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第3讲　机械能守恒定律及应用
■目标要求
1.知道机械能守恒的条件,理解机械能守恒定律的内容。2.会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
考点1　机械能守恒条件
　　　　　 　　　　　　　　　　
必|备|知|识
1.重力做功与重力势能。
(1)重力做功的特点。
①重力做功与　　　　　　无关,只与始末位置的　　　　有关。
②重力做功不引起物体　　　　　的变化。
(2)重力势能。
①表达式:Ep=mgh。
②重力势能的特点:a.系统性:重力势能是　　　　和　　　　共有的;b.相对性:重力势能的大小与参考平面的选取　　　　　,但重力势能的变化量与参考平面的选取　 　　。
(3)重力做功与重力势能变化的关系。
①定性关系:重力对物体做正功,重力势能减小;重力对物体做负功,重力势能增加。
②定量关系:重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量,即WG=　　　　　　=-ΔEp。
2.弹性势能。
(1)物体由于发生弹性形变而具有的能,叫弹性势能。弹性势能的大小与形变量和　　　　　有关。
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系:弹力做　　　　,弹性势能减小;弹力做　　　　,弹性势能增加,即W弹=-ΔEp。
3.机械能守恒定律。
(1)内容。
在只有　　　　或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以互相　　　　,而总的机械能保持　　　　。
(2)表达式:Ek1+Ep1=　　　　　　　。
(3)机械能守恒的条件。
对单个物体,只有重力做功;对系统,只有　　　　或　　　　　　　　　　　做功。
(1)物体的重力做正功,其重力势能一定减少()
(2)物体所受的合外力为零,物体的机械能一定守恒()
(3)物体做匀速直线运动,其机械能一定守恒()
关|键|能|力
　　　　　 　　　　　　　　　　
　机械能是否守恒的三种判断方法。
(1)利用机械能的定义判断:若物体动能、势能之和不变,机械能守恒。
(2)利用做功判断:①若物体或系统只有重力或弹力做功,机械能守恒;②若有其他力做功,但其他力做功的代数和为零,系统的机械能守恒。
(3)利用能量转化判断:若系统与外界没有能量交换,系统内也没有机械能与其他形式能的转化,则系统的机械能守恒。
【典例1】　(多选)如图所示,下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
甲　乙　丙　丁
A.图甲中,物体A将弹簧压缩的过程中,A机械能守恒
B.图乙中,A置于光滑水平面,物体B沿光滑斜面下滑,物体B机械能守恒
C.图丙中,不计任何阻力及滑轮和绳的质量时A加速下落,B加速上升过程中,A、B机械能守恒
D.图丁中,轻绳悬吊的小球在竖直面内摆动的过程中,不计空气阻力的情况下,小球的机械能守恒
考点2　单个物体的机械能守恒问题
　　　　　 　　　　　　　　　　
关|键|能|力
1.表达式。
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤。
【典例2】　
(多选)(2023·湖南卷)如图,固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成,两段相切于B点,AB段与水平面夹角为θ,BC段圆心为O,最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道,能沿轨道运动恰好到达C点,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.小球从B到C的过程中,对轨道的压力逐渐增大
B.小球从A到C的过程中,重力的功率始终保持不变
C.小球的初速度v0=
D.若小球初速度v0增大,小球有可能从B点脱离轨道
【典例3】　(2024·全国甲卷)
如图,一光滑大圆环固定在竖直平面内,质量为m的小环套在大圆环上,小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部,Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(　　)
A.在Q点最大 B.在Q点最小
C.先减小后增大 D.先增大后减小
命题特点:试题不是单独考查机械能守恒定律,而是与竖直面内的圆周运动结合在一起考查,解题方法不唯一,可用物理方法分析,也可结合数学知识分析。
复习建议:复习中应重视机械能守恒定律与几何知识、数学推理等知识的综合,还应重视机械能守恒定律与圆周运动、卫星的运动、平抛运动等运动形式的综合。
考点3　多物体组成系统的机械能守恒问题
　　　　　 　　　　　　　　　　
关|键|能|力
解决多物体组成系统的机械能守恒问题的几点注意事项。
(1)对多个物体组成的系统,要注意判断系统的机械能是否守恒。一般情况下,不计空气阻力和摩擦时,没有机械能向其他形式能的转化,系统的机械能守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。
考向1　速率相等情形
两物体的速率相等,但竖直方向的高度变化大小不一定相等。
【典例4】　
如图所示,可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接,跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的两倍。当B位于地面上时,A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放,B上升的最大高度是(　　)
A.2R B. C. D.
