资源简介

浙江省金华市东阳市2024-2025学年第二学期五校联谊九年级数学第一次模拟试卷（2025.3.5））
1．（2025九下·东阳模拟）下列四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B．-1 C．-2 D．-3
2．（2025九下·东阳模拟）如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·东阳模拟）截止2025年2月23日15时26分。动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）突破135亿，成为我国首部百亿电影！将数据“135亿”用科学记数法表示为（　　）
A．1.35×1011 B．13.5×1010 C．1.35×1010 D．1.35×109
4．（2025九下·东阳模拟）下列运算正确的是（　　）
A．a3 a4=a12 B．（a2）3=a6 C．a6÷a3=a2 D．a3+a4=a7
5．（2025九下·东阳模拟）下列选项中可以用来说明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题的反例是（　　）
A．x＝1 B．x＝-1 C．x＝2 D．x＝-2
6．（2025九下·东阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，两个正方形在原点O同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形ABCD的边长为2，则点F的坐标（　　）
A．（9，6）
B．（3，2）
C．（6，9）
D．（2，3）
7．（2025九下·东阳模拟）解不等式组：时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·东阳模拟） “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成．若AH⊥HF，AB=5，则阴影部分面积为（　　）
A．5 B．7 C．7.5 D．8.5
9．（2025九下·东阳模拟）若点A（m-2，y1），B（m+1，y2），C（m+2，y3）（其中-1＜m＜2）都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
10．（2025九下·东阳模拟）如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，将弧AC绕着点A按逆时针方向旋转得到弧AD，点D恰好落在⊙O上，弧AD与AB相交于点E，若OE=BE=2，则BC的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
11．（2025九下·东阳模拟）分解因式：6m-9m2=　 　.
12．（2025九下·东阳模拟）若关于的方程的解为，则的值是　 　．
13．（2025九下·东阳模拟）如图，点P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，点A为切点，PO交⊙O于点B，点C是优弧AB上一点，若∠APO=36°，则∠BCA的度数为　 　°．
14．（2025九下·东阳模拟）将-2，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是　 　．
15．（2025九下·东阳模拟）如图，由三个全等的三角形（△ABE，△BCF，△CAD）与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC．若AE=ED=1，则BC的长为　 　．
16．（2025九下·东阳模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交BC于点E，交AD于点F，把四边形CDFE沿着EF折叠得到四边形.若∥BD，，则△ODF与△OCE的面积比为　 　.
17．（2025九下·东阳模拟）计算：+-sin30°-
18．（2025九下·东阳模拟）解方程组：
19．（2025九下·东阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知BC=8，cos∠ABC=.AC=9，cosA=
（1）求线段CD的长.
（2）求cos∠DBE的值．
20．（2025九下·东阳模拟）某果园共收获5万箱鸭梨，为估算该果园鸭梨总产量，从中随机抽取n箱进行称重，单箱净重（单位：kg，精确到0.1）分别有：9.8，9.9，10.0，10.1，10.2，根据数据，绘制了如图1和图2所示尚不完整的统计图。根据以上信息解答问题：
（1）求n的值及α的度数，并补全条形统计图.
（2）直接写出这n箱鸭梨的单箱净重的中位数与众数.
（3）计算这n箱鸭梨的单箱净重的平均数，并估算该果园鸭梨总产量.
21．（2025九下·东阳模拟）学分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.
作法：（I）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（II）分别以点M，N为圆心，大于0.5MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（III）画射线OC，则射线OC即为所求.
（1）如图1，射线OC就是∠AOB的角平分线的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS.
（2）下面是小明同学给出的方法：
如图2，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F，连结CF，DE交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
你认为小明的这种作角平分线的方法（　　）
（3）在不限于尺规作图的条件下，小颖同学用三角板按下面方法画角平分线：
如图3，在已知∠AOB的边OA，OB上分别取OC=OD，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线相交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB.
22．（2025九下·东阳模拟）某校无人机社团进行无人机表演训练，甲无人机以am/s的速度从地面起飞匀速上升，同时乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞下降，8s时甲、乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演，24s时乙无人机完成表演动作，以m/s的速度继续飞行上升，30s时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为bm，甲、乙两架无人机以相同的速度下降返回地面。甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（m）与无人机飞行的时间x（s）之间的函数关系如图所示。请结合图象解答下列问题。
（1）a=　 　，b=　 　。
（2）求线段MN所在直线的函数表达式。
（3）两架无人机表演训练到多少s时，它们距离地面的高度差为6m （直接写出答案即可）
23．（2025九下·东阳模拟）已知二次函数y=ax2+bx+2（a＜0）的图象经过点A（-2，2）.
（1）求二次函数的图象的对称轴.
（2）若y=ax2+bx+2的最大值为3，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象.当0≤x≤3时，求新的二次函数的最大值与最小值的和.
（3）设y=ax2+bx+2的图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x2＜x1。若4＜＜8，求a的取值范围.
24．（2025九下·东阳模拟）如图1，△ABC，△BCD均内接于⊙O，点A，D在弦BC的同侧，AC是⊙O的直径，OD∥AB.
（1）求证：BD=CD.
（2）过点A作AF⊥BD交CD于点F，交OD于点G，点E为垂足.
①求证：△DFG∽△BDA.
②若DF=m CF，记sin∠ACB=n，求n与m之间的函数表达式．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵|-1|=1，|-2|=2，|-3|=3，
∴1＜2＜3，
∴，0＞1＞-2＞-3，
∴最小的数是-3.
