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（5）不等式与不等式组—七年级下册数学人教版（2024）期末四步复习法
第一步：学习目标
1.不等式 （1）理解不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式的概念； （2）掌握不等式的性质，能用不等式的性质解简单的不等式； （3）能在数轴上表示不等式的解集.
2.一元一次不等式 （1）了解一元一次不等式的概念； （2）会解一元一次不等式并能在数轴上表示一元一次不等式的解集； （3）能够应用一元一次不等式解决简单的实际问题.
3.一元一次不等式组 （1）理解一元一次不等式组及不等式组的解集的概念； （2）会解一元一次不等式组并能在数轴上表示一元一次不等式组的解集； （3）能够应用一元一次不等式组解决实际问题.
第二步：思维导图
第三步：重难知识、易混易错
不等式的概念：用不等号（）表示大小关系的式子叫做不等式.
常见的不等式基本语言及其符号表示如下表：
不等式基本语言 符号表示
是正数
是负数
是非正数
是非负数
同号
异号
【例题】式子①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：C
解析：根据不等式的概念可知②是不等式；⑤是不等式；⑥是不等式.故属于不等式的有3个，故选C.
【例题】根据“与5的和是负数”可列出不等式________.
答案：
解析：由题意得：,
故答案为:.
不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式.
【例题】不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：在数轴上表示时,其点应是空心,方向为向右,
因此,综合各选项,只有C选项符合；
故选：C.
不等式的性质：
不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 如果， 那么
不等式的性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果， 那么
不等式的性质3 不等号两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果， 那么
【例题】若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：A、则，原写法错误，不符合题意；
B、则，原写法正确，符合题意；
C、则，原写法错误，不符合题意；
D、则，原写法错误，不符合题意；故选：B.
一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
【注意】含有一个未知数隐含着未知数的系数不等于0.
例如，如果已知（是常数）是一元一次不等式，那么就隐含了这个条件.
一元一次不等式的解法：
步骤 具体做法 依据
去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数. 不等式的性质2,3
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）. 分配律、去括号法则
移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边. 不等式的性质1
合并同类项 系数相加，字母及字母的指数不变. 合并同类项法则
系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数（或乘未知数的系数的倒数），将不等式化为（）或（）的形式. 不等式的性质2,3
【例题】解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
答案：，见解析
解析：
.
将不等式解集在数轴上表示为：
列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤：
1.审：认真审题，找出题中的已知量、未知量，并明确它们之间的关系；
2.设：用字母表示题目中的未知数；
3.列：根据题中的不等关系列出不等式；
4.解：解不等式，求出其解集；
5.验：检验所求的不等式解集是否符合实际意义；
答：写出答.
【例题】总书记曾指出“保护生态环境就是保护生产力，改善生态环境就是发展生产力”，我市自践行科学生态观以来，全市生态环境持续优化.已知去年我市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到，如果明年（365天）这样的比值要超过，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？
答案：37天
解析：设明年空气质量良好的天数比去年要增加天，根据题意可得：
，
解得：，
为整数，
，
答：明年空气质量良好的天数比去年至少要增加37天.
一元一次不等式组：类似于方程组，把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组.
不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.
【注意】（1）“公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的部分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解.
（2）不等式组的解集中的每一个解满足不等式组中的每一个不等式.
一元一次不等式组的解集四种情况：
不等式组
不等式组的解集 无解
不等式组的解集在数轴上的表示
巧记口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大中间找
【例题】解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有整数解.
答案：，数轴见解析，整数解有：
解析：，
解①得，
解②得，
∴，
如图，
整数解有：.
【例题】已知关于x的不等式组无解,则m的取值范围为______.
答案：
解析：,
由①得：,
由②得：,
∵不等式组无解,
∴,
解得,；
故答案为：.
【例题】校园体育节的来临,博才中学决定搭配A、B两种园艺造型共50个,最多可以提供385盆甲种花卉和235盆乙种花卉.已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆,乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆,乙种花卉9盆.
(1)八年级课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
(2)若搭配一个A种造型的成本是200元,搭配一个B种造型的成本是360元,试说明(1)中哪种方案成本最低,最低成本是多少元
答案：(1)三种,A种园艺43种,B种园艺7种；A种园艺44种,B种园艺6种；A种园艺45种,B种园艺5种
(2)应选择方案三,成本最低,最低成本为10800元.
解析：(1)设搭配A种造型x个,则B种造型个,
依题意得：,
解不等式得：,
∵x是整数,
∴x可取43,44,45,
∴可设计三种搭配方案：
A种园艺43种,B种园艺7种；
A种园艺44种,B种园艺6种；
A种园艺45种,B种园艺5种；
(2)由(1)可知三种方案,其中,
方案一所需成本：(元)；
方案二所需成本：(元)；
方案三所需成本：(元)；
∴应选择方案三,成本最低,最低成本为10800元.
第四步：对接中考
1．[2024年广东广州中考真题]若，则( )
A. B. C. D.
2．[2024年四川雅安中考真题]不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
3．[2024年浙江中考真题]不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
4．[2024年陕西中考真题]不等式的解集是( )
A. B. C. D.
5．[2024年贵州中考真题]不等式的解集在数轴上的表示，正确的是( )
A. B.
C. D.
6．[2024年四川遂宁中考真题]不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
7．[2024年广西中考真题]不等式的解集为______.
8．[2024年湖北武汉中考真题]求不等式组的整数解.
9．[2024年天津中考真题]解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答.
（1）解不等式①，得__________；
（2）解不等式②，得__________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为__________.
10．[2024年宁夏中考真题]解不等式组.
11．[2024年湖南中考真题]某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.
（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
12．[2024年山西中考真题]为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
答案以及解析
对接中考
1．答案：D
解析：A.，
，则此项错误，不符题意；
B.，
，则此项错误，不符题意；
C.，
，则此项错误，不符合题意；
D.，
，则此项正确，符合题意；
故选：D.
2．答案：C
解析：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
故选：C.
3．答案：A
解析：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为.
在数轴上表示如下：
故选：A.
4．答案：D
解析：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
故选：D.
5．答案：C
解析：不等式的解集在数轴上的表示如下：
.
故选：C.
6．答案：B
解析：，由①得，，由②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为，故选：B.
7．答案：
解析：移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
故答案为：.
8．答案：整数解为：-1，0，1
解析：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：，
整数解为：-1，0，1.
9．答案：（1）
（2）
（3）见解析
（4）
解析：（3）不等式组的解集在数轴上表示如下：
10．答案：
解析：，
解不等式①得，，解不等式②得，，
所以不等式组的解集为.
11．答案：（1）50元、30元
（2）400棵
解析：（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，
根据题意，得，
解得，
答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；
（2）设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗棵，
根据题意，得，解得，
答：最多可以购买脐橙树苗400棵.
12．答案：最多可购买这种型号的水基灭火器12个
解析：设可购买这种型号的水基灭火器x个，
根据题意，得.
得.
因为x为整数，且x取最大值，所以.
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个.

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