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专题提升八　卫星变轨问题　双星模型
题型1　卫星的变轨和对接问题
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.卫星发射及变轨过程概述。
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道,如图所示。
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2.三个运行物理量的大小比较。
(1)速度:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度:因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同,同理,经过B点加速度也相同。
(3)周期:设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3,轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3,由开普勒第三定律=k可知T1考向1　卫星变轨问题中各物理量的比较
【典例1】　已知月球半径为R,月球表面的重力加速度为g0,飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动,轨道半径为r,r=5R,到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道Ⅱ的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G,求:
(1)第一次点火和第二次点火分别是加速还是减速;
(2)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率;
(3)飞船在轨道Ⅱ上绕月运行一周所需的时间。
考向2　卫星的对接问题
【典例2】　(多选)
2024年10月30日,神舟十九号载人飞船与天和核心舱进行了对接,蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员顺利进驻中国空间站,完成中国航天史上第5次“太空会师”。如图为神舟十九号的发射与交会对接过程示意图,图中①为飞船的近地圆轨道,其轨道半径为R1,②为椭圆变轨轨道,③为天和核心舱所在的圆轨道,其轨道半径为R2,P、Q分别为②轨道与①、③轨道的交会点。关于神舟十九号载人飞船与天和核心舱交会对接过程,下列说法正确的是(　　)
A.飞船在③轨道上运行的速度大于第一宇宙速度
B.飞船从②轨道到变轨到③轨道需要在Q点点火加速
C.飞船在①轨道的动能一定大于天和核心舱在③轨道的动能
D.若核心舱在③轨道运行周期为T,则飞船在②轨道从P到Q的时间为T
题型2　双星和多星模型
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.双星模型。
(1)定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统,如图所示。
(2)特点。
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即=m1r1,=m2r2。
②两颗星的周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2。
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=。
⑤双星的运动周期T=2π。
⑥双星的总质量m1+m2=。
2.多星模型。
(1)定义:所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同。
(2)三星模型。
①三颗星体位于同一直线上,两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。
　　
甲 乙
(3)四星模型。
一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。
另一种是三颗质量相等的星体位于正三角形的三个顶点上,另一颗位于中心O,外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
　　
丙 丁
考向1　双星模型
【典例3】　
科学家威廉·赫歇尔首次提出了“双星”这个名词。现有由两颗中子星A、B组成的双星系统(不考虑其他星球的影响),可抽象为如图所示绕O点做匀速圆周运动的模型。已知A的轨道半径小于B的轨道半径,若A、B的总质量为M,A、B间的距离为L,A、B运动周期为T,则下列说法正确的是(　　)
A.A的线速度大于B的线速度
B.A的质量小于B的质量
C.若M一定,则L越大,T越小
D.若L一定,则M越大,T越小
　　(1)双星做圆周运动的圆心相同。
　　(2)双星做圆周运动的周期(或角速度)相同。
　　(3)双星做圆周运动的向心力大小相同,均等于彼此相互作用的万有引力。
考向2　多星模型
【典例4】　太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示):一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M,两种系统的运动周期相同,引力常量为G,求三角形三星系统星体间的距离L。
专题提升八　卫星变轨问题　双星模型
