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贵州省毕节市威宁彝族回族苗族自治县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·威宁期末）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·威宁期末）如图，在中，，则的长为（ ）
A．6 B． C．24 D．2
3．（2024八下·威宁期末）下列是关于红十字会的图标，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·威宁期末）如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·威宁期末）某校七（4）班同学在新学期通过无记名投票的方式选一名同学担任班长，最后小明以高票当选．这里运用的统计量是（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
6．（2024八下·威宁期末）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·威宁期末）如图，在平行四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·威宁期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·威宁期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
10．（2024八下·威宁期末）下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024八下·威宁期末）一个n边形的内角和是，则n的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
12．（2024八下·威宁期末）从传统的“镐锄镰犁"到如今的"金戈铁马”毕节市农技机械服务公司向威宁县观凤海镇果化村马铃薯种薯扩繁基地提供了农机社会化服务，实现工从昔日的“人畜劳作”到今天的“机器换人”．已知一台播种机一天播种的面积是十人一天播种的面积的2.5倍，一台播种机播种500亩所需的天数比用十人播种的天数少5天，十人一天能播种多少亩？若设十人一天能播种x亩，则可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024八下·威宁期末）分解因式：　 　．
14．（2024八下·威宁期末）若二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
15．（2024八下·威宁期末）若分式有意义，则应满足　 　．
16．（2024八下·威宁期末）如图，在四边形中，，，连接，则的值为　 　．
17．（2024八下·威宁期末）（1）计算：
（2）请从以下3个一元一次不等式中，选取2个你喜欢的一元一次不等式，组成一个一元一次不等式组，并求出该不等式组的解集．
①；
②；
③
18．（2024八下·威宁期末）解分式方程：
19．（2024八下·威宁期末）下面是小芳同学化简的过程
解：
=（第一步）
=（第二步）
=（第三步）
=（第四步）
小芳化简过程的第一步依据的是_____________（填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程的第_____________步开始出现错误．请你写出正确的化简过程及结果．
20．（2024八下·威宁期末）如图，在A，B在两地有两家工厂，他们的同一侧有一条公路通过，现两家工厂协商要在公路旁（靠近A，B侧）修建个货运中心，便于货物的运输但是为了公平，修建的货运中心P到A，B两家工的距离必须相等，且到公路距离也相等.
（1）请你运用所学的知识，利用尺规作出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若A，B两家工厂相距6千米，，则的距离为多少？
21．（2024八下·威宁期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，各顶点的坐标分别为
（1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移2单位长成，得到，请画出并说明和的每一组对应点的横、纵坐标分别有什么关系；
（2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的．
22．（2024八下·威宁期末）端午节，是中国四大传统节日之一，在这一天，人们会赛龙舟、吃粽子、挂艾草等．小明妈妈为了过端午节，在端午节前夕去超市购买了鲜肉棕和红枣粽两种棕子共6千克，鲜肉粽花了84元，红枣粽花了28元，其中每千克鲜肉粽的价格是每千克红枣棕的1.5倍．
（1）请你利用所学知识算一算，小明妈妈购买的鲜肉粽和红枣粽分别是每千克多少元？
（2）若买10千克这两种粽子的钱不超过154元，则鲜肉粽最多能买多少千克？
23．（2024八下·威宁期末）如图1是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，受大人民的喜爱，它的支架我们可以看作如图2所示，为了使其更加牢面．小明增加了如图2所示的两根支架．若，与的夹角为，
（1）求的度数；
（2）在不添加辅助线的前提下写出一对全等三角形，并进行证明．
24．（2024八下·威宁期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过两点．
（1）求b的值；
（2）若是y轴上的点，连接，求的面积；
（3）若，且直线与线段有一个交点，求m的取值范围．
25．（2024八下·威宁期末）在四边形中，对角线交于点O．
（1）如图1，若，求证：四边形是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形；
（3）如图3，若，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，故是有理数，因此选项A不符合题意；
B、是有限小数，故是有理数，因此选项B不符合题；
C、是无理数，故是无理数，因此选项C符合题意；
D、是整数，故是有理数，因此选项D符合题意.
