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专题提升练7　圆周运动的临界问题
　
梯级Ⅰ基础练
1.(2024·江苏卷)陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶瓷的简化工作台，当陶瓷匀速转动时，台面面上掉有陶屑，陶屑与桌面间的动摩因数处处相同(台面够大)，则(　　)
A.离轴OO'越远的陶屑质量越大
B.离轴OO'越近的陶屑质量越小
C.只有平台边缘有陶屑
D.离轴最远的陶屑距离不会超过某一值
2.如图所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，水平轻绳连接两个物体A和B，物体A的质量为M，物体B的质量为m，物体A在转轴位置上，绳刚好被拉直且无拉力。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数相等。在圆盘转动的角速度从零慢慢增大的过程中(　　)
A.绳中一直有拉力，且逐渐最大
B.物体B一直受到圆盘的摩擦力
C.物体A一直受到圆盘的摩擦力
D.物体B和A受到圆盘的摩擦力大小相等
3.(多选)如图所示，A是用轻绳连接的小球，B是用轻杆连接的小球，两球都在竖直面内做圆周运动，且绳、杆长度L相等，重力加速度大小为g。忽略空气阻力，下面说法正确的是(　　)
A.A球通过圆周最高点的最小速度是
B.B球通过圆周最高点的最小速度为零
C.A球到最低点时处于超重状态，B球到最低点时可能处于超重状态，也可能处于失重状态
D.B球通过最高点时，杆对球的作用力一定竖直向下
4.(多选)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量均为m的A、B两物块(均可视为质点)叠放在一起，距轴心距离为L，随圆盘一起做匀速圆周运动。已知圆盘与B之间的动摩擦因数为μ，B与A之间的动摩擦因数为0.5μ，假如最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A.物块A、B一起匀速转动过程中加速度恒定
B.物块A、B一起转动过程中所需向心力大小相等
C.A、B一起转动的最大角速度为
D.当圆盘越转越快，A相对B最先滑动
5.(2025·淮北模拟)某特技演员曾飞车挑战世界最大环形车道。如图所示，环形车道竖直放置，半径为6 m，若汽车在车道上以12 m/s恒定的速率运动，特技演员与汽车的总质量为1 000 kg，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A.汽车通过最低点时，特技演员处于失重状态
B.汽车通过最高点时对环形车道的压力为1.4×104 N
C.汽车在环形车道上的角速度为1 rad/s
D.若要挑战成功，汽车在最高点的速率至少为10 m/s
6.(2025·亳州模拟)如图所示，平台固定在转轴的顶端，可随转轴一起转动，A、B两个小朋友坐在平台两侧，A的质量为m，B的质量为2m。A到转轴的距离是3l，B到转轴的距离是l。两小朋友腰间系一轻绳，轻绳通过转轴中心，处于刚好伸直且无张力的状态，小朋友与平台接触面间的最大静摩擦力均为其重力的k倍，重力加速度大小为g。若使小朋友与平台保持相对静止，则平台转动的角速度不能超过(　　)
A.　 B. C.　 D.
7.如图所示，某同学利用轻绳和小球制作“拉线飞轮”，他将质量为m的小球系于轻绳的中间，两手水平握住绳的两端，使两手之间的距离与手到小球的距离相等，现在使小球在竖直面内以两手连线为轴做圆周运动，当小球在最高点的速率为v时，轻绳上拉力为零。则小球运动到最高点的速率为2v时，轻绳中的拉力为小球重力的(　　)
A. 倍 B.2倍 C.2 倍 　D.3倍
梯级Ⅱ能力练
8.(多选)(2025·榆林模拟)如图所示，装置BO'O可绕竖直轴O'O转动，可视为质点的小球A与两轻细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时A、B间细线水平，A、C间细线与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球的质量m=1 kg，A、C间细线长L=1 m，B点距C点的水平和竖直距离相等。重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，该装置以一定的角速度匀速转动，下列说法正确的是(　　)
A.若A、B间细线水平且张力恰为0时，该装置匀速转动的角速度ω= rad/s
B.若A、B间细线水平且张力恰为0时，该装置匀速转动的角速度ω=5 rad/s
C.若该装置转动的角速度增加，A、C间细线与竖直方向的夹角一定会增加
D.若该装置转动的角速度增加，A、C间细线与竖直方向的夹角不一定会增加
9.(多选)(2025·西安模拟)如图所示，一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘上面放置一劲度系数k=54 N/m的轻弹簧。轻弹簧的一端固定于中心轴上O点且轻弹簧始终保持水平，另一端连接质量为1 kg的物块(可视为质点)。圆盘未转动时弹簧未发生形变，此时物块到中心轴的距离为0.5 m。已知物块与圆盘间的动摩擦因数为0.1，且接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10 m/s2。现让圆盘以不同的角速度转动，稳定后物块随圆盘一起做匀速圆周运动，弹簧始终在弹性限度内且物块未脱离圆盘。下列说法正确的是(　　)
A.无论圆盘的角速度(不为零)多大，物块受到的摩擦力方向均指向中心轴
B.当圆盘的角速度大小为1 rad/s时，物块受到的摩擦力大小为1 N
C.当圆盘的角速度大小为2 rad/s时，物块受到的摩擦力大小为2 N
D.当圆盘的角速度大小为2 rad/s时，弹簧上的弹力大小为1.08 N
10.如图所示，长为L=0.1 m的绳子(质量不计)下端连着质量为m=1 kg的小球，上端悬于天花板上，当把绳子恰好拉直时，绳子与竖直线的夹角θ=37°，此时小球静止于光滑的水平桌面上，g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
(1)若小球转动起来对平台无压力，求ω的取值范围;
(2)当球以ω1=5 rad/s做圆锥摆运动时，绳子张力T1为多大;桌面受到的压力FN为多大。
梯级Ⅲ创新练
11.(多选)(2025·绵阳模拟)如图所示，水平盘绕垂直于圆心O的轴匀速转动，沿半径方向放置两个物体A和B，A的质量为2m，B的质量为m，A与圆心距离为r，B与圆心距离为3r，两物体用绕过光滑竖直轴(轴过圆心)的轻绳相连，且刚好伸直。两物体与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。在圆盘从静止开始缓慢加速到两物体恰要与圆盘发生相对滑动的过程中(　　)
