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专题提升练10　含弹簧系统的机械能守恒问题
非质点类物体的机械能守恒问题
梯级Ⅰ基础练
1.为了研究蹦极运动过程，做以下简化:将游客视为质点，他的运动始终沿竖直方向。弹性绳的一端固定在O点，另一端和游客相连。游客从O点自由下落，至B点弹性绳自然伸直，经过合力为零的C点到达最低点D，然后弹起，整个过程中弹性绳始终在弹性限度内，空气阻力不计。则游客在O→B→C→D的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.从O到C过程中，游客的重力势能减少，动能先增加后减小
B.从B到D 过程中，弹性绳的弹性势能先增大后减小
C.从B到C 过程中，游客和弹性绳的总势能一直减小
D.从B到D过程中，游客的动能一直减小
2.如图所示，将一支弹性圆珠笔的按压式小帽竖直按在桌面上，放手后笔会向上弹起一定高度，某次实验中测得圆珠笔弹起的最大高度h1=6 cm，而后在圆珠笔的外壳上粘上质量m=8 g的橡皮泥，重复刚才的操作，圆珠笔弹起的最大高度h2=5 cm，重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力，忽略按压小帽的质量，则弹性圆珠笔按在桌面上时其内部弹簧具有的弹性势能为(　　)
A.2.4×10-2 J B.4.0×10-2 J
C.4.8×10-3 J D.8.0×10-3 J
3.(2025·张家口模拟)有一条均匀金属链条，一半长度在光滑的足够高斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂，由静止释放后链条滑动，已知重力加速度g=10 m/s2，链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为 m/s，则金属链条的长度为(　　)
A.0.6 m B.1 m C.2 m D.2.6 m
4.(多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，下列说法正确的是(　　)
A.小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定等于重力加速度g
B.小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减少
C.小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D.小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
5.(2025·十堰模拟)防护罩的一部分是固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，为了检验该防护罩承受冲击的能力，轨道下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射质量不同的钢珠(视为质点)。如图所示，某次发射的质量为m1的钢珠恰好能沿轨道内侧经过上端点P水平飞出，另一次发射的质量为m2的钢珠在Q点脱离轨道，OQ与竖直方向的夹角为α。若弹簧枪的长度不计，每次发射时弹簧具有相同的压缩量，弹簧在弹性限度内，则m1∶m2为(　　)
A.cos α B.sin α
C.tan α D.
6.(2025·咸阳模拟)如图，可爱的毛毛虫外出觅食，缓慢经过一边长为2L的等边三角形山丘，已知其身长为6L，总质量为m，重力加速度为g。图中毛毛虫(其质量均匀分布)头部刚到达最高点。假设毛毛虫能一直贴着山丘前行，其头部越过山顶刚到达山丘底端时，毛毛虫重力势能的变化量为(　　)
A.mgL B.mgL
C.mgL D.mgL
梯级Ⅱ能力练
7.(多选)如图甲所示，在蹦床项目比赛中，从运动员下落到离地面高h1处开始计时，其动能Ek与离地高度h的关系如图乙所示。在h1~h2阶段图像为直线，其余部分为曲线，若运动员的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
A.整个过程中运动员与蹦床组成的系统机械能守恒
B.运动员处于h=h3高度时，运动员的脚开始接触蹦床
C.运动员处于h=h4高度时，蹦床的弹性势能为Ep=mg(h2-h4)
D.从运动员的脚接触蹦床直至蹦床被压缩至最低点的过程中，其加速度先增大后减小
8.(2025·南昌模拟)如图所示，长为2l、质量为m粗细均匀且质量分布均匀的软绳对称地挂在轻小的定滑轮两边，用细线将物块M与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开滑轮(此时物块未到达地面)，重力加速度大小为g，在此过程中(　　)
A.物块M的机械能逐渐增加
B.软绳的机械能逐渐增加
C.软绳重力势能共减少了mgl
D.软绳重力势能的减少量等于物块机械能的增加量