故答案为：D.
【分析】利用负数都小于0，几个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此可得答案.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，左边是一个正方形，右边是一个长方形.
故答案为：D.
【分析】左视图就是从几何体的左边所看到的平面图形，据此可得到已知几何体的左视图.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：135亿=1.35×1010.
故答案为：C.
【分析】科学记数数法的表示形式为a×10n的形式。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1（一亿=108），据此可得答案.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3 a4=a7，故A不符合题意；
B、（a2）3=a6，故B符合题意；
C、a6÷a3=a3，故C不符合题意；
D、a3+a4，不能合并，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方法则，可对B作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相减，可对C作出判断；只有同类项才能合并，可对D作出判断.
5．【答案】D
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：
但则明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题，
故答案为：D.
【分析】根据有理数的乘方计算法则以及假命题的概念即可求解.
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴△ODC∽△OGF，△OCB∽△OFE，
∴
∴
∴FG=6，
∵正方形BGFE
∴GF=BE=6=EF，
∴
解之：OB=3
∴OE=OB+BE=3+6=9
∵点F在第一象限，
∴点F（9，6）
故答案为：A.
【分析】利用位似图形的性质，可证得△ODC∽△OGF，△OCB∽△OFE，利用相似三角形的性质可求出FG的长，同时可证得，利用正方形的性质可推出GF=BE=6=EF，代入计算求出OB的长，即可得到OE的长，可得到点F的坐标.
7．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由①得：x＜2，
由②得：x≥-3，
∴此不等式组的解集为-3≤x＜2，
此不等式组的解集在数轴上表示符合题意的是选项C.
故答案为：C.
【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，观察各选项，可得答案.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接FH，如图所示，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH，∠EFH=∠EHF=45°，
∵AH⊥HF，∴∠AHF=90°，
∴∠HAF=∠AFH=∠AHE=45，
∴AE= EH，
∴AF=DE=2EF，
∵AD=AB=5，
∴AE2+ DE2= AD2，即AE2+(2AE)2= 52，
解得AE=，
∴EF=AE=，DE =，
因此阴影部分的面积为
故答案为：C.
【分析】本题首先根据正方形的特点以及条件中“ 四个全等的直角三角形和小正方形EFGH ”，即可得出AE= EH、AF=DE=2EF，然后利用勾股定理求出AE的长度，继而求出DE的长度，最后将阴影部分拆分成两个三角形，分别计算面积即可。
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵-1＜m＜2，
∴m-2＜0，m+1＞0，m+2＞1
∵点A、B、C在反比例函数图象上，
∴y1＞0，y2，y3为负数，
∵k=-2＜0，
∴在每一个象限y随x的增大而增大，
∵m+2＞m+1
∴y3＞y2，
∴y2＜y3＜y1，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件可得到m-2＜0，m+1＞0，m+2＞1，由此可推出y1＞0，y2，y3为负数，再利用反比例函数的增减性，可得到y1，y2，y3的大小关系.
10．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；垂径定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接CD交AB于点F，连接AC，DE，OC，如图所示：，
∵OE=BE=2，
∴OB=OE+BE =4，
∵AB为圆O的直径，BC是弦，
∴OC=OB=4。
由旋转的性质可知：弧AD所在的圆与圆O是等圆，
即，
∴AC =AD
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，AB =AB，AC =AD'，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL)，
∴BC=BD，∠CAB=∠DAB
∴，
根据垂径定理得，CD⊥AB.
∵弧长AD所在的圆与圆O是等圆，∠CAB=∠DAB，
而
∴BC = DE，BD=DE，
∴△DBE是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴BF=EF=BE=1，OF=OB-BF=4-1=3，
在Rt△OCF中，CF=，
在Rt△BCF中，BC =
故答案为：C.
【分析】本题首先利用弧长相等得出线段相等，然后利用HL证明出Rt△ACB≌Rt△ADB，并结合吹净定理推出△DBE是等腰三角形，从而计算出BF=EF=1，OF=3，最后利用勾股定理即可求出答案。
11．【答案】3m（2-3m）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：6m-9m2=3m（2-3m）
故答案为：3m（2-3m）.
【分析】观察此多项式的各项，含有公因式3m，因此利用提公因式法分解因式.
12．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：将代入得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
∴的值是；
故答案为：.
【分析】根据方程根的定义，将x=1代入原方程可得关于字母a的分式方程，然后去分母将新分式方程转化为整式方程，解整式方程求出a的值，再检验即可.
13．【答案】27
【知识点】切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示，
∵PA是圆O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∴∠AOP=90°-∠P=90°-36°=54°，
∵，
∴∠BCA=∠AOP=×54°=27°.
故答案为：27.
【分析】连接OA，利用切线的性质及垂直的定义可证得∠OAP=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠AOP的度数；然后利用圆周角定理可求出∠BCA的度数.
14．【答案】
【知识点】概率公式；有理数的概念
【解析】【解答】解： -2，，π，0，，3.14这6个数中是有理数的有 -2，，0，3.14，一共4个，
∴卡片上的数为有理数的概率是
故答案为：.
【分析】利用有理数的概念，可得到已知数中有理数的个数，再利用概率公式可求出卡片上的数为有理数的概率.