题型1
【典例1】　答案　(1)减速、减速　(2)
(3)6π
解析　(1)根据变轨原理,飞船在轨道Ⅰ的A点减速,做近心运动进入椭圆轨道Ⅱ,飞船在轨道Ⅱ的近月点B点减速,做近心运动进入近月轨道Ⅲ。
(2)根据万有引力与重力的关系
G=mg0,
根据万有引力提供向心力G=m,
解得飞船在轨道Ⅰ上的运行速率为
v==。
(3)根据万有引力提供向心力
G=mR,
解得飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间为T=2π=2π,
根据开普勒第三定律=,
飞船在轨道Ⅱ上绕月运行一周所需的时间为T1=6π。
【典例2】　BD　解析　第一宇宙速度是最大的环绕速度,飞船在③轨道上绕地球运行的速度小于第一宇宙速度,A项错误;飞船从②轨道变轨到③轨道,飞船将由近心运动变成圆周运动,所以需要在Q点点火加速,B项正确;虽然在①轨道的速度大于③轨道的速度,但由于飞船和核心舱的质量未知,故无法判断它们动能的大小,C项错误;根据开普勒第三定律可知=,可得T'=T,飞船在②轨道从P到Q的时间为T',故等于T,D项正确。
题型2
【典例3】　D　解析　因为双星的角速度相等,且rAmB,其中rA+rB=L,mA+mB=M,T=,联立解得T=2π,由此式可知,若L一定,则M越大,T越小;若M一定,则L越大,T越大,B、C两项错误,D项正确。
【典例4】　答案　R
解析　以左边的系统中的甲或者丙为研究对象,根据牛顿第二定律有
G+G=MR,
得T=4πR,
三星系统中任意星体所受合力为
F=2cos 30°G=G,
根据牛顿第二定律,有F=Mr,
根据题意,其周期与左边系统周期相同
T=4πR,
根据几何关系,轨道半径r与边长L的关系为L=r,
解得L=R。(共25张PPT)
专题提升八
第五章 万有引力与宇宙航行
卫星变轨问题　
双星模型
题型1　卫星的变轨和对接问题
题型2　双星和多星模型
内容
索引
卫星的变轨和对接问题
题型1
1.卫星发射及变轨过程概述。
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2.三个运行物理量的大小比较。
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律=k可知T1考向1
卫星变轨问题中各物理量的比较
【典例1】　已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，轨道半径为r，r=5R，到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G，求：
(1)第一次点火和第二次点火分别是加速还是减速；
根据变轨原理，飞船在轨道Ⅰ的A点减速，做近心运动进入椭圆轨道Ⅱ，飞船在轨道Ⅱ的近月点B点减速，做近心运动进入近月轨道Ⅲ。
解析
(2)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；
根据万有引力与重力的关系G=mg0，
根据万有引力提供向心力G=m，
解得飞船在轨道Ⅰ上的运行速率为v==。
解析
(3)飞船在轨道Ⅱ上绕月运行一周所需的时间。
根据万有引力提供向心力G=mR，
解得飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间为T=2π=2π，
根据开普勒第三定律 = ，
飞船在轨道Ⅱ上绕月运行一周所需的时间为T1=6π。
解析
考向2
卫星的对接问题
【典例2】　(多选)2024年10月30日，神舟十九号载人飞船与天和核心舱进行了对接，蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员顺利进驻中国空间站，完成中国航天史上第5次“太空会师”。如图为神舟十九号的发射与交会对接过程示意图，图中①为飞船的近地圆轨道，其轨道半径为R1，②为椭圆变轨轨道，③为天和核心舱所在的圆轨道，其轨道半径为R2，P、Q分别为②轨道与①、③轨道的交会点。关于神舟十九号载人飞船与天和核心舱交会对接过程，下列说法正确的是
( )
A.飞船在③轨道上运行的速度大于第一宇宙速度
B.飞船从②轨道到变轨到③轨道需要在Q点点火加速
C.飞船在①轨道的动能一定大于天和核心舱在③轨道的动能
D.若核心舱在③轨道运行周期为T，则飞船在②轨道从P到Q的时间为T
第一宇宙速度是最大的环绕速度，飞船在③轨道上绕地球运行的速度小于第一宇宙速度，A项错误；飞船从②轨道变轨到③轨道，飞船将由近心运动变成圆周运动，所以需要在Q点点火加速，B项正
确；虽然在①轨道的速度大于③轨道的速度，但由于飞船和核心舱的质量未知，故无法判断它们动能的大小，C项错误；根据开普勒第三定律可知=，可得T'=T，飞船在②轨道从P到Q的时间为T'，故等于T，D项正确。
解析
双星和多星模型
题型2
1.双星模型。
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。
(2)特点。
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即=m1r1，=m2r2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1=T2，ω1=ω2。
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即=。
⑤双星的运动周期T=2π。
⑥双星的总质量m1+m2=。
2.多星模型。
