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四川省绵阳市北川羌族自治县2025年中考二模数学试题
1．（2025·北川模拟）在实数，，0，中，最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．
2．（2025·北川模拟）某种芯片每个探针单元的面积为 ，0.00000164用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·北川模拟）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
4．（2025·北川模拟）如图，在水平桌面上竖直放置一个直角梯形纸板，现绕其上底所在直线旋转一周，则旋转所得几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·北川模拟）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点A的坐标为，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·北川模拟）小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗如图所示，若漏斗的底面圆的直径为6cm，高为4cm，则扇形卡纸的面积至少是（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
7．（2025·北川模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，直线与反比例函数的图象的另一支交于点B，轴于点C，连接．若的面积为5，则的值为（　　）
A．5 B． C．10 D．
8．（2025·北川模拟）如图，的外接圆O的半径为6，， ，则弦的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·北川模拟）如图，电路中有三个定值电阻 ，且的阻值（单位：Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为 ，则电源的电压是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·北川模拟）如图，在中，，分别是边上一点，，，连接，分别是的中点，连接，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·北川模拟）如图，抛物线与x轴交于两点，且给出下列结论：①；②；③当时，y 随x 的增大而减小；④的值是一个定值；⑤b的取值范围是．其中正确的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．（2025·北川模拟）如图，直线，A是直线m 上一点，直线n于点B，C是直线m 上点A 左侧一动点，D是直线上点B右侧一动点，且，与交于点E，于点F，连接，则当最大时，的值为（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·北川模拟）在实数范围内分解因式： 　 　．
14．（2025·北川模拟）已知点 ，且，则点 P关于原点对称的点的坐标为　 　
15．（2025·北川模拟）据调查，某村 2022年的人均收入为30000元，2024年的人均收入为 36 300元．若从 2022 年到 2024年该村人均收入的平均增长率不变，按此平均增长率预测 2025 年该村的人均收入是　 　元．
16．（2025·北川模拟）如图，在中，平分，与 相交于点F．若，的面积为2，则图中阴影四边形的面积为　 　
17．（2025·北川模拟）如图，在中，，，，D为边上一动点，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接，则的最小值为　 　．
18．（2025·北川模拟）如图，在中，，E，F分别是上一点，沿折叠，点C落在边的点D处，连接．若，则　 　（用含的式子表示）
19．（2025·北川模拟）（1）计算：
（2）先化简，再从不等式组的解集中选择一个适当的整数解代入求值
20．（2025·北川模拟）为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影，要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图所示不完整的统计图．
（1）选修“书法”课程的扇形圆心角的度数是 ，补全扇形图和条形图；
（2）该校有1500名学生，请估计选修“声乐”课程的学生有多少名；
（3）八（1）班和八（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排舞蹈，并在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图法，求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．
21．（2025·北川模拟）在修建“九绵高速”时，某工程队负责一段高速路的土方施工任务，该工程队有甲、乙两种型号的挖掘机．已知3台甲型和5台乙型挖掘机同时施工可以挖土；4台甲型和7台乙型挖掘机同时施工可以挖土；．每台甲型挖掘机的施工费用为300元，每台乙型挖掘机的施工费用为180元．
（1）分别求出每台甲型、乙型挖掘机1h挖土多少立方米；
（2）若不同数量的甲型和乙型挖掘机共12台同时施工，至少完成的挖土量，且总费用不超过12960元．求一共有几种调配甲、乙两种型号挖掘机的施工方案．请计算所需的最少施工费用．
22．（2025·北川模拟）如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点E恰好落在边上，连接，，且与相交于点P
（1）求证：；
（2）若，，求的长：
23．（2025·北川模拟）如图，菱形在平面直角坐标系中，边与y轴的正半轴交于点E，边与反比例函数的图象交于点B，D．已知，
（1）求点D的坐标；
（2）若M是反比例函数的图象上段上的一动点，作轴交于点N，连接求面积的最大值及此时点M的坐标．
24．（2025·北川模拟）如图，四边形是的内接四边形，于点，，为延长线上一点，且，连接．
（1）求证：
（2）求证：为的切线；
（3）若，，求的值，
25．（2025·北川模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．C是直线上方抛物线上一点，过点C分别作z轴、y 轴的平行线，交直线于点D，E
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，求周长的最大值；
（3）如图②，若将沿直线翻折，点C的对应点F恰好落在y轴上，求点C的坐标
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是，
故选：D．
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的比较大小的方法，得到，据此得到答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000164=1.64×10-6，
故答案为：B.
