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四川省成都市七中育才学校2024年中考数学三模试题
1．（2024·成都模拟）的倒数是（　　）
A．3 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：因为的倒数是-3，
故答案为：B.
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商.
2．（2024·成都模拟）2024年2月16日，世界最大清洁能源走廊六座梯级电站累计发电量突破3.5万亿千瓦时，相当于减排二氧化碳超28亿吨，将数据28亿用科学记数法表示为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：28亿，
∴，
故答案为：B．
【分析】把一个绝对值较大的数字经常用科学记数法表示为的形式，其中，取这个数字整数部分位数与1的差．
3．（2024·成都模拟）下列式子计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算错误，不合题意；
B、，计算错误，不合题意；
C、，计算错误，不合题意；
D、，计算正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C选项；由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，即可判断D选项.
4．（2024·成都模拟）如图，在矩形中，对角线和相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AC=BD.
故答案为：C．
【分析】利用矩形的对角线相等，可得到正确结论的选项.
5．（2024·成都模拟）第十四届全国冬季运动会已成功举办，山西某运动俱乐部赛前预备在三位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（　　）
　 甲 乙 丙 丁
平均时间（s） 50.1 51.3 50.1 50.0
方差 0.9 0.9 1.3 57.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表可知从平均时间看，丁的成绩最好，其次是甲与丙，乙的成绩最低，从方差看，丁成绩波动幅度太大，甲与乙成绩最稳定，
∴结合平均时间与方差看，甲发挥优秀且稳定，
故选：A．
【分析】方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案．
6．（2024·成都模拟）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（　　）
A．3 B．4 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，
∴要使对甲、乙双方公平，
∴绿球和黑球的数量相等，
∴黑球的个数为2x个，
∴x+2x+2x+10，
解之：x=2.
故答案为：D
【分析】利用已知条件，可知此事件是抽取放回，要使对甲、乙双方公平，则绿球和黑球的数量相等，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
7．（2024·成都模拟）我国古代数学著作之一《孙子算经》中记载着这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：依题意得：，
故答案为：B．
【分析】设共有x辆车，由等量关系“ 若每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘 ”列方程即可．
8．（2024·成都模拟）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
从表中可知，下列说法中正确的是（　　）．
A．抛物线的对称轴是y轴 B．抛物线与x轴的一个交点为
C．函数的最小值为5 D．当时，y随x增大而减小
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、由表格可知函数经过，，所以对称轴，故本选项不符合题意；
B、根据图表，当时，，根据抛物线的对称性，当时，，即抛物线与x轴的交点为和，故本选项正确，符合题意；
C、根据表中数据得到抛物线的开口向上，对称轴为，
∴当时，函数有最小值，为，故本选项错误，不符合题意；
D、根据表中数据得到抛物线的开口向上，
∴在对称轴的右侧，y随x增大而增大，故本选项错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】A、若抛物线上两点的纵坐标相同，则这两个点关于对称轴对称，且这两点的横坐标和的一半就是对称轴对应的直线；
B、观察表格得抛物线经过x轴上的点（0，－3）；
C、观察表格得抛物线的开口向上，对称轴为x=1，因此函数的最小值应该是－4；
D、由于抛物线的开口向上，对称轴为x=1，则是当x>1时，y随x增大而增大．
9．（2024·成都模拟）分解因式： －9=　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
10．（2024·成都模拟）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限
∴
∴
故答案为：
【分析】由于反比例函数的图象位于第一、三象限，则，解出不等式即可．
11．（2024·成都模拟）方程的解为　 　.