A.转盘对物体A摩擦力大小逐渐增大
B.物体B的静摩擦力比物体A的静摩擦力先达到最大静摩擦力
C.圆盘角速度小于，轻绳无拉力
D.两物体恰要与圆盘发生相对滑动时，圆盘角速度为
专题提升练7　圆周运动的临界问题
1.D　解析　与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动,静摩擦力提供向心力,当静摩擦力为最大静摩擦力时,根据牛顿第二定律可得μmg=mω2r,解得r=,因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同,由此可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO'的距离与陶屑质量无关,只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑,A、B、C三项错误;离轴最远的陶屑其受到的静摩擦力为最大静摩擦力,由前述分析可知最大的运动半径为R=,μ与ω均一定,故R为定值,即离轴最远的陶屑距离不超过某一值R,D项正确。
2.B　解析　B的向心力F向=mrω2,当角速度从0开始增大,B由静摩擦力提供向心力,且所受的静摩擦力开始增大;当B达到最大静摩擦力,角速度继续增大,此时B靠拉力和静摩擦力的合力提供向心力,此时A开始受到圆盘的静摩擦力作用,且随着角速度继续增大,拉力和A受到的圆盘的静摩擦力都逐渐增大;随着角速度继续增大,拉力越大,当拉力和A的最大静摩擦力相等时,角速度达到最大值,B项正确。
3.AB　解析　A球通过圆周最高点,绳子拉力为0时,速度最小,则有mg=m,解得vmin=,A项正确;B球通过圆周最高点,当受到杆的支持力向上,且大小等于重力mg时,最小速度为零,B项正确;A、B球到最低点时,加速度方向均向上,均处于超重状态,C项错误;B球通过最高点时,若速度v<,杆对球为支持力;若速度v>,杆对球为拉力;若速度v=,杆对球无作用力,D项错误。
4.BD　解析　两物体做匀速转动的向心加速度大小恒定,但向心加速度方向始终指向圆心,一直在变化,加速度不恒定,A项错误;A、B两物块质量相同,根据向心力公式Fn=mω2L,物块A、B一起转动过程中所需向心力大小相等,B项正确;对A、B整体分析,当最大静摩擦力提供向心力,有μ·2mg=2mL,解得ωB=,对A进行分析,当最大静摩擦力提供向心力,有0.5μ·mg=mL,解得ωA=<ωB,故A、B一起转动的最大角速度为,C项错误;由C项分析可知,当圆盘越转越快,最先达到A的临界角速度,A最先产生相对滑动,D项正确。
5.B　解析　汽车通过最低点时,加速度方向竖直向上,特技演员处于超重状态,A项错误;汽车在最高点,根据牛顿第二定律得FN+mg=m,解得FN=m-mg=1.4×104 N,B项正确;汽车在环形车道上的角速度ω== rad/s=2 rad/s,C项错误;要想通过最高点,临界情况是轨道对汽车的压力为零,根据牛顿第二定律得mg=m,解得v'== m/s=2 m/s,即汽车在最高点的速率至少为2 m/s,D项错误。
6.A　解析　两小朋友与平台相对静止,具有共同角速度,刚开始由摩擦力提供向心力,根据mrω2=kmg,分析可得,小朋友A先达到临界态,随着角速度的增大,轻绳上开始产生张力。小朋友A转动过程中需要的向心力FnA=3mlω2,小朋友B转动过程中需要的向心力FnB=2mlω2,A需要的向心力由摩擦力和轻绳张力共同提供,设即将发生相对滑动对应的最大角速度为ωm,对A,有kmg+T=3ml,对B,有T-2kmg=2ml,联立解得ωm=,A项正确。
7.A　解析　当小球在最高点的速率为v时,轻绳上拉力为零,根据牛顿第二定律有mg=m,小球运动到最高点的速率为2v时,根据牛顿第二定律有mg+2Tcos 30°=m,解得轻绳中的拉力T=mg,轻绳中的拉力为小球重力的倍,A项正确。
8.AD　解析　若A、B间细线水平且张力恰为0时,对小球分析有mgtan 37°=mLsin 37°,解得ω0= rad/s,A项正确,B项错误;结合上述可知,当角速度小于 rad/s时,若该装置转动的角速度增加,A、B间细线绷紧有弹力,此时A、C间细线与竖直方向的夹角不变,当角速度大于 rad/s时,若该装置转动的角速度增加一点点,A、B间细线将松弛没有弹力,此时A、C间细线与竖直方向的夹角增大,当A、B间细线再次绷紧有弹力时,该装置转动的角速度增加,A、C间细线与竖直方向的夹角不变,C项错误,D项正确。
9.AD　解析　物块随圆盘做匀速圆周运动,静摩擦力和弹簧的弹力的合力提供做圆周运动的向心力,则无论圆盘的角速度(不为零)多大,物块受到的摩擦力方向均指向中心轴,A项正确;若物块将要产生滑动时圆盘的角速度为ω0,则μmg=mr,解得ω0= rad/s,此时物块受到圆盘的摩擦力为1 N,则当圆盘的角速度大小为1 rad/s时,物块受到的摩擦力大小小于1 N,B项错误;当圆盘的角速度大小为2 rad/s时,物块相对圆盘已经产生了相对滑动,则此时物块受到的摩擦力大小为f=1 N,根据f+kx=mω2(r+x),解得x=0.02 m,此时弹簧上的弹力大小为F弹=kx=1.08 N,C项错误,D项正确。
10.答案　(1)ω≥5 rad/s　(2)2.5 N　8 N
解析　(1)若小球转动起来且恰好对平台无压力时,小球的角速度为ω0,则有
Tcos 37°=mg,
Tsin 37°=mLsin 37°,
解得ω0=5 rad/s,且角速度越大时,θ越大,则若小球转动起来对平台无压力,角速度应满足ω≥5 rad/s。
(2)因为ω1=5 rad/s<5 rad/s,
可知该状态下小球尚未离开桌面,绳子与竖直线的夹角仍为θ=37°,则有
T1sin 37°=mLsin 37°,
T1cos 37°+FN'=mg,
解得T1=2.5 N,FN'=8 N,
根据牛顿第三定律可知,桌面受到的压力FN=FN'=8 N。
11.BC　解析　当圆盘角速度较小时,连接两物体的绳中没有张力,根据牛顿第二定律有fA=2mω2r,fB=mω2·3r由此可知,角速度不断增大,则A、B所受的摩擦力逐渐增大,且物体B所受的摩擦力先达到最大静摩擦力,即fB=μmg=mω2·3r,解得ω=,随着角速度继续增大,则fA+T=2mω2r,T+μmg=mω2·3r,由此可知,角速度增大,绳的拉力增大,fA减小,当A所受的摩擦力沿半径向外达到最大时,A物块开始滑动,此时有T-μ·2mg=2mω2r,T+μmg=mω2·3r,联立解得ω=,综上分析可知,A所受的摩擦力先增大后减小,再反向增大,物体B的静摩擦力比物体A的静摩擦力先达到最大,圆盘角速度小于,轻绳无拉力,两物体恰要与圆盘发生相对滑动时,圆盘角速度为,B、C两项正确。(共31张PPT)
专题提升练7
圆周运动的临界问题