【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴且，
解得：且．
故答案为：D．
【分析】根据分式的分母不为0以及二次根式的被开方数大于等于0，可求出实数x的取值范围.
4．【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；简单几何体的三视图；图形的旋转
【解析】【解答】解：∵直角梯形纸板绕其上底所在直线旋转一周所得的几何体是圆柱中挖空了一个底面相等的圆锥，
∴该几何体的主视图是D选项，
故答案为：D．
【分析】先确定旋转一周所得的几何体为圆柱中挖空了一个底面相等的圆锥，然后根据主视图的定义，从几何体正面观察，据此即可求解.
5．【答案】A
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作 轴于，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，过点作 轴于，得，根据点的坐标得，然后求出，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出长，再根据点在第四象限，即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面圆的直径为6，
∴底面圆的半径为6÷2=3，
∵高为4，
∴这个圆锥的母线长为，
∴这个圆锥的侧面积为，
∴扇形卡纸的面积至少是，
故答案为：C．
【分析】圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，先利用勾股定理求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式，其中r是底面圆半径，l是圆锥母线长，据此进行计算．
7．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，过作轴于点，
设点，
∴，
∵直线与反比例函数的图象的另一支交于点，
∴，
轴，
，，
，
∵的面积为5，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】过作轴于点，设点，则点，从而得，，，进而得，然后利用三角形面积公式求出，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在优弧上取点，连接，过点作于，
∵，，
∴，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
又∵的外接圆O的半径为6，
∴，
∴，
在中，，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】在优弧上取点，连接，过点作于，利用三角形内角和定理求出，根据圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理得，于是根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，从而求出，，进而推出为等边三角形，为等腰直角三角形，接下来根据等边三角形性质以及勾股定理求出，，在与中，解直角三角形得的长，即可求出弦的长．
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的阻值满足方程，
∴，，
设并联部分的电阻为，
∴
∴，
∵电流表的读数为，
∴电源的电压为，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数关系先求得，，然后设并联部分的电阻为，根据并联电路电阻的计算公式，得，最后由电压等于电流乘电阻进行求解.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，点是的中点，
∴是中位线，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点作，连接并延长交于点，连接，先证出，从而可得，，然后根据平行线的性质得，进而利用勾股定理求出，最后根据三角形中位线的定理进行求解.
11．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线与x轴交于两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故①错误；
②由函数图象可知抛物线与y轴交于点，代入解析式得，
把代入解析式，得，
∴，
∴，故②正确；
③∵抛物线的开口向下，
∴当时，y随x 的增大而减小，
又∵，
∴当时，y 随x 的增大而减小，故③正确；
④把代入，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的值是一个定值，故④正确；
⑤∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，故⑤正确；
综上所述，正确个数有4个，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的对称轴可求出，即可判断①；根据抛物线与y轴的交点求出，与x轴的交点求出，利用完全平方公式可判断②；由抛物线的对称轴，利用二次函数的增减性可判断③；把代入解析式，得，再根据，得，由，得，，于是求得，可判断④；由以及得到关于b的不等式组，解不等式组求得b的取值范围可判断⑤．
12．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：如图，过作于，过作于，延长交于，
，，
∴，
当最大时，最大，
∵，
∴设，，，
∴，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
解得：，
同理可证：，
，
，
解得：，
∴，
同理可证：，
，
，
，
，，
，，
，
，
当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质得，可得当最大时，最大，然后设，，，利用勾股定理求出的值，利用三角形面积公式求出的值，根据相似三角形的判定推出，可根据相似三角形的性质求出的值，从而得的值，证出、，根据相似三角形的性质求出的值，进而得的值，证出，得的值，接下来由“，，，当时取等号，有”求出的最大值，最后利用勾股定理求出的值，即可根据余弦的定义得到的值.
13．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为： ．
【分析】利用提公式法和公式法进行因式分解。
14．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；关于原点对称的点的坐标特征；偶次方的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点关于原点对称的点的坐标，
故答案为：．
【分析】根据几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，结合偶次方的非负性以及二次根式被开方数大于等于0，得关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出点P坐标，再根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可．
15．【答案】39930
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设2022年到2024年该地区人均收入的年平均增长率为，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
∴2025 年该村的人均收入为：（元），
故答案为：39930．
【分析】设2022年到2024年该地区人均收入的年平均增长率为，则2023年的人均收入为元，2024年的人均收入为元，然后根据2024年的人均收入为36300元列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值并进行取舍，最后再计算求解即可．
16．【答案】10
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：10.
