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浙江省湖州市长兴县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·长兴期末）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·长兴期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·长兴期末）如图所示，和是(　　)
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
4．（2024七下·长兴期末）已知红细胞的平均直径为米，用科学记数法表示为，则的值为(　　)
A． B． C． D．
5．（2024七下·长兴期末）对某校701班和702班的学生“最喜爱的球类体育项目”进行统计，分别绘制了如的扇形统计图，下列说法正确的是(　　)
A．701班中最喜欢足球的人数比702班中最喜欢足球的人数少
B．701班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数多
C．702班中表示最喜欢篮球人数的扇形的圆心角度数为
D．702班中最喜欢排球的人数和最喜欢羽毛球的人数一样多
6．（2024七下·长兴期末）解关于的方程产生增根，则常数的值等于(　　)
A． B． C．2 D．1
7．（2024七下·长兴期末）如图1是一个长为，宽为的长方形，把长方形剪成四个一样的小长方形，然后按图2拼成一个新图形，则图2中空白部分的面积是(　　)
A． B． C． D．
8．（2024七下·长兴期末）一道来自课本的习题：
从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程．
小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，列出了以下四个方程，则正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·长兴期末）如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2024七下·长兴期末）今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等），小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（、）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（　　）
A．11：3 B．5：1 C．7：2 D．4：1
11．（2024七下·长兴期末）计算：　 　．
12．（2024七下·长兴期末）当x＝　 　时，分式 的值为0．
13．（2024七下·长兴期末）“无糖饮料”真的不含糖吗？某探究小组对市面上35款无糖饮料进行含糖量测评统计，得到35频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，根据《食品安全国家标准》，每100毫升饮料含糖量低于500毫克，即可标注“零糖”，则名副其实的饮料有　 　款．
14．（2024七下·长兴期末）若，则的值是　 　．
15．（2024七下·长兴期末）将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为　 　度．
16．（2024七下·长兴期末）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为　 　．
17．（2024七下·长兴期末）计算：
（1）；
（2）
18．（2024七下·长兴期末）解方程（组）：
（1）；
（2）．
19．（2024七下·长兴期末）先化简，再求值：，其中，．
20．（2024七下·长兴期末）如图，在中，于点，于点，于点，为线段上一点，于点．
（1）试探究和的数量关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
21．（2024七下·长兴期末）某校为落实“双减”政策及课后服务要求，准备开设乒乓球，素描，书法，篮球，足球五项课后服务项目．为了解学生的需求，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求报名篮球的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求、的值；
（3）若该校有名学生，试估计该校参加“素描”活动的学生有多少人？
22．（2024七下·长兴期末）美术课上，每位同学都拿到一张正方形纸片，该纸片可看作由4张正方形，1张正方形，4张长方形拼成．小吴同学设计了形如字母Z的图标（如图）．
（1）当，时，求阴影部分的面积；
（2）用含，的代数式表示阴影部分的面积；
（3）小吴研究发现：设计图中阴影部分的面积正好等于4张正方形的面积之和，试探索此时，之间的数量关系．
23．（2024七下·长兴期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何合理搭配消费券？
素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元．
任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额．
24．（2024七下·长兴期末）【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，，、是直线上的两点，连接、交于点
【探索发现】（1）判断，和之间的数量关系，并说明理由．
【深入探究】如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作分别交、于点，．
（2）若平分，，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当边与的某一边平行时，直接写出此时的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A.不是方程，不符合题意；
B.，是二元一次方程；
C.，未知数在分母上，不属于整式方程，不符合题意；
D.，未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程的定义判定。含有两个未知数并且所含未知数的最高次数为1的整式方程叫做二元一次方程．
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.≠2，此选项不符合题意；
B.≠2a3，此选项不符合题意；
C.，此选项符合题意；
D.≠m2+n2，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算即可判断求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘底数不变指数相加”计算即可判断求解；
C、根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可判断求解；
D、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”计算即可判断求解．
3．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示，∠1和∠2是内错角．
故答案为：B．
【分析】根据内错角定义“内错角是指在两条直线的内部，第三条直线的两旁并结合图形即可判断求解．
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义并结合题意可求解.