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
所以，原方程的根为：，
故答案为：．
【分析】解分式方程的一般步骤是，先去分母，化分式方程整式方程，解整式方程，验根，最后再根据情况写根．
12．（2024·成都模拟）如图，直线，交于点O，，若，，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，，
，
故答案为：．
【分析】由平行线分线段成比例可得，从而可得答案．
13．（2024·成都模拟）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接交边于点E；②以点E为圆心，以的长为半径作弧交边于点F．若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵AB＝AC、DB＝DC；
是直角三角形且
∴
故答案为：
【分析】由尺规作图方法知是的垂直平分线，再由一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形可得BF垂直AC，则可证明，由相似比即可得到CF的长．
14．（2024·成都模拟）计算：
（1）；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：
（2）解：解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先依次开方、写出角的余弦值、计算负整数指数幂、化简绝对值，再进行加减运算，求出原式的计算结果；
（2）先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取公共部分，即为原不等式组的解集．
15．（2024·成都模拟）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ；
（2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人；
（3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
【答案】（1）200；
（2）解：条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
若该中学有300名学生有培训意向，估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有（人），
故答案为：90；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次被调查的学生有：（人）；
扇形统计图中，A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：200；；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，由选择C专业的人数除以所占百分比即可求出本次被调查的学生人数，用360°乘以选择A（旅游管理）专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数；
（2）根据选择四个专业的人数之和等于本次被调查的学生，可求出选择B专业的人数，据此补全条形统计图即可；用该中学的学生总人数乘以样本中选择“信息技术”专业意向的学生所占比例，即可估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，由题意画树状图，共由图可知，有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
16．（2024·成都模拟）2024年1月17日，天舟七号货运飞船，携带着支持航天员3人280天的生活物资、平台设备、推进剂和科学载荷，成功发射．如图是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，与水平方向的夹角为，与水平方向的夹角为，求点C到工作台的距离．（结果精确到0.1米）
（参考数据：，，）
【答案】解：过点B作，交的延长线于点G，过点C作于点H，与交于点I，
则，
四边形是矩形．
，，
由题意可得，
在中，，，
（米），
（米），
∴在矩形中，米
由题意可得
，
∵在中，，，
∴（米），
（米），
点C到工作台的距离约为6.1米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先过点B作，交的延长线于点G，过点C作于点H，与交于点，则可得到矩形，再分别解和可求得，最后利用矩形的性质即可求解．
17．（2024·成都模拟）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作交于点E，与相切．
（1）求证：；
（2）若，，求和的长．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与相切．
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点C作，过点O作，如图所示：
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴
解得（负值已舍去）
∴
∵，
∴
在中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
则，
∴，
则
【知识点】垂径定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）如图所示，连接OC，则，由切线的性质可得是直角，则与互余；由直角三角形两锐角互余得与互余，则，所以；
（2）如图，由于等腰三角形三线合一，因此可过点C作AB的垂线段CH，过O作BE的垂线段ON，则，解可得和，再解可得，，则可得，由垂径定理并解可得，则可得．
18．（2024·成都模拟）已知直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B．
（1）若，请直接写出当时，x的取值范围；
（2）如图，以为边在直线l上方作正方形，点D恰好落在反比例函数的图象上，求k的值；
（3）在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时，试求出此时的平移距离．
【答案】（1）或
（2）解：分别过点作轴、轴，如图所示：
当时，则，解得
∴点的坐标为
∵轴、轴，
∴，
∵四边形是正方形
∴
∴
∴
设，则
∴
则
∴
∵在直线上
∴
∴
∵点和点在上
则
∵
∴
∵
∴
解得
把代入
解出
（3）解：∵在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时，∴此时的平移距离
