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浙江省宁波市奉化区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题
一、选择题（每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2024七上·奉化期末）2024的相反数是（　　）
A．2024 B． C． D．
2．（2024七上·奉化期末）截止2023年6月，我国可再生能源装机达到13.22亿千瓦，历史性超过煤电，13.22亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七上·奉化期末）下列各数中，，有理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024七上·奉化期末）下列四个方程中，其中属于一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七上·奉化期末）化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七上·奉化期末）如果关于的方程的解与的解相同，则的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2024七上·奉化期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七上·奉化期末）2023年9月23日杭州第19届亚运会顺利召开，我国取得了历史性突破，共获得383枚奖牌，其中铜牌有71枚，金牌数量是银牌数量的2倍少21枚，设银牌的数量为枚，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七上·奉化期末）如图，将一副三角尺角和角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，在旋转过程中三角板的边始终在的内部，则的度数．（　　）
A． B． C． D．无法确定
10．（2024七上·奉化期末）如图，一个长方形被分成了4个小长方形，其中②和③大小、形状相同，若要求出①和④两个长方形的周长之和，只要知道下列哪条线段的长度即可．（　　）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（2024七上·奉化期末）计算 的结果是　 　．
12．（2024七上·奉化期末）用两枚钉子就能将一根木条固定在墙上，数学原理是　 　
13．（2024七上·奉化期末）如果，那么的补角为　 　 （结果化成度）
14．（2024七上·奉化期末）已知单项式与的和仍是单项式，那么　 　．
15．（2024七上·奉化期末）按下面的程序计算：若输入，输出结果是101；若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为181，则开始输入的值可以是　 　．
16．（2024七上·奉化期末）小甬是一个善于发现的好学生，它在求两位数平方的时候发现可以“列竖式”的方法进行速算，求解过程如下图．
例如：
所以 所以 所以
现小角用“列坚式”的方法计算一个两位数平方，部分过程如上图3．若这个两位数的十位数字为，则这个两位数为　 　（用含的代数式表示）．
三、解答题（第17、18、19每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024七上·奉化期末）计算：
（1）
（2）
18．（2024七上·奉化期末）先化简，再求值：
已知，求：的值，其中．
19．（2024七上·奉化期末）解方程：
（1）
（2）
20．（2024七上·奉化期末）请你利用没有刻度的直尺按下列要求作图：
（1）分别画直线、射线．
（2）要在两村庄之间修一条公路，假设没有任何阻碍修路的不利条件，怎么修可以使所修的路程最短？在下图中用直尺画出示意图，并说明理由．
21．（2024七上·奉化期末）如图，直线AB、CD、MN相交于O，∠DOB=60°，BO⊥FO，OM平分∠DOF．
（1）求∠MOF的度数；
（2）求∠AON的度数；
（3）请直接写出图中所有与∠AON互余的角．
22．（2024七上·奉化期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法是每月收月租费58元，通话时间不超过150分钟的部分免费，超过150分的按每分钟0.25元加收通话费；计费方式是每月收月租费88元，通话时间不超过350分钟的部分免费，超过350分的按每分钟0.20元收通话费．
（1）若朵朵爸爸采用计费方法一个月累计通话362分钟，求朵朵爸爸这个月所需的移动电话费用是多少？
（2）在（1）条件下所需的费用，若朵朵爸爸改用计费方法，则比计费方法多通话多少分钟？
23．（2024七上·奉化期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”．
（1）①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．
②求的“友好数”为__▲_．
（2）若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值．
（3）对于有理数（且），设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值．
24．（2024七上·奉化期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，以相同的速度从出发，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，都停止运动．
（1）猜想：__▲_，并说明理由；
（2）已知射线始终平分，射线在内，且满足与互余．
①当秒时，；
②在运动过程中，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：2024的相反数为，
故答案为：C.
【分析】根据相反数的定义：符号相反，绝对值相同的两个数互为相反数，据此即可求解.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法是一种将数字表示为a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数）的记数方法，n的值取决于小数点移动的位数，小数点移动的位数即为 n 的值.
