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2024-2025学年第二学期浙江省舟山市七年级期末数学复习试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的。）
1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
已知空气的单位体积质量为0.00124 克/厘米3，0.00124用科学记数法表示为（ ）
A．1.24×102 B．1.24×103 C．1.24×10-2 D．1.24×10-3
3. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解一批圆珠笔的寿命
B．了解全国七年级学生身高的现状
C．了解市民对“垃圾分类知识”的知晓程度
D．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
4. 将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：
①；②；③；④．
其中能说明纸条两边平行的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7. 关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
五月枇杷韵黄金，白玉如蜜味芳华，德清枇杷品种以红种和白沙为最佳，
白沙枇杷因味甜汁鲜更受消费者青睐，故其价格比红种枇杷的价格贵3元/斤，
买5斤白沙枇杷比买7斤红种枇杷还贵1元．若设白沙枇杷的价格为x元/斤，
红种枇杷的价格为y元/斤，则根据题意可列方程组为（ ）
B．
C． D．
对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．
观察如图的长方形，可以得到的因式分解是（ ）
A． B．
C． D．
方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，
则图3中∠CFE度数是（ ）
A．105° B．120° C．130° D．145°
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式： ．
12. 要使的值为0，则x的值是 ．
如图，整个圆表示某班参加课外活动的总人数，跳绳的人数占30%，
表示踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是12，
那么表示参加“其它”活动的人数占总人数的 %．
生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，
如图，垂直于地面于A，平行于地面，则 ．
15. 如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是 ．
16. 已知关于的二元一次方程组的解为，
小强因看错了系数，得到的解为， 则 ．
三、解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
分解因式：
(1)；
(2)
解方程（组）：
（1）
（2）
19. 先化简，再求值：，其中．
某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，
为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，
并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

求本次被调查的学生人数；
补全条形统计图；
喜爱篮球项目的学生人数所对应的扇形圆心角为______度．
该校共有1600名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？
21．已知：如图，，．求证：

(1)；
(2)．
北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，
象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，
某商场用6000元购进A，B两种“冰墩墩”和“雪容融”纪念品套装，
按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润＝售价－进价），
这两种套装的进价，标价如表所示：
(1)求这两种纪念品套装各自购进的套数；
(2)如果A种套装按标价的8折出售，B种套装按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，商场比按标价售出少收入多少元？
在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，
发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．
借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．
这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．
请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式　　　　　　　；
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，
试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由；
【迁移应用】
根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
在直角中，，三边分别为、、，，，求的值；
如图3，五边形中，，垂足为，，，，
周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．
【基础巩固】
（1）如图1，已知，求证：；
【尝试应用】
如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，，
求的度数；
【拓展提高】
如图3，在四边形中，，点E是线段上一点，若平分，．
① 试求出的度数；
② 已知，，点G是直线上的一个动点，连接并延长．
a : 若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，________；
B : 如图4，若是的平分线，与的延长线交于点F，与交于点P，且，
则________（用含的代数式表示）．