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1.(2024·江苏卷)陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶瓷的简化工作台，当陶瓷匀速转动时，台面面上掉有陶屑，陶屑与桌面间的动摩因数处处相同(台面够大)，则( )
A.离轴OO'越远的陶屑质量越大
B.离轴OO'越近的陶屑质量越小
C.只有平台边缘有陶屑
D.离轴最远的陶屑距离不会超过某一值
梯级Ⅰ 基础练
与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得μmg=mω2r，解得r=，因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO'的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑，A、B、C三项错误；离轴最远的陶屑其受到的静摩擦力为最大静摩擦力，由前述分析可知最大的运动半径为R=，μ与ω均一定，故R为定值，即离轴最远的陶屑距离不超过某一值R，D项正确。
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2.如图所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，水平轻绳连接两个物体A和B，物体A的质量为M，物体B的质量为m，物体A在转轴位置上，绳刚好被拉直且无拉力。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数相等。在圆盘转动的角速度从零慢慢增大的过程中( )
A.绳中一直有拉力，且逐渐最大
B.物体B一直受到圆盘的摩擦力
C.物体A一直受到圆盘的摩擦力
D.物体B和A受到圆盘的摩擦力大小相等
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B的向心力F向=mrω2，当角速度从0开始增大，B由静摩擦力提供向心力，且所受的静摩擦力开始增大；当B达到最大静摩擦力，角速度继续增大，此时B靠拉力和静摩擦力的合力提供向心力，此时A开始受到圆盘的静摩擦力作用，且随着角速度继续增大，拉力和A受到的圆盘的静摩擦力都逐渐增大；随着角速度继续增大，拉力越大，当拉力和A的最大静摩擦力相等时，角速度达到最大值，B项正确。
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3.(多选)如图所示，A是用轻绳连接的小球，B是用轻杆连接的小 球，两球都在竖直面内做圆周运动，且绳、杆长度L相等，重力加速度大小为g。忽略空气阻力，下面说法正确的是( )
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A.A球通过圆周最高点的最小速度是
B.B球通过圆周最高点的最小速度为零
C.A球到最低点时处于超重状态，B球到最低点时可能处于超重状 态，也可能处于失重状态
D.B球通过最高点时，杆对球的作用力一定竖直向下
A球通过圆周最高点，绳子拉力为0时，速度最小，则有mg= m，解得vmin=，A项正确；B球通过圆周最高点，当受到杆的支持力向上，且大小等于重力mg时，最小速度为零，B项正确；A、B球到最低点时，加速度方向均向上，均处于超重状态，C项错误；B球通过最高点时，若速度v<，杆对球为支持力；若速度v>，杆对球为拉力；若速度v=，杆对球无作用 力，D项错误。
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4.(多选)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量均为m的A、B两物块(均可视为质点)叠放在一起，距轴心距离为L，随圆盘一起做匀速圆周运动。已知圆盘与B之间的动摩擦因数为μ，B与A之间的动摩擦因数为0.5μ，假如最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
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A.物块A、B一起匀速转动过程中加速度恒定
B.物块A、B一起转动过程中所需向心力大小相等
C.A、B一起转动的最大角速度为
D.当圆盘越转越快，A相对B最先滑动
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两物体做匀速转动的向心加速度大小恒定，但向心加速度方向始终指向圆心，一直在变化，加速度不恒定，A项错误；A、B两物块质量相同，根据向心力公式Fn=mω2L，物块A、B一起转动过程中所需向心力大小相等，B项正确；对A、B整体分析，当最大静摩擦力提供向心力，有μ·2mg=2mL，解得ωB=，对A进行
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分析，当最大静摩擦力提供向心力，有0.5μ·mg=mL，解得ωA=<ωB，故A、B一起转动的最大角速度为，C项错误；由C项分析可知，当圆盘越转越快，最先达到A的临界角速度，A最先产生相对滑动，D项正确。
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5.(2025·淮北模拟)某特技演员曾飞车挑战世界最大环形车道。如图所示，环形车道竖直放置，半径为6 m，若汽车在车道上以12 m/s恒定的速率运动，特技演员与汽车的总质量为1 000 kg，重力加速度g取10 m/s2，则( )
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A.汽车通过最低点时，特技演员处于失重状态
B.汽车通过最高点时对环形车道的压力为1.4×104 N
C.汽车在环形车道上的角速度为1 rad/s
D.若要挑战成功，汽车在最高点的速率至少为10 m/s
汽车通过最低点时，加速度方向竖直向上，特技演员处于超重状 态，A项错误；汽车在最高点，根据牛顿第二定律得FN+mg=m，解得FN=m-mg=1.4×104 N，B项正确；汽车在环形车道上的角速度ω== rad/s=2 rad/s，C项错误；要想通过最高点，临界情况是轨道对汽车的压力为零，根据牛顿第二定律得mg=m，解得v'== m/s=2 m/s，即汽车在最高点的速率至少为2 m/s，D项错误。
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6.(2025·亳州模拟)如图所示，平台固定在转轴的顶端，可随转轴一起转动，A、B两个小朋友坐在平台两侧，A的质量为m，B的质量为2m。A到转轴的距离是3l，B到转轴的距离是l。两小朋友腰间系一轻绳，轻绳通过转轴中心，处于刚好伸直且无张力的状态，小朋友与平台接触面间的最大静摩擦力均为其重力的k倍，重力加速度大小为g。若使小朋友与平台保持相对静止，则平台转动的角速度不能超过( )