故答案为：C．
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数进行求解即可．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，∵ △ABC中，，
∴，
故答案为：A ．
【分析】利用勾股定理求边长即可．
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；BCD是轴对称图形，不是中心对称图形，都不符合题意；
故答案为：A．
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，，
∴，
故答案为：C ．
【分析】根据等边对等角的性质即可求解 ．
5．【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：由题意可得，投小明票的学生人数最多，
∴这里运用的统计量是众数．
故答案为：B．
【分析】根据题意可知，投小明票的学生人数是最多的，根据 算术平均数、中位数、众数及方差的定义即可解决问题．
6．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故选项A不符合题意；
B、∵，∴，故选项B不符合题意；
C、∵，∴，故选项C不符合题意；
D、∵，∴，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质逐项判定即可．
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
故答案为：B ．
【分析】根据平行四边形对角相等即可解答．
8．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：根据题意，表示在数轴上，如图所示，
故答案为：D ．
【分析】不等式的解集在数轴上的表示方法：大于向右转，小于向左转，含等实心点，不含空心圆，据此即可求解．
9．【答案】C
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，据此进行计算即可．
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，可作图如下，
∠A=∠C，AB=CD，BD=DB，不能判断△ABD≌△CDB，从而得不得AD=BC，
∴四边形不是平行四边形，故选项A不能判定，不符合题意；
B、，可作图如下，
∴四边形不是平行四边形，故选项B不能判定，不符合题意；
C、，如图所示，
∴四边形不是平行四边形，故选项C不能判定，不符合题意；
D、，如图所示：
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故选项D不能判定，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的判定方法即可求解．
11．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：C．
【分析】根据多边形内角和公式列出方程，求解即可．
12．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵ 十人一天能播种x亩，由题意，得：
．
故答案为：A．
【分析】根据题意得等量关系：用十人播种500亩所需的天数－一台播种机播种500亩所需的天数=5，据此列方程即可．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接提公因式即可解答．
14．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得，，
解得，，
故答案为： ．
【分析】根据二次根式中被开方数为非负数列不等式求解即可 ．
15．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
16．【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：延长，交于点E，过点A作交BC的延长线于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】延长，交于点E，过点A作交BC的延长线于点F，先利用平行线的性质和三角形外角的性质可证得，于是有，利用线段和差求出的长，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，即可根据三角形的面积公式计算△ABC的面积．
17．【答案】解：（1）
．
（2）选择①②，
，
解不等式①得：；
解不等式②得：；
原不等式组的解集为．
选①③，
，
解不等式①得：；
解不等式③得：，
原不等式组的解集为．
选②③，
，
解不等式②得：；
解不等式③得：，
原不等式组的解集为．
【知识点】二次根式的混合运算；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行运算，再合并同类项即可求解；
（2）根据不等式的性质，分别求值各个解集，再根据取不等式组解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求解即可．
18．【答案】解：方程两边同乘x(x－1)得：，
解这个整式方程得：，
经检验：是原方程的根．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先把方程的两边都乘最简公分母x(x－1)，化为整式方程，再解这个整式方程，最后需要检验．
19．【答案】因式分解；三；
原式
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解∶小芳化简过程的第一步依据的是因式分解，化简过程的第三步开始出现错误．
故答案为：因式分解；三；
【分析】同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减；分式运算的结果要化为最简分式或者整式．根据小芳化简过程分析即可解答.
20．【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：，
是等边三角形，
，
即之间的距离6千米．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交公路于点P，点P即可所求；
（2）先证明△ABP是等边三角形，再利用等边三角形的性质求解即可．
（1）解：如图所示．
（2）解：，
是等边三角形，
，即之间的距离6千米．
21．【答案】（1）解：作图如下，
已知，，
∴△ABC的点的横坐标加4得到△A'B'C'的点的横坐标，△ABC的点的纵坐标加2得到△A'B'C'的点的纵坐标.