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点A作AF'⊥CF于点F'，如图，
∴∠AF'D=90°，
∵由三个全等的三角形（△ABE，△BCF，△CAD）与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC，AE=ED=1
∴DF=DE=1，∠ADF=60°，
∴AD=CF=2，
∴∠DAF'=90°-60°=30°，
∴DF'=AD=1，
∴DF=DF'，
∴点F和点F'重合，
∴
在Rt△ACF中，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AF'⊥CF于点F'，可证∠AF'D=90°，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质可证得DF=DE=1，∠ADF=60°，同时可求出CF，AD的长，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF'的长，可推出DF=DF'，由此可证得点F和点F'重合；再利用勾股定理求出AF的长，利用勾股定理求出AC的长，即可得到BC的长.
16．【答案】4：9
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；求正切值
【解析】【解答】解：连结CC'、DD'，作DH⊥C'D'交C'D'的延长线于点H，如图所示，
则∠H=90°，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AD∥BC，AC⊥BD，OD=OB，OA=0C，
∴∠ODF=∠OBE，
在△ODF和△OBE中，∠ODF=∠OBE，OD=OB，∠DOF=∠BOE，
∴△ODF≌△OBE(ASA)，
∴DF= BE，S△ODF = S△OBE，
∴，
由折叠的性质可得，DF=D'F，CE=C'E，DF'∥C'E，点D'与点D关于直线EF对称，点C"与点C关于直线EF对称，
∴∠FD'D=∠FDD'，∠EC'C=∠ECC'，∠FD'H=∠EC'H，EF垂直平分D'D，EF垂直平分C'C，
∴D'D∥C'C，
连结OC'、OD，设C'D'交AC于点I，则OC'=OC，OD'=OD，
∴∠DD'H= ∠CC'I，
∴∠FD'H-∠DD'H=∠EC'H-∠CC'I，
∴∠FD'D=∠EC'C，∠FDD'=∠ECC'，
∴△FDD'∽△ECC'，
∵C'D'∥BD，∴∠CIC'=∠COB =90°
∴∠H = ∠CIC'，
∴△FD'D∽△EC'C，因此有，
∵AC=2OC，BD=2OD
∴，
设C'I=9m，
∵∠OIC'= ∠COB = 90°，∠C'OD'= ∠COD =90°，
∴∠IOD' = ∠OC'D = 90°- ∠IOC'，
∴，
∴OI=，D'I=，
∴OD'=OD==20m，
∵∠OIH=∠COD=90°，∠IOD =90°，∠H = 90°，
∴四边形ODHI是矩形，
∴IH=OD=20m，
∴D'H=IH-ID'=20m-16m=4m，
，
因此△ODF与△OCE的面积比为4：9。
故答案为：4：9.
【分析】本题先利用菱形的性质特点，并利用ASA证明出△ODF≌△OBE，进而得出。随后利用折叠的性质、垂直平分线的性质、平行线的性质，推出△FDD'∽△ECC'，从而得出，最后利用正切值和勾股定理以及矩形的性质特点，计算出OD和D'H的长，即可计算出面积比。
17．【答案】解：原式=
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算.
18．【答案】解：②×2得：10x-4y=12③
③+①得17x=17，
解得：x=1，
把x=1代入①得
7+4y=5
解之：y=-0.5，
∴方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点，y的系数存在倍数关系，因此②×2+①消去y可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
19．【答案】（1）解：∵在Rt△ACB中， cos∠ABC=，BC=8
∴即
解之：AB=10，
∵点D是AB边上的中点，
∴CD是AB边上的中线，
∴CD=BD=AB=5
（2）解：∵BE⊥CE，
∴∠E=90°，
∵CD=BD，
∴∠ABC=∠ECB，
∴cos∠ABC=，
∴即，
解之：；
∴
∴
∴
【知识点】求余弦值；已知余弦值求边长
【解析】【分析】（1）在Rt△ACB中利用解直角三角形求出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CD的长.
（2）利用等边对等角可证∠ABC=∠ECB，再利用解直角三角形求出CE的长，由此可得到DE的长；利用勾股定理求出BE的长，然后利用余弦的定义可求出结果.
20．【答案】（1）解：抽取的箱数为箱
单箱净重为10.0kg的有20-1-3-5-3=8箱，
∴
n=20， α=144°
补全统计图如下
（2）中位数：10.0kg；众数：10.0kg
（3）解：
该果园鸭梨总产量为50000×10.03=501500kg
答：这n箱鸭梨的单箱净重的平均数为10.03kg，该果园鸭梨总产量501500kg.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（2）解：这20箱鸭梨的单箱净重10.0出现了8次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是10.0kg；
这组数据从小到大第10个数和第11个数是10.0
∴这组数据的中位数是10.0kg.
故答案为：10.0kg；10.0kg.
【分析】（1）本题从图1中找到突破口，即90°对应的10.1kg的鸭梨是5箱，利用倒推计算出n的值，然后结合图2即可计算出单箱净重为10.0kg的鸭梨有8箱，即可计算出图1中a的值，然后补全条形统计图即可；
（2）根据中位数的定义“将一组数从小到大或者从大到小排列，中间的数是中位数；如果中间有两个数，那么中位数就是这两个数的平均数”和众数的定义“一组数中出现次数最多的数就是众数”，即可找出中位数和众数；
（3）根据平均数的计算步骤，先计算出20箱鸭梨的总重量，然后除以20就是每箱的平均重量，最后再乘以5万箱，就是整个鸭梨果园的的总产量。
21．【答案】（1）C
（2）正确
（3）证明：∵OC=OD，OP=OP，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)，
∴∠COP=∠DOP，
∴OP平分∠AOB。
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（1）解：如图所示，
连接MC，NC，由作法得MC=NC，OM=ON，OC =OC，
∴△OMC≌△ONC(SSS)，
∴∠AOC=∠BOC；
（2）由作法得OC=OD，OE=OF，因此CE= DF.