9.(2025·苏州模拟)如图所示，光滑竖直杆固定，杆上套有一质量为m的小球A(可视为质点)，一根竖直轻弹簧一端固定在地面上，另一端连接质量也为m的物块B，一轻绳跨过位于O点的定滑轮，一端与物块B相连，另一端与小球A连接，定滑轮到竖直杆的距离为L，初始时，小球A在外力作用下静止于P点，已知此时整根轻绳伸直无张力且OP间细绳水平、OB间细绳竖直，现将小球A由P点静止释放，A沿杆下滑到最低点Q时OQ与杆之间的夹角为37°，不计滑轮大小及摩擦，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A.小球A静止于P点时，弹簧的压缩量为L
B.小球A由P下滑至Q的过程中，弹簧弹性势能减少了mgL
C.小球A下滑至Q时，所受合力为0
D.若将小球A换成质量为的小球C，并将小球C拉至Q点由静止释放，则小球C运动到P点时的动能为mgL
梯级Ⅲ创新练
10.如图所示，质量为m的均匀条形铁链AB恰好在半径为R的光滑半球体上方保持静止，已知∠AOB=60°。给铁链AB一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，铁链沿球面下滑过程中未脱离球面，当端点A滑至C处时铁链变为竖直状态且其速度大小为v。以OC所在平面为参考平面，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.铁链在初始位置时具有的重力势能为mgR
B.铁链在初始位置时其重心距OC面的高度为
C.铁链的端点A滑至C点时其重心下降高度为
D.铁链的端点B滑至C点时其速度大小为
专题提升练10　含弹簧系统的机械能守恒问题　非质点类物体的机械能守恒问题
1.C　解析　从O到C过程中,游客先做自由落体运动,到B点时,游客开始受到弹性绳的弹力,但弹性绳的弹力小于游客的重力,游客继续向下做加速度减小的加速运动,到C点时合力为零,速度达到最大,可知该过程重力势能减少,动能一直在增加;游客从C到D过程,由于弹力大于重力,游客向下减速运动,游客的动能减少,A、D两项错误;从B到D 过程中,弹性绳的伸长量一直增大,弹性绳的弹性势能一直增大,B项错误;从B到C过程中,由于游客的动能一直在增加,根据系统机械能守恒可知,游客和弹性绳的总势能一直减小,C项正确。
2.A　解析　设圆珠笔的质量为M,由机械能守恒定律得Ep=Mgh1=(M+m)gh2,解得M=40 g,Ep=2.4×10-2 J,A项正确。
3.C　解析　设链条的质量为2m,长度为L,以开始时链条的最高点为零势能面,链条的机械能为E=Ep+Ek=-×2mg×sin θ-×2mg×+0=-mgL(1+sin θ),链条全部滑出后,动能为Ek'=×2mv2,重力势能为Ep'=-2mg,由机械能守恒定律可得E=Ek'+Ep',即-mgL(1+sin θ)=mv2-mgL,解得L=2 m,C项正确。
4.BD　解析　在B点时,小球的加速度为g,在BC间弹簧处于压缩状态,小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力,所以小球从A点运动到D点的过程中,其最大加速度一定大于重力加速度g,A项错误;由机械能守恒定律可知,小球从B点运动到C点的过程,小球做加速运动,即动能增大,所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小,B项正确;小球运动到C点时,由于弹簧的弹力为零,合力为重力G,所以小球从C点往下还会加速一段,所以小球在C点的速度不是最大,即重力的功率不是最大,C项错误;D点为小球运动的最低点,即速度为零,弹簧形变量最大,所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大,D项正确。
5.A　解析　质量为m1的钢珠恰好能过P点,则在P点时重力提供向心力,根据牛顿第二定律有m1g=m1,从发射到经过P点,质量为m1的钢珠与弹簧组成的系统机械能守恒,根据机械能守恒有Ep=m1gR+m1,质量为m2的钢珠在Q点脱离轨道,则在此位置轨道对钢珠的弹力刚好为零,由重力沿半径方向的分力提供向心力,即m2gcos α=m2,从发射到经过Q点,质量为m2的钢珠与弹簧组成的系统机械能守恒,根据机械能守恒有Ep'=m2gRcos α+m2,每次发射时弹簧具有相同的压缩量,即Ep=Ep',联立解得m1∶m2=cos α∶1,A项正确。
6.D　解析　选山丘底端为零势能面,初状态的重力势能为Ep1=mg·Lsin 60°=mgL,毛毛虫头部越过山顶刚到达山丘底端时的重力势能为Ep2=mg·Lsin 60°=mgL,其头部越过山顶刚到达山丘底端时,毛毛虫重力势能的变化量为ΔEp=Ep2-Ep1=mgL-mgL=mgL,D项正确。
7.AC　解析　整个过程中运动员与蹦床组成的系统只有重力和弹力做功,机械能守恒,A项正确;从运动员下落到离地面高h1处开始计时,接触蹦床前Ek=mgh+Ek0,图像为直线,所以h=h2高度时,运动员的脚开始接触蹦床,B项错误;从h=h2到h=h4,动能不变,根据系统机械能守恒可知,减小的重力势能转化为蹦床的弹性势能,则蹦床的弹性势能为Ep=mg(h2-h4),C项正确;从运动员的脚接触蹦床直至蹦床被压缩至最低点的过程中,运动员受到竖直向下的重力和竖直向上的弹力,弹力从零开始不断增大,弹力先小于重力,后大于重力,合力先减小后增大,则加速度先减小后增大,D项错误。
