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2025年苏州市中考数学模拟试卷（十三）
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
一、选择题：（每题3分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.）
1．下列各数中，绝对值最大的是（　　）
A．﹣π B．0 C．3 D．
2．下列算式不正确的是（　　）
A．a a2＝a3 B．（﹣a2）2＝a4
C．a2 a3＝a6 D．（ab）3＝a3b3
3．将612000用科学记数法表示应为（　　）
A．6.12×105 B．0.612×107 C．61.2×105 D．612×104
4．如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是（　　）
A． B． C．9π D．
第4题 第5题 第6题
5．小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形ABCD（虚线为重叠部分四边形EFGH的轮廓），其中∠G＝90°，AE∥CG，BE∥DG，已知AD＝10cm，AE＝DG＝12cm，且AF＝DF，则重叠部分四边形EFGH的面积为（　　）
A．25cm2 B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，且AC∥DG∥EF，点H为CE与DG的交点．若AC＝10，则GH的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
7．将正比例函数y1＝ax（a≠0）与反比例函数y2（b≠0）叠加得到函数y＝ax（这样的函数由于其图象类似两个勾号，所以也称为“对勾函数”或“双勾函数”．对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，一般认为它是反比例函数的一个延伸．），如图是对勾函数y＝x的图象，下列对该函数性质的说法不正确的是（　　）
A．该函数的图象是中心对称图形
B．在每个象限内，y的值随x值的增大而减小
C．当x＞0时，函数在x＝1时取得最小值2
D．函数值y不可能为1
第7题 第8题
8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+2交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，顶点为B．有下面结论：
①一元二次方程﹣x2+2x+2﹣3＝0有两个相等的实数根；
②若点M（﹣2，y1），N（1，y2），P（2，y3）均在该抛物线上，则y1＜y3＜y2；
③将该抛物线先向左平移1个单位长度，再沿x轴翻折，得到的新抛物线表达式是y＝x2﹣3；
④在y轴上找一点D，使△ABD的面积为1，则点D的坐标为（0，4）．
以上四个结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（每小题3分，共24分.）
9．在函数中，自变量x的取值范围是 　 　．
10．分解因式：3a3﹣9a2+3a＝　 　．
11．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，AD，则∠CAD＝　 　．
12．某人从地面沿山坡往上走了100米，已知坡角为30°，那么他升高了 　 　．
13．若a﹣b＝2，则式子a2﹣b2﹣4a的值等于 　 　．
14．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，过点B作BQ∥AC，在BQ上取一点D，连接CD、AD，若AC＝CD，BD，则AD＝　 　．
15．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y＝x2+b，若AB长为4，则图中CD的长为 　 　．
16．在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（6，0），将线段AB绕点B顺时针旋转120°得线段BC，则点A的对应点C的坐标是 　 　．
第11题 第14题 第15题
三、解答题：（本大题共11个小题，共82分.）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（6分）先化简，再求值：（） ，代入你认为合适的数并求值．
20．（6分）已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG．求证：
（1）CG⊥DF；
（2）四边形ECGD是矩形．
21．（6分）“二十四节气”是反映气候和物候变化、掌握农事季节的工具，蕴含着中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．慕梓睿和晏瑞所在班级近期开展以“二十四节气”为内容的传承中国传统文化系列的主题班会，他俩都对反映物候现象或农事活动的四个节气——惊蛰、清明、小满、芒种很感兴趣，想从中选出一个深入了解并在班会上分享．于是，他们制作了如图所示的可以自由转动的转盘，且转盘被分成四个面积相等的扇形区域，并分别标上字母A（代表惊蛰）、B（代表清明）、C（代表小满）、D（代表芒种），转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形区域的字母对应的节气即为转动转盘者选到的节气（若指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．
（1）慕梓睿任意转动转盘一次，选到“D”的概率是 　 　．
（2）慕梓容和晏瑞每人各转动转盘一次，请用列表或画树状图的方法，求他们选到的节气一个是清明一个是芒种的概率．
