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浙江省初中名校发展共同体2025年5月第二学期九年级中考模拟考数学试题（二模)）
1．（2025·浙江二模）如图，若数轴上点与点的距离约为（为正整数）个单位长度，则为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设点A表示的数为xA，点B表示的数为xB，
由图可知：-2∴3<|xA-xB|<5，
∵AB=|xA-xB|=n，
∴3∵n为正整数，
∴n=4.
故答案为：C.
【分析】设点A表示的数为xA，点B表示的数为xB，由数轴得出-22．（2025·浙江二模）如图是由6个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图是从物体的正面看到的图形解答，
该立体图形的主视图是：
故答案为：D.
【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形解答即可.
3．（2025·浙江二模）2025年财政部已下达消费品以旧换新资金81000000000元．其中数据81000000000用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：81000000000=8.1×1010，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．（2025·浙江二模）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2，2a2≠a4，计算错误，不符合题意；
B、a2·a3=a5，计算正确，符合题意；
C、a8÷a2=a6，计算错误，不符合题意；
D、(a2)4=a8，计算错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法和幂的乘法法则，进行计算后，判断即可.
5．（2025·浙江二模）以下调查中，最适宜采用普查方式的是（　　）
A．检测某批次汽车的抗撞击能力
B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
C．调查黄河的水质情况
D．了解某市中学生课外阅读的情况
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：检测某批次汽车的抗撞击能力适宜采用抽查方式，则A不符合题意，
调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品适宜采用普查方式，则B符合题意，
调查黄河的水质情况适宜采用抽查方式，则C不符合题意，
了解某市中学生课外阅读的情况适宜采用抽查方式，则D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查，②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度；据此进行判断即可.
6．（2025·浙江二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线CE射向容器液面AB，折射后光线由EC方向变成CD方向．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由题意得BC//DF，
∴∠BCD+∠CDF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠BCD=180°-∠CDF=180°-55°=125°，
∴∠ECD=∠ECB+∠BCD=45°+125°=170°，
即∠ECD的度数为170°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质得到∠BCD+∠CDF=180°，求出∠BCD=125°，结合∠ECD=∠ECB+∠BCD即可得到答案.
7．（2025·浙江二模）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为；今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖直放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少？若设门的对角线长为尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，且门的对角线长为x尺，
∴门的宽为(x-4)尺，门的高为(x-2)尺，
根据题意得：x2-(x-2)2=(x-4)2.
故答案为：D.
【分析】由各边之间的关系，可得出门的宽为(x-4)尺，门的高为(x-2)尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
8．（2025·浙江二模）如图，矩形ABCD，点在边AD上，连结BE，CE．若，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=3，BC=BE=5，
∴AD=BC=5，AB=DC=3，∠A=∠D=90°，
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：
，
∴DE=5-4=1，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得：
，
故答案为：A.
【分析】先求出AD=BC=5，AB=DC=3，再根据勾股定理求出DB，进而求出结论.
9．（2025·浙江二模）如图，Rt是斜边BC上的高，点是边AC上的动点，连结DE，作交AB于点，连结EF，当点在AC上运动时，下列比值会变化的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC，AD是斜边BC上的高，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠BAC=90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠CDE=∠ADF+∠ADE=90°，
∠ADF+∠BDF=∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠CDE=∠ADF，∠BDF=∠ADE，
∵∠C+∠CAD=∠CAD+∠BAD=90°，
∠B+∠BAD=∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠C=∠BAD，∠B=∠CAD，
∴△CDE∽△ADF，△BDF∽△ADE，
∴，，
∵BD，CD，AD为定值，
∴，为定值，故选项A，C，D不符合题意；
∵∠AFE是变值，
∴是变化的，故选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】证明△CDE∽△ADF，△BDF∽△ADE，推出，，再根据BD，CD，AD为定值，可得，为定值，再根据∠AFE是变值，即可得出答案.
10．（2025·浙江二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．若当时，都有，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由条件可知：开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵点A(-2，y1)，B(2，y2)，C(m，y3)在抛物线
y=ax2+bx+3(a>0)上，且y1>y3>y2，
∴|h+2|>|m-h|>|h-2|，
由条件可得1<|m-h|<2，
∴
解得：1≤h≤3；
故答案为：C.