8.B　解析　物块M下落过程中,软绳对物块做负功,物块的机械能逐渐减小,A项错误;物块下落过程中,物块对绳子的拉力做正功,软绳的机械能增加,B项正确;以初态软绳下端所在水平面为零势能面,则初态软绳重力势能为Ep1=mgl,末态软绳的重力势能为Ep2 = 0,则ΔEp=Ep2-Ep1=-mgl,软绳重力势能共减少了mgl,C项错误;根据系统的机械能守恒得,软绳重力势能的减少量等于物块机械能的增加量与软绳动能的增加量之和,D项错误。
9.D　解析　小球A从P到Q时,B球上升ΔL=-L=,此时弹簧处于拉伸状态,则小球A静止于P点时,弹簧的压缩量小于L,A项错误;小球A由P下滑至Q的过程中,系统动能不变,A的重力势能减小mgL,B的重力势能增加了mgL,由机械能守恒定律,则弹簧弹性势能增加了mgL,B项错误;小球A下滑至Q时,有向上的加速度,则所受合力不为0,C项错误;若将小球A换成质量为的小球C,并将小球C拉至Q点由静止释放,则小球C运动到P点时弹簧的弹性势能减小mgL,B的重力势能减小mgL,动能不变;C的重力势能增加g×=mgL,则由机械能守恒定律可知,C的动能为EkC=mgL+mgL-mgL=mgL,D项正确。
10.D　解析　由题图知,以OC所在平面为参考平面,铁链重心位置距OC面的高度小于R,则铁链在初始位置时具有的重力势能小于mgR,A项错误;铁链下滑过程机械能守恒,假定铁链在初始位置具有的重力势能为Ep,端点A滑至C处时重力势能为Ep',依题意有Ep-Ep'=mv2,Ep'=-mg×,L为铁链长度,依题意有L=2πR×,联立解得Ep=mv2-,设铁链在初始位置时其重心距OC面的高度为h,据前面分析Ep=mv2-=mgh,解得h=-,B项错误;铁链的端点A滑至C点时其重心下降高度为Δh=h+=,C项错误;初始状态重心为E点,铁链的端点B滑至C点时,如图所示,重心在F点,其中OE=OF。根据机械能守恒定律有mg(OE-OFcos 60°)=mv'2,解得v'=,D项正确。(共31张PPT)
专题提升练10
含弹簧系统的机械能守恒问题 非质点类物体的机械能守恒问题
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1.为了研究蹦极运动过程，做以下简化：将游客视为质点，他的运动始终沿竖直方向。弹性绳的一端固定在O点，另一端和游客相连。游客从O点自由下落，至B点弹性绳自然伸直，经过合力为零的C点到达最低点D，然后弹起，整个过程中弹性绳始终在弹性限度内，空气阻力不计。则游客在O→B→C→D的过程中，下列说法正确的是( )
梯级Ⅰ 基础练
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A.从O到C过程中，游客的重力势能减少，动能先增加后减小
B.从B到D 过程中，弹性绳的弹性势能先增大后减小
C.从B到C 过程中，游客和弹性绳的总势能一直减小
D.从B到D过程中，游客的动能一直减小
从O到C过程中，游客先做自由落体运动，到B点时，游客开始受到弹性绳的弹力，但弹性绳的弹力小于游客的重力，游客继续向下做加速度减小的加速运动，到C点时合力为零，速度达到最大，可知该过程重力势能减少，动能一直在增加；游客从C到D过程，由于弹力大于重 力，游客向下减速运动，游客的动能减少，A、D两项错误；从B到D 过程中，弹性绳的伸长量一直增大，弹性绳的弹性势能一直增大，B项错误；从B到C过程中，由于游客的动能一直在增加，根据系统机械能守恒可知，游客和弹性绳的总势能一直减小，C项正确。
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2.如图所示，将一支弹性圆珠笔的按压式小帽竖直按在桌面上，放手后笔会向上弹起一定高度，某次实验中测得圆珠笔弹起的最大高度h1=6 cm，而后在圆珠笔的外壳上粘上质量m=8 g的橡皮泥，重复刚才的操作，圆珠笔弹起的最大高度h2=5 cm，重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力，忽略按压小帽的质量，则弹性圆珠笔按在桌面上时其内部弹簧具有的弹性势能为( )
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A.2.4×10-2 J B.4.0×10-2 J
C.4.8×10-3 J D.8.0×10-3 J
设圆珠笔的质量为M，由机械能守恒定律得Ep=Mgh1=(M+m)gh2，解得M=40 g，Ep=2.4×10-2 J，A项正确。
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3.(2025·张家口模拟)有一条均匀金属链条，一半长度在光滑的足够高斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂，由静止释放后链条滑动，已知重力加速度g= 10 m/s2，链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为 m/s，则金属链条的长度为( )
A.0.6 m B.1 m