考向2　角速度相等情形
(1)两物体的角速度相等,线速度大小由v=ωr确定。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆方向,杆对两物体均做功,但总功为零,所以单个物体的机械能并不守恒。
【典例5】　
(多选)如图,质量分别为m和2m的两个小球P和Q,中间用轻质杆固定连接,杆长为l,在离P球处的O点有一个光滑固定转轴,如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放,Q球顺时针摆动到最低位置,已知重力加速度为g,则(　　)
A.小球Q在最低位置的速度大小为
B.小球Q在最低位置的速度大小为
C.杆对小球P做正功,P的机械能增加
D.杆对小球Q做正功,Q的机械能增加
考向3　沿绳或杆方向的分速度相等情形
(1)两物体的速度不等,但沿绳或杆方向的分速度相等。
(2)绳或杆对物体的作用力做功,单个物体的机械能不守恒,但系统的机械能守恒。
【典例6】　如图所示,质量为m的物体P套在固定的光滑水平杆上。轻绳跨过O和O'处两个光滑的滑轮,一端与物体P相连,另一端与质量为2m的物体Q相连。用手托住物体Q使整个系统处于静止状态,此时轻绳刚好拉直,且AO=L,OB=h,ABA.在物体P从A滑到B的过程中,P的速度增大,Q的速度减小
B.物体P运动的最大速度为2
C.在物体P从A滑到B的过程中,P的机械能减少,Q的机械能增加
D.开始运动后,当物体P速度最大时,物体Q速度也达到最大
第3讲　机械能守恒定律及应用
考点1
必备知识 　
1.(1)①运动路径　高度差　②机械能　(2)②物体　地球　有关　无关　(3)②-(Ep2-Ep1)
2.(1)劲度系数　(2)正功　负功
3.(1)重力　转化　不变　(2)Ek2+Ep2
(3)重力　系统内的弹簧弹力
微点辨析　(1)√　(2)×　(3)×
关键能力 　
【典例1】　CD　解析　题图甲中重力和弹力做功,物体A和弹簧组成的系统机械能守恒,但物体A机械能不守恒,A项错误;题图乙中物体B除受重力外,还受弹力,弹力对B做负功,机械能不守恒,但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒,B项错误;题图丙中绳子张力对A做负功,对B做正功,代数和为零,A、B机械能守恒,C项正确;题图丁中只有重力做功,动能和势能不断发生相互转化,机械能守恒,D项正确。
考点2
关键能力 　
【典例2】　AD　解析　由题知,小球能沿轨道运动恰好到达C点,则小球在C点的速度为vC=0,则小球从B到C的过程中,有-mgR(1-cos α)=0-mv2,FN=mgcos α-m,联立有FN= 3mgcos α-2mg,则小球从B到C的过程中α由θ减小到0,则cos α逐渐增大,故FN逐渐增大,则对轨道的压力逐渐增大,A项正确;克服重力做功的功率为P = mgvsin θ,从A到B的过程中,随着速度的减小克服重力做功的功率减小,从B到C的过程中,速度减小,sin θ也减小,克服重力做功的功率也减小,所以小球从A到C的过程中,克服重力做功的功率一直减小,B项错误;从A到C的过程中有-mg·2R=m-m,解得v0=,C项错误;小球在B点恰好脱离轨道有mgcos θ=m,则vB=,若小球初速度v0增大,小球在B点的速度有可能为,故小球有可能从B点脱离轨道,D项正确。
【典例3】　C　解析　方法一(分析法):设大圆环半径为R,小环在大圆环上某处(P点)与圆环的作用力恰好为零,如图所示,设图中夹角为θ,从大圆环顶端到P点过程,根据机械能守恒定律mgR(1-cos θ)=mv2,在P点,根据牛顿第二定律mgcos θ=m,联立解得cos θ=,从大圆环顶端到P点过程,小环速度较小,小环重力沿着大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力,所以大圆环对小环的弹力背离圆心,不断减小,从P点到最低点过程,小环速度继续增大,小环重力和大圆环对小环弹力的合力提供向心力,所以大圆环对小环的弹力逐渐变大,根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大,C项正确。
方法二(数学法):设大圆环半径为R,小环在大圆环上某处时,设该处与圆心的连线与竖直向上的夹角为θ,0≤θ≤π,根据机械能守恒定律mgR(1-cos θ)=mv2,在该处根据牛顿第二定律F+mgcos θ=m,联立可得F=2mg-3mgcos θ,则大圆环对小环作用力的大小|F|=|2mg-3mgcos θ|,根据数学知识可知|F|的大小在cos θ=时最小,结合牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大,C项正确。
考点3
关键能力 　
【典例4】　C　解析　设B球质量为m,A球刚落地时,两球速度大小都为v,根据机械能守恒定律2mgR-mgR=(2m+m)v2得v2=gR,B球继续上升的高度h==,则B球上升的最大高度为h+R=R,C项正确。
【典例5】　AC　解析　根据机械能守恒定律2mg·l-mg·l=×2m+m,又=,小球Q在最低位置的速度大小为vQ=,A项正确,B项错误;P球动能增加,重力势能增加,则杆对小球P做正功,其机械能增加,C项正确;系统机械能守恒,根据机械能守恒,可知小球Q在此过程中机械能减小,D项错误。