(1)定义：所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心 力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
(2)三星模型。
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所
示)。
(3)四星模型。
一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。
另一种是三颗质量相等的星体位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
考向1
双星模型
【典例3】　科学家威廉·赫歇尔首次提出了“双星”这个名词。现有由两颗中子星A、B组成的双星系统(不考虑其他星球的影响)，可抽象为如图所示绕O点做匀速圆周运动的模型。已知A的轨道半径小于B的轨道半径，若A、B的总质量为M，A、B间的距离为L，A、B运动周期为T，则下列说法正确的是( )
A.A的线速度大于B的线速度
B.A的质量小于B的质量
C.若M一定，则L越大，T越小
D.若L一定，则M越大，T越小
因为双星的角速度相等，且rAmB，其中rA+rB=L，mA+mB=M，T=，联立解得T=2π，由此式可知，若L一定，则M越大，T越小；若M一定，则L越大，T越大，B、C两项错误，D项正确。
解析
　　(1)双星做圆周运动的圆心相同。
　　(2)双星做圆周运动的周期(或角速度)相同。
　　(3)双星做圆周运动的向心力大小相同，均等于彼此相互作用的万有引力。
考向2
多星模型
【典例4】　太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外
接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，两种系统的运动周期相同，引力常量为G，求三角形三星系统星体间的距离L。
以左边的系统中的甲或者丙为研究对象，根据牛顿第二定律有
G+G=MR，
得T=4πR，
三星系统中任意星体所受合力为F=2cos 30°G=G，
解析
根据牛顿第二定律，有F=Mr，
根据题意，其周期与左边系统周期相同T=4πR，
根据几何关系，轨道半径r与边长L的关系为L=r，
解得L=R。
解析专题提升练8　卫星变轨问题　双星模型
　
梯级Ⅰ基础练
1.如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动。经P点时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道，则飞行器(　　)
A.相对于变轨前运行周期变长
B.变轨后可能沿轨道2运动
C.变轨前、后在两轨道上经过P点的速度大小相等
D.变轨前、后在两轨道上经过P点的加速度大小相等
2.(多选)(2025·深圳模拟)如图所示，为一个较高轨道卫星发射所经历的理想过程，卫星在较低的圆轨道上运行时，线速度为v1、加速度大小为a1;加速后在椭圆轨道上运行，近地点的速度为v2、加速度大小为a2，远地点时速度为v3、加速度大小为a3;在椭圆轨道的远地点再次加速进入较高的圆轨道上运行，线速度为v4、加速度大小为a4，则(　　)
A.v2>v4 B.v1>v3
C.a1>a2 D.a4>a3
3.(多选)(2025·泉州模拟)中国天眼FAST观测某脉冲双星系统如图所示。该双星系统由两颗相距较近的天体组成，并远离其他天体，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的一点做匀速圆周运动。若较大天体质量为M、运动轨道半径为R，较小天体质量为m、运动轨道半径为r，引力常量为G，则(　　)
A.两天体质量与半径之间的关系式为Mr=mR
B.两天体质量与半径之间的关系式为MR=mr
C.天体运动的角速度为
D.天体运动的角速度为
4.(2024·湖北卷)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
5.中国计划2025年发射天舟九号货运飞船，此次任务将上行航天员驻留和消耗物资、维修备件、推进剂和应用任务载荷样品，并下行在轨废弃物。飞船发射后会在停泊轨道(Ⅰ)上进行数据确认，后择机经转移轨道(Ⅱ)完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化如图所示，已知停泊轨道半径近似为地球半径R，中国空间站轨道距地面的平均高度为h，飞船在停泊轨道上的周期为T1，则(　　)
A.飞船在停泊轨道上的速度小于在空间站轨道上运行的速度
B.飞船应提前时间于P点点火加速进而在Q点完成交会对接
C.因为飞船在P点加速进入转移轨道，相比于停泊轨道其在转移轨道上的速度越来越大
D.中国空间站的物品或航天员可以漂浮，说明此时地球对他们的引力消失了
6.(2025·成都模拟)如图所示，甲、乙、丙分别为单星、双星、三星模型图，轨迹圆半径都为R，中心天体质量为M，环绕天体质量均为m，已知M m，则(　　)
A.乙、丙两图中环绕天体的周期之比为2∶
B.乙图中环绕天体的角速度大于丙图中环绕天体的角速度
C.甲图中m的角速度大于丙图中m的角速度
D.乙、丙两图中环绕天体的线速度之比为2∶
梯级Ⅱ能力练
7.(2025·吕梁模拟)洛希极限是指在双星系统中，两个天体之间的最近距离。如果两个天体之间的距离小于洛希极限，则质量较小的天体就会在质量较大的天体引力下被撕碎。洛希极限的计算公式为r=2.44R，其中r为洛希极限，M、m分别为质量较大和较小的天体质量，R为质量较大的天体半径。如图甲所示，某脉冲双星系统由两颗相距较近的天体组成，并远离其他天体，它们在彼此间的万有引力作用下，绕连线上的一点做匀速圆周运动。简化为如图乙所示，测得A、B两恒星间的距离为L，A、B两恒星的半径分别为RA、RB，恒星A做圆周运动的向心加速度是恒星B的8倍，该双星系统的洛希极限为(　　)