【分析】根据“开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小”可知：|h+2|>|m-h|>|h-2|，然后可得，进而问题可求解.
11．（2025·浙江二模）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：xy-x2=x(y-x)，
故答案为：x(y-x).
【分析】根据因式分解提公因式法即可求解.
12．（2025·浙江二模）计算： + =　 　．
【答案】x+1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式= ﹣ = =x+1．
故答案为：x+1
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
13．（2025·浙江二模）一个不透明的袋子里装有3个黑球和7个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是白球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据简单随机事件的概率计算方法进行求解可得：
摸出白球的概率为：，
故答案为：.
【分析】根据简单随机事件的概率计算方法进行求解即可得出答案.
14．（2025·浙江二模）如图，已知四边形ABCD内接于，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°
由圆周角定理得：，
∵∠BOD=∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD=180°，
∴∠BAD=60°，
故答案为：60°.
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD=180°，根据圆周角定理得到，计算即可.
15．（2025·浙江二模）若点，点，点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是：　 　2（填“＞”、“＜”或“=”中的一个）．
【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可知：，，，
∴
∵k>0，n>1，
∴，
∴y1+y3-2y2>0，
∴y1+y3>2y2，
故答案为：＞.
【分析】由题意可得，，，再求得，由k>0，n>1，得到y1+y3-2y2>0，即可得出答案.
16．（2025·浙江二模）如图，正方形纸片ABCD，点在对角线AC上，连结BE，沿BE对折至，连结DF．若，则　 　；若，则与四边形ECDF的面积比为　 　．
【答案】；
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接CF，延长BE，交CF，CD分别于点G、H，连接FH，如图，
由折叠的性质可知：BH⊥CF，，
∴FH=CH
∴∠HFC=∠HCF，
∵DF//BE，
∴CF⊥DF，
即∠DFC=90°，
∴∠HFC+∠DFH=∠FDH+∠HCF=90°，
∴∠DFH=∠FDH
∴FH=DH=CH
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°
∴，
连接BD，DE，交AC于点O，过点B作BM⊥DF于点M，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BCD=∠ABC=90°，，
∠ABD=∠ADB=∠ACB=∠ACD=45°，
由折叠的性质可知：BC=BF，∠BCE=∠BFE=45°，
∵∠DFE=90°
∴∠BFD=135°
∴∠BFM=45°，
即△BMF是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴∠BDM=30°，
∴∠MBD=60°，∠FBD=∠BFM-∠BDF=15°，
∴∠ABF=∠ABD-∠FBD=30°
∴∠FBE=∠CBE=30°，
∵BC=DC，∠BCE=DCE=45°，CE=CE
∴△BCE △DCE(SAS)，
∴BE=DE，∠CBE=CDE=30°，S△BCE=S△DCE，
∴∠FDE=∠FDB+∠BDC-∠CDE=45°，
∴△FDE是等腰直角三角形，
∴
过点E作ET⊥BC于点T，
设ET=TC=a，
∴，BE=2a，
∴DE=BE=2a，，
∴，
∴，，
∴
∴，
故答案为：；.
【分析】连接CF，延长BE，交CF，CD分别于点G、H，连接FH，由题意易得∠HFC=∠HCF，然后可得FH=DH=CH，进而问题可求解；连接BD，DE交AC于点O，过点B作BM⊥DF于点M，由题意易得∠BDM=30°，则有∠FBE=∠CBF=30°，，过点E作ET⊥BC于点T，设ET=TC=a，，BE=2a，最后问题可求解.
17．（2025·浙江二模）计算：．
【答案】原式
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算负整数指数幂、绝对值、算术平方根，最后再加减运算即可.
18．（2025·浙江二模）解方程组
【答案】解：
由①②得．
，
，
把代入方程①得，
原方程组的解为，
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】运用加减消元法解二元一次方程组即可.
19．（2025·浙江二模）如图，在中，AE是BC边上的高，AD是BC边上的中线，．
（1）求BC的长；
（2）求的值．
【答案】（1）如图，是BC边上的高
又
又
（2）由（1）知
是BC边上的中线
又
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)证明∠AEB=90°，结合AE=5，，求解BE=5，CE=12即可；
(2)求解，再利用正切的定义求解即可.