（2）解：根据对称中心的作图方法可得，如图所示：
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据平移的性质得到点A'，B'，C'的位置，再顺次连接即可得到△A'B'C'，图形结合即可得平移对应点坐标之间的关系；
（2）根据中心对称图形的定义和性质作图即可．
（1）解：根据平行的性质，作图如下，
已知，
∴，
∴的点的横坐标等于的点的横坐标加4，的点的纵坐标等于的点的纵坐标加2；
（2）解：根据对称中心的作图方法可得，见图示．
22．【答案】（1）解：设红枣粽每千克元，则鲜肉粽每千克1.5x元，
依题意，得，
解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意，
（元）．
答：红枣粽每千克14元，鲜肉粽每千克21元．
（2）解：设鲜肉粽买了a千克，则红枣粽买了(10－a)千克，
依题意，得，
解得．
答：鲜肉粽最多能买2千克．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设红枣粽每千克元，则鲜肉粽每千克1.5x元，然后根据题意等等量关系“买鲜肉粽的数量+买红枣粽的数量＝6”，据此列出分式方程并求解即可，注意分式方程要检验；
（2）鲜肉粽买了a千克，则红枣粽买了(10－a)千克，根据题意得不等式“买鲜肉粽的钱+买红枣粽的钱≤154元”，据此列出相应的不等式并求解即可．
（1）设红枣粽每千克元，则鲜肉粽每千克1.5x元．
依题意，得，解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意，
（元）．
答：红枣粽每千克14元，鲜肉粽每千克21元．
（2）设鲜肉粽买了千克，则红枣粽买了千克．
依题意，得，
解得．
答：鲜肉粽最多能买2千克．
23．【答案】（1）解：，∠C+∠BAC+∠B=180°，
．
又，
．
（2）解：或或(任选一对即可)，
证明：由（1）可得，
∵
∴∠BAC=60°.
∵ AE与CE的夹角为，即∠AEC=60°，
∴∠CAE=30°=∠BAE.
∴∠CAE=∠DAE=∠B.
∴AE=BE.
∵DE⊥AB，
∴AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°.
①证明△ACE≌△ADE：
∵∠CAE=∠DAE=30°，∠ACE=∠ADE=90°，AE=AE，
∴△ACE≌△ADE（AAS）.
②证明△ACE≌△BDE：
∵∠CAE=∠B=30°，∠ACE=∠BDE=90°，AE=BE，
∴△ACE≌△BDE（AAS）.
③证明△ADE≌△BDE：
∵∠DAE=∠B=30°，AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°，
∴△ADE≌△BDE（ASA）.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可得．再结合题意即可求解；
（2）由题意得∠AEC=60°，于是可证明∠CAE=∠DAE=∠B；再由等腰三角形“三线合一”的性质可得AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°.于是可利用AAS证明△ACE≌△ADE和△ACE≌△BDE，利用ASA证明△ADE≌△BDE.
（1）解：，
．
又，
．
（2）解：或或(任选一对即可)，
①，
证明：由（1）可得，
，
，
，
又，
，
，
又，
．
②，
证明：由（1）可得，
又，
，
又，
，
平分，
又，
，
．
③，
证明：由（1）可得，
又
．
24．【答案】（1）解：∵ 正比例函数的图象经过两点，
∴，b=﹣2k，
解得，.
（2）解：，
，
．
（3）解：由(1)可得，
∴直线的解析式为，
∵，且直线与线段有一个交点，
∴将代入，可得，
∴；
将代入，可得
∴；
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将代入可得，解析式为，再把点代入即可求解；
（2）根据点C的坐标，可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解；
（3）由（1）可得，求得直线解析式，再分别把点代入求解即可．
（1）解：将代入中，得，
解得，
正比例函数的解析式为，
把代入中，得．
（2）解：，
，
．
（3）解：由(1)可得，
所以直线的解析式为，
将代入，
解得；
将代入，
解得；
．
25．【答案】（1）证明∶，
．
又，
四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形，
，
，，ED//BE．
∴ED=BF，
四边形是平行四边形．
（3）解∶过点B作BM//AD，过点A作AM//BD，相交于点M，连接MA，MB，如图所示，
四边形AMBD是平行四边形，
∴MB=AD，AM=BD=12，
∵AM//BD，AC⊥BD，
∴AM⊥AC，即∠CAM=90°，
又∵AC=5，
．
，
的最小值是13．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用内错角相等证得，即可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论；
（2）利用平行线的性质可得，继而可利用ASA证明，推出ED=BF，利用平行四边形想判定定理即可得到结论；
（3）过点B作BM//AD，过点A作AM//BD，相交于点M，连接MA，MB，可得得到四边形AMBD是平行四边形，由此得到MB=AD，AM=BD=12，证得∠CAM=90°，可利用勾股定理求出MC的长，再根据即可得到结论．
（1）证明∶，
．
又，
四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形，
，
．
又，
，
四边形是平行四边形．
（3）解∶如图，过点D作，连接
四边形是平行四边形，
．
又，
，
，
．
，
的最小值是13．
1 / 1贵州省毕节市威宁彝族回族苗族自治县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·威宁期末）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，故是有理数，因此选项A不符合题意；
B、是有限小数，故是有理数，因此选项B不符合题；
C、是无理数，故是无理数，因此选项C符合题意；
D、是整数，故是有理数，因此选项D符合题意.