【分析】根据平行四边形的性质得，，结合平行线性质以及角平分线定义得，从而根据等腰三角形判定得，进而得点为的中点，然后根据相似三角形的判定推出，根据相似三角形的性质得，接下来根据同高三角形面积的比就是对应底边的比求出，于是求出，根据三角形中线的性质得，最后求的值即可.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过作于，将绕点逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于，
∴，，，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴点在直线上运动，当点与点重合时，的值最小，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】过作于，将绕点逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于，根据旋转的性质得，，，从而得，进而推出，得，于是根据正方形的判定证出四边形是正方形，得，，然后设，证出，即可得三点共线，于是有点在直线上运动，当点与点重合时，的值最小，接下来利用勾股定理求出，根据面积法和勾股定理得，，最后求出，即可得出答案．
18．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；互余两角三角函数的关系；8字型相似模型；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
∴，∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵折叠的性质，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质得，根据相似三角形的判定得，从而得，进而得，然后根据折叠的性质得，于是得，根据互余的两角的的正切关系有，最后利用正切的定义求出，即可求解.
19．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
，
∵，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵x为整数，且，
∴当时，原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先根据乘方、算数平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂进行化简，然后计算乘除并化简绝对值，最后计算加减即可；
（2）先将括号里的分式进行通分，结合平方差公式和完全平方公式，同时将除法变成乘法，然后将分式进行化简，接下来解不等式组，求出x值的范围，然后根据分式有意义的条件确定出x的取值，代入化简式计算即可．
20．【答案】（1）解：根据题意，得选修“书法”课程的扇形圆心角的度数是360°×32%=115.2°，
被调查的人数为8÷16%=50（名），
∴选修“声乐”课程的学生占比为，选修“摄影”课程的学生有50-14-8-16=12（名），
∴补全扇形图和条形图如下图所示：
故答案为：115.2°；
（2）解：1500×28%=420（名），
∴估计选修“声乐”课程的学生有420名；
（3）解：设八（1）班的2人为a，b，八（2）班的2人为c，d，画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中抽取的2人恰好来自同一个班级的结果有4种，
∴所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由360°乘以选修“书法”课程人数所占的百分比即可求出其圆心角度数，用舞蹈人数除以其对应的百分比求出被调查的总人数，然后求出声乐人数所占的百分比以及摄影的人数，从而补全两幅统计图；
（2）用样本估计总体，用总人数1500乘以选修“声乐”课程对应百分比求出其人数；
（3）设八（1）班的2人为a，b，八（2）班的2人为c，d，然后利用树状图法得到所有的等可能结果数，从而得抽取的2人恰好来自同一个班级的结果数，进而利用概率公式进行求解.
（1）解：选修“书法”课程的扇形圆心角的度数是．
被调查人数为名，
选修“声乐”课程的学生占比，
选修“摄影”课程的学生有名，
补全扇形图和条形图如图所示．
故答案为：；
（2）解：（名）
答：估计选修“声乐”课程的学生有420名；
（3）解：设八（1）班的2人为a，b，八（2）班的2人为c，d．画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的2人恰好来自同一个班级的结果有4种，
所以P（抽取的2人恰好来自同一个班级）＝．
21．【答案】（1）解：设每台甲型、乙型挖掘机1h分别挖土x立方米、y立方米，
根据题意，得，
解得：，
∴每台甲型、乙型挖掘机1h分别挖土30立方米、15立方米；
（2）解：设调配甲型挖掘机m台，则调配乙型挖掘机台，
根据题意，得，
解得：，
∵，
∴，
∴整数m的取值为7，8，9，
∴有3种调配甲、乙两种型号挖掘机的施工方案，
设所需施工费用为w元，
根据题意，得，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w的值最小，最小值为，
∴一共有3种调配甲、乙两种型号挖掘机的施工方案，所需最少施工费用是12000元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每台甲型、乙型挖掘机1h分别挖土x立方米、y立方米，根据“3台甲型和5台乙型挖掘机同时施工1h可以挖土165m3；4台甲型和7台乙型挖掘机同时施工1h可以挖土225m3”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设调配甲型挖掘机m台，则调配乙型挖掘机台，根据”不同数量的甲型和乙型挖掘机共12台同时施工4h，至少完成1080m3的挖土量，且总费用不超过12960元“列出关于m的不等式组，解不等式组求出m的取值范围，从而确定施工方案，然后根据题意求出w关于m的一次函数关系式，最后根据一次函数的性质求出最少施工费用．
（1）解：设每台甲型挖掘机1挖土x，每台乙型挖掘机1挖土y．由题意，得，解得．
答：每台甲型挖掘机1挖土30，每台乙型挖掘机1挖土15．
（2）解：设调配甲型挖掘机m台，则调配乙型挖掘机台．由题意，得，解得，
∵，∴，
∴整数m的取值为7，8，9，
∴有3种调配甲、乙两种型号挖掘机的施工方案．
设所需施工费用为w元，
∴，
∵，∴w随m的增大而增大，
∴当时，w最小
答：一共有3种调配甲、乙两种型号挖掘机的施工方案，所需最少施工费用是12000元．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点作于，过点作于，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
易证四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形以及旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，代入进行整理即可得证结论；
（2）过点作于，过点作于，根据矩形的性质得，，从而得，然后根据旋转以及矩形的性质得，，，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得，于是进行等量代换求出，即可证明，得，，接下来证出，得，，易证四边形是矩形，根据矩形的性质得，利用勾股定理求出的值，则的值依次被求出，最后求的值即可.