21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年第二学期浙江省舟山市七年级期末数学复习试卷解答
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的。）
1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不能为0，即可计算的取值范围，掌握分式有意义的条件是解题关键．
【详解】解：有意义，
，
，
故选：B．
已知空气的单位体积质量为0.00124 克/厘米3，0.00124用科学记数法表示为（ ）
A．1.24×102 B．1.24×103 C．1.24×10-2 D．1.24×10-3
【答案】D
【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.001 24=1.24×10-3．
故选D．
3. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解一批圆珠笔的寿命
B．了解全国七年级学生身高的现状
C．了解市民对“垃圾分类知识”的知晓程度
D．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
【答案】D
【分析】普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【详解】解：A.了解一批圆珠笔的寿命，适合抽样调查，故A错误；
B.了解全国七年级学生身高的现状，适合抽样调查，故B错误；
C.了解市民对“垃圾分类知识”的知晓程度，适合抽样调查，故C错误；
D.检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，适合普查，故D正确；
故选：D．
4. 将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：
①；②；③；④．
其中能说明纸条两边平行的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的判定，熟悉平行线的判定定理是解题的关键；根据平行线的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴纸条两边平行（同位角相等，两直线平行），故①正确；
∵，
∴纸条两边平行（内错角相等，两直线平行），故②正确；
∵，
∴纸条两边平行（同旁内角互补，两直线平行），
故④正确．
∴有3个．
故选：C．
5. 化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通分化成同分母的分式再相加即可．
【详解】
故选：C．
6．若，，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键. 将两边同时平方，然后根据完全平方公式的变形进行求解即可.
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∴，
故选B
7. 关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】由分式方程有增根，得到，求出x的值，将原方程去分母化为整式方程，将x的值代入即可求出m的值．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，即，
分式方程，
去分母得，
将代入中，
得：，
解得：，
故选：C．
五月枇杷韵黄金，白玉如蜜味芳华，德清枇杷品种以红种和白沙为最佳，
白沙枇杷因味甜汁鲜更受消费者青睐，故其价格比红种枇杷的价格贵3元/斤，
买5斤白沙枇杷比买7斤红种枇杷还贵1元．若设白沙枇杷的价格为x元/斤，
红种枇杷的价格为y元/斤，则根据题意可列方程组为（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
由白沙枇杷价格比红种枇杷的价格贵3元/斤，可得；买5斤白沙枇杷比买7斤红种枇杷还贵1元，可得，进而可得二元一次方程组．
【详解】解：设白沙枇杷的价格为x元/斤，红种枇杷的价格为y元/斤，
依题意得，，
故选：A．
对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．
观察如图的长方形，可以得到的因式分解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】运用组合图形的思路求整体的面积，另直接求整体图形面积，进而得到因式分解．
【详解】运用组合图形的思路求整体的面积，直接求矩形面积
∴
故选：C
方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，
则图3中∠CFE度数是（ ）
A．105° B．120° C．130° D．145°
【答案】A
【分析】由矩形的性质可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式： ．
【答案】/
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
12. 要使的值为0，则x的值是 ．
【答案】3
【分析】根据分式值为0的条件列式计算即可．
【详解】解：∵的值为0，
∴且，
解得：，
故答案为：3．
如图，整个圆表示某班参加课外活动的总人数，跳绳的人数占30%，
表示踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是12，
那么表示参加“其它”活动的人数占总人数的 %．
【答案】20
【详解】试题分析:由“踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是1：2”可得，踢毽的人数占总人数的比例以及打篮球的人数占的比例，由“各部分占总体的百分比之和为1”可得：参加“其它”活动的人数占总人数的比例．
解：由题意知，踢毽的人数占总人数的比例=60°÷360°=，
则打篮球的人数占的比例=×2=，
∴表示参加“其它”活动的人数占总人数的比例=1﹣﹣﹣30%=20%．
故答案为20%．
生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，
如图，垂直于地面于A，平行于地面，则 ．
【答案】/270度
【分析】过点B作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论．
本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
【详解】解：过点B作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：．
15. 如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是 ．
【答案】20
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可．
【详解】解：根据题意可知，
代入，，得：
故答案为：20．
16. 已知关于的二元一次方程组的解为，
小强因看错了系数，得到的解为， 则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解．
【详解】解：把代入二元一次方程组得，
，
∴由得，，
∵小强看错了系数得到，
∴，
∴，
①②得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴，
故答案为：11．
三、解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．分解因式：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式分解即可；
（2）直接提取公因式即可解答．
【详解】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
18. 解方程（组）：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）是二元一次方程组，可使用相加消元法，消去一个未知数，进而解出x、y之值．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
【详解】（1）
①+②得
解得
把代入①得
∴ 原方程解是
（2）
原方程可化为
两边同时乘以得：
解得
经检验：是原方程的解，原方程解是.
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，再把除法变乘法，约分化简后，代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，
为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，
并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