∵，，
∴，
在中，
即此时的平移距离为
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵
∴直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B．
∴
整理得
∴
解得
经检验，是原方程的解，
记直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点E(第三象限)
∴结合图象，当时，x的取值范围为或
【分析】（1）当时，即直线在双曲线下方，因此可联立直线与双曲线得关于x的方程组，解方程即可求出直线与双曲线的两个交点，再对照双曲线的两个分支可得 x的取值范围 ；
（2）由于正方形的邻边相等，因此可分别过B、D作x轴的垂线段BN、DM，则，此时可设点D的横坐标为m，则利用全等的性质对分别表示出点B、D的坐标，由于B、D都在双曲线上，点B在直线上，可联立得到关于m的方程，再解这个方程即可；
（3）结合正方形的性质，以及一次函数的性质得出此时的平移距离即线段AB的长度，可结合（2）中的结论得出，，运用勾股定理计算即可．
19．（2024·成都模拟）已知一元二次方程有一个根是2，则另一个根是　 　．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设另一个根是
∵一元二次方程有一个根是2
∴
∴
故答案为：4
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系：直接求解即可．
20．（2024·成都模拟）魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计的面积，可得的近似值为　 　．
【答案】3
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，
过作于，
在正十二边形中，，
，
，
正十二边形的面积为，
，
，
的近似值为3，
故答案为：3．
【分析】如图所示，由于正十二边形的中心角是30度，其半径为1，则可先计算出两半径与一条边围成的三角形面积，此时可过底边一个顶点作另一腰的高，利用30度角的直角三角形的性质可得高的长度，再利用三角形面积公式求出面积，则正十二边形的面积可求，其外接圆的面积也可求，即得的近似值 ．
21．（2024·成都模拟）函数的最小值为3，则a的值为　 　．
【答案】或
【知识点】绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵
∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和
∵函数的最小值为3，
∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3
即
∴
∴或
故答案为：或．
【分析】由于表示一个数到0的距离，根据函数的最小值为3，则在和的之间，且是和的之间的距离为3，即，进行计算，即可作答．
22．（2024·成都模拟）如图，中，，是中边上的中线，，点是线段上一动点，将沿折叠，点落在点处，线段与线段交于点，若是直角三角形，则　 　．
【答案】或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：，是中边上的中线，
，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
又，
，
，
，
若是直角三角形，有两种情况：
如图中，当时．
，
过点D作于．则，
∵在中，，
∴
，
∵在中，，
，
如图中，当时，
，
，
，此时点与点重合，
，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【分析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，又已知BC等于CD，则是等边三角形，则等于，因此当是直角三角形时，存在两种情况，即如图中，当时，则，求解则；如图中，当时，求得，，由可求解．
23．（2024·成都模拟）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为　 　．
【答案】且
【知识点】解一元一次不等式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：设二次函数图象上的两点为点C、D，
题意得点 的“跳跃点”为，将代入，
得：，
∴，则点C在直线上，同理点D也在直线上，
对于二次函数，
令，则，
解得：或，
∴抛物线与x轴交于和，
当时，抛物线与直线的大致图象如图：
直线也经过，设为点D，另一个交点设为点C，
则联立直线和抛物线的表达式得到，
则，
则，解得，
则，而，
∴，
∴，
对于，化简为：，
而直线和抛物线在时有两个交点，故
∴
∴，
∴且；
当时，如图：
直线不可能与抛物线在时有两个交点，故舍，
综上：且．
【分析】先由二次函数图象上点的坐标特征可设出点C、D的坐标，再其跳跃点的坐标代入到直线可得直线CD的表达式为；当时，联立直线和抛物线的表达式，用a的代数式表示出x，根据x的范围求出a的范围，由于直线CD与抛物线有两个交点，则根的判别式大于0；当时，不成立．
24．（2024·成都模拟）为参加“六一”学生节义卖，某班计划购进可题字的扇面和动漫人偶进行销售，他们用700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，一个扇面的进价比一个人偶的进价多1元．两种货物的售价均为15元/个．
（1）求一个扇面和一个人偶的进价分别是多少元？
（2）该班计划购进这两种货物共200个，其中购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．进货时，若一次性购进扇面超过80个，则扇面超过的部分可按进价打7折．该班应购进扇面和人偶玩具各多少个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设一个扇面的进价为元个，则一个人偶的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：一个扇面进价是10元，一个人偶进价是9元
（2）解：设应购买扇面个，则购进人偶个，
由题意得：，
解得：，
设两种货品全部售出后所获利润为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，
此时，，