C.2 m D.2.6 m
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设链条的质量为2m，长度为L，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E=Ep+Ek=-×2mg×sin θ-×2mg×+0= -mgL(1+sin θ)，链条全部滑出后，动能为Ek'=×2mv2，重力势能为Ep'=-2mg，由机械能守恒定律可得E=Ek'+Ep'，即-mgL(1+ sin θ)=mv2-mgL，解得L=2 m，C项正确。
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4.(多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，下列说法正确的是( )
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A.小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定等于重力加速度g
B.小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减少
C.小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D.小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
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在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，A项错误；由机械能守恒定律可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，B项正确；小球运动到C点时，由于
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弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，C项错误；D点为小球运动的最低点，即速度为零，弹簧形变量最大，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，D项正确。
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5.(2025·十堰模拟)防护罩的一部分是固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，为了检验该防护罩承受冲击的能力，轨道下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射质量不同的钢珠(视为质点)。如图所示，某次发射的质量为m1的钢珠恰好能沿轨道内侧经过上端点P水平飞出，另一次发射的质量为m2的钢珠在Q点脱离轨道，OQ与竖直方向的夹角为α。若弹簧枪的长度不计，每次发射时弹簧具有相同的压缩量，弹簧在弹性限度内，则m1∶m2为 ( )
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A.cos α B.sin α
C.tan α D.
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质量为m1的钢珠恰好能过P点，则在P点时重力提供向心力，根据牛顿第二定律有m1g=m1，从发射到经过P点，质量为m1的钢珠与弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒有Ep=m1gR+
m1，质量为m2的钢珠在Q点脱离轨道，则在此位置轨道对钢珠的弹力刚好为零，由重力沿半径方向的分力提供向心力，即
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m2gcos α=m2，从发射到经过Q点，质量为m2的钢珠与弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒有Ep'=m2gRcos α+m2，每次发射时弹簧具有相同的压缩量，即Ep=Ep'，联立解得 m1∶m2=cos α∶1，A项正确。
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6.(2025·咸阳模拟)如图，可爱的毛毛虫外出觅食，缓慢经过一边长为2L的等边三角形山丘，已知其身长为6L，总质量为m，重力加速度为g。图中毛毛虫(其质量均匀分布)头部刚到达最高点。假设毛毛虫能一直贴着山丘前行，其头部越过山顶刚到达山丘底端时，毛毛虫重力势能的变化量为( )
A.mgL B.mgL
C.mgL D.mgL