【典例6】　B　解析　物体P从A滑到B的过程中,绳的拉力做正功,P的动能增加,速度增加,到达B点时,速度最大。上述过程中,绳对Q的拉力做负功,Q的机械能减小,P到达B点时,Q到达最低点的位置,速度为零,所以P从A到B的过程中,Q的速度先增大后减小,A、C、D三项均错误;对P、Q整体应用机械能守恒定律得2mg(L-h)=mv2,则物体P的最大速度v=2,B项正确。(共36张PPT)
第3讲
第六章 机械能守恒定律
机械能守恒定律及应用
目
标
要
求
1.知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容。
2.会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
考点1　机械能守恒条件
考点2　单个物体的机械能守恒问题
内容
索引
考点3　多物体组成系统的机械能守恒问题
机械能守恒条件
考点1
必|备|知|识
1.重力做功与重力势能。
(1)重力做功的特点。
①重力做功与___________无关，只与始末位置的________有关。
②重力做功不引起物体________的变化。
(2)重力势能。
①表达式：Ep=mgh。
运动路径
高度差
机械能
②重力势能的特点：a.系统性：重力势能是______和______共有的；b.相对性：重力势能的大小与参考平面的选取______，但重力势能的变化量与参考平面的选取______。
(3)重力做功与重力势能变化的关系。
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增加。
②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG=________________。
物体
地球
有关
无关
-(Ep2-Ep1)=-ΔEp
2.弹性势能。
(1)物体由于发生弹性形变而具有的能，叫弹性势能。弹性势能的大小与形变量和____________有关。
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做________，弹性势能减小；弹力做______，弹性势能增加，即W弹=-ΔEp。
劲度系数
正功
负功
3.机械能守恒定律。
(1)内容。
在只有__________或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相________，而总的机械能保持________。
(2)表达式：Ek1+Ep1=___________。
(3)机械能守恒的条件。
对单个物体，只有重力做功；对系统，只有_______或____________
_______做功。
重力
转化
不变
Ek2+Ep2
重力
系统内的弹
簧弹力
(1)物体的重力做正功，其重力势能一定减少( )
(2)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒( )
(3)物体做匀速直线运动，其机械能一定守恒( )
关|键|能|力
机械能是否守恒的三种判断方法。
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。
(2)利用做功判断：①若物体或系统只有重力或弹力做功，机械能守恒；②若有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，系统的机械能守恒。
(3)利用能量转化判断：若系统与外界没有能量交换，系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则系统的机械能守恒。
【典例1】　(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A.图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B.图乙中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C.图丙中，不计任何阻力及滑轮和绳的质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒
D.图丁中，轻绳悬吊的小球在竖直面内摆动的过程中，不计空气阻力的情况下，小球的机械能守恒
题图甲中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守
恒，但物体A机械能不守恒，A项错误；题图乙中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B项错误；题图丙中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B机械能守恒，C项正
确；题图丁中只有重力做功，动能和势能不断发生相互转化，机械能守恒，D项正确。
解析
单个物体的机械能守恒问题
考点2
关|键|能|力
1.表达式。
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤。
【典例2】　(多选)(2023·湖南卷)如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B.小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C.小球的初速度v0=