答：应购买扇面150个，人偶50个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大，最大利润是1260元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一个扇面的进价为元个，则一个人偶的进价是元，根据700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设应购买扇面个，则购进人偶个，根据购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．列出一元一次不等式组，解得，再设两种货品全部售出后所获利润为元，由题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
25．（2024·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若，连接，求的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使得当k取某值时，是等边三角形．若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵已知抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．∴
∴
把代入
∴
∴
∴该抛物线的函数表达式．
（2）解：∵直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点．∴当时，则
∴
∴当时，则
∴
则
设
如图：过点A作轴，连接，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
把代入，解得（正值已舍去）
∴
∴，
∴
解出
∴
∵，，
∴的面积
∴
（3）解：存在，理由如下：
如图所示，设的中点为M，过点M作轴，过点A作
∵抛物线和直线
∴联立得，
整理得，
解得
∴，
代入得，，
∴，
∴
∴
∵点M为的中点
∴
∴，
∵是等边三角形，点M为的中点
∴，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
解得
∵
∴
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）结合抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．得出，，即可作答．
（2）根据一次函数的性质，得出，，结合反比例函数的图象性质，得出，证明，因为，则，即，，建立方程组进行计算，然后运用割补法列式的面积，进行作答即可．
（3）设的交点为M，过点M作轴，过点A作，联立抛物线和直线得到，然后求出，，，，然后求出，表示出，然后根据等边三角形的性质得到，然后证明出，得到，代入求解即可．
26．（2024·成都模拟）已知等腰中，，中，，，．
（1）当线段与线段重合，如图1所示，线段、交于点H，求此时面积；
（2）将绕着点A顺时针旋转，交所在直线于点N，交所在直线于点M，如图2所示．当时，过点N作交于点G，求点G到直线的距离．
（3）若点E为线段的中点，将旋转，在旋转过程中始终使过点E，过点C，如图3所示．则是否有最大值，如果有，请求出；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）解：过点H作，
∵等腰中，，
∴，
∴，
∴，
∴，设，
∵中，，
∴，
∴，
解得：，
∴
（2）解：过点N作，过点G作交延长线于点K，则，
由题意得，
∴，
设，
∵
∴，
∵，
∴，
∴在中有：，
解得：，
同（1）可求，
∴，
∵在等腰中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴求点G到直线的距离为
（3）解：过点E作，延长至点P，使得，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值转化为的最大值，
设，则，则
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
作的外接圆，连接，则点P的轨迹为，
∵，
∴当点O、C、P三点共线时，即为直径时，最大，如图：
∴此时，
∵E是中点，
∴，
∴中，，
∴，
∴的最大值为
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）过点H作，解即可，，设，，则可得，即可求解面积；
（2）过点N作，过点G作交延长线于点K，则，通过旋转得到等腰三角形的性质以及外角结合三角形内角和定理求得，同（1）可求，则，
因此，可证明，则，即，则；
（3）过点E作，延长至点P，使得，则，故，则的最大值转化为的最大值，设，则，则，，则，可知“定弦定角”，作的外接圆，连接，则点P的轨迹为，当为直径时，最大，此时，由，得到，即可求解．
1 / 1四川省成都市七中育才学校2024年中考数学三模试题
1．（2024·成都模拟）的倒数是（　　）
A．3 B．3 C． D．
2．（2024·成都模拟）2024年2月16日，世界最大清洁能源走廊六座梯级电站累计发电量突破3.5万亿千瓦时，相当于减排二氧化碳超28亿吨，将数据28亿用科学记数法表示为（　　）．
A． B． C． D．
3．（2024·成都模拟）下列式子计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·成都模拟）如图，在矩形中，对角线和相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）．
A． B． C． D．
5．（2024·成都模拟）第十四届全国冬季运动会已成功举办，山西某运动俱乐部赛前预备在三位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（　　）
　 甲 乙 丙 丁
平均时间（s） 50.1 51.3 50.1 50.0
方差 0.9 0.9 1.3 57.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2024·成都模拟）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（　　）
A．3 B．4 C．1 D．2
7．（2024·成都模拟）我国古代数学著作之一《孙子算经》中记载着这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024·成都模拟）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
从表中可知，下列说法中正确的是（　　）．
A．抛物线的对称轴是y轴 B．抛物线与x轴的一个交点为
C．函数的最小值为5 D．当时，y随x增大而减小
9．（2024·成都模拟）分解因式： －9=　 　．
10．（2024·成都模拟）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是　 　．
11．（2024·成都模拟）方程的解为　 　.