3．【答案】C
【知识点】有理数的概念
【解析】【解答】解：下列数字中为有理数的为：，
综上所述，共有3个，
故答案为：C.
【分析】根据有理数的定义，即整数、分数以及它们的有限小数或无限循环小数形式均属于有理数，逐项分析即可.
4．【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、方程含两个未知数和，属于二元一次方程，则本项不符合题意；
B、方程仅含一个未知数，且的次数为1，符合一元一次方程的定义，则本项符合题意；
C、方程中可化为，未知数的次数为-1，且分母含未知数，属于分式方程，则本项不符合题意；
D、方程可变形为，未知数的最高次数为2，属于一元二次方程，则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一元一次方程的定义只含一个未知数，且未知数次数为1，分母不含未知数，据此逐项分析即可求解.
5．【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：原式=
=
故答案为：C.
【分析】根据去括号法则括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变。括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，据此去掉括号，然后根据合并同类项法则计算即可.
6．【答案】A
【知识点】一元一次方程-同解问题
【解析】【解答】解：方程的解为：
把代入方程，则，
∴
故答案为：A.
【分析】根据题意得到的解为：然后把代入方程，进而计算即可求解.
7．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由图可知：
A、∴，则本项不符合题意；
B、∴则本项不符合题意；
C、∴则本项符合题意；
D、∴则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据有理数在数轴上的位置得到进而根据有理数的计算法则逐项计算即可.
8．【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设设银牌的数量为枚，则金牌数量为
∴
故答案为：D.
【分析】设设银牌的数量为枚，则金牌数量为根据"共获得383枚奖牌，其中铜牌有71枚"，据此列出方程即可求解.
9．【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图可知：
∴
故答案为：A.
【分析】由图可知：进而代入计算即可.
10．【答案】B
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意得：
∴①和④两个长方形周长和为，
故答案为：B．
【分析】由题意得：然后根据长方形周长计算公式和线段间的数量关系得到①和④两个长方形周长和为，进而即可求解．
11．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵32＝9，
∴ ＝3，
故答案为3．
【分析】由 表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．
12．【答案】两点确定一条直线
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：用两枚钉子就能将一根木条固定在墙上，数学原理是两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线．
【分析】根据两点确定一条直线原理即可求解．
13．【答案】
【知识点】角的运算；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴的补角为：
故答案为：．
【分析】根据补角的定义和角之间单位换算计算即可．
14．【答案】5
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式与的和仍是单项式，
∴单项式与为同类项，
∴
∴
故答案为：5．
【分析】根据题意可得到单项式与为同类项，则最后代入计算即可．
15．【答案】36或7
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：①若只进行一次计算，
∴
②若进行两次计算，
∴
③若进行三次计算，
∴不符合，舍去，
综上所述，开始输入的值可以是36或7，
故答案为：36或7．
【分析】把181看成进行一次计算和进行两次计算以及进行三次计算，结合ｎ的值为整数，进而计算即可求解．
16．【答案】
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：设这个两位数个位数字为ｂ，
则
∴
∴这个两位数为：，
故答案为：．
【分析】设这个两位数个位数字为ｂ，根据图形列出方程，进而求出ｂ的值，最后用含ａ的代数式表示数字即可．
17．【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】二次根式的混合运算；含括号的有理数混合运算
【解析】【分析】（1）应用乘法分配律展开，最后根据合并同类项法则计算即可求解；
（2）先计算立方，然乎根据乘法分配律去掉括号最后根据合并同类项法则计算即可求解．
18．【答案】解：
当时，原式
【知识点】求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】根据整式的混合运算法则计算d得到其化简结果为，最后把d代入计算即可．
19．【答案】（1）解：去括号得：。
移项得：。
系数化为1得：
（2）解：两边同乘10得：。
去括号得：。
移项得：。
系数化为1得：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据去括号法则去掉括号，然后根据移项和系数化为1计算即可；