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选山丘底端为零势能面，初状态的重力势能为Ep1=mg· Lsin 60°=mgL，毛毛虫头部越过山顶刚到达山丘底端时的重力势能为Ep2=mg·Lsin 60°=mgL，其头部越过山顶刚到达山丘底端时，毛毛虫重力势能的变化量为ΔEp=Ep2-Ep1=mgL-mgL =mgL，D项正确。
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7.(多选)如图甲所示，在蹦床项目比赛中，从运动员下落到离地面高h1处开始计时，其动能Ek与离地高度h的关系如图乙所示。在h1~h2阶段图像为直线，其余部分为曲线，若运动员的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法正确的是( )
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梯级Ⅱ 能力练
A.整个过程中运动员与蹦床组成的系统机械能守恒
B.运动员处于h=h3高度时，运动员的脚开始接触蹦床
C.运动员处于h=h4高度时，蹦床的弹性势能为Ep=mg(h2-h4)
D.从运动员的脚接触蹦床直至蹦床被压缩至最低点的过程中，其加速度先增大后减小
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整个过程中运动员与蹦床组成的系统只有重力和弹力做功，机械能守恒，A项正确；从运动员下落到离地面高h1处开始计时，接触蹦床前Ek=mgh+Ek0，图像为直线，所以h=h2高度时，运动员的脚开始接触蹦床，B项错误；从h=h2到h=h4，动能不变，根据系统机械能守恒可知，减小的重力势能转化为蹦床的弹性势能，则蹦床的弹性势能为Ep=mg(h2-h4)，C项正确；从运动员的脚接触蹦床直至蹦床被压缩至最低点的过程中，运动员受到竖直向下的重力和竖直向上的弹 力，弹力从零开始不断增大，弹力先小于重力，后大于重力，合力先减小后增大，则加速度先减小后增大，D项错误。
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8.(2025·南昌模拟)如图所示，长为2l、质量为m粗细均匀且质量分布均匀的软绳对称地挂在轻小的定滑轮两边，用细线将物块M与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开滑轮(此时物块未到达地面)，重力加速度大小为g，在此过程中( )
A.物块M的机械能逐渐增加
B.软绳的机械能逐渐增加
C.软绳重力势能共减少了mgl
D.软绳重力势能的减少量等于物块机械能的增加量
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物块M下落过程中，软绳对物块做负功，物块的机械能逐渐减 小，A项错误；物块下落过程中，物块对绳子的拉力做正功，软绳的机械能增加，B项正确；以初态软绳下端所在水平面为零势能面，则初态软绳重力势能为Ep1=mgl，末态软绳的重力势能为Ep2 =0，则ΔEp=Ep2-Ep1=-mgl，软绳重力势能共减少了mgl，C项错误；根据系统的机械能守恒得，软绳重力势能的减少量等于物块机械能的增加量与软绳动能的增加量之和，D项错误。
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9.(2025·苏州模拟)如图所示，光滑竖直杆固定，杆上套有一质量为m的小球A(可视为质点)，一根竖直轻弹簧一端固定在地面上，另一端连接质量也为m的物块B，一轻绳跨过位于O点的定滑轮，一端与物块B相连，另一端与小球A连接，定滑轮到竖直杆的距离为L，初始时，小球A在外力作用下静止于P点，已知此时整根轻绳伸直无张力且OP间细绳水平、OB间细绳竖直，现将小球A由P点静止释放，A沿杆下滑到最低点Q时OQ与杆之间的夹角为37°，不计滑轮大小及摩擦，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
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A.小球A静止于P点时，弹簧的压缩量为L
B.小球A由P下滑至Q的过程中，弹簧弹性势能减少了mgL
C.小球A下滑至Q时，所受合力为0
D.若将小球A换成质量为的小球C，并将小球C拉至Q点由静止释 放，则小球C运动到P点时的动能为mgL
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小球A从P到Q时，B球上升ΔL=-L=，此时弹簧处于拉伸状态，则小球A静止于P点时，弹簧的压缩量小于L，A项错误；小球A由P下滑至Q的过程中，系统动能不变，A的重力势能减小mgL，B的重力势能增加了mgL，由机械能守恒定律，则弹簧弹性势能增加了mgL，B项错误；小球A下滑至Q时，有向上的加速
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度，则所受合力不为0，C项错误；若将小球A换成质量为的小球C，并将小球C拉至Q点由静止释放，则小球C运动到P点时弹簧的弹性势能减小mgL，B的重力势能减小mgL，动能不变；C的重力势能增加g×=mgL，则由机械能守恒定律可知，C的动能为EkC=mgL+mgL-mgL=mgL，D项正确。