22．（6分）为提升学生学习数学的兴趣，加强学生的计算能力，某校初三年级组织了“计算达人养成记”活动，每日限时完成四道计算，为了解学生完成计算的用时情况，随机抽取一些同学完成一日计算，并统计用时，把所得数据绘制成如下统计图表，根据图表提供的信息，回答下列问题：
组别 时间/分 人数 各组总用时/分
A x≤5 8 36
B 5＜x≤8 16 92
C 8＜x≤10 m 191
D x＞10 5 61
（1）求m，n的值；
（2）这次统计的一日计算用时的中位数落在 　 　组；
（3）若该校初三年级有学生800人，则完成一日计算用时不超过8分钟的学生约有多少人？
23．（8分）如图，反比例函数 的图象与矩形ABCO的边相交于D、E两点，且AD：BD＝2：3，E（﹣5，1），一次函数y＝ax+b（a≠0）经过D、E两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△BDE的面积．
24．（8分）如图，是一张可以折叠的小床展开后支撑放在地面的示意图．图1是小床支撑脚CD折叠的示意图，此时，点A，B，C在同一直线上，且∠ACD＝90°．在折叠过程中，△ACD会先变形为四边形ABC′D′（点C，D分别处在点C′，D′），继续折叠后会形成一条线段BD″（点C′，D′分别处在点C″，D″，且线段BD″与AC共线）．已知AB＝8cm，BC＝16cm．
（1）求CD的长度；
（2）小床折叠过程中，如图2，当AB⊥BC′时，求sinD'的值．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CF为∠ACB的角平分线，FD⊥CF交AC于点D，经过C、F、D三点的⊙O与BC交于点E，过点E作ET⊥AC交⊙O于点T，交线段AC、CF分别于点K、H，连接DT．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）当AD＝6，sin∠T时，求⊙O的半径及CH的长．
26．（10分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，点F是对角线BD上一点，点E是 ABCD外一点，连接EC、CF和BE，且CE＝CF，∠BCD＝∠ECF，∠ABD＝∠CBE
【初步探究】（1）求证：四边形ABCD是菱形；
【拓展延伸】（2）如图2，连接EF交BC于点M，延长EF交AD于点N，求证：EM＝FN；
【实践应用】（3）我校生态社在校内的蔬菜种植活动硕果累累，备受关注．如图3所示的一块正方形ABCD种植区被BD、GP、GC分割种植着不同植物，经测量得GP＝GC＝1m，∠PGC＝45°．现学校决定延长PG交AD于点Q，以AQ为边长，在该种植区的左边再开辟一块小正方形新区域种植更多蔬菜，求新区域的面积．
27．（12分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．
（1）求抛物线的顶点P的坐标；
（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点；
①当△QAB的面积等于△PCD面积的4倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y交直线l于点F，点G在直线y上，且AG＝AQ时，请求出GF的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A A B A B C
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．x≥2．
10．原式＝3a（a2﹣3a+1）
11．36°．
12．50米．
13．﹣4．
14．2．
15．6．
16．（9，3）．
三．解答题（共11小题，满分82分）
17．【解答】解：原式＝24+1﹣2
4+1﹣2
＝﹣3．
18．【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤3．
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤3．
19．【解答】解：原式

；
当a＝2时，原式．
20．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，即AD∥CF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AC∥DF，
∴BD⊥DF，
∵CF＝BC，点G是DF中点，
∴CG是△DBF中位线，
∴CG∥BD，
∴CG⊥DF；
（2）∵CG是△DBF中位线，
∴CG∥BD，CGBD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DEBD，
∴∠DEC＝90°，CG＝DE，
∵CG∥BD，
∴四边形ECGD是矩形．
21．【解答】解：（1）∵任意转动转盘一次，有4种等可能的结果，选到“D”是其中的1种可能，
∴任意转动转盘一次，选到“D”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
一共由16种等可能的情况，其中一个是清明一个是芒种有2种可能的情况，
∴P（一个是清明一个是芒种）．
22．【解答】解：（1）由题意得：样本容量为：8÷16%＝50，
故m＝50×42%＝21，，
，即n＝32．
（2）把抽取的50人的数据从小到大排列，排在中间的两个数都在C组，故这次统计的中位数落在C组．
故答案为：C；
（3）完成一日计算用时不超过8分钟的学生约有（人）．
23．【解答】解：（1）把点E（﹣5，1）代入反比例函数 得：k＝﹣5，
∴反比例函数的解析式为：，
∵反比例函数 的图象与矩形ABCO的边相交于D、E两点，E（﹣5，1），
∴AB＝|﹣5|＝5，
∵AD：BD＝2：3，
∴AD，
∴AD+BD＝AB，
，
，
BD＝3，
AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2，