在△OCF和△ODE中，OC =OD，∠COF =∠DOE，OF =OE
∴△OCF≌△ODE(SAS)，
∴∠CEP=∠OFP，
在△CEP和△DPF中，∠CEP=∠DFP，∠CPE=∠DPF，CE= DF，
∴△CEP≌△DFP(AAS)，
∴EP=FP
在△OEP与△OFP中，OE=OF，EP= PF，OP=OP
∴△OEP≌△OFP(SSS)
∴∠EOP=∠FOP
即OP平分∠AOB.
【分析】（1）利用SSS证明出△OMC≌△ONC，即可选出答案；（2）通过三次证明三角形全等，即可选出正确选项；（3）利用HL证明出Rt△OPC≌Rt△OPD，即可得出答案。
22．【答案】（1）3；24
（2）解：从图上可以看出，M（0，20）、N（8，16），
设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+r，将点M和N代入，得到
，解得
因此线段MN所在直线的函数表达式为 y=-x+20。
（3）解：①当0≤x≤8时，此时甲无人机所在直线的函数表达式为y=3x，乙无人机所在直线的函数表达式为y=-x+20，即
，解得x=4或；
②当8＜x＜24时，此时甲乙两架无人机距离地面的高度差恒为24-16=8m；
③当24≤x≤30时，此时乙无人机所在直线的函数表达式为y=16+=，甲无人机恒在24m高度，因此有，解得x=；
④当30＜x＜46时，此时甲乙无人机距离地面的高度差为0.
综上，两架无人机表演训练到4s或s或s时，它们距离地面的高度差为6m。
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：从图上可以看出，b=16+=24m，
a=m/s
故答案为：（1）3，24。
【分析】（1）根据条件“ 24s时乙无人机完成表演动作，以m/s的速度继续飞行上升，30s时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为bm ”，即乙无人机从16m的高度开始上升，速度m/s、时间是（30-24）s，这样就可以计算出b的值，然后结合条件“ 甲无人机以am/s的速度从地面起飞匀速上升 、 8s时甲、乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演 ”，即甲无人机8秒飞行的路程是bm，即可算出a的值；
（2）分别列出M和N的坐标，然后代入MN所在直线的函数表达式，列出二元一次方程组求解即可；
（3）分0≤x≤8、8＜x＜24、24≤x≤30、30＜x＜46 四部分进行讨论并计算，即可得出答案。
23．【答案】（1）解：将 A（-2，2） 代入，得到2=4a-2b+2，即2a=b，
∴抛物线的对称轴为直线x=。
（2）解：由（1）可知，当x=-1时，该二次函数有最大值，即a-b+2=3；而，即
，解得，
因此该二次函数的表达式为y=-x2-2x+2，新二次函数的表达式为y=-(x-2)2-2(x-2)+2，即y=-x2+2x+2，
当0≤x≤3时，该新二次函数的最大值仍是3；当x=3时该新二次函数有最小值，即y=-32+2×3+2=-1，
因此新的二次函数的最大值与最小值的和为3+（-1）=2。
（3）解：由（1）可知，x=-，即b=2a，因此 y=ax2+bx+2 可以写成 y=ax2+2ax+2，
x1+x2=，x1x2=，
，
即
解得a＜-。
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将A点代入二次函数中，经过计算和变形可以得出a和b的关系式，然后利用二次函数对称轴公式x=即可计算出结果；
（2）结合（1）和“y=ax2+bx+2的最大值为3 ”，即可列出含有a和b的二元一次方程组，求出二次函数解析式；然后利用“左加右减”即可求出新的二次函数表达式，最后在x的取值范围内即可求出最大值和最小值，求和即可；
（3）结合（1）可以将二次函数变形，然后求出x1+x2和x1x2的值，然后将 进行变形，最后计算不等式即可。
24．【答案】（1）解：延长DO交BC于点E，如图
∵AC是圆O的直径，
∴∠ABC =90°，
∵OD∥AB，
∴DE⊥BC，∠ABD=∠ODB，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ODB=∠ACD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，∠ODC=∠ODB
∵DE=DE.
∴△DEC≌△DEB(ASA)，
∴CD= BD。
（2）①证明：∵AC是圆O的直径，
∴∠ADC =90°，
∴∠ADE+∠FDE=90°，
∵AF⊥BD，
∴∠DEF=90°，
∴∠FDE+∠DFE=90°，
∴∠ADE=∠DFE，
∵OC = OD，
∴∠ACD=∠ODC，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABD=∠ODC，
∴△DFG∽△BDA。
②△DFG∽△BDA，
∴，
∵DG//AB，
∴，
∵DF=m·CF，
∴
∵∠ADE=∠DFA，∠DAE=∠DAF，
∴△ADE∽△AFD，
∴
∵∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACB= sin∠ADB== n，
∴。
【知识点】三角形的外接圆与外心；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用外接圆的性质、平行线的性质，并利用ASA证明出△DEC≌△DEB，即可得出证明结果；
（2）①利用角度的和差进行计算并变形，即可得出证明结果；②通过①的证明结果，并利用相似比、平行线的性质以及正弦值计算公式，即可计算出n和m的表达式。
1 / 1浙江省金华市东阳市2024-2025学年第二学期五校联谊九年级数学第一次模拟试卷（2025.3.5））
1．（2025九下·东阳模拟）下列四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B．-1 C．-2 D．-3
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵|-1|=1，|-2|=2，|-3|=3，
∴1＜2＜3，
∴，0＞1＞-2＞-3，
∴最小的数是-3.