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴．
由旋转的性质可得，
∴．
∴，
∴．
（2）解：如图，过点B作于点M，过点E作于点N．
在和中，
∴，
∴，．
在和中，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：∵四边形为菱形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵边与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴点D的坐标为；
（2）解：如图，延长交轴于点，
设，其中，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
当时，有，
把代入，得点的横坐标为，
∴点的坐标为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质以及得，，然后解直角三角形求出的值，从而利用勾股定理得的值，进而得的值，于是得，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式以及直线的解析式，联立两解析式，解方程组即可求出点坐标；
（2）延长交轴于点，设，利用轴交于点N，用坐标表示出的面积，通过二次函数的最值知识求其最大值及对应点的坐标．
（1）解：∵四边形OABC为菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
设的解析式为，
代入由，解得，
故的解析式为．
由解得或
∴点D的坐标为．
（2）解：如图，延长交y轴于点G．设，其中，
，
∴当时，的面积最大，最大值为．
当时，，
将代入，得点M的横坐标为，
∴点M的坐标为．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图①，作的直径，连接，，，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
∵为的直径，
∴为的切线；
（3）解：如图②，过点作于点，
由（2）可得，
∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；圆的综合题；求正切值
【解析】【分析】（1）先求出，根据三角形内角和定理以及等腰三角形”等边对等角“性质得到，然后根据圆周角定理得到，即可得证结论；
（2）作的直径，连接，，，根据等腰三角形”等边对等角“性质得，从而根据圆周角定理以及三角形外角性质得，进而得，然后推出，得，则有，继而证明，可推出，接下来可证明，最后根据切线的判定得证结论；
（3）过点作于点，由（2）可得，推出，设，则，根据勾股定理建立方程可求得，，继而求得，然后证明，根据相似三角形的性质得，即可求得，，，接下来利用三角形面积公式以及勾股定理可得，，最后根据正弦的定义即可求解．
（1）证明：∵于点，
∴．
∵，
，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图①，作的直径．
∵，
∴，
∴．
由（1）可得，
∴．
连接，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
∵为的直径，
∴为的切线；
（3）解：由（2）可得，
∴．
如图②，过点作于点．
设，则．
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：∵直线与抛物线交于两点，点在轴上，点在轴上，
∴令，则，令，则，
∴，，
把，代入抛物线解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：，
∴当取得最大值时，的周长取得最大值，
设，则，
∴，
当时，取得最大值，最大值为4，
∴，，
∴周长的最大值为：；
（3）解：如图③，过点作轴于点，延长交轴于点，
∴轴，
设，则，，
∴，，，
由翻折的性质可得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：（舍去），，
∴当时，有，
∴点的坐标为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；正弦的概念；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）先求出，，然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）根据平行线的性质得，利用正弦的定义求出，从而利用勾股定理得，进而得的周产为，于是得当取得最大值时，的周长取得最大值，然后设，则，求得的值，接下来利用二次函数的最值性质求得的最大值，于是求得，，即可求解；
（3）过点作轴于点，延长交轴于点，有轴，设，则，，从而求出，，，然后再根据翻折的性质证明，结合相似三角形的性质求得，，最后根据，得到关于的方程，解方程得的值，继而可求出点的坐标．
（1）解：∵，
令，则，
令，则，
∴，．
把，代入，得
解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵轴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴的周长为，
∴当取得最大值时，的周长也取得最大值．
设，则，
∴，
当时，取得最大值，最大值为4，
∴，
∴周长的最大值．
（3）解：如图③，过点E作轴于点M，延长交y轴于点N，则轴．
设，则，，
∴，，．
由翻折可得，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
解得（舍去），．
当时，，
∴点C的坐标为．
1 / 1四川省绵阳市北川羌族自治县2025年中考二模数学试题
1．（2025·北川模拟）在实数，，0，中，最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是，
故选：D．
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的比较大小的方法，得到，据此得到答案.