5．【答案】D
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：A、由于不确定两个班总人数分别是多少，所以虽然701班喜欢足球的人数占比比较高，也不能确定是哪个班人数更高，故选项A说法错误，不符合题意；
B、701班中最喜欢足球的人数占，最喜欢篮球的人数占，所以701班中最喜欢篮球的人数更多，故选项B说法错误，不符合题意；
C、702班中最喜欢篮球人数的扇形圆心角度数为，故选项C说法错误，不符合题意；
D、702班中最喜欢排球的人数和最喜欢羽毛球的人数都占总人数的，可以确定人数一样多，故选项D说法正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据扇形统计图的概念逐一判断即可得出答案．
6．【答案】D
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：去分母得：
∵分式方程有增根，
∴方程的解为，
代入得：2－1=m
∴．
故答案为：D．
【分析】首先把分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，得方程的解为，代入即可求出的值．
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由拼图可知，图2中空白部分是边长为的正方形，
∴其面积为.
故答案为：C．
【分析】根据拼图得出图2中空白部分是边长为的正方形，然后根据正方形的面积公式计算即可求解．
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，则下坡的路段为（3.3－x－y）km，根据题意得：
，，
故答案为：C．
【分析】设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，可得下坡的路段为（3.3－x－y）km，根据题意列出方程，比较即可求解．
9．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将三角形沿方向平移得到，
∴，
∴，即，
∵
∴，，
四边形与四边形周长之差为
∵
∴四边形与四边形周长之差为，
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质可得，，结合已知可得，，根据四边形周长之差即可求解．
10．【答案】B
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：设白色长方形的长为a，宽为b，则黑色小长方形纸片的长为(a－b)，宽为b，由题意得：
A的长为：a，宽为：a－b；B的长和宽都为：a－b；
∴长方形⑥的长为a+a－b=2a－b，宽为a－b，周长为：2(2a－b+a－b)=6a－4b；
∴长方形⑤的周长为2(2b+a)=4b+2a；
∵长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，
∴，即，
∴黑色长方形中长与宽的比是，
故答案为：B．
【分析】设白色长方形的长为a，宽为b，则黑色小长方形纸片的长为(a－b)，宽为b，根据图象表示出⑤和⑥的周长，再根据题目条件得a与b的关系式，化简即可得到答案.
11．【答案】1
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：1．
【分析】根据零指数幂求解作答即可，任何非零数的零次幂都等于1.
12．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：x=1
故答案为：x=1
【分析】根据分式值为0和分式成立的条件列不等式求解即可.
13．【答案】34
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：根据频数直方图可知：每100毫升饮料含糖量不低于500毫克的频数为1，
35－1=34（款）
故名副其实的饮料有34款．
故答案为：34．
【分析】根据频数直方图得到每个组别的频数，即可提到答案．
14．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式计算并根据等式的性质即可求解．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴，
∴，
∵∠MQF+∠MFQ+∠QMF=180°=∠A''MF+∠QMF，
∴∠MQF+∠MFQ=∠A''MF，
∴180°－2α+180°－2α=α，
∴
故答案为：
【分析】由折叠得，，再表示出∠MQF和∠MFQ，利用三角形的内角和定理可得关于α的方程，求解即可.