故答案为：C．
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数进行求解即可．
2．（2024八下·威宁期末）如图，在中，，则的长为（ ）
A．6 B． C．24 D．2
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，∵ △ABC中，，
∴，
故答案为：A ．
【分析】利用勾股定理求边长即可．
3．（2024八下·威宁期末）下列是关于红十字会的图标，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；BCD是轴对称图形，不是中心对称图形，都不符合题意；
故答案为：A．
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可.
4．（2024八下·威宁期末）如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，，
∴，
故答案为：C ．
【分析】根据等边对等角的性质即可求解 ．
5．（2024八下·威宁期末）某校七（4）班同学在新学期通过无记名投票的方式选一名同学担任班长，最后小明以高票当选．这里运用的统计量是（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：由题意可得，投小明票的学生人数最多，
∴这里运用的统计量是众数．
故答案为：B．
【分析】根据题意可知，投小明票的学生人数是最多的，根据 算术平均数、中位数、众数及方差的定义即可解决问题．
6．（2024八下·威宁期末）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故选项A不符合题意；
B、∵，∴，故选项B不符合题意；
C、∵，∴，故选项C不符合题意；
D、∵，∴，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质逐项判定即可．
7．（2024八下·威宁期末）如图，在平行四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
故答案为：B ．
【分析】根据平行四边形对角相等即可解答．
8．（2024八下·威宁期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：根据题意，表示在数轴上，如图所示，
故答案为：D ．
【分析】不等式的解集在数轴上的表示方法：大于向右转，小于向左转，含等实心点，不含空心圆，据此即可求解．
9．（2024八下·威宁期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，据此进行计算即可．
10．（2024八下·威宁期末）下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，可作图如下，
∠A=∠C，AB=CD，BD=DB，不能判断△ABD≌△CDB，从而得不得AD=BC，
∴四边形不是平行四边形，故选项A不能判定，不符合题意；
B、，可作图如下，
∴四边形不是平行四边形，故选项B不能判定，不符合题意；
C、，如图所示，
∴四边形不是平行四边形，故选项C不能判定，不符合题意；
D、，如图所示：
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故选项D不能判定，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的判定方法即可求解．
11．（2024八下·威宁期末）一个n边形的内角和是，则n的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：C．
【分析】根据多边形内角和公式列出方程，求解即可．
12．（2024八下·威宁期末）从传统的“镐锄镰犁"到如今的"金戈铁马”毕节市农技机械服务公司向威宁县观凤海镇果化村马铃薯种薯扩繁基地提供了农机社会化服务，实现工从昔日的“人畜劳作”到今天的“机器换人”．已知一台播种机一天播种的面积是十人一天播种的面积的2.5倍，一台播种机播种500亩所需的天数比用十人播种的天数少5天，十人一天能播种多少亩？若设十人一天能播种x亩，则可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵ 十人一天能播种x亩，由题意，得：
．
故答案为：A．
【分析】根据题意得等量关系：用十人播种500亩所需的天数－一台播种机播种500亩所需的天数=5，据此列方程即可．
13．（2024八下·威宁期末）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接提公因式即可解答．
14．（2024八下·威宁期末）若二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得，，
解得，，
故答案为： ．
【分析】根据二次根式中被开方数为非负数列不等式求解即可 ．
15．（2024八下·威宁期末）若分式有意义，则应满足　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
16．（2024八下·威宁期末）如图，在四边形中，，，连接，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：延长，交于点E，过点A作交BC的延长线于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】延长，交于点E，过点A作交BC的延长线于点F，先利用平行线的性质和三角形外角的性质可证得，于是有，利用线段和差求出的长，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，即可根据三角形的面积公式计算△ABC的面积．
17．（2024八下·威宁期末）（1）计算：
（2）请从以下3个一元一次不等式中，选取2个你喜欢的一元一次不等式，组成一个一元一次不等式组，并求出该不等式组的解集．
①；
②；
③
【答案】解：（1）
．
（2）选择①②，
，
解不等式①得：；
解不等式②得：；
原不等式组的解集为．
选①③，
，
解不等式①得：；
解不等式③得：，
原不等式组的解集为．
选②③，
，
解不等式②得：；
解不等式③得：，
原不等式组的解集为．
【知识点】二次根式的混合运算；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行运算，再合并同类项即可求解；
（2）根据不等式的性质，分别求值各个解集，再根据取不等式组解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求解即可．
18．（2024八下·威宁期末）解分式方程：
【答案】解：方程两边同乘x(x－1)得：，
解这个整式方程得：，
经检验：是原方程的根．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先把方程的两边都乘最简公分母x(x－1)，化为整式方程，再解这个整式方程，最后需要检验．
19．（2024八下·威宁期末）下面是小芳同学化简的过程
解：
=（第一步）
=（第二步）
=（第三步）
=（第四步）
小芳化简过程的第一步依据的是_____________（填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程的第_____________步开始出现错误．请你写出正确的化简过程及结果．
【答案】因式分解；三；
原式
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解∶小芳化简过程的第一步依据的是因式分解，化简过程的第三步开始出现错误．
故答案为：因式分解；三；
【分析】同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减；分式运算的结果要化为最简分式或者整式．根据小芳化简过程分析即可解答.