（2）方程两边同乘以10去掉分母，然后根据去括号法则去掉括号，然后根据移项和系数化为1计算即可．
20．【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图，
理由：两点之间线段最短
【知识点】直线、射线、线段；两点之间线段最短
【解析】【分析】（1）根据直线和射线的定义直接作图即可；
（2）根据两点之间线段最短进而即可求解．
21．【答案】（1）∵∠DOB=60°，BO⊥FO，
∴∠DOF=∠BOF-∠DOB=90°-60°=30°，
又∵OM平分∠DOF，
∴∠MOF= ∠DOF=15°；
（2）∵∠BOM=∠MOF+∠DOB=15°+60°=75°，
∴∠AON=∠BOM=75°；
（3）与∠AON互余的角有：∠CON、∠DOM、∠MOF．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据
∠DOF=∠BOF-∠DOB ，首先求得
∠DOF的度数，然后根据角平分线的定义求解。
（2）首先求得 ∠BOM的度数，然后根据对顶角相等即可求解。
（3）根据余角定义找出角。
22．【答案】（1）解：（元）
答：朵朵爸爸所需花费111元．
（2）解：设可多通话分钟．
解得：
答：朵朵爸爸可多通话103分钟．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）根据计费方法A的计算法则直接进行计算即可；
（2）设可多通话分钟，根据计费方法B的收费法则列出方程，解此方程即可求解．
23．【答案】（1）解：①，
与3是“友好数”．
②
（2）解：原式
（3）解：由题意得：当时，
∴这组数每6个数为一次循环，
∵，
∴．
【知识点】实数的相反数；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：（1）②设的“友好数”为ｘ，
∴
解得：，
故答案为：-3．
【分析】（1）①根据有好数的定义直接进行计算即可；
②设的“友好数”为ｘ，进而得到方程解此方程即可求解；
（2）根据友好数的定义和相反数的定义得到：则原式化简为，进而即可求解；
（3）根据题意计算可得到规律每6个数为一次循环，根据，进而即可求解．
24．【答案】（1）180
（2）解：①解：
②
设，则，
，
，
，
．
【知识点】旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）与旋转速度相同，
，
故答案为：180°．
（2）①当秒时，
∵与互余，
∴
故答案为：60°.
【分析】（1）根据题意得到，结合平角的定义即可得到，进而即可求解；
（2）①根据题意得到然后结合与互余，进而即可求解；
②设，则，根据余角的定义表示出，进而求出∠BOF，最后根据平角的定义即可求解.
1 / 1浙江省宁波市奉化区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题
一、选择题（每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2024七上·奉化期末）2024的相反数是（　　）
A．2024 B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：2024的相反数为，
故答案为：C.
【分析】根据相反数的定义：符号相反，绝对值相同的两个数互为相反数，据此即可求解.
2．（2024七上·奉化期末）截止2023年6月，我国可再生能源装机达到13.22亿千瓦，历史性超过煤电，13.22亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法是一种将数字表示为a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数）的记数方法，n的值取决于小数点移动的位数，小数点移动的位数即为 n 的值.
3．（2024七上·奉化期末）下列各数中，，有理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】有理数的概念
【解析】【解答】解：下列数字中为有理数的为：，
综上所述，共有3个，
故答案为：C.
【分析】根据有理数的定义，即整数、分数以及它们的有限小数或无限循环小数形式均属于有理数，逐项分析即可.
4．（2024七上·奉化期末）下列四个方程中，其中属于一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、方程含两个未知数和，属于二元一次方程，则本项不符合题意；
B、方程仅含一个未知数，且的次数为1，符合一元一次方程的定义，则本项符合题意；
C、方程中可化为，未知数的次数为-1，且分母含未知数，属于分式方程，则本项不符合题意；
D、方程可变形为，未知数的最高次数为2，属于一元二次方程，则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一元一次方程的定义只含一个未知数，且未知数次数为1，分母不含未知数，据此逐项分析即可求解.
5．（2024七上·奉化期末）化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：原式=
=
故答案为：C.
【分析】根据去括号法则括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变。括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，据此去掉括号，然后根据合并同类项法则计算即可.
6．（2024七上·奉化期末）如果关于的方程的解与的解相同，则的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】一元一次方程-同解问题
【解析】【解答】解：方程的解为：
把代入方程，则，
∴
故答案为：A.
【分析】根据题意得到的解为：然后把代入方程，进而计算即可求解.
