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湖南省常德市武陵区常德芷兰实验学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
1．（2025七下·武陵期中）下列各数中，无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·武陵期中）神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船度地飞行1分钟的路程约为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·武陵期中）下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·武陵期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2025七下·武陵期中）不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·武陵期中）下列式子是完全平方式的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·武陵期中）在下列式子中，能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·武陵期中）估计的大小在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．10和11之间
9．（2025七下·武陵期中）若是关于的一元一次不等式．则的值为（　　）
A． B． C． D．或
10．（2025七下·武陵期中）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025七下·武陵期中）若，则　 　（填“＞”或“＜”）．
12．（2025七下·武陵期中）“的3倍与的差是负数”用不等式表示为　 　．
13．（2025七下·武陵期中）16的算术平方根是　 　
14．（2025七下·武陵期中）若一个数的算术平方根是它本身，则这个数为　 　．
15．（2025七下·武陵期中）计算：　 　．
16．（2025七下·武陵期中）已知不等式的解集是，是的取值范围是　 　．
17．（2025七下·武陵期中）若，则的值为　 　．
18．（2025七下·武陵期中）已知，则的值为　 　；的值为　 　．
19．（2025七下·武陵期中）计算：
（1）
（2）．
20．（2025七下·武陵期中）用乘法公式计算：
（1）
（2）
21．（2025七下·武陵期中）先化简，再求值：，其中．
22．（2025七下·武陵期中）解下列一元一次不等式组：
（1）
（2）
23．（2025七下·武陵期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值．
（2）求的平方根．
24．（2025七下·武陵期中）已知关于x的方程 的解是非负数．
（1）求a的取值范围；
（2）若关于y的不等式组的解集为 ，求所有符合条件的整数a的和．
25．（2025七下·武陵期中）伴随年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个元，雪容融钥匙扣每个元．
（1）该单位准备用不超过元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？
（2）若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，求此时所用的最少资金．
26．（2025七下·武陵期中）【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”，数形结合思想是解决问题的有效途径．
若x满足，求的值．
解：设，，
则，．
；
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
（1）若x满足，则______；
（2）若x满足，求的值；
（3）如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13，以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于P．若正方形与正方形面积的和为117，求长方形的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、是开方开不尽的数，是无理数，符合题意；
B、是整数，有理数，不符合题意；
C、是整数，是有理数，不符合题意；
D、是分数，是有理数，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：∵ 飞船离地飞行速度约为每秒，
∴ 飞船度地飞行1分钟的路程约为：，
故答案为：A．
【分析】先根据速度、时间、路程的关系进行计算，然后利用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可得到答案．
3．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：A、，故该选项原计算错误，不符合题意；
B、，故该选项原计算正确，符合题意；
C、，故该选项原计算错误，不符合题意；
D、，故该选项原计算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由单项式乘以单项式，把系数与同底数幂分别相乘，作为积的一个因式，对于只在某一个单项式含有的字母则连同指数作为积的一个因式，据此逐一计算即可.
4．【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：根据不等式的定义可知，
①；②；⑤；⑥是不等式，共有4个.
故答案为：C．
【分析】凡是用不等号：“”或“”或“”或“”或“”连接的式子都叫做不等式；另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
移项得：2x≤6，
系数化为1得：x≤3.
解集在数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等实心点，不含空心圆.
6．【答案】D
【知识点】完全平方式
7．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
B、，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，这样的两个二项式相乘可以使用平方差公式，据此逐一判断得出答案.
8．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A．
【分析】先观察21在哪两个相邻的平方数之间，即可估算出在哪两个相邻的自然数之间．继而可得答案．
9．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：．
故答案为：C．
【分析】只含有一个未知数，未知数项的次数为1，系数不为0，且不等式两边都是整式的不等式，就是一元一次不等式，据此列出关于字母a的混合组，求解即可.
10．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意得，
解②得x＜3，
∴不等式组的解集为m+3＜x＜3，
∴关于x的不等式组的整数解为2，1，0，-1，
∴-2≤m+3＜-1，
∴，
故答案为：A
【分析】先解不等式组即可得到不等式组的解集，再结合题意即可求出m的取值范围。
11．【答案】＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：＜．
【分析】根据不等式性质“ 不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变”求解即可.
12．【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：的3倍表示为，
∴根据题意得，，
故答案为：．
【分析】先表示“x的3倍与y的差”为3x-y，再由“差是负数”可得差是小于0的数，从而即可列出不等式.