2．（2025·北川模拟）某种芯片每个探针单元的面积为 ，0.00000164用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000164=1.64×10-6，
故答案为：B.
【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3．（2025·北川模拟）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴且，
解得：且．
故答案为：D．
【分析】根据分式的分母不为0以及二次根式的被开方数大于等于0，可求出实数x的取值范围.
4．（2025·北川模拟）如图，在水平桌面上竖直放置一个直角梯形纸板，现绕其上底所在直线旋转一周，则旋转所得几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；简单几何体的三视图；图形的旋转
【解析】【解答】解：∵直角梯形纸板绕其上底所在直线旋转一周所得的几何体是圆柱中挖空了一个底面相等的圆锥，
∴该几何体的主视图是D选项，
故答案为：D．
【分析】先确定旋转一周所得的几何体为圆柱中挖空了一个底面相等的圆锥，然后根据主视图的定义，从几何体正面观察，据此即可求解.
5．（2025·北川模拟）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点A的坐标为，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作 轴于，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，过点作 轴于，得，根据点的坐标得，然后求出，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出长，再根据点在第四象限，即可得到答案.
6．（2025·北川模拟）小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗如图所示，若漏斗的底面圆的直径为6cm，高为4cm，则扇形卡纸的面积至少是（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面圆的直径为6，
∴底面圆的半径为6÷2=3，
∵高为4，
∴这个圆锥的母线长为，
∴这个圆锥的侧面积为，
∴扇形卡纸的面积至少是，
故答案为：C．
【分析】圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，先利用勾股定理求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式，其中r是底面圆半径，l是圆锥母线长，据此进行计算．
7．（2025·北川模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，直线与反比例函数的图象的另一支交于点B，轴于点C，连接．若的面积为5，则的值为（　　）
A．5 B． C．10 D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，过作轴于点，
设点，
∴，
∵直线与反比例函数的图象的另一支交于点，
∴，
轴，
，，
，
∵的面积为5，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】过作轴于点，设点，则点，从而得，，，进而得，然后利用三角形面积公式求出，即可求解.
8．（2025·北川模拟）如图，的外接圆O的半径为6，， ，则弦的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在优弧上取点，连接，过点作于，
∵，，
∴，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
又∵的外接圆O的半径为6，
∴，
∴，
在中，，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】在优弧上取点，连接，过点作于，利用三角形内角和定理求出，根据圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理得，于是根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，从而求出，，进而推出为等边三角形，为等腰直角三角形，接下来根据等边三角形性质以及勾股定理求出，，在与中，解直角三角形得的长，即可求出弦的长．
9．（2025·北川模拟）如图，电路中有三个定值电阻 ，且的阻值（单位：Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为 ，则电源的电压是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的阻值满足方程，
∴，，
设并联部分的电阻为，
∴
∴，
∵电流表的读数为，
∴电源的电压为，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数关系先求得，，然后设并联部分的电阻为，根据并联电路电阻的计算公式，得，最后由电压等于电流乘电阻进行求解.
10．（2025·北川模拟）如图，在中，，分别是边上一点，，，连接，分别是的中点，连接，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，点是的中点，
∴是中位线，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点作，连接并延长交于点，连接，先证出，从而可得，，然后根据平行线的性质得，进而利用勾股定理求出，最后根据三角形中位线的定理进行求解.
11．（2025·北川模拟）如图，抛物线与x轴交于两点，且给出下列结论：①；②；③当时，y 随x 的增大而减小；④的值是一个定值；⑤b的取值范围是．其中正确的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线与x轴交于两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故①错误；
②由函数图象可知抛物线与y轴交于点，代入解析式得，
把代入解析式，得，
∴，
∴，故②正确；
③∵抛物线的开口向下，
∴当时，y随x 的增大而减小，
又∵，
∴当时，y 随x 的增大而减小，故③正确；
④把代入，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的值是一个定值，故④正确；
⑤∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，故⑤正确；
综上所述，正确个数有4个，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的对称轴可求出，即可判断①；根据抛物线与y轴的交点求出，与x轴的交点求出，利用完全平方公式可判断②；由抛物线的对称轴，利用二次函数的增减性可判断③；把代入解析式，得，再根据，得，由，得，，于是求得，可判断④；由以及得到关于b的不等式组，解不等式组求得b的取值范围可判断⑤．
12．（2025·北川模拟）如图，直线，A是直线m 上一点，直线n于点B，C是直线m 上点A 左侧一动点，D是直线上点B右侧一动点，且，与交于点E，于点F，连接，则当最大时，的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：如图，过作于，过作于，延长交于，
，，
∴，
当最大时，最大，
∵，
∴设，，，
∴，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
解得：，
同理可证：，
，
，
解得：，
∴，
同理可证：，
，
，
，
，，
，，
，
，
当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质得，可得当最大时，最大，然后设，，，利用勾股定理求出的值，利用三角形面积公式求出的值，根据相似三角形的判定推出，可根据相似三角形的性质求出的值，从而得的值，证出、，根据相似三角形的性质求出的值，进而得的值，证出，得的值，接下来由“，，，当时取等号，有”求出的最大值，最后利用勾股定理求出的值，即可根据余弦的定义得到的值.