D.若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为vC=0，则小球从B到C的过程中，有-mgR(1-cos α)=0-mv2，FN=mgcos α-m，联立有FN= 3mgcos α-2mg，则小球从B到C的过程中α由θ减小到0，则cos α逐渐增大，故FN逐渐增大，则对轨道的压力逐渐增大，A项正确；克服重力做功的功率为P=mgvsin θ，从A到B的过程中，随着速度的减小克服重力做功的功率减小，从
解析
B到C的过程中，速度减小，sin θ也减小，克服重力做功的功率也减小，所以小球从A到C的过程中，克服重力做功的功率一直减
小，B项错误；从A到C的过程中有-mg·2R=m-m，解得v0=，C项错误；小球在B点恰好脱离轨道有mgcos θ=m，则vB=，若小球初速度v0增大，小球在B点的速度有可能为，故小球有可能从B点脱离轨道，D项正确。
解析
【典例3】　(2024·全国甲卷)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小( )
A.在Q点最大 B.在Q点最小
C.先减小后增大 D.先增大后减小
方法一(分析法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处(P点)与圆环的作用力恰好为零，如图所示，设图中夹角为θ，从大圆环顶端到P点过程，根据机械能守恒定律mgR(1-cos θ)=mv2，在P点，根据牛顿第二定律mgcos θ=m，联立解得cos θ=，从大圆环顶端到P点过程，小环速度较小，小环重力沿着大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不
解析
断减小，从P点到最低点过程，小环速度继续增大，小环重力和大圆环对小环弹力的合力提供向心力，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大，C项正确。
解析
方法二(数学法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处时，设该处与圆心的连线与竖直向上的夹角为θ，0≤θ≤π，根据机械能守恒定律mgR(1-cos θ)=mv2，在该处根据牛顿第二定律F+mgcos θ=m，联立可得F=2mg-3mgcos θ，则大圆环对小环作用力的大小|F|=
|2mg-3mgcos θ|，根据数学知识可知|F|的大小在cos θ=时最小，结合牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大，C项正确。
解析
命题特点：试题不是单独考查机械能守恒定律，而是与竖直面内的圆周运动结合在一起考查，解题方法不唯一，可用物理方法分析，也可结合数学知识分析。
复习建议：复习中应重视机械能守恒定律与几何知识、数学推理等知识的综合，还应重视机械能守恒定律与圆周运动、卫星的运动、平抛运动等运动形式的综合。
多物体组成系统的机械能守恒问题
考点3
关|键|能|力
解决多物体组成系统的机械能守恒问题的几点注意事项。
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断系统的机械能是否守恒。一般情况下，不计空气阻力和摩擦时，没有机械能向其他形式能的转化，系统的机械能守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。
考向1
速率相等情形
两物体的速率相等，但竖直方向的高度变化大小不一定相等。
【典例4】　如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A.2R B. C. D.
设B球质量为m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律2mgR-mgR=(2m+m)v2得v2=gR，B球继续上升的高度h==，则B球上升的最大高度为h+R=R，C项正确。
解析
考向2
角速度相等情形
(1)两物体的角速度相等，线速度大小由v=ωr确定。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆方向，杆对两物体均做功，但总功为零，所以单个物体的机械能并不守恒。
【典例5】　(多选)如图，质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为l，在离P球处的O点有一个光滑固定转轴，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，Q球顺时针摆动到最低位置，已知重力加速度为g，则( )
A.小球Q在最低位置的速度大小为
B.小球Q在最低位置的速度大小为
C.杆对小球P做正功，P的机械能增加
D.杆对小球Q做正功，Q的机械能增加
根据机械能守恒定律2mg·l-mg·l=×2m+m，又
=，小球Q在最低位置的速度大小为vQ=，A项正确，B项错误；P球动能增加，重力势能增加，则杆对小球P做正功，其机械能增加，C项正确；系统机械能守恒，根据机械能守恒，可知小球Q在此过程中机械能减小，D项错误。
解析
考向3
沿绳或杆方向的分速度相等情形
(1)两物体的速度不等，但沿绳或杆方向的分速度相等。
(2)绳或杆对物体的作用力做功，单个物体的机械能不守恒，但系统的机械能守恒。