13．【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵4 =16，
∴=4．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
14．【答案】0或1
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：根据算术平方根的定义，这个数是0或1．
故答案为： 0或1．
【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】先根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”计算乘方，再根据“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”进行计算即可.
16．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：移项合并得，
．
∵它的解集是，
，
．
故答案为：．
【分析】先对原不等式进行移项合并，再根据不等式的性质确定一次项系数的正负即可. 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
17．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，．
故答案为：．
【分析】先按照多项式乘以多项式的法则进行展开并合并同类项，再利用多项式的恒等性进行比较即可得到答案．
18．【答案】2；6
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴
=2；
∵
∴，即
∴
∴，解得：．
故答案为：2，6．
【分析】由移项，可得，，再将变形为，整体代入化简可得，进而将该式变形为，从而再整体代入即可求解；在方程的两边同时除以x可得，然后左右平方，将作为一个整体求解即可．
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算立方根和算术平方根，同时完成乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运用即可；
（2）先计算立方根和算术平方根，同时完成乘方运算，并且去绝对值，再进行加减运用即可.
（1）解：
；
（2）
．
20．【答案】（1）解：原式；
（2）原式
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式求解即可；完全平方公式：．
（2）根据完全平方公式求解即可，完全平方公式：．
（1）解：原式；
（2）原式
．
21．【答案】解：
，
当时，
原式
．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先计算完平方公式，平方差公式以及单项式乘多项式，再合并同类项，最后代入求解即可．
22．【答案】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组无解集．
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
确定不等式组的公共解时，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。
（1）解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组无解集．
（2）解不等式，得，
解不等式，得，
则原不等式组的解集为．
23．【答案】（1）解：，即，
∴的整数部分为3，
的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分，
，，，
解得：，，；
（2）解：由（1）可知：，，，
，
，
，
，
，
的平方根为：．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据估算无理数大小的方法估算出的大小，求出它的整数部分c；如果一个正数x的平方等于a，则这个正数x就是a的算术平方根，据此可得2a-1=9①；如果一个数x的立方等于a，则这个数x就是a的立方根，据此可得3a+b=8②，联立①与②，求解可得a、b的值；
（2）把（1）中所求的a，b，c代入进行计算，从而根据平方根的定义“如果一个数x的平方等于a，则这个数x就是a的平方根”求出它的平方根即可．
24．【答案】（1）解：，
，
，
解得，
该方程的解是非负数，
，
解得；
（2）解：
解不等式得：，
解不等式得：，
该不等式组的解集为，
，
，
由（1）得，
，
整数a可能为，或，
，
所有符合条件的整数a的和为．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）将a作为参数，利用解一元一次方程的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”用含a的式子表示出该方程的解，再根据解是非负数列不等式，即可求解；
（2）将a作为参数，利用解一元一次不等式的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”用含a的式子表示出该不等式组中每一个不等式的解集，由该不等式组的解集为y≥1，结合口诀“同大取大”得出关于a的不等式，结合（1）中结论得出关于a的不等式组，得出整数解，求和即可．
25．【答案】（1）解：设购进冰墩墩毛绒玩具x个，则购进雪容融钥匙扣个，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
最大取，
答：最多可以购进冰墩墩毛绒玩具个；
（2）解：设购进冰墩墩毛绒玩具x个，则购进雪容融钥匙扣个，由题意得：
，
解得，
∴所需资金为：，
∵x≥5，
∴，
∴当时，所用的资金最少，为1950元，
答：此时所用的最少资金是1950元．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购进冰墩墩毛绒玩具个，则购进雪容融钥匙扣个，根据题意得不等关系：
购买冰墩墩的费用+购买雪容融的费用≤3000，据此列出不等式并求解，再取最大整数即可；
（2）根据“购进雪容融钥匙扣的数量≤3×冰墩墩毛绒玩具数量”可得不等式并解得的范围，再表示出所需资金的代数式，最后根据不等式的性质计算最小值即可．
（1）设购进冰墩墩毛绒玩具个，则购进雪容融钥匙扣个，
根据题意得：，
解得，
为整数，
最大取，
答：最多可以购进冰墩墩毛绒玩具个；
（2）购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，
故，
解得，
由题意可知，购买冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共20个时，
所需资金为，
故当时，所用的资金最少为（元），
答：此时所用的最少资金是1950元．
26．【答案】（1）320
（2）解：∵ x满足，
设，
则，，
；
（3）解：由图形和题意可得：PC=BD=AB，
∴两个正方形的面积和为：AC2+AB2=117，长方形ACPE的面积可表示为：AC×PC.