20．（2025·浙江二模）某校为了解九年级学生每日体育锻炼时间，随机抽取了200名学生进行问卷调查，将所得数据整理后分为四组，A组表示每日体育锻炼时间为0.5小时，B组表示每日体育锻炼时间为1小时，C组表示每日体育锻炼时间为1.5小时，D组表示每日体育锻炼时间为2小时，绘制成如下条形统计图和扇形统计图．
请回答下列问题：
（1）本次调查数据的中位数落在 ▲ 组内，并写出扇形统计图中C组圆心角的度数为 ▲ ；
（2）计算这200名学生每日体育锻炼时间的平均数；
（3）若该校九年级共有800名学生，请估计每日锻炼时间超过1小时的人数．
【答案】（1）C，144
（2）（小时）
（3）解：（人）．
答：由样本估计总体，每日锻炼时间超过1小时人数约为520人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）这组数据按从小到大排列，中位数应是第100与101这两数和平均数，
∴本次调查数据的中位数落在C组内，
扇形统计图中C组圆心角的度数为，
故答案为：C；144.
【分析】(1)根据中们数的定义求解中位数，用360度乘以扇形统计图中C组的占比即可C组圆心角的度数；
(2)根据加权平均数公式计算即可；
(3)用九年级共有人数800乘以样本中，每日锻炼时间超过1小时的人数的占比即可.
21．（2025·浙江二模）尺规作图问题：如图1，菱形，点是边BC上一点（不包含B，C），连接AE，用尺规在CD边上找到点，连结AF，EF，使．
小明：如图2，以为圆心，CE长为半径作弧，交DC于点，连结AF，EF，则．
小丽：以点为圆心，AE长为半径作弧，交CD于点，连结AF，EF，则．
（1）如图2，请你证明小明的作法是正确的．
（2）指出小丽作法中存在的问题．
【答案】（1）证明：如图，连接AC．
菱形，
．
，
．
．
，
．
是等边三角形．
．
（2）不正确．
理由如下：如图，以点为圆心，AE长为半径作弧，
与菱形的边交于点，此时与类形的边CD一般会有两个交点，只有其中一个点符合要求，所以小丽的作法不正确.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】(1)连接AC，证明△ACE △ADF，得到∠EAC=∠FAD，AE=AF，从而可证明△EAF是等边三角形，即可得出结论；
(2)根据以点A为圆心，AB长为半径作弧，与菱形的边交于点F，此时与菱形的边CD一般会有两个交点，只有其中一个点符合要求，即可作出判断.
22．（2025·浙江二模）如图，在同一条高速公路上，客车从嘉兴J地出发经杭州H地匀速驶向台州T地，同时轿车从台州T地出发匀速驶向杭州H地．它们离杭州H地的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数关系如图2所示．请结合图像解答下列问题：
（1）客车的速度为每小时 ▲ 千米，图中点的坐标为 ▲ ，点的坐标表示的实际意义是 ▲ ；
（2）求DE所在直线的函数解析式；
（3）当轿车到杭州H地时，求客车离杭州H地的路程．
【答案】（1）80，(2，60)，“客车行驶2小时后与轿车都在距离杭州60千米处（客车行驶2小时后与轿车在距离杭州路程60千米的地方相遇也给分）”
（2）解：设．
将代入可得，
，
．
解得
．
（3）解：令，
．
．
由（1）可知客车行驶速度为80千米／小时，
（千米）．
客车离杭州路程为（千米）．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)100÷1.25=80千米/小时；
80×(2-1.25)=60，
∴点B的坐标为(2，60)；
由题意和图象可知：点B的坐标表示的实际意义是客车行驶2小时后与轿车都在距离杭州60千米处.
【分析】(1)从图象获取信息，利用速度等于路程除以时间，进行求解作答即可；
(2)待定系数法求出函数解析式即可；
(3)求出轿车到杭州H地的时间，再根据路程等于速度乘以时间，进行求解即可.