求本次被调查的学生人数；
补全条形统计图；
喜爱篮球项目的学生人数所对应的扇形圆心角为______度．
该校共有1600名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？
【答案】(1)40人
(2)见解析
(3)135
(4)120人
【分析】（1）根据跳绳的人数及其占比即可求得抽查的人数；
（2）根据抽查的总人数及足球的占比可求得喜欢足球的人数，进而求得喜欢跑步的人数，即补全条形统计图；
（3）喜欢篮球的占比与之积即可求得圆心角度数；
（4）用样本估计总体的思想即可求得．
【详解】（1）解：根据题意得：（人）
答：本次被调查的学生人数是40人．
（2）解：喜欢足球的有（人），
喜欢跑步的有（人），
补图如下：

（3）解：，
故答案为：135；
（4）解：（人）
∴全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数大约多120人．
21．已知：如图，，．求证：

(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先证明“同位角相等，两直线平行”证明，然后根据“两直线平行，同位角相等”证明即可；
（2）首先证明，即可证明，易得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴．
北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，
象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，
某商场用6000元购进A，B两种“冰墩墩”和“雪容融”纪念品套装，
按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润＝售价－进价），
这两种套装的进价，标价如表所示：
(1)求这两种纪念品套装各自购进的套数；
(2)如果A种套装按标价的8折出售，B种套装按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，商场比按标价售出少收入多少元？
【答案】(1)A种套装购进50套，B种套装购进30套
(2)2440元
【分析】(1)设A种套装购进x件，B种套装购进y件，由总价=单价×数量，利润=售价－进价，建立方程组求出其解即可；
(2)分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润=总利润－打折后A种服装的利润－打折后B中套装的利润，求出其解即可．
【详解】（1）解：设A种套装购进x套，B种套装购进y套，
根据题意得，
解这个方程组，得；
所以A种套装购进50套，B种套装购进30套．
（2）解：根据题意得：
（元）．
所以，商场比按标价售出少收入2440元．
在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，
发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．
借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．
这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．
请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式　　　　　　　；
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，
试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由；
【迁移应用】
根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
在直角中，，三边分别为、、，，，求的值；
如图3，五边形中，，垂足为，，，，
周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）10；（4）2
【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：；
（2）图2中图形的面积，即可变形为；
（3）由（1）（2）结论可知：，即，求解即可；
（4）根据，，周长为2，可得：，因此，即，根据，，可知长方形的面积为：．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）发现：，
理由：图2中图形的面积，
，
，
；
（3）在直角中，，三边分别为、、，
由（1）（2）结论可知：，
，，
，
；
（4），，周长为2，
，
在中，，
，
，
，
，
，，，
，，
长方形的面积为：．
【基础巩固】
（1）如图1，已知，求证：；
【尝试应用】
如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，，
求的度数；
【拓展提高】
如图3，在四边形中，，点E是线段上一点，若平分，．
① 试求出的度数；
② 已知，，点G是直线上的一个动点，连接并延长．
a : 若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，________；
B : 如图4，若是的平分线，与的延长线交于点F，与交于点P，且，
则________（用含的代数式表示）．


【答案】（1）见解析（2）40°（3）①90°②2.1：15°或60°或120°，2.2：
【分析】（1）由，再结合两直线平行内错角相等即可证明；
（2）过点作，交于点，再结合（1）证明计算求值即可；
（3）①设，，根据两直线平行同旁内角互补可得，求得即可；②第一问根据三角形内角和，求得，由得到，进而可得，再分和所在直线垂直、和所在直线垂直于、和所在直线垂直三种情况计算求值即可；第二问利用三角形外角的性质求得，进而可得，再由计算角度差即可解答；
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如下图过点作，交于点，

∵，，
∴，
∵，
∴ ，
∵，
∴；
（3）①设，，
∵平分，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∵，
∴；
② a ：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
如图和所在直线垂直于点M时：
，
如图和所在直线垂直于点G时：

∵，
∴，
，
如图和所在直线垂直于点C时：

，
∴或或；
b ：由a可知，，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
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