故答案为：D.
【分析】利用负数都小于0，几个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此可得答案.
2．（2025九下·东阳模拟）如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，左边是一个正方形，右边是一个长方形.
故答案为：D.
【分析】左视图就是从几何体的左边所看到的平面图形，据此可得到已知几何体的左视图.
3．（2025九下·东阳模拟）截止2025年2月23日15时26分。动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）突破135亿，成为我国首部百亿电影！将数据“135亿”用科学记数法表示为（　　）
A．1.35×1011 B．13.5×1010 C．1.35×1010 D．1.35×109
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：135亿=1.35×1010.
故答案为：C.
【分析】科学记数数法的表示形式为a×10n的形式。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1（一亿=108），据此可得答案.
4．（2025九下·东阳模拟）下列运算正确的是（　　）
A．a3 a4=a12 B．（a2）3=a6 C．a6÷a3=a2 D．a3+a4=a7
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3 a4=a7，故A不符合题意；
B、（a2）3=a6，故B符合题意；
C、a6÷a3=a3，故C不符合题意；
D、a3+a4，不能合并，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方法则，可对B作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相减，可对C作出判断；只有同类项才能合并，可对D作出判断.
5．（2025九下·东阳模拟）下列选项中可以用来说明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题的反例是（　　）
A．x＝1 B．x＝-1 C．x＝2 D．x＝-2
【答案】D
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：
但则明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题，
故答案为：D.
【分析】根据有理数的乘方计算法则以及假命题的概念即可求解.
6．（2025九下·东阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，两个正方形在原点O同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形ABCD的边长为2，则点F的坐标（　　）
A．（9，6）
B．（3，2）
C．（6，9）
D．（2，3）
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴△ODC∽△OGF，△OCB∽△OFE，
∴
∴
∴FG=6，
∵正方形BGFE
∴GF=BE=6=EF，
∴
解之：OB=3
∴OE=OB+BE=3+6=9
∵点F在第一象限，
∴点F（9，6）
故答案为：A.
【分析】利用位似图形的性质，可证得△ODC∽△OGF，△OCB∽△OFE，利用相似三角形的性质可求出FG的长，同时可证得，利用正方形的性质可推出GF=BE=6=EF，代入计算求出OB的长，即可得到OE的长，可得到点F的坐标.
7．（2025九下·东阳模拟）解不等式组：时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由①得：x＜2，
由②得：x≥-3，
∴此不等式组的解集为-3≤x＜2，
此不等式组的解集在数轴上表示符合题意的是选项C.
故答案为：C.
【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，观察各选项，可得答案.
8．（2025九下·东阳模拟） “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成．若AH⊥HF，AB=5，则阴影部分面积为（　　）
A．5 B．7 C．7.5 D．8.5
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接FH，如图所示，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH，∠EFH=∠EHF=45°，
∵AH⊥HF，∴∠AHF=90°，
∴∠HAF=∠AFH=∠AHE=45，
∴AE= EH，
∴AF=DE=2EF，
∵AD=AB=5，
∴AE2+ DE2= AD2，即AE2+(2AE)2= 52，
解得AE=，
∴EF=AE=，DE =，
因此阴影部分的面积为
故答案为：C.
【分析】本题首先根据正方形的特点以及条件中“ 四个全等的直角三角形和小正方形EFGH ”，即可得出AE= EH、AF=DE=2EF，然后利用勾股定理求出AE的长度，继而求出DE的长度，最后将阴影部分拆分成两个三角形，分别计算面积即可。
9．（2025九下·东阳模拟）若点A（m-2，y1），B（m+1，y2），C（m+2，y3）（其中-1＜m＜2）都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵-1＜m＜2，
∴m-2＜0，m+1＞0，m+2＞1
∵点A、B、C在反比例函数图象上，
∴y1＞0，y2，y3为负数，
∵k=-2＜0，
∴在每一个象限y随x的增大而增大，
∵m+2＞m+1
∴y3＞y2，
∴y2＜y3＜y1，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件可得到m-2＜0，m+1＞0，m+2＞1，由此可推出y1＞0，y2，y3为负数，再利用反比例函数的增减性，可得到y1，y2，y3的大小关系.
10．（2025九下·东阳模拟）如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，将弧AC绕着点A按逆时针方向旋转得到弧AD，点D恰好落在⊙O上，弧AD与AB相交于点E，若OE=BE=2，则BC的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；垂径定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接CD交AB于点F，连接AC，DE，OC，如图所示：，
∵OE=BE=2，
∴OB=OE+BE =4，
∵AB为圆O的直径，BC是弦，
∴OC=OB=4。
由旋转的性质可知：弧AD所在的圆与圆O是等圆，
即，
∴AC =AD
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，AB =AB，AC =AD'，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL)，
∴BC=BD，∠CAB=∠DAB
∴，
根据垂径定理得，CD⊥AB.
∵弧长AD所在的圆与圆O是等圆，∠CAB=∠DAB，
而
∴BC = DE，BD=DE，
∴△DBE是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴BF=EF=BE=1，OF=OB-BF=4-1=3，
在Rt△OCF中，CF=，
在Rt△BCF中，BC =
故答案为：C.