23．（2025·浙江二模）已知抛物线的顶点向右平移2个单位长度再向上平移2个单位长度后与抛物线（b，c为常数）的顶点重合．
（1）求b，c的值；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，求的最大值；
②若，且，求的值．
【答案】（1）解：将抛物线顶点向右平移2个单位长度再向上平移2个单位长度后坐标为
抛物线（b，c为常数）可设为，．
（2）把点代入，点代入
可得：
由两式相加得：
（★）
①：把，代入（★）化简得
当时，的最大值为
②：把，代入（★）得
化简得
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)根据抛物线平移规律左加右减，上加下减及条件得出抛物线y=x2+bx+c的顶点式解析式为y=(x -2)2+2进而展开得出b，c的值；
(2)①由题意得出点B的坐标为B(-m，4m2+n)，进而由题意代入y=x2-4x+6得出，根据-3<0得出n有最大值为即可；
②由题意得出点B的坐标为进而由题意代入y=x2-4x+6得出2(m-2)x1=(m-2)(m-3)，结合条件得出只有当m-2=0时方程2(m-2)x1=(m-2)(m-3)成立从而得出m=2即可.
24．（2025·浙江二模）如图，AC是的直径，为垂足，点是上一点，的延长线交于点，连结BD交AC于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点是AF的中点，求AB的长．
【答案】（1）证明：连结BC，设
是的直径，
，
．
（2）证明是的直径，
又．
（3）如图，连结OB，CD
为AF的中点设，则
为直径，
又
，即
，即
解得或（舍去）
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)连结BC，设∠BAC=α，由直径所对圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等得∠ACB=∠ADB=90°-α，进而得∠AHD=90°-α=∠ADB，即可证明结论；
(2)连接OB，OG，OD，AG，由垂径定理得，根据圆周角定理可得∠CAD=2∠BAC，根据同弧所对的圆周角相等得∠BAC=∠DBF，由AH=AD得∠AHD=∠ADB，根据等角的补角相等得∠AHB=∠BDF，即可证明相似；
(3)连结OB，CD，设AD=DF=a，则AF=2a，证明△BAF∽△DAB，得，进而可得，证明△BOE∽△CAD∽△FAE，由，得，由，即得方程求解即可得解.
1 / 1浙江省初中名校发展共同体2025年5月第二学期九年级中考模拟考数学试题（二模)）
1．（2025·浙江二模）如图，若数轴上点与点的距离约为（为正整数）个单位长度，则为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025·浙江二模）如图是由6个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·浙江二模）2025年财政部已下达消费品以旧换新资金81000000000元．其中数据81000000000用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江二模）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江二模）以下调查中，最适宜采用普查方式的是（　　）
A．检测某批次汽车的抗撞击能力
B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
C．调查黄河的水质情况
D．了解某市中学生课外阅读的情况
6．（2025·浙江二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线CE射向容器液面AB，折射后光线由EC方向变成CD方向．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·浙江二模）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为；今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖直放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少？若设门的对角线长为尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·浙江二模）如图，矩形ABCD，点在边AD上，连结BE，CE．若，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·浙江二模）如图，Rt是斜边BC上的高，点是边AC上的动点，连结DE，作交AB于点，连结EF，当点在AC上运动时，下列比值会变化的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·浙江二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．若当时，都有，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．或
11．（2025·浙江二模）因式分解：　 　．
12．（2025·浙江二模）计算： + =　 　．
13．（2025·浙江二模）一个不透明的袋子里装有3个黑球和7个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是白球的概率为　 　．
14．（2025·浙江二模）如图，已知四边形ABCD内接于，若，则的度数为　 　．
15．（2025·浙江二模）若点，点，点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是：　 　2（填“＞”、“＜”或“=”中的一个）．
16．（2025·浙江二模）如图，正方形纸片ABCD，点在对角线AC上，连结BE，沿BE对折至，连结DF．若，则　 　；若，则与四边形ECDF的面积比为　 　．
17．（2025·浙江二模）计算：．