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10.如图所示，质量为m的均匀条形铁链AB恰好在半径为R的光滑半球体上方保持静止，已知∠AOB=60°。给铁链AB一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，铁链沿球面下滑过程中未脱离球面，当端点A滑至C处时铁链变为竖直状态且其速度大小为v。以OC所在平面为参考平面，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
梯级Ⅲ 创新练
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A.铁链在初始位置时具有的重力势能为mgR
B.铁链在初始位置时其重心距OC面的高度为
C.铁链的端点A滑至C点时其重心下降高度为
D.铁链的端点B滑至C点时其速度大小为
由题图知，以OC所在平面为参考平面，铁链重心位置距OC面的高度小于R，则铁链在初始位置时具有的重力势能小于mgR，A项错误；铁链下滑过程机械能守恒，假定铁链在初始位置具有的重力势能为Ep，端点A滑至C处时重力势能为Ep'，依题意有Ep-Ep'=mv2，Ep'=-mg×，L为铁链长度，依题意有L=2πR×，联立解得Ep=mv2-，设铁链在初始位置时其重心距OC面的高度为
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h，据前面分析Ep=mv2-=mgh，解得h=-，B项错误；铁链的端点A滑至C点时其重心下降高度为Δh=h+=，C项错误；初
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始状态重心为E点，铁链的端点B滑至C点时，如图所示，重心在F点，其中OE=OF。根据机械能守恒定律有mg(OE-OFcos 60°)=mv'2，解得v'=，D项正确。专题提升十　含弹簧系统的机械能守恒问题　
非质点类物体的机械能守恒问题
题型1　含弹簧系统的机械能守恒问题
1.弹簧发生形变时具有弹性势能,与弹簧相连的物体的动能也随之发生变化。若系统只有重力和弹簧弹力做功时,系统内的弹性势能、重力势能和动能发生相互转化,无其他能量产生,系统的机械能守恒。
2.与弹簧相连的两个物体组成的系统满足机械能守恒条件时,弹簧拉伸到最长或压缩到最短时,两物体的速度相等,弹簧的弹性势能也达到最大。
3.对同一根弹簧,弹簧的伸长量和压缩量相等时,弹簧的弹性势能相等。
【典例1】　
如图所示,一轻质弹簧置于固定光滑斜面上,下端与固定在斜面底端的挡板连接,弹簧原长时上端位于A点,一物块从斜面上A点上方某位置释放,物块将弹簧压缩至最低点B后返回,弹簧形变始终在弹性限度内,则物块由A运动至B过程中(　　)
A.物块的机械能守恒
B.物块一直做减速运动
C.弹簧弹性势能最大值等于物块动能的最大值
D.弹簧弹性势能增加量等于物块机械能的减少量
【典例2】　
如图所示,固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环,圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接,弹簧的另一端连接在墙上,且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑,已知弹簧原长为L,劲度系数为k,圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度),重力加速度为g,则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　)
A.弹簧弹性势能变化了mgL
B.在速度最大的位置,弹簧弹力等于圆环重力
C.圆环下滑到最大距离时,有kL>mg
D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
题型2　非质点类物体的机械能守恒问题
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时,经常遇到像“链条”“液柱”类的物体,其在运动过程中将发生形变,其重心位置相对物体也发生变化,因此这类物体不能再视为质点来处理。
2.物体虽然不能视为质点来处理,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。一般情况下,可将物体分段处理,确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置,根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
考向1　“链条”类问题
【典例3】　
如图所示,长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上,且使其长度的垂在桌外,松手后链条从静止开始沿桌边下滑,则链条滑至刚离开桌边时的速度大小为(重力加速度为g)(　　)