12．（2024·成都模拟）如图，直线，交于点O，，若，，，则的值为　 　．
13．（2024·成都模拟）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接交边于点E；②以点E为圆心，以的长为半径作弧交边于点F．若，，则的长为　 　．
14．（2024·成都模拟）计算：
（1）；
（2）解不等式组：．
15．（2024·成都模拟）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ；
（2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人；
（3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
16．（2024·成都模拟）2024年1月17日，天舟七号货运飞船，携带着支持航天员3人280天的生活物资、平台设备、推进剂和科学载荷，成功发射．如图是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，与水平方向的夹角为，与水平方向的夹角为，求点C到工作台的距离．（结果精确到0.1米）
（参考数据：，，）
17．（2024·成都模拟）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作交于点E，与相切．
（1）求证：；
（2）若，，求和的长．
18．（2024·成都模拟）已知直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B．
（1）若，请直接写出当时，x的取值范围；
（2）如图，以为边在直线l上方作正方形，点D恰好落在反比例函数的图象上，求k的值；
（3）在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时，试求出此时的平移距离．
19．（2024·成都模拟）已知一元二次方程有一个根是2，则另一个根是　 　．
20．（2024·成都模拟）魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计的面积，可得的近似值为　 　．
21．（2024·成都模拟）函数的最小值为3，则a的值为　 　．
22．（2024·成都模拟）如图，中，，是中边上的中线，，点是线段上一动点，将沿折叠，点落在点处，线段与线段交于点，若是直角三角形，则　 　．
23．（2024·成都模拟）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为　 　．
24．（2024·成都模拟）为参加“六一”学生节义卖，某班计划购进可题字的扇面和动漫人偶进行销售，他们用700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，一个扇面的进价比一个人偶的进价多1元．两种货物的售价均为15元/个．
（1）求一个扇面和一个人偶的进价分别是多少元？
（2）该班计划购进这两种货物共200个，其中购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．进货时，若一次性购进扇面超过80个，则扇面超过的部分可按进价打7折．该班应购进扇面和人偶玩具各多少个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
25．（2024·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若，连接，求的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使得当k取某值时，是等边三角形．若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
26．（2024·成都模拟）已知等腰中，，中，，，．
（1）当线段与线段重合，如图1所示，线段、交于点H，求此时面积；
（2）将绕着点A顺时针旋转，交所在直线于点N，交所在直线于点M，如图2所示．当时，过点N作交于点G，求点G到直线的距离．
（3）若点E为线段的中点，将旋转，在旋转过程中始终使过点E，过点C，如图3所示．则是否有最大值，如果有，请求出；如果没有，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：因为的倒数是-3，
故答案为：B.
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：28亿，
∴，
故答案为：B．
【分析】把一个绝对值较大的数字经常用科学记数法表示为的形式，其中，取这个数字整数部分位数与1的差．
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算错误，不合题意；
B、，计算错误，不合题意；
C、，计算错误，不合题意；
D、，计算正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C选项；由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，即可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AC=BD.
故答案为：C．
【分析】利用矩形的对角线相等，可得到正确结论的选项.
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表可知从平均时间看，丁的成绩最好，其次是甲与丙，乙的成绩最低，从方差看，丁成绩波动幅度太大，甲与乙成绩最稳定，
∴结合平均时间与方差看，甲发挥优秀且稳定，
故选：A．
【分析】方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案．
6．【答案】D
【知识点】游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，
∴要使对甲、乙双方公平，
∴绿球和黑球的数量相等，
∴黑球的个数为2x个，
∴x+2x+2x+10，
解之：x=2.
故答案为：D
【分析】利用已知条件，可知此事件是抽取放回，要使对甲、乙双方公平，则绿球和黑球的数量相等，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
7．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：依题意得：，
故答案为：B．
【分析】设共有x辆车，由等量关系“ 若每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘 ”列方程即可．
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、由表格可知函数经过，，所以对称轴，故本选项不符合题意；
B、根据图表，当时，，根据抛物线的对称性，当时，，即抛物线与x轴的交点为和，故本选项正确，符合题意；
C、根据表中数据得到抛物线的开口向上，对称轴为，
∴当时，函数有最小值，为，故本选项错误，不符合题意；
D、根据表中数据得到抛物线的开口向上，
∴在对称轴的右侧，y随x增大而增大，故本选项错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】A、若抛物线上两点的纵坐标相同，则这两个点关于对称轴对称，且这两点的横坐标和的一半就是对称轴对应的直线；