18．（2025·浙江二模）解方程组
19．（2025·浙江二模）如图，在中，AE是BC边上的高，AD是BC边上的中线，．
（1）求BC的长；
（2）求的值．
20．（2025·浙江二模）某校为了解九年级学生每日体育锻炼时间，随机抽取了200名学生进行问卷调查，将所得数据整理后分为四组，A组表示每日体育锻炼时间为0.5小时，B组表示每日体育锻炼时间为1小时，C组表示每日体育锻炼时间为1.5小时，D组表示每日体育锻炼时间为2小时，绘制成如下条形统计图和扇形统计图．
请回答下列问题：
（1）本次调查数据的中位数落在 ▲ 组内，并写出扇形统计图中C组圆心角的度数为 ▲ ；
（2）计算这200名学生每日体育锻炼时间的平均数；
（3）若该校九年级共有800名学生，请估计每日锻炼时间超过1小时的人数．
21．（2025·浙江二模）尺规作图问题：如图1，菱形，点是边BC上一点（不包含B，C），连接AE，用尺规在CD边上找到点，连结AF，EF，使．
小明：如图2，以为圆心，CE长为半径作弧，交DC于点，连结AF，EF，则．
小丽：以点为圆心，AE长为半径作弧，交CD于点，连结AF，EF，则．
（1）如图2，请你证明小明的作法是正确的．
（2）指出小丽作法中存在的问题．
22．（2025·浙江二模）如图，在同一条高速公路上，客车从嘉兴J地出发经杭州H地匀速驶向台州T地，同时轿车从台州T地出发匀速驶向杭州H地．它们离杭州H地的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数关系如图2所示．请结合图像解答下列问题：
（1）客车的速度为每小时 ▲ 千米，图中点的坐标为 ▲ ，点的坐标表示的实际意义是 ▲ ；
（2）求DE所在直线的函数解析式；
（3）当轿车到杭州H地时，求客车离杭州H地的路程．
23．（2025·浙江二模）已知抛物线的顶点向右平移2个单位长度再向上平移2个单位长度后与抛物线（b，c为常数）的顶点重合．
（1）求b，c的值；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，求的最大值；
②若，且，求的值．
24．（2025·浙江二模）如图，AC是的直径，为垂足，点是上一点，的延长线交于点，连结BD交AC于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点是AF的中点，求AB的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设点A表示的数为xA，点B表示的数为xB，
由图可知：-2∴3<|xA-xB|<5，
∵AB=|xA-xB|=n，
∴3∵n为正整数，
∴n=4.
故答案为：C.
【分析】设点A表示的数为xA，点B表示的数为xB，由数轴得出-22．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图是从物体的正面看到的图形解答，
该立体图形的主视图是：
故答案为：D.
【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形解答即可.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：81000000000=8.1×1010，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2，2a2≠a4，计算错误，不符合题意；
B、a2·a3=a5，计算正确，符合题意；
C、a8÷a2=a6，计算错误，不符合题意；
D、(a2)4=a8，计算错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法和幂的乘法法则，进行计算后，判断即可.
5．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：检测某批次汽车的抗撞击能力适宜采用抽查方式，则A不符合题意，
调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品适宜采用普查方式，则B符合题意，
调查黄河的水质情况适宜采用抽查方式，则C不符合题意，
了解某市中学生课外阅读的情况适宜采用抽查方式，则D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查，②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度；据此进行判断即可.
6．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由题意得BC//DF，
∴∠BCD+∠CDF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠BCD=180°-∠CDF=180°-55°=125°，
∴∠ECD=∠ECB+∠BCD=45°+125°=170°，
即∠ECD的度数为170°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质得到∠BCD+∠CDF=180°，求出∠BCD=125°，结合∠ECD=∠ECB+∠BCD即可得到答案.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，且门的对角线长为x尺，
∴门的宽为(x-4)尺，门的高为(x-2)尺，
根据题意得：x2-(x-2)2=(x-4)2.
故答案为：D.
【分析】由各边之间的关系，可得出门的宽为(x-4)尺，门的高为(x-2)尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=3，BC=BE=5，
∴AD=BC=5，AB=DC=3，∠A=∠D=90°，
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：
，
∴DE=5-4=1，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得：
，
故答案为：A.
【分析】先求出AD=BC=5，AB=DC=3，再根据勾股定理求出DB，进而求出结论.