A. B.
C. D.4
考向2　“液柱”类问题
【典例4】　(多选)内径横截面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上,筒内装水,底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2,如图所示。已知水的密度为ρ,不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开,当两筒水面高度相等时,则该过程中(重力加速度为g)(　　)
A.水柱的重力做正功
B.大气压力对水柱做负功
C.水柱的机械能守恒
D.当两筒水面高度相等时,水柱的动能是ρgS(h1-h2)2
专题提升十　含弹簧系统的机械能守恒问题　非质点类物体的机械能守恒问题
题型1
【典例1】　D　解析　物块由A运动至B过程中,弹簧的弹力对物块做负功,则物块的机械能不守恒,A项错误;开始时mgsin θ>F弹,则物块向下加速,当mgsin θ=F弹时加速度为零,速度最大;当mgsin θ【典例2】　C　解析　题图中弹簧水平时恰好处于原长状态,圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L,可得物体下降的高度为h=L,根据系统的机械能守恒得弹簧的弹性势能增大量为ΔEp=mgh=mgL,A项错误;圆环所受合力为零时,速度最大,弹簧竖直分力等于圆环重力,B项错误;速度最大后,圆环继续向下运动,则弹簧的弹力增大,圆环下滑到最大距离时,所受合力竖直向上,则弹力沿杆的分力F弹'=F弹cos 30°=kL,即kL>mg,C项正确;根据圆环与弹簧组成的系统机械能守恒,知圆环的动能先增大后减小,则圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先减小后增大,D项错误。
题型2
【典例3】　C　解析　取桌面为零势能面,设链条的总质量为m,开始时链条的机械能E1=-mg×L,当链条刚脱离桌面时的机械能E2=mv2-mg×L,由机械能守恒定律可得E1=E2,即-mg×=mv2-,解得v=,C项正确。
【典例4】　ACD　解析　把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功,对右筒水面做负功,抵消为零,B项错误;水柱的机械能守恒,重力做功等于重力势能的减少量,等于水柱增加的动能,等效于把左管高的水柱移至右管,如图中的阴影部分所示,重心下降,此时水柱的动能Ek=WG=ρgS·=ρgS(h1-h2)2,A、C、D三项正确。(共15张PPT)
专题提升十
第六章 机械能守恒定律
含弹簧系统的机械能守恒问题　非质点类物体的机械能守恒问题
题型1　含弹簧系统的机械能守恒问题
题型2　非质点类物体的机械能守恒问题
内容
索引
含弹簧系统的机械能守恒问题
题型1
1.弹簧发生形变时具有弹性势能，与弹簧相连的物体的动能也随之发生变化。若系统只有重力和弹簧弹力做功时，系统内的弹性势能、重力势能和动能发生相互转化，无其他能量产生，系统的机械能守恒。
2.与弹簧相连的两个物体组成的系统满足机械能守恒条件时，弹簧拉伸到最长或压缩到最短时，两物体的速度相等，弹簧的弹性势能也达到最大。
3.对同一根弹簧，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。
【典例1】　如图所示，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上，下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧原长时上端位于A点，一物块从斜面上A点上方某位置释放，物块将弹簧压缩至最低点B后返回，弹簧形变始终在弹性限度内，则物块由A运动至B过程中( )
A.物块的机械能守恒
B.物块一直做减速运动
C.弹簧弹性势能最大值等于物块动能的最大值
D.弹簧弹性势能增加量等于物块机械能的减少量
物块由A运动至B过程中，弹簧的弹力对物块做负功，则物块的机械能不守恒，A项错误；开始时mgsin θ>F弹，则物块向下加速，当mgsin θ=F弹时加速度为零，速度最大；当mgsin θ解析
【典例2】　如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为
L，劲度系数为k，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，重力加速度为g，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A.弹簧弹性势能变化了mgL
B.在速度最大的位置，弹簧弹力等于圆环重力
C.圆环下滑到最大距离时，有kL>mg
D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
题图中弹簧水平时恰好处于原长状态，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L，可得物体下降的高度为h=L，根据系统的机械能守恒得弹簧的弹性势能增大量为ΔEp=mgh=mgL，A项错
误；圆环所受合力为零时，速度最大，弹簧竖直分力等于圆环重力，B项错误；速度最大后，圆环继续向下运动，则弹簧的弹力增大，圆环下滑到最大距离时，所受合力竖直向上，则弹力沿杆
解析
的分力F弹'=F弹cos 30°=kL,即kL>mg，C项正确；根据圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，知圆环的动能先增大后减小，则圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先减小后增大，D项错误。
解析
非质点类物体的机械能守恒问题
题型2
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。
2.物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
考向1
“链条”类问题
【典例3】　如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使其长度的垂在桌外，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚离开桌边时的速度大小为(重力加速度为g)( )
A. B. C. D.4
取桌面为零势能面，设链条的总质量为m，开始时链条的机械能E1=-mg×L，当链条刚脱离桌面时的机械能E2=mv2-mg×L，由机械能守恒定律可得E1=E2，即-mg×=mv2-，解得v=，C项正确。
解析
考向2
“液柱”类问题
【典例4】　(多选)内径横截面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中(重力加速度为g) ( )
A.水柱的重力做正功
B.大气压力对水柱做负功
C.水柱的机械能守恒
D.当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1-h2)2
把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零，B项错误；水柱的机械能
解析
守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的阴影部分所示，重心下降，此时水柱的动能Ek=WG=ρgS·=ρgS(h1-h2)2，A、C、D三项正确。

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