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2025年广东省初中学业水平模拟考试
数学
本试卷共7页，23小题，满分120分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 对于函数，自变量x分别取，，0，1中哪个时，函数值最大（ ）
A. B. C. 0 D. 1
2. 如图1所示为烽火台，其建筑主体为正四棱台，图2几何体为其结构图．如图2所示，正四棱台是由底面为正方形的正四棱锥切割所得到的，则图2几何体的主视图为（ ）
A. B. C. D.
3. 2025年1月8日，山东省政府举办“稳步扩内需促开放，赋能经济高质量发展情况”新闻发布会，会议介绍2024年山东筹集落实资金亿元，集中支持汽车、家电等8个领域消费品以旧换新工作，合计带动销售亿元左右，山东汽车报废更新万辆，居全国首位，家电以旧换新万台．将数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，为的直径，C，D为上的两个点，交于点E，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（ ）
A. B. 2 C. 1 D.
7. 如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？
A. 增大 B. 增大 C. 减小 D. 减小
8. 生物的性状由遗传因子决定，决定显性性状的为显性遗传因子，用大写字母（如）表示，决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母（如）表示，当和结合在一起时无法表达性状，仅表现显性性状．例如某高茎豌豆（）和矮茎豌豆（）杂交，高茎豌豆的和分离，矮茎豌豆和也分离，然后高茎豌豆的遗传因子和矮茎豌豆的遗传因子自由结合，理论上后代中和的比例为．现在有高茎黄色豌豆（ ）和高茎黄色豌豆（ ）杂交，其中后代中为的性状为绿色，且、和、遗传因子相互独立互不影响，则理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，和为两个同高晾衣柱，高，一无弹性的绳子一端系在A点，另一端P系在柱子上（不计绳结的长度），现有一裤子晾在上面，已知挂钩挂在绳子的O点处，竖直方向上O点到裤子最下方的距离为，绳子长度为，两个柱子间距，某位同学通过课外物理知识对图中衣服进行受力分析，并且得到一个结论：，则为了保证裤子不沾地，点P离地面的距离至少为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，四边形为平行四边形，E，F分别为和的中点，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 记里鼓车，又称记里车、大章车，是我国古代用来记录车辆行过距离的马车，构造与指南车相似，如图，车有上下两层，每层各有木制机械人，手执木槌，下层木人打鼓，车每行一里路，敲鼓一下，上层机械人敲打铃铛，车每行十里，敲打铃铛一次，设一古人从城驾车到城，铃铛和鼓一共恰好响了次，则，两城的距离是________里．
13. 如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为________．
14. 化简：________．
15. 记表示实数m和n中的较大值，即若，则，如，．在平面直角坐标系中，，，则下列结论正确的是（将正确结论的序号填在横线上）________．
①直线和直线过点B且这两条直线垂直，则函数的最小值为2；
②若直线与反比例函数图象交于点A，B，则函数的最小值为；
③若直线与二次函数的图象交于点A，B，则函数有最小值，无最大值．
16. 已知和为方程两个实数根，且，则实数n的最大值为________．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （1）解方程：；
（2）解不等式组：．
18. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 测量河流两岸的宽度
活动工具 皮尺，激光笔
测量过程 【步骤一】在P，Q点处均竖立一光屏以便确定激光位置（为南北方向）； 【步骤二】在河流的一岸的东西方向选取A和B两点，并且测得，，；用皮尺测得的长度．
解决问题 计算的长度
请帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据：，）
19. 植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节．提倡通过这种活动，激发人们爱林造林的热情、意识到环保的重要性．1928年，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为3月12日．新中国成立后的1979年，在邓小平提议下，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为植树节．某学校在植树节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，八年级其中一个班级的成绩作如下整理，部分信息如下：
组别 成绩m/分 频数
A 2
B a
C 14
D b
E 10
完成下面问题：
（1）________，________；
（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数为________；
（3）补全条形统计图；
（4）八年级一共有480人，请根据以上数据估计八年级中分数在80分到90分的人数．
20. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，点A在第一象限，点B在x轴上，C为斜边上一点且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）求k的值；