13．（2025·北川模拟）在实数范围内分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为： ．
【分析】利用提公式法和公式法进行因式分解。
14．（2025·北川模拟）已知点 ，且，则点 P关于原点对称的点的坐标为　 　
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；关于原点对称的点的坐标特征；偶次方的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点关于原点对称的点的坐标，
故答案为：．
【分析】根据几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，结合偶次方的非负性以及二次根式被开方数大于等于0，得关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出点P坐标，再根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可．
15．（2025·北川模拟）据调查，某村 2022年的人均收入为30000元，2024年的人均收入为 36 300元．若从 2022 年到 2024年该村人均收入的平均增长率不变，按此平均增长率预测 2025 年该村的人均收入是　 　元．
【答案】39930
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设2022年到2024年该地区人均收入的年平均增长率为，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
∴2025 年该村的人均收入为：（元），
故答案为：39930．
【分析】设2022年到2024年该地区人均收入的年平均增长率为，则2023年的人均收入为元，2024年的人均收入为元，然后根据2024年的人均收入为36300元列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值并进行取舍，最后再计算求解即可．
16．（2025·北川模拟）如图，在中，平分，与 相交于点F．若，的面积为2，则图中阴影四边形的面积为　 　
【答案】10
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：10.
【分析】根据平行四边形的性质得，，结合平行线性质以及角平分线定义得，从而根据等腰三角形判定得，进而得点为的中点，然后根据相似三角形的判定推出，根据相似三角形的性质得，接下来根据同高三角形面积的比就是对应底边的比求出，于是求出，根据三角形中线的性质得，最后求的值即可.
17．（2025·北川模拟）如图，在中，，，，D为边上一动点，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过作于，将绕点逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于，
∴，，，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴点在直线上运动，当点与点重合时，的值最小，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】过作于，将绕点逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于，根据旋转的性质得，，，从而得，进而推出，得，于是根据正方形的判定证出四边形是正方形，得，，然后设，证出，即可得三点共线，于是有点在直线上运动，当点与点重合时，的值最小，接下来利用勾股定理求出，根据面积法和勾股定理得，，最后求出，即可得出答案．
18．（2025·北川模拟）如图，在中，，E，F分别是上一点，沿折叠，点C落在边的点D处，连接．若，则　 　（用含的式子表示）
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；互余两角三角函数的关系；8字型相似模型；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
∴，∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵折叠的性质，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质得，根据相似三角形的判定得，从而得，进而得，然后根据折叠的性质得，于是得，根据互余的两角的的正切关系有，最后利用正切的定义求出，即可求解.
19．（2025·北川模拟）（1）计算：
（2）先化简，再从不等式组的解集中选择一个适当的整数解代入求值
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
，
∵，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵x为整数，且，
∴当时，原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先根据乘方、算数平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂进行化简，然后计算乘除并化简绝对值，最后计算加减即可；
（2）先将括号里的分式进行通分，结合平方差公式和完全平方公式，同时将除法变成乘法，然后将分式进行化简，接下来解不等式组，求出x值的范围，然后根据分式有意义的条件确定出x的取值，代入化简式计算即可．
20．（2025·北川模拟）为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影，要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图所示不完整的统计图．
（1）选修“书法”课程的扇形圆心角的度数是 ，补全扇形图和条形图；
（2）该校有1500名学生，请估计选修“声乐”课程的学生有多少名；
（3）八（1）班和八（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排舞蹈，并在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图法，求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．
【答案】（1）解：根据题意，得选修“书法”课程的扇形圆心角的度数是360°×32%=115.2°，
被调查的人数为8÷16%=50（名），
∴选修“声乐”课程的学生占比为，选修“摄影”课程的学生有50-14-8-16=12（名），
∴补全扇形图和条形图如下图所示：
故答案为：115.2°；
（2）解：1500×28%=420（名），
∴估计选修“声乐”课程的学生有420名；
（3）解：设八（1）班的2人为a，b，八（2）班的2人为c，d，画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中抽取的2人恰好来自同一个班级的结果有4种，
∴所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由360°乘以选修“书法”课程人数所占的百分比即可求出其圆心角度数，用舞蹈人数除以其对应的百分比求出被调查的总人数，然后求出声乐人数所占的百分比以及摄影的人数，从而补全两幅统计图；
（2）用样本估计总体，用总人数1500乘以选修“声乐”课程对应百分比求出其人数；
（3）设八（1）班的2人为a，b，八（2）班的2人为c，d，然后利用树状图法得到所有的等可能结果数，从而得抽取的2人恰好来自同一个班级的结果数，进而利用概率公式进行求解.