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC，AD是斜边BC上的高，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠BAC=90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠CDE=∠ADF+∠ADE=90°，
∠ADF+∠BDF=∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠CDE=∠ADF，∠BDF=∠ADE，
∵∠C+∠CAD=∠CAD+∠BAD=90°，
∠B+∠BAD=∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠C=∠BAD，∠B=∠CAD，
∴△CDE∽△ADF，△BDF∽△ADE，
∴，，
∵BD，CD，AD为定值，
∴，为定值，故选项A，C，D不符合题意；
∵∠AFE是变值，
∴是变化的，故选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】证明△CDE∽△ADF，△BDF∽△ADE，推出，，再根据BD，CD，AD为定值，可得，为定值，再根据∠AFE是变值，即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由条件可知：开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵点A(-2，y1)，B(2，y2)，C(m，y3)在抛物线
y=ax2+bx+3(a>0)上，且y1>y3>y2，
∴|h+2|>|m-h|>|h-2|，
由条件可得1<|m-h|<2，
∴
解得：1≤h≤3；
故答案为：C.
【分析】根据“开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小”可知：|h+2|>|m-h|>|h-2|，然后可得，进而问题可求解.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：xy-x2=x(y-x)，
故答案为：x(y-x).
【分析】根据因式分解提公因式法即可求解.
12．【答案】x+1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式= ﹣ = =x+1．
故答案为：x+1
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据简单随机事件的概率计算方法进行求解可得：
摸出白球的概率为：，
故答案为：.
【分析】根据简单随机事件的概率计算方法进行求解即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°
由圆周角定理得：，
∵∠BOD=∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD=180°，
∴∠BAD=60°，
故答案为：60°.
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD=180°，根据圆周角定理得到，计算即可.
15．【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可知：，，，
∴
∵k>0，n>1，
∴，
∴y1+y3-2y2>0，
∴y1+y3>2y2，
故答案为：＞.
【分析】由题意可得，，，再求得，由k>0，n>1，得到y1+y3-2y2>0，即可得出答案.
16．【答案】；
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接CF，延长BE，交CF，CD分别于点G、H，连接FH，如图，
由折叠的性质可知：BH⊥CF，，
∴FH=CH
∴∠HFC=∠HCF，
∵DF//BE，
∴CF⊥DF，
即∠DFC=90°，
∴∠HFC+∠DFH=∠FDH+∠HCF=90°，
∴∠DFH=∠FDH
∴FH=DH=CH
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°
∴，
连接BD，DE，交AC于点O，过点B作BM⊥DF于点M，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BCD=∠ABC=90°，，
∠ABD=∠ADB=∠ACB=∠ACD=45°，
由折叠的性质可知：BC=BF，∠BCE=∠BFE=45°，
∵∠DFE=90°
∴∠BFD=135°
∴∠BFM=45°，
即△BMF是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴∠BDM=30°，
∴∠MBD=60°，∠FBD=∠BFM-∠BDF=15°，
∴∠ABF=∠ABD-∠FBD=30°
∴∠FBE=∠CBE=30°，
∵BC=DC，∠BCE=DCE=45°，CE=CE
∴△BCE △DCE(SAS)，
∴BE=DE，∠CBE=CDE=30°，S△BCE=S△DCE，
∴∠FDE=∠FDB+∠BDC-∠CDE=45°，
∴△FDE是等腰直角三角形，
∴
过点E作ET⊥BC于点T，
设ET=TC=a，
∴，BE=2a，
∴DE=BE=2a，，
∴，
∴，，
∴
∴，
故答案为：；.
【分析】连接CF，延长BE，交CF，CD分别于点G、H，连接FH，由题意易得∠HFC=∠HCF，然后可得FH=DH=CH，进而问题可求解；连接BD，DE交AC于点O，过点B作BM⊥DF于点M，由题意易得∠BDM=30°，则有∠FBE=∠CBF=30°，，过点E作ET⊥BC于点T，设ET=TC=a，，BE=2a，最后问题可求解.
17．【答案】原式
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算负整数指数幂、绝对值、算术平方根，最后再加减运算即可.
18．【答案】解：
由①②得．
，
，
把代入方程①得，
原方程组的解为，
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】运用加减消元法解二元一次方程组即可.