A.4.88RA B.2.44RA
C.4.88RB D.2.44RB
8.宇宙中存在两个质量均为m的星球A和星球B，两星球之间的距离为L，引力常量为G。
(1)如图甲所示，若将A、B星球视为远离其他天体的双星模型，请用L、G、m等参数表示两行星做匀速圆周运动的周期T0;
(2)天文观测发现A、B星球实际的运行周期T1=，某天文学家认为导致该现象的原因可能是在A、B星球连线的中点处存在一颗暗星(由暗物质构成的天体)C，如图乙所示，请根据上述信息计算暗星C的质量M与A星球的质量m的比值。
梯级Ⅲ创新练
9.(2025·岳阳模拟)如图所示，虚线Ⅰ、Ⅱ分别表示地球卫星的两条轨道，其中轨道Ⅰ为近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道。起初卫星在轨道Ⅰ上运行，经过a点成功变轨进入轨道Ⅱ，b点为轨道Ⅱ的远地点，b点与地心的距离为轨道Ⅰ半径的2倍，卫星在轨道Ⅱ上运行时经过a点的速率为va，经过b点的速率为vb，则(　　)
A.卫星在轨道Ⅰ上经过a点变轨进入轨道Ⅱ时应减速
B.在轨道Ⅱ上，卫星在b点的机械能小于在a点的机械能
C.vb=2va
D.卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运行的周期平方之比为8∶27
专题提升练8　卫星变轨问题双星模型
1.D　解析　推进器短时间向前喷气,飞行器减速做近心运动,轨道降低,周期变小,A项错误;变轨后可能沿轨道3运动,不可能沿轨道2运动,B项错误;变轨前、后在两轨道上经过P点的速度大小不等,轨道1上P点的速度大于轨道3上P点的速度,C项错误;在同一点受力一样,所以变轨前、后在两轨道上经过P点的加速度大小相等,D项正确。
2.AB　解析　根据万有引力提供向心力G=m可得v=,可知v4v1,综上可得v2>v4,A项正确;根据题意可知v3v3,B项正确;根据牛顿第二定律G=ma可得a=,结合题图可知a1=a2,a4=a3,C、D两项错误。
3.BD　解析　两天体具有相同的角速度,设两天体之间的距离为L,根据万有引力提供向心力,对较大天体,有G=Mω2R,对较小天体,有G=mω2r,R+r=L,所以MR=mr,ω=,B、D两项正确。
4.A　解析　在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变,根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同,A项正确;因为变轨后其半长轴大于原轨道半径,根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大,B项错误;变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得竖直向下的速度,原水平向左的圆周运动速度不变,因此合速度变大,C项错误;由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大,而比在近地点的速度小,则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小,D项错误。
5.B　解析　飞船在停泊轨道和空间站轨道上根据G=m得v=,又r停6.C　解析　根据万有引力定律,对题图乙所示的模型有G=mR,解得T乙=4π;对题图丙所示的模型有G=mR,解得T丙=2π,则有T乙∶T丙=2∶,A项错误;根据ω=得角速度之比ω乙∶ω丙=T丙∶T乙=∶2,题图乙中环绕天体的角速度比题图丙中的小,B项错误;乙、丙两图半径相同,线速度之比v乙∶v丙=ω乙∶ω丙=∶2,D项错误;根据万有引力定律,对题图甲所示的模型有G=mR,解得ω甲=;题图丙的角速度ω丙==,由于M m,则ω甲>ω丙,C项正确。
7.C　解析　根据G=mAaA=mBaB,恒星A做圆周运动的向心加速度是恒星B的8倍,即==8,恒星B的质量较大,则该双星系统的洛希极限为r=2.44RB=4.88RB,C项正确。
8.答案　(1)　(2)
解析　(1)以A星球为研究对象,其公转半径r1=,根据匀速圆周运动规律有
=×,
解得T0=。
(2)以A星球为研究对象,做匀速圆周运动的向心力来源于B星及C星的引力,即
+=×,
且T1==,
联立两式解得=。
9.D　解析　依题意,卫星在轨道Ⅰ上经过a点变轨进入轨道Ⅱ时属于从低轨道向高轨道变轨,做离心运动,应加速,A项错误;在轨道Ⅱ上,卫星只受万有引力作用,其机械能守恒,所以在b点的机械能等于在a点的机械能,B项错误;卫星在轨道Ⅱ上运动,a点为近地点,b为远地点,根据开普勒第二定律可知va>vb,C项错误;设轨道Ⅰ的轨道半径为r,则轨道Ⅱ的半长轴为,由开普勒第三定律,有=,解得=,D项正确。(共28张PPT)
专题提升练8
卫星变轨问题　双星模型
1
5
6
7
8
9
2
3
4
1.如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动。经P点 时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道，则飞行器( )
A.相对于变轨前运行周期变长
B.变轨后可能沿轨道2运动
C.变轨前、后在两轨道上经过P点的速度大小相等
D.变轨前、后在两轨道上经过P点的加速度大小相等