（1）解：选修“书法”课程的扇形圆心角的度数是．
被调查人数为名，
选修“声乐”课程的学生占比，
选修“摄影”课程的学生有名，
补全扇形图和条形图如图所示．
故答案为：；
（2）解：（名）
答：估计选修“声乐”课程的学生有420名；
（3）解：设八（1）班的2人为a，b，八（2）班的2人为c，d．画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的2人恰好来自同一个班级的结果有4种，
所以P（抽取的2人恰好来自同一个班级）＝．
21．（2025·北川模拟）在修建“九绵高速”时，某工程队负责一段高速路的土方施工任务，该工程队有甲、乙两种型号的挖掘机．已知3台甲型和5台乙型挖掘机同时施工可以挖土；4台甲型和7台乙型挖掘机同时施工可以挖土；．每台甲型挖掘机的施工费用为300元，每台乙型挖掘机的施工费用为180元．
（1）分别求出每台甲型、乙型挖掘机1h挖土多少立方米；
（2）若不同数量的甲型和乙型挖掘机共12台同时施工，至少完成的挖土量，且总费用不超过12960元．求一共有几种调配甲、乙两种型号挖掘机的施工方案．请计算所需的最少施工费用．
【答案】（1）解：设每台甲型、乙型挖掘机1h分别挖土x立方米、y立方米，
根据题意，得，
解得：，
∴每台甲型、乙型挖掘机1h分别挖土30立方米、15立方米；
（2）解：设调配甲型挖掘机m台，则调配乙型挖掘机台，
根据题意，得，
解得：，
∵，
∴，
∴整数m的取值为7，8，9，
∴有3种调配甲、乙两种型号挖掘机的施工方案，
设所需施工费用为w元，
根据题意，得，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w的值最小，最小值为，
∴一共有3种调配甲、乙两种型号挖掘机的施工方案，所需最少施工费用是12000元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每台甲型、乙型挖掘机1h分别挖土x立方米、y立方米，根据“3台甲型和5台乙型挖掘机同时施工1h可以挖土165m3；4台甲型和7台乙型挖掘机同时施工1h可以挖土225m3”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设调配甲型挖掘机m台，则调配乙型挖掘机台，根据”不同数量的甲型和乙型挖掘机共12台同时施工4h，至少完成1080m3的挖土量，且总费用不超过12960元“列出关于m的不等式组，解不等式组求出m的取值范围，从而确定施工方案，然后根据题意求出w关于m的一次函数关系式，最后根据一次函数的性质求出最少施工费用．
（1）解：设每台甲型挖掘机1挖土x，每台乙型挖掘机1挖土y．由题意，得，解得．
答：每台甲型挖掘机1挖土30，每台乙型挖掘机1挖土15．
（2）解：设调配甲型挖掘机m台，则调配乙型挖掘机台．由题意，得，解得，
∵，∴，
∴整数m的取值为7，8，9，
∴有3种调配甲、乙两种型号挖掘机的施工方案．
设所需施工费用为w元，
∴，
∵，∴w随m的增大而增大，
∴当时，w最小
答：一共有3种调配甲、乙两种型号挖掘机的施工方案，所需最少施工费用是12000元．
22．（2025·北川模拟）如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点E恰好落在边上，连接，，且与相交于点P
（1）求证：；
（2）若，，求的长：
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点作于，过点作于，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
易证四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形以及旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，代入进行整理即可得证结论；
（2）过点作于，过点作于，根据矩形的性质得，，从而得，然后根据旋转以及矩形的性质得，，，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得，于是进行等量代换求出，即可证明，得，，接下来证出，得，，易证四边形是矩形，根据矩形的性质得，利用勾股定理求出的值，则的值依次被求出，最后求的值即可.