16．【答案】或
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当，，即，时，原方程可化为：
，
整理得：
解得：
②当，，即，时，
，
整理得：
解得：，
③当，，即，时，
，
整理得：
解得： （舍去）
④当，，即，时，
整理得：
解得：（舍去）
综上所述，或
故答案为：或．
【分析】分类讨论，分①当，，②当，，③当，，④当，，四种情况考虑，利用题中的新定义表示出方程组并化简，求出与的值之后，判断即可得到答案．
17．【答案】（1）解：

（2）解：

【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”展开并结合合并同类项法则计算即可求解；
（2）根据多项式乘多项式法则计算即可求解．
（1）解：
（2）解：
18．【答案】（1）解：原方程组整理得：
①－②得：﹣3y+y=﹣2，
解得：；
将代入①得：x－3=﹣2，
解得：；
方程组的解为：
（2）解：
去分母得：
解这个整式方程得：
经检验，是原方程的解．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先整理方程，再利用加减消元法解二元一次方程组，即可求解；
（2）先去分母，得到整式方程，解方程并检验，即可求解．
（1）解：
将①代入②解得：；
将代入①解得：；
方程组的解为：
（2）解：
去分母得：
解得：
经检验，是原方程的解．
19．【答案】解：原式
当，时，
原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据异分母分式的加减法法则计算括号里，再算括号外可将原式化简，然后把的值代入化简后的分式进行计算即可求解．
20．【答案】（1）解：，理由如下：
，
.
，
，
.
（2），CD⊥AB，
.
，
∴∠ACB=90°，
.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先证明得，再证明得，等量代换即可得和的数量关系；
（2）先求出，再根据即可得出的度数．
（1），
理由如下：，
，
（2），
，
21．【答案】（1）解：（人），
，
所以报名篮球的学生有人
补全图形如下：
（2）篮球项目人数所占百分比，即
素描项目人数所占百分比，即；
（3），（人）.
估计该校参加“素描”活动的学生有人.
【知识点】条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由书法项目人数及其所占百分比可求得总人数，再根据各项目人数之和等于总人数求出篮球人数，从而可补全条形统计图；
（2）分别用篮球、素描人数除以总人数可求得、的值；
（3）总人数乘以样本中素描项目人数所占比例即可求解．
（1）解：（人），
，
所以报名篮球的学生有人
补全图形如下：
（2）篮球项目人数所占百分比，即
素描项目人数所占百分比，即；
（3），
（人）.
估计该校参加“素描”活动的学生有人.
22．【答案】（1）解：由题意得：当，时，
.
（2）解：观察得：

（3）解：由题意可得：，
，
（或写，或）
【知识点】单项式乘多项式；因式分解的应用；三角形的面积；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）计算各个阴影三角形的面积并相加即可；
（2）用大正方形的面积减去各个白色三角形的面积并整理化简即可；
（3）由阴影部分的面积正好等于张正方形的面积之和，得出等式，再进一步化简即可．
（1）解：当，时，
（2）
（3）
（或写，或）
23．【答案】任务一：6；880；
任务二：设A型的消费券张，则B型的消费券张，型的消费券数量为(张)，
由题意可得：，
解得：．
∴x－1=2，9－2x=3，
型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张；
任务三：设小明一家共使用A型的消费券张，B型的消费券张，C型的消费券张，则，，都是正整数，
∵ 小明一家4人各领到了一套消费券，
∴，，，
①只使用A、B型消费券：．
，
∴，
，都是正整数，，，
方程无解；
②只使用B、C型消费券：，
，
∴，
，都是正整数，，，
．
此时实际消费金额：（元）；
③只使用A、C型消费券，
，
，都是正整数，，，
．
此时实际消费金额：（元）；
∴使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小，最小金额为830元.
【知识点】二元一次方程的应用；有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：任务一：∵ 小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，
∴用B型消费券的数量为：，
实际消费最少为：（元）．
故答案为：6；880；
【分析】任务一：根据消费券规则先计算出用B型消费券的数量，再用满减前的消费数量－420，即可得到最少的实际消费数量；
任务一：设A型的消费券张，则B型的消费券张，型的消费券数量为张，根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解；
任务一：设小明一家共使用A型的消费券张，B型的消费券张，C型的消费券张，则，，都是正整数，根据题意得，，，再分情况讨论，列二元一次方程求出整数解即可.