A.　 B.
C.　 D.
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两小朋友与平台相对静止，具有共同角速度，刚开始由摩擦力提供向心力，根据mrω2=kmg，分析可得，小朋友A先达到临界态，随着角速度的增大，轻绳上开始产生张力。小朋友A转动过程中需要的向心力FnA=3mlω2，小朋友B转动过程中需要的向心力FnB=2mlω2，A需要的向心力由摩擦力和轻绳张力共同提供，设即将发生相对滑动对应的最大角速度为ωm，对A，有kmg+T=3ml，对B，有T-2kmg=2ml，联立解得ωm=，A项正确。
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7.如图所示，某同学利用轻绳和小球制作“拉线飞轮”，他将质量为m的小球系于轻绳的中间，两手水平握住绳的两端，使两手之间的距离与手到小球的距离相等，现在使小球在竖直面内以两手连线为轴做圆周运动，当小球在最高点的速率为v时，轻绳上拉力为零。则小球运动到最高点的速率为2v时，轻绳中的拉力为小球重力的( )
A. 倍 B.2倍 C.2 倍 　D.3倍
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当小球在最高点的速率为v时，轻绳上拉力为零，根据牛顿第二定律有mg=m，小球运动到最高点的速率为2v时，根据牛顿第二定律有mg+2Tcos 30°=m，解得轻绳中的拉力T=mg，轻绳中的拉力为小球重力的倍，A项正确。
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8.(多选)(2025·榆林模拟)如图所示，装置BO'O可绕竖直轴O'O转 动，可视为质点的小球A与两轻细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时A、B间细线水平，A、C间细线与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球的质量m=1 kg，A、C间细线长L=1 m，B点距C点的水平和竖直距离相等。重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，该装置以一定的角速度匀速转动，下列说法正确的是( )
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A.若A、B间细线水平且张力恰为0时，该装置匀速转动的角速度ω= rad/s
B.若A、B间细线水平且张力恰为0时，该装置匀速转动的角速度ω=5 rad/s
C.若该装置转动的角速度增加，A、C间细线与竖直方向的夹角一定会增加
D.若该装置转动的角速度增加，A、C间细线与竖直方向的夹角不一定会增加
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若A、B间细线水平且张力恰为0时，对小球分析有mgtan 37°= mLsin 37°，解得ω0= rad/s，A项正确，B项错误；结合上述可知，当角速度小于 rad/s时，若该装置转动的角速度增 加，A、B间细线绷紧有弹力，此时A、C间细线与竖直方向的夹角不变，当角速度大于 rad/s时，若该装置转动的角速度增加
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一点点，A、B间细线将松弛没有弹力，此时A、C间细线与竖直方向的夹角增大，当A、B间细线再次绷紧有弹力时，该装置转动的角速度增加，A、C间细线与竖直方向的夹角不变，C项错误，D项正确。
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9.(多选)(2025·西安模拟)如图所示，一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘上面放置一劲度系数k=54 N/m的轻弹簧。轻弹簧的一端固定于中心轴上O点且轻弹簧始终保持水平，另一端连接质量为1 kg的物块(可视为质点)。圆盘未转动时弹簧未发生形变，此时物块到中心轴的距离为0.5 m。已知物块与圆盘间的动摩擦因数为0.1，且接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10 m/s2。现让圆盘以不同的角速度转动，稳定后物块随圆盘一起做匀速圆周运动，弹簧始终在弹性限度内且物块未脱离圆盘。下列说法正确的是 ( )
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A.无论圆盘的角速度(不为零)多大，物块受到的摩擦力方向均指向中心轴
B.当圆盘的角速度大小为1 rad/s时，物块受到的摩擦力大小为1 N
C.当圆盘的角速度大小为2 rad/s时，物块受到的摩擦力大小为2 N
D.当圆盘的角速度大小为2 rad/s时，弹簧上的弹力大小为1.08 N
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物块随圆盘做匀速圆周运动，静摩擦力和弹簧的弹力的合力提供做圆周运动的向心力，则无论圆盘的角速度(不为零)多大，物块受到的摩擦力方向均指向中心轴，A项正确；若物块将要产生滑动时圆盘的角速度为ω0，则μmg=mr，解得ω0= rad/s，此时物块受到圆盘的摩擦力为1 N，则当圆盘的角速度大小为1 rad/s时，物块受到的摩擦力大小小于1 N，B项错误；当圆盘的角速度大小为2 rad/s时，物块相对圆盘已经产生了相对滑动，则此时物块受到的摩擦力大小为f=1 N，根据f+kx=mω2(r+x)，解得x=0.02 m，此时弹簧上的弹力大小为F弹=kx=1.08 N，C项错误，D项正确。
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10.如图所示，长为L=0.1 m的绳子(质量不计)下端连着质量为m=1 kg的小球，上端悬于天花板上，当把绳子恰好拉直时，绳子与竖直线的夹角θ=37°，此时小球静止于光滑的水平桌面上，g=10 m/s2， sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
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(1)若小球转动起来对平台无压力，求ω的取值范围；
若小球转动起来且恰好对平台无压力时，小球的角速度为ω0，则有Tcos 37°=mg，
Tsin 37°=mLsin 37°，
解得ω0=5 rad/s，且角速度越大时，θ越大，则若小球转动起来对平台无压力，角速度应满足ω≥5 rad/s。