【典例6】　如图所示，质量为m的物体P套在固定的光滑水平杆上。轻绳跨过O和O'处两个光滑的滑轮，一端与物体P相连，另一端与质量为2m的物体Q相连。用手托住物体Q使整个系统处于静止状态，此时轻绳刚好拉直，且AO=L，OB=h，ABA.在物体P从A滑到B的过程中，P的速度增大，Q的速度减小
B.物体P运动的最大速度为2
C.在物体P从A滑到B的过程中，P的机械能减少，Q的机械能增加
D.开始运动后，当物体P速度最大时，物体Q速度也达到最大
物体P从A滑到B的过程中，绳的拉力做正功，P的动能增加，速度增加，到达B点时，速度最大。上述过程中，绳对Q的拉力做负
功，Q的机械能减小，P到达B点时，Q到达最低点的位置，速度为零，所以P从A到B的过程中，Q的速度先增大后减小，A、C、D三项均错误；对P、Q整体应用机械能守恒定律得2mg(L-h)=mv2，则物体P的最大速度v=2，B项正确。
解析微练21　机械能守恒定律及应用
　
梯级Ⅰ基础练
1.如图，斜面体A放在水平面上，球体B放在斜面体的斜面与竖直墙壁之间，外力F作用在A上使A、B处于静止状态，不计一切摩擦，现撤去F，在球B向下运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.A对B不做功
B.B对A不做功
C.B的机械能守恒
D.A、B组成的系统机械能守恒
2.如图，将质量为m的篮球从离地高度为h的A处，以初始速度v抛出，篮球恰能进入高度为H的篮圈。不计空气阻力和篮球转动的影响，经过篮球入圈位置B的水平面为零势能面，重力加速度为g。则篮球经过位置B时的机械能为(　　)
A.mv2
B.mv2+mg(h-H)
C.mv2+mg(H-h)
D.mv2+mgh
3.(2025·大连模拟)如图所示，劲度系数分别为kA=400 N/m和kB=600 N/m的弹簧A和B连接在一起，拉长后将两端固定。若弹簧弹性势能可表示为Ep=kx2，其中x为弹簧形变量，则弹性势能EpA、EpB的关系为(　　)
A.EpA= B.EpA=EpB
C.EpA= D.EpA=
4.一质量为m的物块仅在重力作用下运动，物块位于高度h1和h2时的重力势能分别为3E0和E0(E0>0)。若物块位于h1时速度为0，则位于h2时其速度大小为(　　)
A.2 B.
C.2 D.4
5.一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)(　　)
A. B.
C. D.2
6.(多选)(2025·洛阳模拟)如图所示，半径为R的光滑半圆弧状细轨道ABC竖直固定在水平面上，下端与光滑的水平面平滑相接于C点，AC是竖直直径，圆弧上B点距离光滑水平面的高度为R，质量均为m的小球甲、乙(均视为质点)用轻质细杆连接，小球甲套在半圆弧状细轨道上的A点，小球乙放置在C点。甲、乙两小球均处于静止状态，现让小球甲受到轻微的扰动，小球甲沿半圆弧状细轨道向下运动，小球乙沿着水平面向右运动，重力加速度大小为g，则在小球甲从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.小球甲的重力势能全部转化为小球乙的动能
B.小球甲克服细杆的作用力做的功大于细杆对小球乙所做的功
C.当小球甲刚运动到B点时，小球甲和小球乙的速度大小之比为∶1
D.当小球甲刚运动到B点时，小球乙的动能为mgR
梯级Ⅱ能力练
7.(2025·济宁模拟)有一竖直放置的T形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一根不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看作质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为(　　)
A. B.
C. D.
8.(多选)儿童玩具百变弹珠拼装滚球滑道的部分轨道简化模型如图所示，假设图中竖直平面内的光滑圆弧轨道半径为R=0.1 m，平台与轨道的最高点等高，一颗质量m=20 g且可视为质点的弹珠从平台边缘A处水平射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°， 已知sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，重力加速度为g=10 m/s2，则(　　)
A.弹珠从平台上的A点射出时的速度大小为3 m/s
B.弹珠从平台上的出射点A到圆轨道入射点P之间的水平距离为0.24 m
C.弹珠到达圆弧轨道最低点时的速度大小是 m/s
D.弹珠沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的弹力大小为0.36 N
9.(2025·盐城模拟)如图所示，质量为m的小球(可视为质点)套在固定的光滑的竖直杆上，一足够长且不可伸长的轻绳一端与小球相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M=2m的物块相连。与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离d=3 m，定滑轮大小及质量可忽略。现将小球从A点由静止释放，小球运动到C点速度为0，重力加速度取g=10 m/s2。求:
(1)小球刚释放瞬间加速度a的大小;
(2)小球下落的最大高度h;
(3)小球下落过程中，轻绳方向与竖直杆的夹角成60°时，小球的速度大小。(≈1.7，结果保留1位小数)