24．【答案】解：（1），理由如下：
过点F作FH//AB于点H，如图所示：
AB//CD，
∴AB//FH//CD，
，∠GEF=∠EFH，
∵∠EFD=∠EFH+∠DFH，
.
（2）∵平分，
∴.
∵ ，
∴∠GEF=∠GDH=∠GDC.
，
∴∠GEF=∠HCD，
∴∠HCD=∠GDH=∠GDC.
∵CH⊥DH，∠HCD+∠CDH+∠H=180°，
∴90°+3∠HCD=180°，
∴∠GDH=∠GDC=∠HCD=30°.
∴，∠GEF=∠HCE=30°.
∴∠GEM=∠MEF+∠GEF=40°，
∴由（1）的结论可得；
（3），或
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）由（2）得，，，
设△EHK旋转后的三角形为△EH'K'，H，K的对应点为H'，K'，
①当时，延长交直线于点P，如图所示，
∴
∵，
∴∠PK'E=180°－∠H'K'E=120°，
∴
∴.
②当，即H'K'//AB时，如图所示，
∴∠K'EB=∠H'KE=60°，
∴
③当时，如图所示，
∴∠H'K'E+∠K'EM=180°，
∵∠H'K'E=∠HKE=60°，
∴∠K'EM=120°.
∴∠K'EA=120°－∠GEM=80°，
∴∠K'EB=180°－∠K'EA=100°，
∴（s）.
综上所述，，，时， 边HK与△MEG的某一边平行.
故答案为：，或.
【分析】（1）过点F作FH//AB于点H，根据平行线的性质可证得，∠GEF=∠EFH，相加即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和题意可得∠GEF=∠GDH=∠GDC.再结合平行线的性质和垂线的定义可证得∠GDH=∠GDC=∠HCD=30°.从而可得∠MEF=10°，∠GEF=30°，相加得∠GEM的度数，再根据（1）的结论即可求解；
（3）△EHK旋转后的三角形为△EH'K'，H，K的对应点为H'，K'，分①当时，②当，即H'K'//AB时，③当时等三种情况讨论，分别计算∠K'EB的度数，即为旋转角，用∠K'EB的度数÷5，即可得到旋转时间．
1 / 1浙江省湖州市长兴县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·长兴期末）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A.不是方程，不符合题意；
B.，是二元一次方程；
C.，未知数在分母上，不属于整式方程，不符合题意；
D.，未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程的定义判定。含有两个未知数并且所含未知数的最高次数为1的整式方程叫做二元一次方程．
2．（2024七下·长兴期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.≠2，此选项不符合题意；
B.≠2a3，此选项不符合题意；
C.，此选项符合题意；
D.≠m2+n2，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算即可判断求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘底数不变指数相加”计算即可判断求解；
C、根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可判断求解；
D、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”计算即可判断求解．
3．（2024七下·长兴期末）如图所示，和是(　　)
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示，∠1和∠2是内错角．
故答案为：B．
【分析】根据内错角定义“内错角是指在两条直线的内部，第三条直线的两旁并结合图形即可判断求解．
4．（2024七下·长兴期末）已知红细胞的平均直径为米，用科学记数法表示为，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义并结合题意可求解.