∴D点横坐标为﹣2，
设D点纵坐标为m，
把点D（﹣2，m）代入得：
m，
∴D（﹣2，），
把点E（﹣5，1）和点D（﹣2，）代入y＝ax+b（a≠0）得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）由（1）得D（﹣2，），
∴BC，
∵E（﹣5，1），
∴CE＝1，
∴BE＝BC﹣CE，
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠DBE＝90°，
∴
．
24．【解答】解：（1）AC＝AB+BC＝24．设DC＝x，则C′D′＝C″D″＝x．
由题意可得，BC′＝BC″＝16，AC″＝8，AD″＝AD＝8+x．
在Rt△ACD中，可得242+x2＝（8+x）2．
解得：x＝32．
∴CD的长度为32cm；
（2）如图，连接AC'，过点A作AM⊥C'D'于点M．
在Rt△AC′B中，可求得AC′．
设D'M＝y．
由AD'2﹣D'M2＝AM2＝AC'2﹣C'M2，可得
．
解得，y＝36．
在Rt△AC′M中，可求得AM．
∴sinD'．
25．【解答】（1）证明：连接OF，如图，
∵FD⊥CF，
∴∠CFD＝90°，
∴CD为圆的直径，O为圆心，
∵CF为∠ACB的角平分线，
∴∠BCF＝∠ACF，
∵OF＝OC，
∴∠ACF＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠BCF，
∴OF∥BC，
∴∠ABC+∠OFB＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠OFB＝90°，
∴OF⊥AB，
∵OF为圆的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接ED，交OF于点G，如图，
∵OF∥BC，
∴∠FOA＝∠BCA，
∵∠BCA＝∠T，sin∠T，
∴sin∠FOA＝sin∠BCA，
∴，
设FA＝4k，则AO＝5k，
∴FO3k，
∴OD＝OF＝3k，
∵AD＝6，
∴5k＝3k+6，
∴k＝3，
∴OF＝9，AF＝12，AO＝15，AC＝24，
∵OF∥BC，
∴△OFA∽△CBA，
∴，
∴BC，AB，
∴BF＝AB﹣AF，
∴CF．
∵CD为圆的直径，
∴∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠ABC，
∴ED∥AB，
∴△CED∽△CBA，
∴，
∴，
∴CE．
∵ET⊥AC，
∴sin∠BCA，
∴EK，
∴CK．
∵∠BCF＝∠ACF，∠ABC＝∠CKH＝90°，
∴△CBF∽△CKH，
∴，
∴，
∴CH．
答：⊙O的半径为9，CH的长为．
26．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB．
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠CDB＝∠CBE．
∵∠BCD＝∠ECF，
∴∠DCF＝∠BCE．
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE（ASA），
∴CD＝CB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）证明：在CM上取一点G，连接EG，使EG＝EB，如图，
由（1）知：△CDF≌△CBE，
∴∠EBG＝∠FDC，DF＝BE，
∴DF＝EG．
∵EG＝EB，
∴∠EGB＝∠EBG．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠NDF＝∠FDC，AD∥BC
∴∠NDF＝∠EGB，∠DNF＝∠GME．
在△NDF和△MGE中，
，
∴△NDF≌△MGE（AAS），
∴EM＝FN；
（3）解：过点P作PH⊥GC于点H，如图，
∵GP＝GC＝1m，∠PGC＝45°，
∴PH＝GHGP，
∴CH＝GC﹣GH＝1，
∴PC．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC＝45°，
∴∠PGC＝∠DBC．
∵∠GCP＝∠BCG，
∴△GPC∽△BGC，
∴，
∴BC．
∴AD＝BC，BP＝BC﹣CP，BDBC．
∵△GPC∽△BGC，GP＝GC，
∴BG＝BC，
∴DG＝BD﹣BG．
∵AD∥BC，
∴△DQG∽△BPG．
∴，
∴，
∴DQ，
∴AQ＝AB﹣DQ，
∴新区域的面积＝AQ24﹣2．
27．【解答】解：（1）由题意得，
，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（（x﹣1）2+4，
∴P（1，4）．
（2）①如图1，
作CE⊥PD于E，
∵C （0，3），B （3，0），
∴直线BC：y＝﹣x+3，
∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a），
∴CE＝PE＝DE，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴S△PCDPD CE2×1＝1，
∵S△QAB＝4S△PCD，
∴AB |3﹣a|＝1×4，
∴4 |3﹣a|＝4，
∴a＝1或a＝5．
∴Q（1，2）或（5，﹣2）；
②如图2，由题意知，D，Q点重合，
设G（m，m），
由AG2＝AQ2得，
（m+1）2（1+1）2+22，
化简得：5m2+2m﹣7＝0，
∴m1＝1，m2，
∴G1（1，﹣2），G2（，），
∵AM＝QM＝2，OB＝OC＝3，
∴∠QAM＝∠CBO＝45°，
∴∠AQB＝90°，
∴AQ⊥CB，即BC与直线l重合，
联立得：，
解得：，
∴F（4，﹣1），
∴G1F，
G2F，
综上，GF的长为或

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