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(2)当球以ω1=5 rad/s做圆锥摆运动时，绳子张力T1为多大；桌面受到的压力FN为多大。
因为ω1=5 rad/s<5 rad/s，
可知该状态下小球尚未离开桌面，绳子与竖直线的夹角仍为θ=37°，则有T1sin 37°=mLsin 37°，T1cos 37°+FN'=mg，
解得T1=2.5 N，FN'=8 N，
根据牛顿第三定律可知，桌面受到的压力FN=FN'=8 N。
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11.(多选)(2025·绵阳模拟)如图所示，水平盘绕垂直于圆心O的轴匀速转动，沿半径方向放置两个物体A和B，A的质量为2m，B的质量为m，A与圆心距离为r，B与圆心距离为3r，两物体用绕过光滑竖直轴(轴过圆心)的轻绳相连，且刚好伸直。两物体与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。在圆盘从静止开始缓慢加速到两物体恰要与圆盘发生相对滑动的过程中 ( )
梯级Ⅲ 创新练
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A.转盘对物体A摩擦力大小逐渐增大
B.物体B的静摩擦力比物体A的静摩擦力先达到最大静摩擦力
C.圆盘角速度小于，轻绳无拉力
D.两物体恰要与圆盘发生相对滑动时，圆盘角速度为
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当圆盘角速度较小时，连接两物体的绳中没有张力，根据牛顿第二定律有fA=2mω2r，fB=mω2·3r由此可知，角速度不断增大，则A、B所受的摩擦力逐渐增大，且物体B所受的摩擦力先达到最大静摩擦力，即fB=μmg=mω2·3r，解得ω=，随着角速度继续增大，则fA+T=2mω2r，T+μmg=mω2·3r，由此可知，角速度增大，绳的拉力增大，fA减小，当A所受的摩擦力沿半径向外达到最大
解析
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时，A物块开始滑动，此时有T-μ·2mg=2mω2r，T+μmg=mω2· 3r，联立解得ω=，综上分析可知，A所受的摩擦力先增大后减小，再反向增大，物体B的静摩擦力比物体A的静摩擦力先达到最大，圆盘角速度小于，轻绳无拉力，两物体恰要与圆盘发生相对滑动时，圆盘角速度为，B、C两项正确。
解析专题提升七　圆周运动的临界问题
题型1　水平面内的圆周运动的临界问题
　　　　　 　　　　　　　　　　
　水平面内圆周运动的三种临界情况。
(1)接触与脱离的临界条件。
两物体相接触或脱离的临界条件是:弹力FN=0。
(2)相对滑动的临界条件。
两物体相接触且处于相对静止时,常存在着静摩擦力,则相对滑动的临界条件是:静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件。
绳子所能承受的张力是有限度的,绳子断与不断的临界条件是:绳中张力等于它所能承受的最大张力;绳子松弛的临界条件是:FT=0。
考向1　与摩擦力有关的临界问题
【典例1】　(2025·三明模拟)如图,两瓷罐P、Q(可视为质点)放在水平圆桌转盘上,质量分别为m、2m,离转轴OO'的距离分别为R、2R,与转盘间的动摩擦因数均为μ。若转盘从静止开始缓慢地加速转动,P、Q与转盘均保持相对静止,用ω表示转盘的角速度,则(　　)
A.当ω增大时,P比Q先开始滑动
B.P、Q未滑动前所受的摩擦力大小相等
C.P开始滑动时,临界角速度为ω=
D.Q开始滑动时,临界角速度为ω=
【典例2】　(多选)如图所示,在水平圆盘上,沿半径方向放置物体A和B,mA=4 kg,mB=1 kg它们分居在圆盘的圆心两侧,与圆心距离为rA=0.1 m,rB=0.2 m,中间用细线相连。A、B与盘间的动摩擦因数均为μ=0.2,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动,直到A、B刚要与圆盘发生相对滑动。g=10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.B的摩擦力先达到最大
B.A物体所受摩擦力的方向一直指向圆心
C.当ω=50 rad/s时,A、B两物体出现滑动
D.当ω= rad/s时,绳子出现张力
　　解答与摩擦力有关的临界问题的关键是临界状态的确定,当不能确定其临界状态时,可采用下面的方法:让角速度或线速度从小逐渐增大,分析各物理量的变化,找出临界状态,临界状态常出现在静摩擦力达到最大静摩擦力、绳子出现拉力等情形时。确定了物体运动的临界状态和临界条件后,选择研究对象进行受力分析,利用牛顿第二定律列方程求解。
考向2　与弹力有关的临界问题
【典例3】　如图所示,用一根长为l=1 m的细线,一端系一质量为m=1 kg的小球(可视为质点),另一端固定在一光滑锥体顶端,锥面与竖直方向的夹角θ=37°。(g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)求:
(1)当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω1= rad/s时,求小球对细线的张力T1的大小;
(2)当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω2=2 rad/s时,求小球对细线的张力T2的大小。
　　锥面对小球的弹力刚好为零时的角速度为临界角速度,即小球离开锥面的临界状态。当角速度超过此临界角速度后,小球离开锥面,由重力和绳子拉力的合力提供向心力,且随着角速度的增大,绳子与竖直方向的夹角增大。
题型2　竖直面内的圆周运动的两类模型及临界问题
　　　　　 　　　　　　　　　　
　竖直面内的圆周运动是一种典型的变速曲线运动,主要有两种模型:轻绳模型和轻杆模型,分析比较如下:
类别 轻绳模型 轻杆模型
常见 类型 最高点均是没有物体支撑的小球(小球可视为质点) 最高点均是有物体支撑的小球(小球可视为质点)
过最高 点的临 界条件 由mg=m, 得v临= v临=0
讨论 分析 (1)过最高点时v≥,FN+mg=m,绳、轨道对球产生弹力FN≥0,方向指向圆心; (2)v<时,不能过最高点,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心; (2)当0时,FN+mg=m,FN指向圆心并随v的增大而增大
考向1　“轻绳”模型
【典例4】　
(2025·惠州模拟)如图所示,用长为l的细绳拴着质量为m的小球(可视为质点)在竖直平面内做圆周运动,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.小球在圆周最高点时的向心力一定只由重力提供
