方程组：.
8．[2024年广西中考真题]解方程组：
答案以及解析
对接中考
1．答案：D
解析：设鸡有x只，兔有y只，
由题意得：，
故选：D.
2．答案：C
解析：设可以装x箱大箱，y箱小箱，根据题意，得，.
又x，y均为自然数，或或
或9或10，所装的箱数最多为10箱.故选C.
3．答案：A
解析：设蜻蜓是x只,蝉是y只,
由题意得：
,解得：.
所以蜻蜓和蝉的只数分别是3,4.
故选：A.
4．答案：
解析：把代入，得：，
，
，即：，
，得：，
方程组有解，
，
，
把代入①，得：，解得：；
方程组的解集为：；
故答案为：.
5．答案：有30个客人,13个盘子
解析：设有x个客人,y个盘子.
根据题意,得,
解得,
答：有30个客人,13个盘子.
6．答案：
解析：
①-②,得,解得.
将代人①,得,解得.
方程组的解是.
7．答案：
解析：
①×3＋②得，
解得，
把代入①得，
解得
.
8．答案：
解析：，
得：，
解得：，
把代入①得：
，
方程组的解为：.

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