B、观察表格得抛物线经过x轴上的点（0，－3）；
C、观察表格得抛物线的开口向上，对称轴为x=1，因此函数的最小值应该是－4；
D、由于抛物线的开口向上，对称轴为x=1，则是当x>1时，y随x增大而增大．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
10．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限
∴
∴
故答案为：
【分析】由于反比例函数的图象位于第一、三象限，则，解出不等式即可．
11．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
所以，原方程的根为：，
故答案为：．
【分析】解分式方程的一般步骤是，先去分母，化分式方程整式方程，解整式方程，验根，最后再根据情况写根．
12．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，，
，
故答案为：．
【分析】由平行线分线段成比例可得，从而可得答案．
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵AB＝AC、DB＝DC；
是直角三角形且
∴
故答案为：
【分析】由尺规作图方法知是的垂直平分线，再由一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形可得BF垂直AC，则可证明，由相似比即可得到CF的长．
14．【答案】（1）解：
（2）解：解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先依次开方、写出角的余弦值、计算负整数指数幂、化简绝对值，再进行加减运算，求出原式的计算结果；
（2）先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取公共部分，即为原不等式组的解集．
15．【答案】（1）200；
（2）解：条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
若该中学有300名学生有培训意向，估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有（人），
故答案为：90；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次被调查的学生有：（人）；
扇形统计图中，A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：200；；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，由选择C专业的人数除以所占百分比即可求出本次被调查的学生人数，用360°乘以选择A（旅游管理）专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数；
（2）根据选择四个专业的人数之和等于本次被调查的学生，可求出选择B专业的人数，据此补全条形统计图即可；用该中学的学生总人数乘以样本中选择“信息技术”专业意向的学生所占比例，即可估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，由题意画树状图，共由图可知，有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
16．【答案】解：过点B作，交的延长线于点G，过点C作于点H，与交于点I，
则，
四边形是矩形．
，，
由题意可得，
在中，，，
（米），
（米），
∴在矩形中，米
由题意可得
，
∵在中，，，
∴（米），
（米），
点C到工作台的距离约为6.1米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先过点B作，交的延长线于点G，过点C作于点H，与交于点，则可得到矩形，再分别解和可求得，最后利用矩形的性质即可求解．
17．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与相切．
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点C作，过点O作，如图所示：
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴
解得（负值已舍去）
∴
∵，
∴
在中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
则，
∴，
则
【知识点】垂径定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）如图所示，连接OC，则，由切线的性质可得是直角，则与互余；由直角三角形两锐角互余得与互余，则，所以；
（2）如图，由于等腰三角形三线合一，因此可过点C作AB的垂线段CH，过O作BE的垂线段ON，则，解可得和，再解可得，，则可得，由垂径定理并解可得，则可得．
18．【答案】（1）或
（2）解：分别过点作轴、轴，如图所示：
当时，则，解得
∴点的坐标为
∵轴、轴，
∴，
∵四边形是正方形
∴
∴
∴
设，则
∴
则
∴
∵在直线上
∴
∴
∵点和点在上
则
∵
∴
∵
∴
解得
把代入
解出
（3）解：∵在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时，∴此时的平移距离
∵，，
∴，
在中，
即此时的平移距离为
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵
∴直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B．
∴
整理得
∴
解得
经检验，是原方程的解，
记直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点E(第三象限)
∴结合图象，当时，x的取值范围为或
【分析】（1）当时，即直线在双曲线下方，因此可联立直线与双曲线得关于x的方程组，解方程即可求出直线与双曲线的两个交点，再对照双曲线的两个分支可得 x的取值范围 ；
（2）由于正方形的邻边相等，因此可分别过B、D作x轴的垂线段BN、DM，则，此时可设点D的横坐标为m，则利用全等的性质对分别表示出点B、D的坐标，由于B、D都在双曲线上，点B在直线上，可联立得到关于m的方程，再解这个方程即可；
（3）结合正方形的性质，以及一次函数的性质得出此时的平移距离即线段AB的长度，可结合（2）中的结论得出，，运用勾股定理计算即可．
19．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设另一个根是
∵一元二次方程有一个根是2
∴
∴
故答案为：4
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系：直接求解即可．
20．【答案】3
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，
过作于，
在正十二边形中，，
，
，
正十二边形的面积为，
，
，
的近似值为3，
故答案为：3．