B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C.小球通过圆周最高点时的速率可能为
D.小球通过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
【典例5】　
(多选)如图所示,竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上,半径r=0.4 m,最低点处有一小球(半径比r小很多),现给小球一水平向右的初速度v0,则要使小球不脱离圆轨道运动,v0应当满足(g取10 m/s2)(　　)
A.v0≥0 B.v0≥4 m/s
C.v0≥2 m/s D.v0≤2 m/s
　　物体在竖直放置的圆形轨道内侧做圆周运动与“轻绳”模型类似,在最高点时均由重力和指向圆心的弹力的合力提供向心力,通过最高点的临界条件也相同,所以把它归纳入“轻绳”模型中。
考向2　“轻杆”模型
【典例6】　
一轻杆一端固定质量为m的小球,以另一端O为圆心,使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动,如图所示,则下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.小球过最高点时,杆所受到的弹力可以等于零
B.小球过最高点的最小速度是
C.小球过最高点时,杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D.小球过最高点时,杆对球的作用力一定随速度增大而减小
【典例7】　
(多选)如图所示,一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内,其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动,小球半径比R小很多,当小球通过最高点时速率为v0,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.若v0=,则小球对管内壁无压力
B.若v0>,则小球对管内上壁有压力
C.若0D.不论v0多大,小球对管内下壁都有压力
　　物体在竖直放置的圆管轨道内做圆周运动与“轻杆”模型类似,物体通过最高点时,均由重力和轨道沿半径向里或向外的弹力的合力提供向心力,v0=为弹力向里或向外的临界速度。
题型3　斜面上圆周运动的临界问题
　　　　　 　　　　　　　　　　
　斜面上的圆周运动——类比法的应用。
与竖直面内的圆周运动类似,斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况,列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时,一般需要进行立体图到平面图的转化,这是解斜面上圆周运动问题的难点。
在斜面上做圆周运动的物体,根据受力情况的不同,可分为以下三类:
(1)物体在静摩擦力作用下做圆周运动。
(2)物体在绳的拉力作用下做圆周运动。
(3)物体在杆的作用下做圆周运动。
这类问题的特点是重力的分力和其他力的合力提供向心力,运动和受力情况比较复杂。
【典例8】　
如图所示,在倾角为α=30°的光滑斜面上,有一根长为L=0.8 m的轻杆,一端固定在O点,另一端系一质量为m=0.2 kg的小球(小球可视为质点),沿斜面做圆周运动,取g=10 m/s2,若要小球能通过最高点A,则小球在最低点B的最小速度是(　　)
A.4 m/s B.2 m/s
C.2 m/s D.2 m/s
专题提升七　圆周运动的临界问题
题型1
【典例1】　C　解析　P、Q未滑动前所受的摩擦力分别为fP=mω2R,fQ=2m·ω2·2R=4mω2R,P、Q未滑动前所受的摩擦力大小不相等,B项错误;根据牛顿第二定律得μmg=mω2R,解得ω=,P、Q开始滑动时的角速度分别为ωP=,ωQ=,当ω增大到时,Q先开始滑动,C项正确,A、D两项错误。
【典例2】　AB　解析　A达到最大静摩擦力时的临界角速度满足μmAg=mArA,代入数据解得ω0A=2 rad/s,同理可得B达到最大静摩擦力时的临界角速度满足μmBg=mBrB,代入数据解得ω0B= rad/s,则当圆盘转动的速度逐渐变大时,B先达到临界角速度值,则B的摩擦力先达到最大,A项正确;当B的摩擦力达到最大时,转速再增加时,绳子出现张力,即当ω= rad/s时,绳子出现张力,D项错误;达到A的最大静摩擦力时的临界角速度前,A的向心力由静摩擦力提供,则静摩擦力指向圆心,A与B的角速度相等,A的质量是B的4倍,而A做圆周运动的半径是B的一半,根据F=mω2r可知A需要的向心力大,所以当A、B两物体开始滑动时A背离圆心运动,B向着圆心运动,则在滑动之前一小段时间内(达到A的最大静摩擦力时的临界角速度后),A受的静摩擦力也指向圆心,故A物体所受摩擦力的方向一直指向圆心,B项正确;A、B两物体恰好出现滑动时,对A有T+μmAg=mArA,对B有T-μmBg=mBrB,解得ω1= rad/s,C项错误。
【典例3】　答案　(1)10 N　(2)20 N
解析　(1)假设小球刚好与锥面间没有弹力作用时的角速度为ω0,根据牛顿第二定律以及力的合成与分解有
mgtan θ=mlsin θ,
解得ω0= rad/s>ω1,
所以当小球角速度为ω1时,小球与锥面间存在弹力作用,设为FN,
在竖直方向上,对小球根据平衡条件有
T1cos θ+FNsin θ=mg,
在水平方向上,对小球根据牛顿第二定律有
T1sin θ-FNcos θ=mlsin θ,
解得T1=10 N。
(2)因为ω2=2 rad/s>ω0,
所以此时小球将脱离锥面,设此时细线与竖直方向的夹角为α,则根据牛顿第二定律以及力的合成与分解有mgtan α=mlsin α,
解得α=60°,
所以T2==20 N。
题型2
【典例4】　D　解析　小球在圆周最高点时的向心力可能等于重力,也可能等于重力与绳子拉力之和,取决于小球的瞬时速度的大小,A项错误;小球在最高点时,受到的最小的合外力为重力,要做完整的圆周运动需满足mg=m,解得vmin=,当在最高点速度为时,绳子拉力为零,小球刚好能做完整的圆周运动,故小球通过圆周最高点时的速率不可能为,B、C两项错误;小球在最低点时,具有竖直向上的向心加速度,处于超重状态,拉力大于重力,D项正确。
【典例5】　CD　解析　当v0较大时,小球能够通过最高点,这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤,又根据机械能守恒定律有mv2+2mgr=m,得v0≥2 m/s,C项正确;当v0较小时,小球不能通过最高点,这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处时速度恰好减为零,根据机械能守恒定律有mgr≥m,得v0≤2 m/s,D项正确。