梯级Ⅰ 基础练
推进器短时间向前喷气，飞行器减速做近心运动，轨道降低，周期变小，A项错误；变轨后可能沿轨道3运动，不可能沿轨道2运动，B项错误；变轨前、后在两轨道上经过P点的速度大小不等，轨道1上P点的速度大于轨道3上P点的速度，C项错误；在同一点受力一样，所以变轨前、后在两轨道上经过P点的加速度大小相 等，D项正确。
解析
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4
2.(多选)(2025·深圳模拟)如图所示，为一个较高轨道卫星发射所经历的理想过程，卫星在较低的圆轨道上运行时，线速度为v1、加速度大小为a1；加速后在椭圆轨道上运行，近地点的速度为v2、加速度大小为a2，远地点时速度为v3、加速度大小为a3；在椭圆轨道的远地点再次加速进入较高的圆轨道上运行，线速度为v4、加速度大小为a4，则( )
A.v2>v4 B.v1>v3
C.a1>a2 D.a4>a3
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根据万有引力提供向心力G=m可得v=，可知v4v1，综上可得v2>v4，A项正确；根据题意可知v3v3，B项正确；根据牛顿第二定律G=ma可得a= ，结合题图可知a1=a2，a4=a3，C、D两项错误。
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3.(多选)(2025·泉州模拟)中国天眼FAST观测某脉冲双星系统如图所示。该双星系统由两颗相距较近的天体组成，并远离其他天体，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的一点做匀速圆周运动。若较大天体质量为M、运动轨道半径为R，较小天体质量为m、运动轨道半径为r，引力常量为G，则( )
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A.两天体质量与半径之间的关系式为Mr=mR
B.两天体质量与半径之间的关系式为MR=mr
C.天体运动的角速度为
D.天体运动的角速度为
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两天体具有相同的角速度，设两天体之间的距离为L，根据万有引力提供向心力，对较大天体，有G=Mω2R，对较小天体，有G=mω2r，R+r=L，所以MR=mr，ω=，B、D两项正 确。
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4.(2024·湖北卷)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎 片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则( )
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A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，A项正确；因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B项错误；变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得竖直向下的速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，C项错误；由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，D项错误。
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5.中国计划2025年发射天舟九号货运飞船，此次任务将上行航天员驻留和消耗物资、维修备件、推进剂和应用任务载荷样品，并下行在轨废弃物。飞船发射后会在停泊轨道(Ⅰ)上进行数据确认，后择机经转移轨道(Ⅱ)完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化
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如图所示，已知停泊轨道半径近似为地球半径R，中国空间站轨道距地面的平均高度为h，飞船在停泊轨道上的周期为T1，则( )
A.飞船在停泊轨道上的速度小于在空间站轨道上运行的速度
B.飞船应提前时间于P点点火加速进而在Q点完成交会对接
C.因为飞船在P点加速进入转移轨道，相比于停泊轨道其在转移轨道上的速度越来越大
D.中国空间站的物品或航天员可以漂浮，说明此时地球对他们的引力消失了
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飞船在停泊轨道和空间站轨道上根据G=m得v=，又r停< r空，所以飞船在停泊轨道上的速度大于在空间站轨道上运行的速度，而且飞船在转移轨道上由近地点向远地点运动，速度越来越小，A、C两项错误；根据题意，由几何关系可得，飞船在转移轨道上的半长轴为R2=，设飞船在转移轨道上的周期为T2，由开
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普勒第三定律有=，解得T2=T1，则飞船提前在P点点火，在Q点完成交会对接的时间t==，B项正确；中国空间站的物品或航天员可以漂浮，是由于处于完全失重状态，不是地球对他们的引力消失了，D项错误。