5．（2024七下·长兴期末）对某校701班和702班的学生“最喜爱的球类体育项目”进行统计，分别绘制了如的扇形统计图，下列说法正确的是(　　)
A．701班中最喜欢足球的人数比702班中最喜欢足球的人数少
B．701班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数多
C．702班中表示最喜欢篮球人数的扇形的圆心角度数为
D．702班中最喜欢排球的人数和最喜欢羽毛球的人数一样多
【答案】D
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：A、由于不确定两个班总人数分别是多少，所以虽然701班喜欢足球的人数占比比较高，也不能确定是哪个班人数更高，故选项A说法错误，不符合题意；
B、701班中最喜欢足球的人数占，最喜欢篮球的人数占，所以701班中最喜欢篮球的人数更多，故选项B说法错误，不符合题意；
C、702班中最喜欢篮球人数的扇形圆心角度数为，故选项C说法错误，不符合题意；
D、702班中最喜欢排球的人数和最喜欢羽毛球的人数都占总人数的，可以确定人数一样多，故选项D说法正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据扇形统计图的概念逐一判断即可得出答案．
6．（2024七下·长兴期末）解关于的方程产生增根，则常数的值等于(　　)
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：去分母得：
∵分式方程有增根，
∴方程的解为，
代入得：2－1=m
∴．
故答案为：D．
【分析】首先把分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，得方程的解为，代入即可求出的值．
7．（2024七下·长兴期末）如图1是一个长为，宽为的长方形，把长方形剪成四个一样的小长方形，然后按图2拼成一个新图形，则图2中空白部分的面积是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由拼图可知，图2中空白部分是边长为的正方形，
∴其面积为.
故答案为：C．
【分析】根据拼图得出图2中空白部分是边长为的正方形，然后根据正方形的面积公式计算即可求解．
8．（2024七下·长兴期末）一道来自课本的习题：
从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程．
小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，列出了以下四个方程，则正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，则下坡的路段为（3.3－x－y）km，根据题意得：
，，
故答案为：C．
【分析】设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，可得下坡的路段为（3.3－x－y）km，根据题意列出方程，比较即可求解．
9．（2024七下·长兴期末）如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将三角形沿方向平移得到，
∴，
∴，即，
∵
∴，，
四边形与四边形周长之差为
∵
∴四边形与四边形周长之差为，
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质可得，，结合已知可得，，根据四边形周长之差即可求解．
10．（2024七下·长兴期末）今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等），小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（、）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（　　）
A．11：3 B．5：1 C．7：2 D．4：1
【答案】B
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：设白色长方形的长为a，宽为b，则黑色小长方形纸片的长为(a－b)，宽为b，由题意得：
A的长为：a，宽为：a－b；B的长和宽都为：a－b；
∴长方形⑥的长为a+a－b=2a－b，宽为a－b，周长为：2(2a－b+a－b)=6a－4b；
∴长方形⑤的周长为2(2b+a)=4b+2a；
∵长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，
∴，即，
∴黑色长方形中长与宽的比是，
故答案为：B．
【分析】设白色长方形的长为a，宽为b，则黑色小长方形纸片的长为(a－b)，宽为b，根据图象表示出⑤和⑥的周长，再根据题目条件得a与b的关系式，化简即可得到答案.
11．（2024七下·长兴期末）计算：　 　．
【答案】1
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：1．
【分析】根据零指数幂求解作答即可，任何非零数的零次幂都等于1.
12．（2024七下·长兴期末）当x＝　 　时，分式 的值为0．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：x=1
故答案为：x=1
【分析】根据分式值为0和分式成立的条件列不等式求解即可.
13．（2024七下·长兴期末）“无糖饮料”真的不含糖吗？某探究小组对市面上35款无糖饮料进行含糖量测评统计，得到35频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，根据《食品安全国家标准》，每100毫升饮料含糖量低于500毫克，即可标注“零糖”，则名副其实的饮料有　 　款．
【答案】34
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：根据频数直方图可知：每100毫升饮料含糖量不低于500毫克的频数为1，
35－1=34（款）
故名副其实的饮料有34款．
故答案为：34．
【分析】根据频数直方图得到每个组别的频数，即可提到答案．
14．（2024七下·长兴期末）若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式计算并根据等式的性质即可求解．
15．（2024七下·长兴期末）将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为　 　度．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴，
∴，
∵∠MQF+∠MFQ+∠QMF=180°=∠A''MF+∠QMF，
∴∠MQF+∠MFQ=∠A''MF，
∴180°－2α+180°－2α=α，
∴
故答案为：
【分析】由折叠得，，再表示出∠MQF和∠MFQ，利用三角形的内角和定理可得关于α的方程，求解即可.