20．（2024八下·威宁期末）如图，在A，B在两地有两家工厂，他们的同一侧有一条公路通过，现两家工厂协商要在公路旁（靠近A，B侧）修建个货运中心，便于货物的运输但是为了公平，修建的货运中心P到A，B两家工的距离必须相等，且到公路距离也相等.
（1）请你运用所学的知识，利用尺规作出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若A，B两家工厂相距6千米，，则的距离为多少？
【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：，
是等边三角形，
，
即之间的距离6千米．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交公路于点P，点P即可所求；
（2）先证明△ABP是等边三角形，再利用等边三角形的性质求解即可．
（1）解：如图所示．
（2）解：，
是等边三角形，
，即之间的距离6千米．
21．（2024八下·威宁期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，各顶点的坐标分别为
（1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移2单位长成，得到，请画出并说明和的每一组对应点的横、纵坐标分别有什么关系；
（2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的．
【答案】（1）解：作图如下，
已知，，
∴△ABC的点的横坐标加4得到△A'B'C'的点的横坐标，△ABC的点的纵坐标加2得到△A'B'C'的点的纵坐标.
（2）解：根据对称中心的作图方法可得，如图所示：
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据平移的性质得到点A'，B'，C'的位置，再顺次连接即可得到△A'B'C'，图形结合即可得平移对应点坐标之间的关系；
（2）根据中心对称图形的定义和性质作图即可．
（1）解：根据平行的性质，作图如下，
已知，
∴，
∴的点的横坐标等于的点的横坐标加4，的点的纵坐标等于的点的纵坐标加2；
（2）解：根据对称中心的作图方法可得，见图示．
22．（2024八下·威宁期末）端午节，是中国四大传统节日之一，在这一天，人们会赛龙舟、吃粽子、挂艾草等．小明妈妈为了过端午节，在端午节前夕去超市购买了鲜肉棕和红枣粽两种棕子共6千克，鲜肉粽花了84元，红枣粽花了28元，其中每千克鲜肉粽的价格是每千克红枣棕的1.5倍．
（1）请你利用所学知识算一算，小明妈妈购买的鲜肉粽和红枣粽分别是每千克多少元？
（2）若买10千克这两种粽子的钱不超过154元，则鲜肉粽最多能买多少千克？
【答案】（1）解：设红枣粽每千克元，则鲜肉粽每千克1.5x元，
依题意，得，
解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意，
（元）．
答：红枣粽每千克14元，鲜肉粽每千克21元．
（2）解：设鲜肉粽买了a千克，则红枣粽买了(10－a)千克，
依题意，得，
解得．
答：鲜肉粽最多能买2千克．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设红枣粽每千克元，则鲜肉粽每千克1.5x元，然后根据题意等等量关系“买鲜肉粽的数量+买红枣粽的数量＝6”，据此列出分式方程并求解即可，注意分式方程要检验；
（2）鲜肉粽买了a千克，则红枣粽买了(10－a)千克，根据题意得不等式“买鲜肉粽的钱+买红枣粽的钱≤154元”，据此列出相应的不等式并求解即可．
（1）设红枣粽每千克元，则鲜肉粽每千克1.5x元．
依题意，得，解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意，
（元）．
答：红枣粽每千克14元，鲜肉粽每千克21元．
（2）设鲜肉粽买了千克，则红枣粽买了千克．
依题意，得，
解得．
答：鲜肉粽最多能买2千克．
23．（2024八下·威宁期末）如图1是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，受大人民的喜爱，它的支架我们可以看作如图2所示，为了使其更加牢面．小明增加了如图2所示的两根支架．若，与的夹角为，
（1）求的度数；
（2）在不添加辅助线的前提下写出一对全等三角形，并进行证明．
【答案】（1）解：，∠C+∠BAC+∠B=180°，
．
又，
．
（2）解：或或(任选一对即可)，
证明：由（1）可得，
∵
∴∠BAC=60°.