设，，
，
，
，
，
AC×PC=AC×AB=54．
【知识点】完全平方公式及运用；数轴上两点之间的距离；数形结合；转化思想
1 / 1湖南省常德市武陵区常德芷兰实验学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
1．（2025七下·武陵期中）下列各数中，无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、是开方开不尽的数，是无理数，符合题意；
B、是整数，有理数，不符合题意；
C、是整数，是有理数，不符合题意；
D、是分数，是有理数，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．（2025七下·武陵期中）神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船度地飞行1分钟的路程约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：∵ 飞船离地飞行速度约为每秒，
∴ 飞船度地飞行1分钟的路程约为：，
故答案为：A．
【分析】先根据速度、时间、路程的关系进行计算，然后利用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可得到答案．
3．（2025七下·武陵期中）下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：A、，故该选项原计算错误，不符合题意；
B、，故该选项原计算正确，符合题意；
C、，故该选项原计算错误，不符合题意；
D、，故该选项原计算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由单项式乘以单项式，把系数与同底数幂分别相乘，作为积的一个因式，对于只在某一个单项式含有的字母则连同指数作为积的一个因式，据此逐一计算即可.
4．（2025七下·武陵期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：根据不等式的定义可知，
①；②；⑤；⑥是不等式，共有4个.
故答案为：C．
【分析】凡是用不等号：“”或“”或“”或“”或“”连接的式子都叫做不等式；另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数，据此逐一判断得出答案.
5．（2025七下·武陵期中）不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
移项得：2x≤6，
系数化为1得：x≤3.
解集在数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等实心点，不含空心圆.
6．（2025七下·武陵期中）下列式子是完全平方式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方式
7．（2025七下·武陵期中）在下列式子中，能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
B、，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，这样的两个二项式相乘可以使用平方差公式，据此逐一判断得出答案.
8．（2025七下·武陵期中）估计的大小在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．10和11之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A．
【分析】先观察21在哪两个相邻的平方数之间，即可估算出在哪两个相邻的自然数之间．继而可得答案．
9．（2025七下·武陵期中）若是关于的一元一次不等式．则的值为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：．
故答案为：C．
【分析】只含有一个未知数，未知数项的次数为1，系数不为0，且不等式两边都是整式的不等式，就是一元一次不等式，据此列出关于字母a的混合组，求解即可.
10．（2025七下·武陵期中）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意得，
解②得x＜3，
∴不等式组的解集为m+3＜x＜3，
∴关于x的不等式组的整数解为2，1，0，-1，
∴-2≤m+3＜-1，
∴，
故答案为：A
【分析】先解不等式组即可得到不等式组的解集，再结合题意即可求出m的取值范围。
11．（2025七下·武陵期中）若，则　 　（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：＜．
【分析】根据不等式性质“ 不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变”求解即可.
12．（2025七下·武陵期中）“的3倍与的差是负数”用不等式表示为　 　．
【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：的3倍表示为，
∴根据题意得，，
故答案为：．
【分析】先表示“x的3倍与y的差”为3x-y，再由“差是负数”可得差是小于0的数，从而即可列出不等式.
13．（2025七下·武陵期中）16的算术平方根是　 　
【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵4 =16，
∴=4．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
14．（2025七下·武陵期中）若一个数的算术平方根是它本身，则这个数为　 　．
【答案】0或1
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：根据算术平方根的定义，这个数是0或1．
故答案为： 0或1．
【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案。
15．（2025七下·武陵期中）计算：　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】先根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”计算乘方，再根据“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”进行计算即可.
16．（2025七下·武陵期中）已知不等式的解集是，是的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：移项合并得，
．
∵它的解集是，
，
．
故答案为：．
【分析】先对原不等式进行移项合并，再根据不等式的性质确定一次项系数的正负即可. 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
17．（2025七下·武陵期中）若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，．
故答案为：．
【分析】先按照多项式乘以多项式的法则进行展开并合并同类项，再利用多项式的恒等性进行比较即可得到答案．
18．（2025七下·武陵期中）已知，则的值为　 　；的值为　 　．
【答案】2；6
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴
=2；
∵
∴，即
∴
∴，解得：．
故答案为：2，6．
【分析】由移项，可得，，再将变形为，整体代入化简可得，进而将该式变形为，从而再整体代入即可求解；在方程的两边同时除以x可得，然后左右平方，将作为一个整体求解即可．
19．（2025七下·武陵期中）计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算立方根和算术平方根，同时完成乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运用即可；
（2）先计算立方根和算术平方根，同时完成乘方运算，并且去绝对值，再进行加减运用即可.