16．（2024七下·长兴期末）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为　 　．
【答案】或
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当，，即，时，原方程可化为：
，
整理得：
解得：
②当，，即，时，
，
整理得：
解得：，
③当，，即，时，
，
整理得：
解得： （舍去）
④当，，即，时，
整理得：
解得：（舍去）
综上所述，或
故答案为：或．
【分析】分类讨论，分①当，，②当，，③当，，④当，，四种情况考虑，利用题中的新定义表示出方程组并化简，求出与的值之后，判断即可得到答案．
17．（2024七下·长兴期末）计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：

（2）解：

【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”展开并结合合并同类项法则计算即可求解；
（2）根据多项式乘多项式法则计算即可求解．
（1）解：
（2）解：
18．（2024七下·长兴期末）解方程（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原方程组整理得：
①－②得：﹣3y+y=﹣2，
解得：；
将代入①得：x－3=﹣2，
解得：；
方程组的解为：
（2）解：
去分母得：
解这个整式方程得：
经检验，是原方程的解．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先整理方程，再利用加减消元法解二元一次方程组，即可求解；
（2）先去分母，得到整式方程，解方程并检验，即可求解．
（1）解：
将①代入②解得：；
将代入①解得：；
方程组的解为：
（2）解：
去分母得：
解得：
经检验，是原方程的解．
19．（2024七下·长兴期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
当，时，
原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据异分母分式的加减法法则计算括号里，再算括号外可将原式化简，然后把的值代入化简后的分式进行计算即可求解．
20．（2024七下·长兴期末）如图，在中，于点，于点，于点，为线段上一点，于点．
（1）试探究和的数量关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
，
.
，
，
.
（2），CD⊥AB，
.
，
∴∠ACB=90°，
.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先证明得，再证明得，等量代换即可得和的数量关系；
（2）先求出，再根据即可得出的度数．
（1），
理由如下：，
，
（2），
，
21．（2024七下·长兴期末）某校为落实“双减”政策及课后服务要求，准备开设乒乓球，素描，书法，篮球，足球五项课后服务项目．为了解学生的需求，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求报名篮球的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求、的值；
（3）若该校有名学生，试估计该校参加“素描”活动的学生有多少人？
【答案】（1）解：（人），
，
所以报名篮球的学生有人
补全图形如下：
（2）篮球项目人数所占百分比，即
素描项目人数所占百分比，即；
（3），（人）.
估计该校参加“素描”活动的学生有人.
【知识点】条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由书法项目人数及其所占百分比可求得总人数，再根据各项目人数之和等于总人数求出篮球人数，从而可补全条形统计图；
（2）分别用篮球、素描人数除以总人数可求得、的值；
（3）总人数乘以样本中素描项目人数所占比例即可求解．
（1）解：（人），
，
所以报名篮球的学生有人
补全图形如下：
（2）篮球项目人数所占百分比，即
素描项目人数所占百分比，即；
（3），
（人）.
估计该校参加“素描”活动的学生有人.
22．（2024七下·长兴期末）美术课上，每位同学都拿到一张正方形纸片，该纸片可看作由4张正方形，1张正方形，4张长方形拼成．小吴同学设计了形如字母Z的图标（如图）．
（1）当，时，求阴影部分的面积；
（2）用含，的代数式表示阴影部分的面积；
（3）小吴研究发现：设计图中阴影部分的面积正好等于4张正方形的面积之和，试探索此时，之间的数量关系．
【答案】（1）解：由题意得：当，时，
.