∵ AE与CE的夹角为，即∠AEC=60°，
∴∠CAE=30°=∠BAE.
∴∠CAE=∠DAE=∠B.
∴AE=BE.
∵DE⊥AB，
∴AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°.
①证明△ACE≌△ADE：
∵∠CAE=∠DAE=30°，∠ACE=∠ADE=90°，AE=AE，
∴△ACE≌△ADE（AAS）.
②证明△ACE≌△BDE：
∵∠CAE=∠B=30°，∠ACE=∠BDE=90°，AE=BE，
∴△ACE≌△BDE（AAS）.
③证明△ADE≌△BDE：
∵∠DAE=∠B=30°，AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°，
∴△ADE≌△BDE（ASA）.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可得．再结合题意即可求解；
（2）由题意得∠AEC=60°，于是可证明∠CAE=∠DAE=∠B；再由等腰三角形“三线合一”的性质可得AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°.于是可利用AAS证明△ACE≌△ADE和△ACE≌△BDE，利用ASA证明△ADE≌△BDE.
（1）解：，
．
又，
．
（2）解：或或(任选一对即可)，
①，
证明：由（1）可得，
，
，
，
又，
，
，
又，
．
②，
证明：由（1）可得，
又，
，
又，
，
平分，
又，
，
．
③，
证明：由（1）可得，
又
．
24．（2024八下·威宁期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过两点．
（1）求b的值；
（2）若是y轴上的点，连接，求的面积；
（3）若，且直线与线段有一个交点，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵ 正比例函数的图象经过两点，
∴，b=﹣2k，
解得，.
（2）解：，
，
．
（3）解：由(1)可得，
∴直线的解析式为，
∵，且直线与线段有一个交点，
∴将代入，可得，
∴；
将代入，可得
∴；
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将代入可得，解析式为，再把点代入即可求解；
（2）根据点C的坐标，可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解；
（3）由（1）可得，求得直线解析式，再分别把点代入求解即可．
（1）解：将代入中，得，
解得，
正比例函数的解析式为，
把代入中，得．
（2）解：，
，
．
（3）解：由(1)可得，
所以直线的解析式为，
将代入，
解得；
将代入，
解得；
．
25．（2024八下·威宁期末）在四边形中，对角线交于点O．
（1）如图1，若，求证：四边形是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形；
（3）如图3，若，求的最小值．
【答案】（1）证明∶，
．
又，
四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形，
，
，，ED//BE．
∴ED=BF，
四边形是平行四边形．
（3）解∶过点B作BM//AD，过点A作AM//BD，相交于点M，连接MA，MB，如图所示，
四边形AMBD是平行四边形，
∴MB=AD，AM=BD=12，
∵AM//BD，AC⊥BD，
∴AM⊥AC，即∠CAM=90°，
又∵AC=5，
．
，
的最小值是13．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用内错角相等证得，即可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论；
（2）利用平行线的性质可得，继而可利用ASA证明，推出ED=BF，利用平行四边形想判定定理即可得到结论；
（3）过点B作BM//AD，过点A作AM//BD，相交于点M，连接MA，MB，可得得到四边形AMBD是平行四边形，由此得到MB=AD，AM=BD=12，证得∠CAM=90°，可利用勾股定理求出MC的长，再根据即可得到结论．
（1）证明∶，
．
又，
四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形，
，
．
又，
，
四边形是平行四边形．
（3）解∶如图，过点D作，连接
四边形是平行四边形，
．
又，
，
，
．
，
的最小值是13．
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