资源简介

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15.3.1等腰三角形
（课时1）
第十五章 轴对称
人教版（2024）
素养目标
2.能应用等腰三角形的性质解决基本的几何问题；
1.探索并证明等腰三角形的两个性质；
重点
重难点
3.探索等腰三角形的轴对称性.
新知导入
什么叫等腰三角形，等腰三角形具有哪些因素？
等腰三角形
有两条边相等的三角形叫等腰三角形.
腰
腰
底边
底角
顶角
【思考】等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质，还有什么特殊的性质？
探究新知
如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来.将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角.
A
B
C
D
探究新知
重合的线段 重合的角
　
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
A
B
C
D
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？
探究新知
【猜想1】等腰三角形的两个底角相等
【猜想2】等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.
你有办法证明这两个猜想的正确性吗？
探究新知
已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC. 求证： ∠B =∠C.
A
B
C
D
作底边 BC 的中线 AD，则BD = CD，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B =∠C .
AB = AC
BD = CD
AD = AD
在 △ABD 和 △ACD 中，
你还能利用其他方法证明等腰三角形的该性质吗？
等腰三角形的两个底角相等
探究新知
A
B
C
D
作底边上的高线.
方法二：
在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中，
∵ AD⊥BC，
∴∠B =∠C.
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL).
∴∠ADB =∠ADC = 90°.
等腰三角形的两个底角相等
AB=AC
AD=AD
归纳总结
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等.（简写成“等边对等角”）.
几何语言：
∵ △ABC 是等腰三角形，
∴ ∠B=∠C (等边对等角).
A
B
C
探究新知
A
B
C
D
因为△ABD≌△ACD ，
所以还可以得到，∠BAD =∠CAD，∠BDA=∠CDA，即AD⊥BC.
用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边.即等腰三角形“三线合一”.
由△ABD≌△ACD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？
这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.
三线合一
归纳总结
等腰三角形的性质2：
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线相互重合
（简称“三线合一”）
【注意】腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质
A
B
C
D
归纳总结
几何语言：在 △ABC 中，AB = AC.
(1) ∵AB = AC，BD=CD，
∴______________，________ (等腰三角形的“三线合一”)
(2) ∵AB = AC，AD 平分∠BAC，
∴_________，AD⊥BC，_________________________
(3) ∵AB = AC，AD⊥BC，
∴BD = CD，______________(等腰三角形的“三线合一”)
∠BAD =∠CAD
AD⊥BC
BD = CD
( 等腰三角形的“三线合一”)
∠BAD =∠CAD
A
B
C
D
探究新知
沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合.
【思考】等腰三角形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.
例题练习
A
B
C
D
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，
求 △ABC 各角的度数.
解：∵ AB = AC，BD = BC = AD，
∴∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
解得 x = 36°，
于是在△ABC 中，有∠A +∠ABC +∠C
= x + 2x + 2x = 180°，
设∠A = x，则∠BDC = ∠A+ ∠ABD = 2x，
从而∠ABC = ∠C = ∠BDC =2x，
∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD.（等边对等角）
D
40
B
D
6
小结
等腰三角形
2.等腰三角形 ，
简称“ ”
3.等腰三角形是 图形
1.等腰三角形的两个底角_____，
简称“___________”
相等
底边上的中线、高及顶角平分线相互重合
轴对称
三线合一
等边对等角
谢谢同学们的聆听

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