（2）解：观察得：

（3）解：由题意可得：，
，
（或写，或）
【知识点】单项式乘多项式；因式分解的应用；三角形的面积；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）计算各个阴影三角形的面积并相加即可；
（2）用大正方形的面积减去各个白色三角形的面积并整理化简即可；
（3）由阴影部分的面积正好等于张正方形的面积之和，得出等式，再进一步化简即可．
（1）解：当，时，
（2）
（3）
（或写，或）
23．（2024七下·长兴期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何合理搭配消费券？
素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元．
任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额．
【答案】任务一：6；880；
任务二：设A型的消费券张，则B型的消费券张，型的消费券数量为(张)，
由题意可得：，
解得：．
∴x－1=2，9－2x=3，
型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张；
任务三：设小明一家共使用A型的消费券张，B型的消费券张，C型的消费券张，则，，都是正整数，
∵ 小明一家4人各领到了一套消费券，
∴，，，
①只使用A、B型消费券：．
，
∴，
，都是正整数，，，
方程无解；
②只使用B、C型消费券：，
，
∴，
，都是正整数，，，
．
此时实际消费金额：（元）；
③只使用A、C型消费券，
，
，都是正整数，，，
．
此时实际消费金额：（元）；
∴使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小，最小金额为830元.
【知识点】二元一次方程的应用；有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：任务一：∵ 小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，
∴用B型消费券的数量为：，
实际消费最少为：（元）．
故答案为：6；880；
【分析】任务一：根据消费券规则先计算出用B型消费券的数量，再用满减前的消费数量－420，即可得到最少的实际消费数量；
任务一：设A型的消费券张，则B型的消费券张，型的消费券数量为张，根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解；
任务一：设小明一家共使用A型的消费券张，B型的消费券张，C型的消费券张，则，，都是正整数，根据题意得，，，再分情况讨论，列二元一次方程求出整数解即可.
24．（2024七下·长兴期末）【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，，、是直线上的两点，连接、交于点
【探索发现】（1）判断，和之间的数量关系，并说明理由．
【深入探究】如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作分别交、于点，．
（2）若平分，，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当边与的某一边平行时，直接写出此时的值．
【答案】解：（1），理由如下：
过点F作FH//AB于点H，如图所示：
AB//CD，
∴AB//FH//CD，
，∠GEF=∠EFH，
∵∠EFD=∠EFH+∠DFH，
.
（2）∵平分，
∴.
∵ ，
∴∠GEF=∠GDH=∠GDC.
，
∴∠GEF=∠HCD，
∴∠HCD=∠GDH=∠GDC.
∵CH⊥DH，∠HCD+∠CDH+∠H=180°，
∴90°+3∠HCD=180°，
∴∠GDH=∠GDC=∠HCD=30°.
∴，∠GEF=∠HCE=30°.
∴∠GEM=∠MEF+∠GEF=40°，
∴由（1）的结论可得；
（3），或
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）由（2）得，，，
设△EHK旋转后的三角形为△EH'K'，H，K的对应点为H'，K'，
①当时，延长交直线于点P，如图所示，
∴
∵，
∴∠PK'E=180°－∠H'K'E=120°，
∴
∴.
②当，即H'K'//AB时，如图所示，
∴∠K'EB=∠H'KE=60°，
∴
③当时，如图所示，
∴∠H'K'E+∠K'EM=180°，
∵∠H'K'E=∠HKE=60°，
∴∠K'EM=120°.
∴∠K'EA=120°－∠GEM=80°，
∴∠K'EB=180°－∠K'EA=100°，
∴（s）.
综上所述，，，时， 边HK与△MEG的某一边平行.
故答案为：，或.
【分析】（1）过点F作FH//AB于点H，根据平行线的性质可证得，∠GEF=∠EFH，相加即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和题意可得∠GEF=∠GDH=∠GDC.再结合平行线的性质和垂线的定义可证得∠GDH=∠GDC=∠HCD=30°.从而可得∠MEF=10°，∠GEF=30°，相加得∠GEM的度数，再根据（1）的结论即可求解；
（3）△EHK旋转后的三角形为△EH'K'，H，K的对应点为H'，K'，分①当时，②当，即H'K'//AB时，③当时等三种情况讨论，分别计算∠K'EB的度数，即为旋转角，用∠K'EB的度数÷5，即可得到旋转时间．
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