【分析】本题首先利用弧长相等得出线段相等，然后利用HL证明出Rt△ACB≌Rt△ADB，并结合吹净定理推出△DBE是等腰三角形，从而计算出BF=EF=1，OF=3，最后利用勾股定理即可求出答案。
11．（2025九下·东阳模拟）分解因式：6m-9m2=　 　.
【答案】3m（2-3m）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：6m-9m2=3m（2-3m）
故答案为：3m（2-3m）.
【分析】观察此多项式的各项，含有公因式3m，因此利用提公因式法分解因式.
12．（2025九下·东阳模拟）若关于的方程的解为，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：将代入得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
∴的值是；
故答案为：.
【分析】根据方程根的定义，将x=1代入原方程可得关于字母a的分式方程，然后去分母将新分式方程转化为整式方程，解整式方程求出a的值，再检验即可.
13．（2025九下·东阳模拟）如图，点P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，点A为切点，PO交⊙O于点B，点C是优弧AB上一点，若∠APO=36°，则∠BCA的度数为　 　°．
【答案】27
【知识点】切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示，
∵PA是圆O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∴∠AOP=90°-∠P=90°-36°=54°，
∵，
∴∠BCA=∠AOP=×54°=27°.
故答案为：27.
【分析】连接OA，利用切线的性质及垂直的定义可证得∠OAP=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠AOP的度数；然后利用圆周角定理可求出∠BCA的度数.
14．（2025九下·东阳模拟）将-2，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；有理数的概念
【解析】【解答】解： -2，，π，0，，3.14这6个数中是有理数的有 -2，，0，3.14，一共4个，
∴卡片上的数为有理数的概率是
故答案为：.
【分析】利用有理数的概念，可得到已知数中有理数的个数，再利用概率公式可求出卡片上的数为有理数的概率.
15．（2025九下·东阳模拟）如图，由三个全等的三角形（△ABE，△BCF，△CAD）与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC．若AE=ED=1，则BC的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点A作AF'⊥CF于点F'，如图，
∴∠AF'D=90°，
∵由三个全等的三角形（△ABE，△BCF，△CAD）与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC，AE=ED=1
∴DF=DE=1，∠ADF=60°，
∴AD=CF=2，
∴∠DAF'=90°-60°=30°，
∴DF'=AD=1，
∴DF=DF'，
∴点F和点F'重合，
∴
在Rt△ACF中，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AF'⊥CF于点F'，可证∠AF'D=90°，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质可证得DF=DE=1，∠ADF=60°，同时可求出CF，AD的长，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF'的长，可推出DF=DF'，由此可证得点F和点F'重合；再利用勾股定理求出AF的长，利用勾股定理求出AC的长，即可得到BC的长.
16．（2025九下·东阳模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交BC于点E，交AD于点F，把四边形CDFE沿着EF折叠得到四边形.若∥BD，，则△ODF与△OCE的面积比为　 　.
【答案】4：9
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；求正切值
【解析】【解答】解：连结CC'、DD'，作DH⊥C'D'交C'D'的延长线于点H，如图所示，
则∠H=90°，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AD∥BC，AC⊥BD，OD=OB，OA=0C，
∴∠ODF=∠OBE，
在△ODF和△OBE中，∠ODF=∠OBE，OD=OB，∠DOF=∠BOE，
∴△ODF≌△OBE(ASA)，
∴DF= BE，S△ODF = S△OBE，
∴，
由折叠的性质可得，DF=D'F，CE=C'E，DF'∥C'E，点D'与点D关于直线EF对称，点C"与点C关于直线EF对称，
∴∠FD'D=∠FDD'，∠EC'C=∠ECC'，∠FD'H=∠EC'H，EF垂直平分D'D，EF垂直平分C'C，
∴D'D∥C'C，
连结OC'、OD，设C'D'交AC于点I，则OC'=OC，OD'=OD，
∴∠DD'H= ∠CC'I，
∴∠FD'H-∠DD'H=∠EC'H-∠CC'I，
∴∠FD'D=∠EC'C，∠FDD'=∠ECC'，
∴△FDD'∽△ECC'，
∵C'D'∥BD，∴∠CIC'=∠COB =90°
∴∠H = ∠CIC'，
∴△FD'D∽△EC'C，因此有，
∵AC=2OC，BD=2OD
∴，
设C'I=9m，
∵∠OIC'= ∠COB = 90°，∠C'OD'= ∠COD =90°，
∴∠IOD' = ∠OC'D = 90°- ∠IOC'，
∴，
∴OI=，D'I=，
∴OD'=OD==20m，
∵∠OIH=∠COD=90°，∠IOD =90°，∠H = 90°，
∴四边形ODHI是矩形，
∴IH=OD=20m，
∴D'H=IH-ID'=20m-16m=4m，
，
因此△ODF与△OCE的面积比为4：9。
故答案为：4：9.
【分析】本题先利用菱形的性质特点，并利用ASA证明出△ODF≌△OBE，进而得出。随后利用折叠的性质、垂直平分线的性质、平行线的性质，推出△FDD'∽△ECC'，从而得出，最后利用正切值和勾股定理以及矩形的性质特点，计算出OD和D'H的长，即可计算出面积比。
17．（2025九下·东阳模拟）计算：+-sin30°-
【答案】解：原式=
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算.