梯级Ⅲ创新练
10.(多选)(2025·鹤壁模拟)一足够长的光滑斜面固定在水平面上，质量为1 kg的小物块在平行斜面向上的拉力F作用下，以一定初速度从斜面底端沿斜面向上运动，经过时间t0物块沿斜面上滑了1.2 m。小物块在F作用下沿斜面上滑过程中动能和重力势能随位移的变化关系如图线Ⅰ和Ⅱ所示。设物块在斜面底端的重力势能为零，重力加速度g取10 m/s2。由此可求出(　　)
A.斜面的倾角为30°
B.力F的大小为20 N
C.小物块的初速度大小为2 m/s
D.若t0时刻撤去拉力F，物块沿斜面上滑的最大距离为2.8 m
微练21　机械能守恒定律及应用
1.D　解析　不计一切摩擦,B在向下运动的过程中,由于两者之间存在弹力,所以A向左运动,故B对A的弹力做正功,A对B的弹力做负功,B的机械能减少。因为对A、B系统,只有重力和系统内的弹力做功,A、B系统机械能守恒,A、B、C三项错误,D项正确。
2.B　解析　不计空气阻力和篮球转动的情况下,篮球运动过程中机械能守恒,篮球经过B点的机械能等于在A点的机械能。以B点所在的水平面为零势能面,篮球在A点的重力势能Ep=-mg(H-h)=mg(h-H),则机械能E=Ek+Ep=mv2+mg(h-H),B项正确。
3.A　解析　弹簧A和B两端的拉力大小相等,由胡克定律可知kAxA=kBxB,解得xA∶xB=3∶2,弹簧A和弹簧B弹性势能分别为EpA=kA,EpB=kB,则==,即EpA=,A项正确。
4.A　解析　物体仅在重力作用下运动,物体的机械能守恒,根据机械能守恒定律可得3E0+0=E0+mv2,解得h2处的速度为v=2,A项正确。
5.A　解析　根据机械能守恒定律得0+0=mv2-mgh,h=R+πR-πR ,解得v= ,A项正确。
6.CD　解析　甲、乙组成的系统机械能守恒,甲在向下运动的过程中,甲的重力势能转化为甲和乙的总动能,A项错误;甲、乙组成的系统机械能守恒,甲减少的机械能转为乙增加的机械能,根据功能关系,可知甲克服杆的作用力做的功等于杆对乙所做的功,B项错误;当甲刚运动到B点时,根据几何关系有sin θ==,轻质细杆与水平面的夹角为30°,把甲、乙的速度分别沿着轻质细杆和垂直轻质细杆的方向进行分解,则甲、乙在沿着杆方向的分速度相等,可得v甲sin 30°=v乙cos 30°,有v甲∶v乙=∶1,C项正确;小球乙的动能为Ek=m,由机械能守恒定律可得mgR=m+m,解得小球乙的动能为Ek=mgR,D项正确。
7.D　解析　如图所示,将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳的方向,两物体沿绳子的方向速度大小相等,则有vBcos 60°=vAcos 30°,其中vB=v,解得vA=v,B减小的重力势能全部转化为A和B的动能,由于A、B组成的系统只有重力做功,所以系统机械能守恒,有mgh=m+m,解得h=,绳长L=2h=,D项正确。
8.BC　解析　弹珠从平台边缘A处水平射出,恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道,有tan 53°==,h=R+Rcos 53°=gt2,则v0= m/s,A项错误;水平位移为x=v0t=0.24 m,B项正确;从A点到圆弧最低点,根据机械能守恒定律有m=mg·2R+m,解得v1= m/s,C项正确;根据机械能守恒定律有vQ=v0= m/s,在最高点Q时,有mg+FN=m,解得FN=0.16 N,根据牛顿第三定律可得弹珠沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的弹力大小为0.16 N,D项错误。
9.答案　(1)g　(2)4 m　(3)3.4 m/s
解析　(1)根据牛顿第二定律mg=ma,
得a=g。
(2)根据系统机械能守恒
mgh-Mg(-d)=0,
解得h=4 m。
(3)根据系统机械能守恒
mg-Mg-d=m+M,
根据速度分解得vmcos 60°=vM,
由上述两式求得(2-)mgd=m,
解得vm=2 m/s≈3.4 m/s。
10.ACD　解析　根据Ep=mgh=mgxsin θ,得sin θ===,斜面倾角为θ=30°,A项正确;根据动能定理Fx-mgx·sin 30°=8 J-2 J得F=10 N,B项错误;根据Ek0=m得初速度为v0== m/s=2 m/s,C项正确;若经过t0后撤去拉力F,小物块的机械能不变,此后重力势能增加、动能减小;根据题图可知,t0时刻的机械能为E=Ek+Ep=8 J+6 J=14 J,根据机械能守恒定律可得E=mgx'sin θ,解得上升的最大距离为x'== m=2.8 m,D项正确。(共29张PPT)
微练21
机械能守恒定律及应用
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1.如图，斜面体A放在水平面上，球体B放在斜面体的斜面与竖直墙壁之间，外力F作用在A上使A、B处于静止状态，不计一切摩擦，现撤去F，在球B向下运动的过程中，下列说法正确的是( )
A.A对B不做功
B.B对A不做功
C.B的机械能守恒
D.A、B组成的系统机械能守恒
梯级Ⅰ 基础练
不计一切摩擦，B在向下运动的过程中，由于两者之间存在弹 力，所以A向左运动，故B对A的弹力做正功，A对B的弹力做负 功，B的机械能减少。因为对A、B系统，只有重力和系统内的弹力做功，A、B系统机械能守恒，A、B、C三项错误，D项正确。