7．（2024七上·奉化期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由图可知：
A、∴，则本项不符合题意；
B、∴则本项不符合题意；
C、∴则本项符合题意；
D、∴则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据有理数在数轴上的位置得到进而根据有理数的计算法则逐项计算即可.
8．（2024七上·奉化期末）2023年9月23日杭州第19届亚运会顺利召开，我国取得了历史性突破，共获得383枚奖牌，其中铜牌有71枚，金牌数量是银牌数量的2倍少21枚，设银牌的数量为枚，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设设银牌的数量为枚，则金牌数量为
∴
故答案为：D.
【分析】设设银牌的数量为枚，则金牌数量为根据"共获得383枚奖牌，其中铜牌有71枚"，据此列出方程即可求解.
9．（2024七上·奉化期末）如图，将一副三角尺角和角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，在旋转过程中三角板的边始终在的内部，则的度数．（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图可知：
∴
故答案为：A.
【分析】由图可知：进而代入计算即可.
10．（2024七上·奉化期末）如图，一个长方形被分成了4个小长方形，其中②和③大小、形状相同，若要求出①和④两个长方形的周长之和，只要知道下列哪条线段的长度即可．（　　）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】B
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意得：
∴①和④两个长方形周长和为，
故答案为：B．
【分析】由题意得：然后根据长方形周长计算公式和线段间的数量关系得到①和④两个长方形周长和为，进而即可求解．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（2024七上·奉化期末）计算 的结果是　 　．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵32＝9，
∴ ＝3，
故答案为3．
【分析】由 表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．
12．（2024七上·奉化期末）用两枚钉子就能将一根木条固定在墙上，数学原理是　 　
【答案】两点确定一条直线
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：用两枚钉子就能将一根木条固定在墙上，数学原理是两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线．
【分析】根据两点确定一条直线原理即可求解．
13．（2024七上·奉化期末）如果，那么的补角为　 　 （结果化成度）
【答案】
【知识点】角的运算；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴的补角为：
故答案为：．
【分析】根据补角的定义和角之间单位换算计算即可．
14．（2024七上·奉化期末）已知单项式与的和仍是单项式，那么　 　．
【答案】5
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式与的和仍是单项式，
∴单项式与为同类项，
∴
∴
故答案为：5．
【分析】根据题意可得到单项式与为同类项，则最后代入计算即可．
15．（2024七上·奉化期末）按下面的程序计算：若输入，输出结果是101；若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为181，则开始输入的值可以是　 　．
【答案】36或7
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：①若只进行一次计算，
∴
②若进行两次计算，
∴
③若进行三次计算，
∴不符合，舍去，
综上所述，开始输入的值可以是36或7，
故答案为：36或7．
【分析】把181看成进行一次计算和进行两次计算以及进行三次计算，结合ｎ的值为整数，进而计算即可求解．
16．（2024七上·奉化期末）小甬是一个善于发现的好学生，它在求两位数平方的时候发现可以“列竖式”的方法进行速算，求解过程如下图．
例如：
所以 所以 所以
现小角用“列坚式”的方法计算一个两位数平方，部分过程如上图3．若这个两位数的十位数字为，则这个两位数为　 　（用含的代数式表示）．
【答案】
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：设这个两位数个位数字为ｂ，
则
∴
∴这个两位数为：，
故答案为：．
【分析】设这个两位数个位数字为ｂ，根据图形列出方程，进而求出ｂ的值，最后用含ａ的代数式表示数字即可．
三、解答题（第17、18、19每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024七上·奉化期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】二次根式的混合运算；含括号的有理数混合运算
【解析】【分析】（1）应用乘法分配律展开，最后根据合并同类项法则计算即可求解；
（2）先计算立方，然乎根据乘法分配律去掉括号最后根据合并同类项法则计算即可求解．
18．（2024七上·奉化期末）先化简，再求值：
已知，求：的值，其中．
【答案】解：
当时，原式