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6.(2025·成都模拟)如图所示，甲、乙、丙分别为单星、双星、三星模型图，轨迹圆半径都为R，中心天体质量为M，环绕天体质量均为m，已知M m，则( )
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A.乙、丙两图中环绕天体的周期之比为2∶
B.乙图中环绕天体的角速度大于丙图中环绕天体的角速度
C.甲图中m的角速度大于丙图中m的角速度
D.乙、丙两图中环绕天体的线速度之比为2∶
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根据万有引力定律，对题图乙所示的模型有G=mR，解得T乙=4π；对题图丙所示的模型有G=mR，解得T丙=2π，则有T乙∶T丙=2∶，A项错误；根据ω=得角速度之比ω乙∶ω丙=T丙∶T乙=∶2，题图乙中环绕天体的角速度比题图
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丙中的小，B项错误；乙、丙两图半径相同，线速度之比v乙∶v丙=ω乙∶ω丙=∶2，D项错误；根据万有引力定律，对题图甲所示的模型有G=mR，解得ω甲=；题图丙的角速度ω丙==，由于M m，则ω甲>ω丙，C项正确。
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7.(2025·吕梁模拟)洛希极限是指在双星系统中，两个天体之间的最近距离。如果两个天体之间的距离小于洛希极限，则质量较小的天体就会在质量较大的天体引力下被撕碎。洛希极限的计算公式为r=2.44R，其中r为洛希极限，M、m分别为质量较大和较小的天体质量，R为质量较大的天体半径。如图甲所示，某脉冲双星系统由两颗相距较近的天体组成，并远离其他天体，它们在彼此间的万有引
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梯级Ⅱ 能力练
力作用下，绕连线上的一点做匀速圆周运动。简化为如图乙所示，测得A、B两恒星间的距离为L，A、B两恒星的半径分别为RA、RB，恒星A做圆周运动的向心加速度是恒星B的8倍，该双星系统的洛希极限为( )
A.4.88RA B.2.44RA C.4.88RB D.2.44RB
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根据G=mAaA=mBaB，恒星A做圆周运动的向心加速度是恒星B的8倍，即==8，恒星B的质量较大，则该双星系统的洛希极限为r=2.44RB=4.88RB，C项正确。
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8.宇宙中存在两个质量均为m的星球A和星球B，两星球之间的距离为L，引力常量为G。
(1)如图甲所示，若将A、B星球视为远离其他天体的双星模型，请用L、G、m等参数表示两行星做匀速圆周运动的周期T0；
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以A星球为研究对象，其公转半径r1=，根据匀速圆周运动规律有
=×，
解得T0=。
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(2)天文观测发现A、B星球实际的运行周期T1=，某天文学家认为导致该现象的原因可能是在A、B星球连线的中点处存在一颗暗星(由暗物质构成的天体)C，如图乙所示，请根据上述信息计算暗星C的质量M与A星球的质量m的比值。
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以A星球为研究对象，做匀速圆周运动的向心力来源于B星及C星的引力，即+=×，
且T1==，
联立两式解得=。
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9.(2025·岳阳模拟)如图所示，虚线Ⅰ、Ⅱ分别表示地球卫星的两条轨道，其中轨道Ⅰ为近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道。起初卫星在轨道Ⅰ上运行，经过a点成功变轨进入轨道Ⅱ，b点为轨道Ⅱ的远地点，b点与地心的距离为轨道Ⅰ半径的2倍，卫星在轨道Ⅱ上运行时经过a点的速率为va，经过b点的速率为vb，则( )
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梯级Ⅲ 能力练
A.卫星在轨道Ⅰ上经过a点变轨进入轨道Ⅱ时应减速
B.在轨道Ⅱ上，卫星在b点的机械能小于在a点的机械能
C.vb=2va
D.卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运行的周期平方之比为8∶27
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依题意，卫星在轨道Ⅰ上经过a点变轨进入轨道Ⅱ时属于从低轨道向高轨道变轨，做离心运动，应加速，A项错误；在轨道Ⅱ上，卫星只受万有引力作用，其机械能守恒，所以在b点的机械能等于在a点的机械能，B项错误；卫星在轨道Ⅱ上运动，a点为近地点，b为远地点，根据开普勒第二定律可知va>vb，C项错误；设轨道Ⅰ的轨道半径为r，则轨道Ⅱ的半长轴为，由开普勒第三定律，有=，解得=，D项正确。
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