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第一章 勾股定理
八上数学 BSD
课时2 勾股定理的验证
1.1 探索勾股定理
1.会用割补法验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题.
2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合思想和从特殊到一般的思想.
问题 上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？
勾股定理的验证方法有很多种，你有自己的方法吗？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
问题 分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?
思考
为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图.
(1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来.
知识点1 勾股定理的验证
思考
为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图.
(1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来.
知识点1 勾股定理的验证
(1)图中正方形的面积由小到大依
次表示为a2，b2，c2，(a+b) 2；
三角形的面积都表示为12ab.
?
a2
b2
c2
(a+b) 2
12ab
?
12ab
?
12ab
?
12ab
?
思考
为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图.
(1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来.
知识点1 勾股定理的验证
(1)图中正方形的面积由小到大依
次表示为(b-a) 2，a2，b2，c2；
三角形的面积都表示为12ab.
?
(b-a) 2
a2
b2
c2
12ab
?
(2)图中正方形 ABCD 的面积，你有哪些表示方式？
(2)图中正方形 ABCD的面积表示为(a+b) 2
或12ab×4+c2=2ab+c2.
?
知识点1 勾股定理的验证
12ab
?
12ab
?
12ab
?
12ab
?
(a+b) 2
c2
(3)你能利用下图验证勾股定理吗?
知识点1 勾股定理的验证
(3)能.图中正方形 ABCD 的面积不变，
即(a+b)2=2ab+c2，
所以a2+b2=c2.
a2+b2+2ab
(2)图中正方形 ABCD 的面积，你有哪些表示方式？
(2)图中正方形 ABCD的面积表示为(b-a) 2
或c2?12ab×4=c2-2ab.
?
知识点1 勾股定理的验证
12ab
?
12ab
?
12ab
?
12ab
?
(b-a) 2
c2
知识点1 勾股定理的验证
(3)你能分别下图验证勾股定理吗?
a2+b2-2ab
(3)能.图中正方形 ABCD 的面积不变，
即(b-a)2=c2-2ab，
所以a2+b2=c2.
勾股定理在我国有着悠久的历史.汉末三国初数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实.开方除之，即弦.”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理.后人通常把左图称为“赵爽弦图”.
知识点1 勾股定理的验证
2002年国际数学家大会会标的主要图案(如右图)就取材于此图.
例1 伽菲尔德的“总统证法”：如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2 =c2.
知识点1 勾股定理的验证
证明：
因为S梯形=12(a+b)(a+b)=12(a2+b2+2ab)，
S梯形=12ab+12ab+12c2=12 (2ab+c2)，
所以12(a2+b2+2ab)=12 (2ab+c2)，
即a2+b2=c2 .
?
例2 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公
路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m;过了10 s，测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗?
知识点2 勾股定理的应用
公路
B
C
A
400m
500m
解：根据题意画图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置.
由于王叔叔距离公路400 m，因此∠C是直角.
由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，
即 5002=BC2+4002，
所以BC=300.
蓝方汽车10 s行驶了300 m，
那么它平均每秒行驶300÷10=30(m)，
即蓝方汽车这10 s的平均速度为30 m/s.
知识点2 勾股定理的应用
公路
B
C
A
400m
500m
运用勾股定理解决实际问题的一般思路：
知识点2 勾股定理的应用
实际问题
确定所求线段在直角三角形中
抽象出几何图形
求得线段长
数学建模
确定直角边和斜边
回归
利用勾股定理建立方程
跟踪训练 如图是某沿江地区交通平面图的一部分，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？
解：因为OM ? =MN ?+NO?=30?+40?=50?，
OQ? =OP?+PQ?=50?+120? =130?，
所以OM=50 km，OQ=130 km，
所以沿江高速公路的建设成本预计是
5 000×(50+130)=900 000(万元).
M
O
N
P
Q
30km
40km
50km
120km
知识点2 勾股定理的应用
思考 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗?
知识点2 勾股定理的应用
a2+b2a2+b2>c2
通过数格子发现不满足.
8
9
29
5
8
9
1. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n).若小正方形面积为5，(m+n)2=21，则大正方形面积为(　　)
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
解析：由题意可知，中间小正方形的边长为m-n，
所以(m-n) 2=5，即m2+n2-2mn =5，
所以2mn =m2+n2-5.
因为(m+n) 2=21，所以m2+n2+2mn=21，
所以2mn=21-(m2+n2)，
所以m2+n2-5=21-(m2+n2)，即2(m2+n2)=26，
因为大正方形的面积为直角三角形斜边的平方，
所以由勾股定理可知大正方形的面积为 m2+n2=13.
1. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n).若小正方形的面积为5，(m+n)2=21，则大正方形面积为(　　)
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
B
2. 两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
解：根据题意画出示意图，如图所示，
两棵树的高度分别为AB=8 m，CD=2 m，
两棵树之间的距离BD=8 m.
过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC.
则BE=CD=2 m，EC=BD=8 m，
AE=AB-BE=8-2=6(m).
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2=AE2+EC2，
即AC2=62+82=100，所以AC=10 m.
答：这只小鸟至少要飞10 m.
勾股定理
解决简单的实际问题
已知直角三角形的两边长求第三边长
割补法
应用
验证方法

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