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴．
由旋转的性质可得，
∴．
∴，
∴．
（2）解：如图，过点B作于点M，过点E作于点N．
在和中，
∴，
∴，．
在和中，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
23．（2025·北川模拟）如图，菱形在平面直角坐标系中，边与y轴的正半轴交于点E，边与反比例函数的图象交于点B，D．已知，
（1）求点D的坐标；
（2）若M是反比例函数的图象上段上的一动点，作轴交于点N，连接求面积的最大值及此时点M的坐标．
【答案】（1）解：∵四边形为菱形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵边与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴点D的坐标为；
（2）解：如图，延长交轴于点，
设，其中，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
当时，有，
把代入，得点的横坐标为，
∴点的坐标为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质以及得，，然后解直角三角形求出的值，从而利用勾股定理得的值，进而得的值，于是得，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式以及直线的解析式，联立两解析式，解方程组即可求出点坐标；
（2）延长交轴于点，设，利用轴交于点N，用坐标表示出的面积，通过二次函数的最值知识求其最大值及对应点的坐标．
（1）解：∵四边形OABC为菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
设的解析式为，
代入由，解得，
故的解析式为．
由解得或
∴点D的坐标为．
（2）解：如图，延长交y轴于点G．设，其中，
，
∴当时，的面积最大，最大值为．
当时，，
将代入，得点M的横坐标为，
∴点M的坐标为．
24．（2025·北川模拟）如图，四边形是的内接四边形，于点，，为延长线上一点，且，连接．
（1）求证：
（2）求证：为的切线；
（3）若，，求的值，
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图①，作的直径，连接，，，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
∵为的直径，
∴为的切线；
（3）解：如图②，过点作于点，
由（2）可得，
∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；圆的综合题；求正切值
【解析】【分析】（1）先求出，根据三角形内角和定理以及等腰三角形”等边对等角“性质得到，然后根据圆周角定理得到，即可得证结论；
（2）作的直径，连接，，，根据等腰三角形”等边对等角“性质得，从而根据圆周角定理以及三角形外角性质得，进而得，然后推出，得，则有，继而证明，可推出，接下来可证明，最后根据切线的判定得证结论；
（3）过点作于点，由（2）可得，推出，设，则，根据勾股定理建立方程可求得，，继而求得，然后证明，根据相似三角形的性质得，即可求得，，，接下来利用三角形面积公式以及勾股定理可得，，最后根据正弦的定义即可求解．
（1）证明：∵于点，
∴．
∵，
，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图①，作的直径．
∵，
∴，
∴．
由（1）可得，
∴．
连接，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
∵为的直径，
∴为的切线；
（3）解：由（2）可得，
∴．
如图②，过点作于点．
设，则．
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
25．（2025·北川模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．C是直线上方抛物线上一点，过点C分别作z轴、y 轴的平行线，交直线于点D，E
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，求周长的最大值；
（3）如图②，若将沿直线翻折，点C的对应点F恰好落在y轴上，求点C的坐标
【答案】（1）解：∵直线与抛物线交于两点，点在轴上，点在轴上，
∴令，则，令，则，
∴，，
把，代入抛物线解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：，
∴当取得最大值时，的周长取得最大值，
设，则，
∴，
当时，取得最大值，最大值为4，
∴，，
∴周长的最大值为：；
（3）解：如图③，过点作轴于点，延长交轴于点，
∴轴，
设，则，，
∴，，，
由翻折的性质可得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：（舍去），，
∴当时，有，
∴点的坐标为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；正弦的概念；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）先求出，，然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）根据平行线的性质得，利用正弦的定义求出，从而利用勾股定理得，进而得的周产为，于是得当取得最大值时，的周长取得最大值，然后设，则，求得的值，接下来利用二次函数的最值性质求得的最大值，于是求得，，即可求解；
（3）过点作轴于点，延长交轴于点，有轴，设，则，，从而求出，，，然后再根据翻折的性质证明，结合相似三角形的性质求得，，最后根据，得到关于的方程，解方程得的值，继而可求出点的坐标．
（1）解：∵，
令，则，
令，则，
∴，．
把，代入，得
解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵轴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴的周长为，
∴当取得最大值时，的周长也取得最大值．
设，则，
∴，
当时，取得最大值，最大值为4，
∴，
∴周长的最大值．
（3）解：如图③，过点E作轴于点M，延长交y轴于点N，则轴．
设，则，，
∴，，．
由翻折可得，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
解得（舍去），．
当时，，
∴点C的坐标为．
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