【分析】如图所示，由于正十二边形的中心角是30度，其半径为1，则可先计算出两半径与一条边围成的三角形面积，此时可过底边一个顶点作另一腰的高，利用30度角的直角三角形的性质可得高的长度，再利用三角形面积公式求出面积，则正十二边形的面积可求，其外接圆的面积也可求，即得的近似值 ．
21．【答案】或
【知识点】绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵
∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和
∵函数的最小值为3，
∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3
即
∴
∴或
故答案为：或．
【分析】由于表示一个数到0的距离，根据函数的最小值为3，则在和的之间，且是和的之间的距离为3，即，进行计算，即可作答．
22．【答案】或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：，是中边上的中线，
，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
又，
，
，
，
若是直角三角形，有两种情况：
如图中，当时．
，
过点D作于．则，
∵在中，，
∴
，
∵在中，，
，
如图中，当时，
，
，
，此时点与点重合，
，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【分析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，又已知BC等于CD，则是等边三角形，则等于，因此当是直角三角形时，存在两种情况，即如图中，当时，则，求解则；如图中，当时，求得，，由可求解．
23．【答案】且
【知识点】解一元一次不等式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：设二次函数图象上的两点为点C、D，
题意得点 的“跳跃点”为，将代入，
得：，
∴，则点C在直线上，同理点D也在直线上，
对于二次函数，
令，则，
解得：或，
∴抛物线与x轴交于和，
当时，抛物线与直线的大致图象如图：
直线也经过，设为点D，另一个交点设为点C，
则联立直线和抛物线的表达式得到，
则，
则，解得，
则，而，
∴，
∴，
对于，化简为：，
而直线和抛物线在时有两个交点，故
∴
∴，
∴且；
当时，如图：
直线不可能与抛物线在时有两个交点，故舍，
综上：且．
【分析】先由二次函数图象上点的坐标特征可设出点C、D的坐标，再其跳跃点的坐标代入到直线可得直线CD的表达式为；当时，联立直线和抛物线的表达式，用a的代数式表示出x，根据x的范围求出a的范围，由于直线CD与抛物线有两个交点，则根的判别式大于0；当时，不成立．
24．【答案】（1）解：设一个扇面的进价为元个，则一个人偶的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：一个扇面进价是10元，一个人偶进价是9元
（2）解：设应购买扇面个，则购进人偶个，
由题意得：，
解得：，
设两种货品全部售出后所获利润为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，
此时，，
答：应购买扇面150个，人偶50个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大，最大利润是1260元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一个扇面的进价为元个，则一个人偶的进价是元，根据700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设应购买扇面个，则购进人偶个，根据购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．列出一元一次不等式组，解得，再设两种货品全部售出后所获利润为元，由题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
25．【答案】（1）解：∵已知抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．∴
∴
把代入
∴
∴
∴该抛物线的函数表达式．
（2）解：∵直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点．∴当时，则
∴
∴当时，则
∴
则
设
如图：过点A作轴，连接，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
把代入，解得（正值已舍去）
∴
∴，
∴
解出
∴
∵，，
∴的面积
∴
（3）解：存在，理由如下：
如图所示，设的中点为M，过点M作轴，过点A作
∵抛物线和直线
∴联立得，
整理得，
解得
∴，
代入得，，
∴，
∴
∴
∵点M为的中点
∴
∴，
∵是等边三角形，点M为的中点
∴，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
解得
∵
∴
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）结合抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．得出，，即可作答．
（2）根据一次函数的性质，得出，，结合反比例函数的图象性质，得出，证明，因为，则，即，，建立方程组进行计算，然后运用割补法列式的面积，进行作答即可．
（3）设的交点为M，过点M作轴，过点A作，联立抛物线和直线得到，然后求出，，，，然后求出，表示出，然后根据等边三角形的性质得到，然后证明出，得到，代入求解即可．
26．【答案】（1）解：过点H作，
∵等腰中，，
∴，
∴，
∴，
∴，设，
∵中，，
∴，
∴，
解得：，
∴
（2）解：过点N作，过点G作交延长线于点K，则，
由题意得，
∴，
设，
∵
∴，
∵，
∴，
∴在中有：，
解得：，
同（1）可求，
∴，
∵在等腰中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴求点G到直线的距离为
（3）解：过点E作，延长至点P，使得，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值转化为的最大值，
设，则，则
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
作的外接圆，连接，则点P的轨迹为，
∵，
∴当点O、C、P三点共线时，即为直径时，最大，如图：
∴此时，
∵E是中点，
∴，
∴中，，
∴，
∴的最大值为
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）过点H作，解即可，，设，，则可得，即可求解面积；
（2）过点N作，过点G作交延长线于点K，则，通过旋转得到等腰三角形的性质以及外角结合三角形内角和定理求得，同（1）可求，则，
因此，可证明，则，即，则；
（3）过点E作，延长至点P，使得，则，故，则的最大值转化为的最大值，设，则，则，，则，可知“定弦定角”，作的外接圆，连接，则点P的轨迹为，当为直径时，最大，此时，由，得到，即可求解．
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