18．（2025九下·东阳模拟）解方程组：
【答案】解：②×2得：10x-4y=12③
③+①得17x=17，
解得：x=1，
把x=1代入①得
7+4y=5
解之：y=-0.5，
∴方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点，y的系数存在倍数关系，因此②×2+①消去y可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
19．（2025九下·东阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知BC=8，cos∠ABC=.AC=9，cosA=
（1）求线段CD的长.
（2）求cos∠DBE的值．
【答案】（1）解：∵在Rt△ACB中， cos∠ABC=，BC=8
∴即
解之：AB=10，
∵点D是AB边上的中点，
∴CD是AB边上的中线，
∴CD=BD=AB=5
（2）解：∵BE⊥CE，
∴∠E=90°，
∵CD=BD，
∴∠ABC=∠ECB，
∴cos∠ABC=，
∴即，
解之：；
∴
∴
∴
【知识点】求余弦值；已知余弦值求边长
【解析】【分析】（1）在Rt△ACB中利用解直角三角形求出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CD的长.
（2）利用等边对等角可证∠ABC=∠ECB，再利用解直角三角形求出CE的长，由此可得到DE的长；利用勾股定理求出BE的长，然后利用余弦的定义可求出结果.
20．（2025九下·东阳模拟）某果园共收获5万箱鸭梨，为估算该果园鸭梨总产量，从中随机抽取n箱进行称重，单箱净重（单位：kg，精确到0.1）分别有：9.8，9.9，10.0，10.1，10.2，根据数据，绘制了如图1和图2所示尚不完整的统计图。根据以上信息解答问题：
（1）求n的值及α的度数，并补全条形统计图.
（2）直接写出这n箱鸭梨的单箱净重的中位数与众数.
（3）计算这n箱鸭梨的单箱净重的平均数，并估算该果园鸭梨总产量.
【答案】（1）解：抽取的箱数为箱
单箱净重为10.0kg的有20-1-3-5-3=8箱，
∴
n=20， α=144°
补全统计图如下
（2）中位数：10.0kg；众数：10.0kg
（3）解：
该果园鸭梨总产量为50000×10.03=501500kg
答：这n箱鸭梨的单箱净重的平均数为10.03kg，该果园鸭梨总产量501500kg.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（2）解：这20箱鸭梨的单箱净重10.0出现了8次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是10.0kg；
这组数据从小到大第10个数和第11个数是10.0
∴这组数据的中位数是10.0kg.
故答案为：10.0kg；10.0kg.
【分析】（1）本题从图1中找到突破口，即90°对应的10.1kg的鸭梨是5箱，利用倒推计算出n的值，然后结合图2即可计算出单箱净重为10.0kg的鸭梨有8箱，即可计算出图1中a的值，然后补全条形统计图即可；
（2）根据中位数的定义“将一组数从小到大或者从大到小排列，中间的数是中位数；如果中间有两个数，那么中位数就是这两个数的平均数”和众数的定义“一组数中出现次数最多的数就是众数”，即可找出中位数和众数；
（3）根据平均数的计算步骤，先计算出20箱鸭梨的总重量，然后除以20就是每箱的平均重量，最后再乘以5万箱，就是整个鸭梨果园的的总产量。
21．（2025九下·东阳模拟）学分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.
作法：（I）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（II）分别以点M，N为圆心，大于0.5MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（III）画射线OC，则射线OC即为所求.
（1）如图1，射线OC就是∠AOB的角平分线的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS.
（2）下面是小明同学给出的方法：
如图2，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F，连结CF，DE交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
你认为小明的这种作角平分线的方法（　　）
（3）在不限于尺规作图的条件下，小颖同学用三角板按下面方法画角平分线：
如图3，在已知∠AOB的边OA，OB上分别取OC=OD，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线相交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB.
【答案】（1）C
（2）正确
（3）证明：∵OC=OD，OP=OP，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)，
∴∠COP=∠DOP，
∴OP平分∠AOB。
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（1）解：如图所示，
连接MC，NC，由作法得MC=NC，OM=ON，OC =OC，
∴△OMC≌△ONC(SSS)，
∴∠AOC=∠BOC；
（2）由作法得OC=OD，OE=OF，因此CE= DF.
在△OCF和△ODE中，OC =OD，∠COF =∠DOE，OF =OE
∴△OCF≌△ODE(SAS)，
∴∠CEP=∠OFP，
在△CEP和△DPF中，∠CEP=∠DFP，∠CPE=∠DPF，CE= DF，
∴△CEP≌△DFP(AAS)，
∴EP=FP
在△OEP与△OFP中，OE=OF，EP= PF，OP=OP
∴△OEP≌△OFP(SSS)
∴∠EOP=∠FOP
即OP平分∠AOB.