【典例6】　A　解析　轻杆可对小球产生向上的支持力,小球经过最高点的速度可以为零,当小球过最高点的速度v=时,杆所受的弹力等于零,A项正确,B项错误;若v<,则杆在最高点对小球的弹力竖直向上,mg-F=m,随v增大,F减小;若v>,则杆在最高点对小球的弹力竖直向下,mg+F=m,随v增大,F增大,C、D两项错误。
【典例7】　ABC　解析　在最高点,若恰好重力提供向心力,则由牛顿第二定律有mg=m,解得v0=,即此种情况下小球对管内壁无压力,A项正确;若小球对管内上壁有压力,即管内壁对小球有向下的弹力,由牛顿第二定律有mg+FN=m,解得v0=>,B项正确;若小球对管内下壁有压力,即管内下壁对小球有向上的弹力,由牛顿第二定律有mg-FN=m,解得v0=<,若0题型3
【典例8】　A　解析　小球受轻杆控制,在A点的最小速度为零,由动能定理可得mg×2Lsin α=m-0,可得vB=4 m/s,A项正确。(共35张PPT)
专题提升七
第四章 抛物运动 圆周运动
圆周运动的临界问题
题型1　水平面内的圆周运动的临界问题
题型2　竖直面内的圆周运动的两类模型及临界问题
内容
索引
题型3　斜面上圆周运动的临界问题
水平面内的圆周运动的临界问题
题型1
水平面内圆周运动的三种临界情况。
(1)接触与脱离的临界条件。
两物体相接触或脱离的临界条件是：弹力FN=0。
(2)相对滑动的临界条件。
两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件。
绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是：绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是：FT=0。
考向1
与摩擦力有关的临界问题
【典例1】　(2025·三明模拟)如图，两瓷罐P、Q(可视为质点)放在水平圆桌转盘上，质量分别为m、2m，离转轴OO'的距离分别为R、2R，与转盘间的动摩擦因数均为μ。若转盘从静止开始缓慢地加速转动，P、Q与转盘均保持相对静止，用ω表示转盘的角速度，则( )
A.当ω增大时，P比Q先开始滑动
B.P、Q未滑动前所受的摩擦力大小相等
C.P开始滑动时，临界角速度为ω=
D.Q开始滑动时，临界角速度为ω=
P、Q未滑动前所受的摩擦力分别为fP=mω2R，fQ=2m·ω2· 2R=4mω2R，P、Q未滑动前所受的摩擦力大小不相等，B项错误；根据牛顿第二定律得μmg=mω2R，解得ω=，P、Q开始滑动时的角速度分别为ωP=，ωQ=，当ω增大到时，Q先开始滑动，C项正确，A、D两项错误。
解析
【典例2】　(多选)如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，mA=4 kg，mB=1 kg它们分居在圆盘的圆心两侧，与圆心距离为rA=0.1 m，rB=0.2 m，中间用细线相连。A、B与盘间的动摩擦因数均为μ=0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，直到A、B刚要与圆盘发生相对滑动。g=10 m/s2，下列说法正确的是( )
A.B的摩擦力先达到最大
B.A物体所受摩擦力的方向一直指向圆心
C.当ω=50 rad/s时，A、B两物体出现滑动
D.当ω= rad/s时，绳子出现张力
A达到最大静摩擦力时的临界角速度满足μmAg=mArA，代入数据解得ω0A=2 rad/s，同理可得B达到最大静摩擦力时的临界角速度满足μmBg=mBrB，代入数据解得ω0B= rad/s，则当圆盘转动的速度逐渐变大时，B先达到临界角速度值，则B的摩擦力先达到最大，A项正确；当B的摩擦力达到最大时，转速再增加时，绳子出现张力，即当ω= rad/s时，绳子出现张力，D项错误；达到A的最大静摩擦力时的临界角速度前，A的向心力由静摩
解析
擦力提供，则静摩擦力指向圆心，A与B的角速度相等，A的质量是B的4倍，而A做圆周运动的半径是B的一半，根据F=mω2r可知A需要的向心力大，所以当A、B两物体开始滑动时A背离圆心运 动，B向着圆心运动，则在滑动之前一小段时间内(达到A的最大静摩擦力时的临界角速度后)，A受的静摩擦力也指向圆心，故A物体所受摩擦力的方向一直指向圆心，B项正确；A、B两物体恰好出现滑动时，对A有T+μmAg=mArA，对B有T-μmBg=
mBrB，解得ω1= rad/s，C项错误。
解析
　　解答与摩擦力有关的临界问题的关键是临界状态的确定，当不能确定其临界状态时，可采用下面的方法：让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各物理量的变化，找出临界状态，临界状态常出现在静摩擦力达到最大静摩擦力、绳子出现拉力等情形时。确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。
考向2
与弹力有关的临界问题
【典例3】　如图所示，用一根长为l=1 m的细线，一端系一质量为m=1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°。(g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)求：
(1)当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω1=
rad/s时，求小球对细线的张力T1的大小；
假设小球刚好与锥面间没有弹力作用时的角速度为ω0，根据牛顿第二定律以及力的合成与分解有mgtan θ=mlsin θ，
解得ω0= rad/s>ω1，
所以当小球角速度为ω1时，小球与锥面间存在弹力作用，设为FN，在竖直方向上，对小球根据平衡条件有T1cos θ+FNsin θ=mg，
在水平方向上，对小球根据牛顿第二定律有
T1sin θ-FNcos θ=mlsin θ，
解得T1=10 N。
解析
(2)当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω2=
2 rad/s时，求小球对细线的张力T2的大小。
因为ω2=2 rad/s>ω0，
所以此时小球将脱离锥面，设此时细线与竖直方向的夹角为α，则根据牛顿第二定律以及力的合成与分解有mgtan α=mlsin α，
解得α=60°，
所以T2==20 N。
解析
　　锥面对小球的弹力刚好为零时的角速度为临界角速度，即小球离开锥面的临界状态。当角速度超过此临界角速度后，小球离开锥 面，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，且随着角速度的增大，绳子与竖直方向的夹角增大。