【知识点】求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】根据整式的混合运算法则计算d得到其化简结果为，最后把d代入计算即可．
19．（2024七上·奉化期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：去括号得：。
移项得：。
系数化为1得：
（2）解：两边同乘10得：。
去括号得：。
移项得：。
系数化为1得：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据去括号法则去掉括号，然后根据移项和系数化为1计算即可；
（2）方程两边同乘以10去掉分母，然后根据去括号法则去掉括号，然后根据移项和系数化为1计算即可．
20．（2024七上·奉化期末）请你利用没有刻度的直尺按下列要求作图：
（1）分别画直线、射线．
（2）要在两村庄之间修一条公路，假设没有任何阻碍修路的不利条件，怎么修可以使所修的路程最短？在下图中用直尺画出示意图，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图，
理由：两点之间线段最短
【知识点】直线、射线、线段；两点之间线段最短
【解析】【分析】（1）根据直线和射线的定义直接作图即可；
（2）根据两点之间线段最短进而即可求解．
21．（2024七上·奉化期末）如图，直线AB、CD、MN相交于O，∠DOB=60°，BO⊥FO，OM平分∠DOF．
（1）求∠MOF的度数；
（2）求∠AON的度数；
（3）请直接写出图中所有与∠AON互余的角．
【答案】（1）∵∠DOB=60°，BO⊥FO，
∴∠DOF=∠BOF-∠DOB=90°-60°=30°，
又∵OM平分∠DOF，
∴∠MOF= ∠DOF=15°；
（2）∵∠BOM=∠MOF+∠DOB=15°+60°=75°，
∴∠AON=∠BOM=75°；
（3）与∠AON互余的角有：∠CON、∠DOM、∠MOF．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据
∠DOF=∠BOF-∠DOB ，首先求得
∠DOF的度数，然后根据角平分线的定义求解。
（2）首先求得 ∠BOM的度数，然后根据对顶角相等即可求解。
（3）根据余角定义找出角。
22．（2024七上·奉化期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法是每月收月租费58元，通话时间不超过150分钟的部分免费，超过150分的按每分钟0.25元加收通话费；计费方式是每月收月租费88元，通话时间不超过350分钟的部分免费，超过350分的按每分钟0.20元收通话费．
（1）若朵朵爸爸采用计费方法一个月累计通话362分钟，求朵朵爸爸这个月所需的移动电话费用是多少？
（2）在（1）条件下所需的费用，若朵朵爸爸改用计费方法，则比计费方法多通话多少分钟？
【答案】（1）解：（元）
答：朵朵爸爸所需花费111元．
（2）解：设可多通话分钟．
解得：
答：朵朵爸爸可多通话103分钟．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）根据计费方法A的计算法则直接进行计算即可；
（2）设可多通话分钟，根据计费方法B的收费法则列出方程，解此方程即可求解．
23．（2024七上·奉化期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”．
（1）①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．
②求的“友好数”为__▲_．
（2）若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值．
（3）对于有理数（且），设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值．
【答案】（1）解：①，
与3是“友好数”．
②
（2）解：原式
（3）解：由题意得：当时，
∴这组数每6个数为一次循环，
∵，
∴．
【知识点】实数的相反数；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：（1）②设的“友好数”为ｘ，
∴
解得：，
故答案为：-3．
【分析】（1）①根据有好数的定义直接进行计算即可；
②设的“友好数”为ｘ，进而得到方程解此方程即可求解；
（2）根据友好数的定义和相反数的定义得到：则原式化简为，进而即可求解；
（3）根据题意计算可得到规律每6个数为一次循环，根据，进而即可求解．
24．（2024七上·奉化期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，以相同的速度从出发，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，都停止运动．
（1）猜想：__▲_，并说明理由；
（2）已知射线始终平分，射线在内，且满足与互余．
①当秒时，；
②在运动过程中，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）180
（2）解：①解：
②
设，则，
，
，
，
．
【知识点】旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）与旋转速度相同，
，
故答案为：180°．
（2）①当秒时，
∵与互余，
∴
故答案为：60°.
【分析】（1）根据题意得到，结合平角的定义即可得到，进而即可求解；
（2）①根据题意得到然后结合与互余，进而即可求解；
②设，则，根据余角的定义表示出，进而求出∠BOF，最后根据平角的定义即可求解.
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