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2.如图，将质量为m的篮球从离地高度为h的A处，以初始速度v抛 出，篮球恰能进入高度为H的篮圈。不计空气阻力和篮球转动的影 响，经过篮球入圈位置B的水平面为零势能面，重力加速度为g。则篮球经过位置B时的机械能为( )
A.mv2 B.mv2+mg(h-H)
C.mv2+mg(H-h) D.mv2+mgh
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不计空气阻力和篮球转动的情况下，篮球运动过程中机械能守 恒，篮球经过B点的机械能等于在A点的机械能。以B点所在的水平面为零势能面，篮球在A点的重力势能Ep=-mg(H-h)=mg(h-H)，则机械能E=Ek+Ep=mv2+mg(h-H)，B项正确。
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3.(2025·大连模拟)如图所示，劲度系数分别为kA=400 N/m和kB= 600 N/m的弹簧A和B连接在一起，拉长后将两端固定。若弹簧弹性势能可表示为Ep=kx2，其中x为弹簧形变量，则弹性势能EpA、EpB的关系为( )
A.EpA= B.EpA=EpB
C.EpA= D.EpA=
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弹簧A和B两端的拉力大小相等，由胡克定律可知kAxA=kBxB，解得xA∶xB=3∶2，弹簧A和弹簧B弹性势能分别为EpA=kA，EpB=kB，则==，即EpA=，A项正确。
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4.一质量为m的物块仅在重力作用下运动，物块位于高度h1和h2时的重力势能分别为3E0和E0(E0>0)。若物块位于h1时速度为0，则位于h2时其速度大小为( )
A.2 B.
C.2 D.4
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物体仅在重力作用下运动，物体的机械能守恒，根据机械能守恒定律可得3E0+0=E0+mv2，解得h2处的速度为v=2，A项正确。
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5.一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )
A. B.
C. D.2
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根据机械能守恒定律得0+0=mv2-mgh，h=R+(πR-πR)，解得v= ，A项正确。
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6.(多选)(2025·洛阳模拟)如图所示，半径为R的光滑半圆弧状细轨道ABC竖直固定在水平面上，下端与光滑的水平面平滑相接于C点，AC是竖直直径，圆弧上B点距离光滑水平面的高度为R，质量均为m的小球甲、乙(均视为质点)用轻质细杆连接，小球甲套在半圆弧状细轨道上的A点，小球乙放置在C点。甲、乙两小球均处于静止状 态，现让小球甲受到轻微的扰动，小球甲沿半圆弧状细轨道向下运动，小球乙沿着水平面向右运动，重力加速度大小为g，则在小球甲从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是( )
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A.小球甲的重力势能全部转化为小球乙的动能
B.小球甲克服细杆的作用力做的功大于细杆对小球乙所做的功
C.当小球甲刚运动到B点时，小球甲和小球乙的速度大小之比为∶1
D.当小球甲刚运动到B点时，小球乙的动能为mgR
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甲、乙组成的系统机械能守恒，甲在向下运动的过程中，甲的重力势能转化为甲和乙的总动能，A项错误；甲、乙组成的系统机械能守恒，甲减少的机械能转为乙增加的机械能，根据功能关 系，可知甲克服杆的作用力做的功等于杆对乙所做的功，B项错误；当甲刚运动到B点时，根据几何关系有sin θ==，轻质细杆与水平面的夹角为30°，把甲、乙的速度分别沿着轻质细杆和垂
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直轻质细杆的方向进行分解，则甲、乙在沿着杆方向的分速度相等，可得v甲sin 30°=v乙cos 30°，有v甲∶v乙=∶1，C项正确；小球乙的动能为Ek=m，由机械能守恒定律可得mgR=m+m，解得小球乙的动能为Ek=mgR，D项正 确。
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7.(2025·济宁模拟)有一竖直放置的T形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一根不可伸长的轻细绳相连， A、B质量相等，且可看作质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为( )