竖直面内的圆周运动的两类模型及临界问题
题型2
　竖直面内的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，主要有两种模型：轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：
类别 轻绳模型 轻杆模型
常见 类型 最高点均是没有物体支撑的小球(小球可视为质点)
最高点均是有物体支撑的小球(小球可视为质点)
过最高点的临界条件 由mg=m，得v临= v临=0
讨论 分析 (1)过最高点时v≥，FN+mg=m，绳、轨道对球产生弹力FN≥0，方向指向圆心； (2)v<时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v=0时，FN=mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；
(2)当0(3)当v=时，FN=0；
(4)当v >时，FN+mg=m，FN指向圆心并随v的增大而增大
考向1
“轻绳”模型
【典例4】　(2025·惠州模拟)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球(可视为质点)在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.小球在圆周最高点时的向心力一定只由重力提供
B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C.小球通过圆周最高点时的速率可能为
D.小球通过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
小球在圆周最高点时的向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A项错误；小球在最高点时，受到的最小的合外力为重力，要做完整的圆周运动需满足mg=m，解得vmin=，当在最高点速度为时，绳子拉力为零，小球刚好能做完整的圆周运动，故小球通过圆周最高点时的速率不可能为，B、C两项错误；小球在最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力大于重力，D项正确。
解析
【典例5】　(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r=0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(g取10 m/s2)( )

A.v0≥0 B.v0≥4 m/s C.v0≥2 m/s D.v0≤2 m/s
当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤，又根据机械能守恒定律有mv2+2mgr=
m，得v0≥2 m/s，C项正确；当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处时速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr≥m，得v0≤
2 m/s，D项正确。
解析
　　物体在竖直放置的圆形轨道内侧做圆周运动与“轻绳”模型类 似，在最高点时均由重力和指向圆心的弹力的合力提供向心力，通过最高点的临界条件也相同，所以把它归纳入“轻绳”模型中。
考向2
“轻杆”模型
【典例6】　一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B.小球过最高点的最小速度是
C.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v=时，杆所受的弹力等于零，A项正确，B项错误；若v<，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg-F=m，随v增大，F减小；若v>，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg+F=m，随v增大，F增大，C、D两项错误。
解析
【典例7】　(多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面 内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球半径比R小很多，当小球通过最高点时速率为v0，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A.若v0=，则小球对管内壁无压力
B.若v0>，则小球对管内上壁有压力
C.若0D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
在最高点，若恰好重力提供向心力，则由牛顿第二定律有mg=m，解得v0=，即此种情况下小球对管内壁无压力，A项正确；若小球对管内上壁有压力，即管内壁对小球有向下的弹力，由牛顿第二定律有mg+FN=m，解得v0=>，B项正确；若小球对管内下壁有压力，即管内下壁对小球有向上
解析
的弹力，由牛顿第二定律有mg-FN=m，解得v0=<
，若0解析
　　物体在竖直放置的圆管轨道内做圆周运动与“轻杆”模型类似，物体通过最高点时，均由重力和轨道沿半径向里或向外的弹力的合力提供向心力，v0=为弹力向里或向外的临界速度。
斜面上圆周运动的临界问题
题型3
斜面上的圆周运动——类比法的应用。
与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
在斜面上做圆周运动的物体，根据受力情况的不同，可分为以下三类：
(1)物体在静摩擦力作用下做圆周运动。
(2)物体在绳的拉力作用下做圆周运动。
(3)物体在杆的作用下做圆周运动。
这类问题的特点是重力的分力和其他力的合力提供向心力，运动和受力情况比较复杂。
【典例8】　如图所示，在倾角为α=30°的光滑斜面上，有一根长为L=0.8 m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m=0.2 kg的小球(小球可视为质点)，沿斜面做圆周运动，取g=10 m/s2，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是( )
A.4 m/s B.2 m/s C.2 m/s D.2 m/s
小球受轻杆控制，在A点的最小速度为零，由动能定理可得mg×2Lsin α=m-0，可得vB=4 m/s，A项正确。
解析

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