19．【答案】（1）如图，是BC边上的高
又
又
（2）由（1）知
是BC边上的中线
又
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)证明∠AEB=90°，结合AE=5，，求解BE=5，CE=12即可；
(2)求解，再利用正切的定义求解即可.
20．【答案】（1）C，144
（2）（小时）
（3）解：（人）．
答：由样本估计总体，每日锻炼时间超过1小时人数约为520人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）这组数据按从小到大排列，中位数应是第100与101这两数和平均数，
∴本次调查数据的中位数落在C组内，
扇形统计图中C组圆心角的度数为，
故答案为：C；144.
【分析】(1)根据中们数的定义求解中位数，用360度乘以扇形统计图中C组的占比即可C组圆心角的度数；
(2)根据加权平均数公式计算即可；
(3)用九年级共有人数800乘以样本中，每日锻炼时间超过1小时的人数的占比即可.
21．【答案】（1）证明：如图，连接AC．
菱形，
．
，
．
．
，
．
是等边三角形．
．
（2）不正确．
理由如下：如图，以点为圆心，AE长为半径作弧，
与菱形的边交于点，此时与类形的边CD一般会有两个交点，只有其中一个点符合要求，所以小丽的作法不正确.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】(1)连接AC，证明△ACE △ADF，得到∠EAC=∠FAD，AE=AF，从而可证明△EAF是等边三角形，即可得出结论；
(2)根据以点A为圆心，AB长为半径作弧，与菱形的边交于点F，此时与菱形的边CD一般会有两个交点，只有其中一个点符合要求，即可作出判断.
22．【答案】（1）80，(2，60)，“客车行驶2小时后与轿车都在距离杭州60千米处（客车行驶2小时后与轿车在距离杭州路程60千米的地方相遇也给分）”
（2）解：设．
将代入可得，
，
．
解得
．
（3）解：令，
．
．
由（1）可知客车行驶速度为80千米／小时，
（千米）．
客车离杭州路程为（千米）．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)100÷1.25=80千米/小时；
80×(2-1.25)=60，
∴点B的坐标为(2，60)；
由题意和图象可知：点B的坐标表示的实际意义是客车行驶2小时后与轿车都在距离杭州60千米处.
【分析】(1)从图象获取信息，利用速度等于路程除以时间，进行求解作答即可；
(2)待定系数法求出函数解析式即可；
(3)求出轿车到杭州H地的时间，再根据路程等于速度乘以时间，进行求解即可.
23．【答案】（1）解：将抛物线顶点向右平移2个单位长度再向上平移2个单位长度后坐标为
抛物线（b，c为常数）可设为，．
（2）把点代入，点代入
可得：
由两式相加得：
（★）
①：把，代入（★）化简得
当时，的最大值为
②：把，代入（★）得
化简得
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)根据抛物线平移规律左加右减，上加下减及条件得出抛物线y=x2+bx+c的顶点式解析式为y=(x -2)2+2进而展开得出b，c的值；
(2)①由题意得出点B的坐标为B(-m，4m2+n)，进而由题意代入y=x2-4x+6得出，根据-3<0得出n有最大值为即可；
②由题意得出点B的坐标为进而由题意代入y=x2-4x+6得出2(m-2)x1=(m-2)(m-3)，结合条件得出只有当m-2=0时方程2(m-2)x1=(m-2)(m-3)成立从而得出m=2即可.
24．【答案】（1）证明：连结BC，设
是的直径，
，
．
（2）证明是的直径，
又．
（3）如图，连结OB，CD
为AF的中点设，则
为直径，
又
，即
，即
解得或（舍去）
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)连结BC，设∠BAC=α，由直径所对圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等得∠ACB=∠ADB=90°-α，进而得∠AHD=90°-α=∠ADB，即可证明结论；
(2)连接OB，OG，OD，AG，由垂径定理得，根据圆周角定理可得∠CAD=2∠BAC，根据同弧所对的圆周角相等得∠BAC=∠DBF，由AH=AD得∠AHD=∠ADB，根据等角的补角相等得∠AHB=∠BDF，即可证明相似；
(3)连结OB，CD，设AD=DF=a，则AF=2a，证明△BAF∽△DAB，得，进而可得，证明△BOE∽△CAD∽△FAE，由，得，由，即得方程求解即可得解.
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