（3）取的中点E，证明：直线与反比例函数的图象仅有一个交点A．
21. 如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，为上一点，延长交于点，已知，为的切线．
（1）求的度数；
（2）过点作，垂足为，若，求．
22. 综合与实践
【问题情境】
在一次数学探究课上，老师给出了一道例题题干，如下：如图，在中，，，过点B作的垂线（D在上方），E，F两点分别在，上且．
【探究实践】
老师带领同学们自己观察图形，进行猜想和假设，找寻图中蕴含的几何关系，经过思考和讨论，小华和小颖同学分享了自己的发现．
（1）如图1，小华发现，当点E为中点时，，请你给出证明；
（2）如图2，小颖发现，当E不是中点时，仍成立，请你给出证明．
【拓展应用】
如图3，小聪在上取一点M使得，小聪发现为固定值，请你给出证明并求．
23. 在平面直角坐标系中，抛物线顶点为A．
（1）如图1，若A点横坐标为1，点在抛物线M上，求t的值；
（2）如图2，若，直线，求b变化时点A到直线l的距离最小值；
（3）若，当时，求a的取值范围．
参考答案
1. D．
2. A．
3. B．
4. C
5. B．
6. C．
7. A．
8. B．
9. C．
10.A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. ．
12. ．
13. ．
14. ．
15.①③．
16. ．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 解：（1），
由得：，
将代入得：，
解得：，
将代入得：，
所以原方程组的解为；
（2），
解不等式得：，
解不等式得：，
所以原不等式组的解集为．
18. 解：连接并延长交于C，则
∵，，
∴，
∴
设，则，
在中，，
在中，，
解得，
在中，，
∴，
答：的长度为．
19. （1）解：班级总人数为：，
，，
故答案为：4；20；
（2）解：依题意，，
∴A组对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）解：补全条形统计图如下：
（4）解：依题意，（人），
∴估计八年级中分数在80分到90分的人数为人．
20. （1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形；
∴，
延长交轴于一点，过点作轴，如图所示：
∵，
∴，
∵轴，，，
∴四边形是矩形，
同理，得证四边形是矩形，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴矩形的面积是2，
∴，
∵，
∴，
即，
∴矩形的面积是1；
∵反比例函数的图象过点A．
∴；
（3）解：依题意，反比例函数的图象过点A．
设，
∴，
∵四边形是平行四边形；
∴，
∴点D的纵坐标为，
∵点D在反比例函数的图象上，
把代入，得，
解得，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
设直线的解析式为，
把，分别代入，
得
解得，
∴直线解析式为，
依题意，得，
∴，
整理得
∴，
∴直线与反比例函数的图象仅有一个交点
∵反比例函数的图象过点A．
∴直线与反比例函数的图象仅有一个交点A．
21. （1）解：如图所示，连接，
设，，则，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，则，
又∵直径，，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
又∵是直径，，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：如图所示，延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴垂直平分，则，
∴是的中点，
∴，
∴，，
∵，，则，
∴，
如图所示，延长至使得，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
22.解：（1）∵，，
∴是等腰三角形，
则，
∵点E为中点，
∴，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
∵过点B作的垂线（D在上方），E，F两点分别在，上，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）将顺时针旋转，得，即点与点重合，点E的对应点是H点，连接，如图所示：
∴，
∴，
即，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）设，，
∵，
∴，
由（2）得，
∴，
在中，，
∴，
∴
∵过点B作的垂线（D在上方），E，F两点分别在，上，
∴，，
则，
即，
∴．
∵
∴
∴
．
23. （1）解：抛物线的顶点为A．且A点横坐标为1，
，
，
点在抛物线M上，
，
的值为0．
（2）解：如图，设直线l分别交轴、轴于点、，过点作于点，作轴交直线l于点，则，
代入到，得，
代入到，则有，解得，
，，
，
，
，
顶点A的坐标为，
代入到，得，
，
，
轴，
，
又，
，
，
，
当时，有最小值，
点A到直线l的距离最小值为．
（3）解：，
，
令，则，
解得：，，
当时，即，
此时，当时，符合题意；
当时，抛物线与轴的交点为和，
下面分2种情况讨论：
①当时，抛物线开口向上，此时，
若，则抛物线在的图象在轴下方，不符合题意；
若，即，则抛物线在的图象随着的增大而增大，且满足，符合题意；
；
②当时，抛物线开口向下，此时，
抛物线在的图象在轴上方，
当时，
，
解得：；
综上所述，a的取值范围为或．

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