A. B.
C. D.
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梯级Ⅱ 能力练
如图所示，将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳的方向，两物体沿绳子的方向速度大小相等，则有vBcos 60°=vAcos 30°，其中vB=v，
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解得vA=v，B减小的重力势能全部转化为A和B的动能，由于 A、B组成的系统只有重力做功，所以系统机械能守恒，有mgh=m+m，解得h=，绳长L=2h=，D项正确。
8.(多选)儿童玩具百变弹珠拼装滚球滑道的部分轨道简化模型如图所示，假设图中竖直平面内的光滑圆弧轨道半径为R=0.1 m，平台与轨道的最高点等高，一颗质量m=20 g且可视为质点的弹珠从平台边缘A处水平射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°， 已知sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，重力加速度为g=10 m/s2，则( )
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A.弹珠从平台上的A点射出时的速度大小为3 m/s
B.弹珠从平台上的出射点A到圆轨道入射点P之间的水平距离为 0.24 m
C.弹珠到达圆弧轨道最低点时的速度大小是 m/s
D.弹珠沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的弹力大小为0.36 N
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弹珠从平台边缘A处水平射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道，有tan 53°==，h=R+Rcos 53°=gt2，则v0= m/s，A项错误；水平位移为x=v0t=0.24 m，B项正确；从A点到圆弧最低点，根据机械能守恒定律有m=mg·2R+m，解得v1= m/s，C项正确；根据机械能守恒定律有vQ=v0=
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m/s，在最高点Q时，有mg+FN=m，解得FN=0.16 N，根据牛顿第三定律可得弹珠沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的弹力大小为0.16 N，D项错误。
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9.(2025·盐城模拟)如图所示，质量为m的小球(可视为质点)套在固定的光滑的竖直杆上，一足够长且不可伸长的轻绳一端与小球相 连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M=2m的物块相连。与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离d=3 m，定滑轮大小及质量可忽略。现将小球从A点由静止释放，小球运动到C点速度为0，重力加速度取g=10 m/s2。求：
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(1)小球刚释放瞬间加速度a的大小；
根据牛顿第二定律mg=ma，
得a=g。
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(2)小球下落的最大高度h；
根据系统机械能守恒
mgh-Mg(-d)=0，
解得h=4 m。
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(3)小球下落过程中，轻绳方向与竖直杆的夹角成60°时，小球的速度大小。(≈1.7，结果保留1位小数)
根据系统机械能守恒Mg()-Mg(-d)=m+M，
根据速度分解得vmcos 60°=vM，
由上述两式求得(2-)mgd=m，
解得vm=2 m/s≈3.4 m/s。
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10.(多选)(2025·鹤壁模拟)一足够长的光滑斜面固定在水平面上，质量为1 kg的小物块在平行斜面向上的拉力F作用下，以一定初速度从斜面底端沿斜面向上运动，经过时间t0物块沿斜面上滑了1.2 m。小物块在F作用下沿斜面上滑过程中动能和重力势能随位移的变化关系如图线Ⅰ和Ⅱ所示。设物块在斜面底端的重力势能为零，重力加速度g取10 m/s2。由此可求出( )
梯级Ⅲ 创新练
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A.斜面的倾角为30°
B.力F的大小为20 N
C.小物块的初速度大小为2 m/s
D.若t0时刻撤去拉力F，物块沿斜面上滑的最大距离为2.8 m
根据Ep=mgh=mgxsin θ，得sin θ===，斜面倾角为θ=30°，A项正确；根据动能定理Fx-mgx·sin 30°=8 J-2 J得F=10 N，B项错误；根据Ek0=m得初速度为v0==
m/s=2 m/s，C项正确；若经过t0后撤去拉力F，小物块的机
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械能不变，此后重力势能增加、动能减小；根据题图可知，t0时刻的机械能为E=Ek+Ep=8 J+6 J=14 J，根据机械能守恒定律可得E=mgx'sin θ，解得上升的最大距离为x'== m= 2.8 m，D项正确。
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