【分析】（1）利用SSS证明出△OMC≌△ONC，即可选出答案；（2）通过三次证明三角形全等，即可选出正确选项；（3）利用HL证明出Rt△OPC≌Rt△OPD，即可得出答案。
22．（2025九下·东阳模拟）某校无人机社团进行无人机表演训练，甲无人机以am/s的速度从地面起飞匀速上升，同时乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞下降，8s时甲、乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演，24s时乙无人机完成表演动作，以m/s的速度继续飞行上升，30s时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为bm，甲、乙两架无人机以相同的速度下降返回地面。甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（m）与无人机飞行的时间x（s）之间的函数关系如图所示。请结合图象解答下列问题。
（1）a=　 　，b=　 　。
（2）求线段MN所在直线的函数表达式。
（3）两架无人机表演训练到多少s时，它们距离地面的高度差为6m （直接写出答案即可）
【答案】（1）3；24
（2）解：从图上可以看出，M（0，20）、N（8，16），
设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+r，将点M和N代入，得到
，解得
因此线段MN所在直线的函数表达式为 y=-x+20。
（3）解：①当0≤x≤8时，此时甲无人机所在直线的函数表达式为y=3x，乙无人机所在直线的函数表达式为y=-x+20，即
，解得x=4或；
②当8＜x＜24时，此时甲乙两架无人机距离地面的高度差恒为24-16=8m；
③当24≤x≤30时，此时乙无人机所在直线的函数表达式为y=16+=，甲无人机恒在24m高度，因此有，解得x=；
④当30＜x＜46时，此时甲乙无人机距离地面的高度差为0.
综上，两架无人机表演训练到4s或s或s时，它们距离地面的高度差为6m。
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：从图上可以看出，b=16+=24m，
a=m/s
故答案为：（1）3，24。
【分析】（1）根据条件“ 24s时乙无人机完成表演动作，以m/s的速度继续飞行上升，30s时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为bm ”，即乙无人机从16m的高度开始上升，速度m/s、时间是（30-24）s，这样就可以计算出b的值，然后结合条件“ 甲无人机以am/s的速度从地面起飞匀速上升 、 8s时甲、乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演 ”，即甲无人机8秒飞行的路程是bm，即可算出a的值；
（2）分别列出M和N的坐标，然后代入MN所在直线的函数表达式，列出二元一次方程组求解即可；
（3）分0≤x≤8、8＜x＜24、24≤x≤30、30＜x＜46 四部分进行讨论并计算，即可得出答案。
23．（2025九下·东阳模拟）已知二次函数y=ax2+bx+2（a＜0）的图象经过点A（-2，2）.
（1）求二次函数的图象的对称轴.
（2）若y=ax2+bx+2的最大值为3，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象.当0≤x≤3时，求新的二次函数的最大值与最小值的和.
（3）设y=ax2+bx+2的图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x2＜x1。若4＜＜8，求a的取值范围.
【答案】（1）解：将 A（-2，2） 代入，得到2=4a-2b+2，即2a=b，
∴抛物线的对称轴为直线x=。
（2）解：由（1）可知，当x=-1时，该二次函数有最大值，即a-b+2=3；而，即
，解得，
因此该二次函数的表达式为y=-x2-2x+2，新二次函数的表达式为y=-(x-2)2-2(x-2)+2，即y=-x2+2x+2，
当0≤x≤3时，该新二次函数的最大值仍是3；当x=3时该新二次函数有最小值，即y=-32+2×3+2=-1，
因此新的二次函数的最大值与最小值的和为3+（-1）=2。
（3）解：由（1）可知，x=-，即b=2a，因此 y=ax2+bx+2 可以写成 y=ax2+2ax+2，
x1+x2=，x1x2=，
，
即
解得a＜-。
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将A点代入二次函数中，经过计算和变形可以得出a和b的关系式，然后利用二次函数对称轴公式x=即可计算出结果；
（2）结合（1）和“y=ax2+bx+2的最大值为3 ”，即可列出含有a和b的二元一次方程组，求出二次函数解析式；然后利用“左加右减”即可求出新的二次函数表达式，最后在x的取值范围内即可求出最大值和最小值，求和即可；
（3）结合（1）可以将二次函数变形，然后求出x1+x2和x1x2的值，然后将 进行变形，最后计算不等式即可。
24．（2025九下·东阳模拟）如图1，△ABC，△BCD均内接于⊙O，点A，D在弦BC的同侧，AC是⊙O的直径，OD∥AB.
（1）求证：BD=CD.
（2）过点A作AF⊥BD交CD于点F，交OD于点G，点E为垂足.
①求证：△DFG∽△BDA.
②若DF=m CF，记sin∠ACB=n，求n与m之间的函数表达式．
【答案】（1）解：延长DO交BC于点E，如图
∵AC是圆O的直径，
∴∠ABC =90°，
∵OD∥AB，
∴DE⊥BC，∠ABD=∠ODB，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ODB=∠ACD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，∠ODC=∠ODB
∵DE=DE.
∴△DEC≌△DEB(ASA)，
∴CD= BD。
（2）①证明：∵AC是圆O的直径，
∴∠ADC =90°，
∴∠ADE+∠FDE=90°，
∵AF⊥BD，
∴∠DEF=90°，
∴∠FDE+∠DFE=90°，
∴∠ADE=∠DFE，
∵OC = OD，
∴∠ACD=∠ODC，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABD=∠ODC，
∴△DFG∽△BDA。
②△DFG∽△BDA，
∴，
∵DG//AB，
∴，
∵DF=m·CF，
∴
∵∠ADE=∠DFA，∠DAE=∠DAF，
∴△ADE∽△AFD，
∴
∵∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACB= sin∠ADB== n，
∴。
【知识点】三角形的外接圆与外心；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用外接圆的性质、平行线的性质，并利用ASA证明出△DEC≌△DEB，即可得出证明结果；
（2）①利用角度的和差进行计算并变形，即可得出证明结果；②通过①的证明结果，并利用相似比、平行线的性质以及正弦值计算公式，即可计算出n和m的表达式。
1 / 1

展开更多......

收起↑