（1）解：
；
（2）
．
20．（2025七下·武陵期中）用乘法公式计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式；
（2）原式
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式求解即可；完全平方公式：．
（2）根据完全平方公式求解即可，完全平方公式：．
（1）解：原式；
（2）原式
．
21．（2025七下·武陵期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式
．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先计算完平方公式，平方差公式以及单项式乘多项式，再合并同类项，最后代入求解即可．
22．（2025七下·武陵期中）解下列一元一次不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组无解集．
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
确定不等式组的公共解时，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。
（1）解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组无解集．
（2）解不等式，得，
解不等式，得，
则原不等式组的解集为．
23．（2025七下·武陵期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值．
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：，即，
∴的整数部分为3，
的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分，
，，，
解得：，，；
（2）解：由（1）可知：，，，
，
，
，
，
，
的平方根为：．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据估算无理数大小的方法估算出的大小，求出它的整数部分c；如果一个正数x的平方等于a，则这个正数x就是a的算术平方根，据此可得2a-1=9①；如果一个数x的立方等于a，则这个数x就是a的立方根，据此可得3a+b=8②，联立①与②，求解可得a、b的值；
（2）把（1）中所求的a，b，c代入进行计算，从而根据平方根的定义“如果一个数x的平方等于a，则这个数x就是a的平方根”求出它的平方根即可．
24．（2025七下·武陵期中）已知关于x的方程 的解是非负数．
（1）求a的取值范围；
（2）若关于y的不等式组的解集为 ，求所有符合条件的整数a的和．
【答案】（1）解：，
，
，
解得，
该方程的解是非负数，
，
解得；
（2）解：
解不等式得：，
解不等式得：，
该不等式组的解集为，
，
，
由（1）得，
，
整数a可能为，或，
，
所有符合条件的整数a的和为．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）将a作为参数，利用解一元一次方程的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”用含a的式子表示出该方程的解，再根据解是非负数列不等式，即可求解；
（2）将a作为参数，利用解一元一次不等式的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”用含a的式子表示出该不等式组中每一个不等式的解集，由该不等式组的解集为y≥1，结合口诀“同大取大”得出关于a的不等式，结合（1）中结论得出关于a的不等式组，得出整数解，求和即可．
25．（2025七下·武陵期中）伴随年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个元，雪容融钥匙扣每个元．
（1）该单位准备用不超过元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？
（2）若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，求此时所用的最少资金．
【答案】（1）解：设购进冰墩墩毛绒玩具x个，则购进雪容融钥匙扣个，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
最大取，
答：最多可以购进冰墩墩毛绒玩具个；
（2）解：设购进冰墩墩毛绒玩具x个，则购进雪容融钥匙扣个，由题意得：
，
解得，
∴所需资金为：，
∵x≥5，
∴，
∴当时，所用的资金最少，为1950元，
答：此时所用的最少资金是1950元．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购进冰墩墩毛绒玩具个，则购进雪容融钥匙扣个，根据题意得不等关系：
购买冰墩墩的费用+购买雪容融的费用≤3000，据此列出不等式并求解，再取最大整数即可；
（2）根据“购进雪容融钥匙扣的数量≤3×冰墩墩毛绒玩具数量”可得不等式并解得的范围，再表示出所需资金的代数式，最后根据不等式的性质计算最小值即可．
（1）设购进冰墩墩毛绒玩具个，则购进雪容融钥匙扣个，
根据题意得：，
解得，
为整数，
最大取，
答：最多可以购进冰墩墩毛绒玩具个；
（2）购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，
故，
解得，
由题意可知，购买冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共20个时，
所需资金为，
故当时，所用的资金最少为（元），
答：此时所用的最少资金是1950元．
26．（2025七下·武陵期中）【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”，数形结合思想是解决问题的有效途径．
若x满足，求的值．
解：设，，
则，．
；
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
（1）若x满足，则______；
（2）若x满足，求的值；
（3）如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13，以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于P．若正方形与正方形面积的和为117，求长方形的面积．
【答案】（1）320
（2）解：∵ x满足，
设，
则，，
；
（3）解：由图形和题意可得：PC=BD=AB，
∴两个正方形的面积和为：AC2+AB2=117，长方形ACPE的面积可表示为：AC×PC.
设，，
，
，
，
，
AC×PC=AC×AB=54．
【知识点】完全平方公式及运用；数轴上两点之间的距离；数形结合；转化思想
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