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2024-2025学年人教版七年级下期末专题复习
专题二 相交线平行线期末提升卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．过直线外一点P画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，当光线从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这就是光的折射现象．其中的对顶角是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
4．绿色出行，健康你我．“美团”为了方便市民出行，提供了共享单车服务，图1是“美团”共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，与也平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列语句中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．对于直线a、b、c，如果，，那么
C．同旁内角互补
D．过一点不只有一条直线与已知直线垂直
6．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点向点的方向平移6个单位长度到三角形的位置，，，则阴影部分的面积为（ ）
A．40 B．42 C．45 D．48
7．如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．下列说法不正确的是（ ）
A．“相等的角是对顶角”是假命题
B．“两直线平行，同位角相等”是真命题
C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形”
D．“若，则”是假命题的反例可以是
9．如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则的度数用含x的式子一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，且，则 ．
12．如图，直线相交于点O，过点O作，若，则的度数是 ．
13．如图，直线相交于点O．已知平分，将射线绕点O逆时针旋转到．当时，是 ．
14．某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
15．如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）如图①②，的两边分别平行．
（1）在图①中，与有什么数量关系？为什么？
（2）在图②中，与有什么数量关系？为什么？
（3）由（1）（2）你能得出什么结论？用一句话概括你得到的结论．
17．（8分）如图，点，，分在，，上，且，，下面写出了证明“”的过程，请补充完整（括号内填上推理依据）：
证明：，，
______，_________ ．（ ）
，
____________ ．（ ）
，
____________．（ ）
．（ ）
，（ ）
．（ ）
18．（8分）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线．
(1)试判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
19．（7分）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米50元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要元．
20．（8分）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
21．（9分）【阅读理解】
如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题．
例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”．
【解决问题】
给出命题“如果，那么．”
(1)写出命题的题设和结论，及逆命题．
(2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明．
22．（12分）综合与实践
【课题学行线的“等角转化”．
如图1，A是外一点，连接，，求的度数．
解：如图1，过点A作，
∴________，________
又∵，
∴________
【问题解决】
（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2，，，，，交于点E，求证：．
（3）如图3，，点P在下方，求证：．
23．（13分）综合与探究：
如图1，，．
(1)如图1，设，，求、之间的数量关系；
(2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，直接写出的度数．
2024-2025学年人教版七年级下期末专题复习
专题二 相交线平行线期末提升卷（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．过直线外一点P画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键．根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解．
【详解】解：过直线外一点画的垂线，
只有B选项符合题意，
故选：B ．
2．如图，当光线从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这就是光的折射现象．其中的对顶角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，的对顶角是，
故选：A．
3．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
【详解】解：A．∵，
∴，故A不符合题意；
B．，不能判断，故B符合题意；
C．∵，
∴，故C不符合题意；
D．∵，
∴，故D不符合题意；
故选：B．
4．绿色出行，健康你我．“美团”为了方便市民出行，提供了共享单车服务，图1是“美团”共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，与也平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定与性质，先根据平行线的判定与性质得到，再根据平行线的性质得到即可求解．
【详解】解：∵都与地面平行，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与平行，
∴，
∴，
故选：C．
5．下列语句中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．对于直线a、b、c，如果，，那么
C．同旁内角互补
D．过一点不只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用对顶角的定义、平行线的性质、垂直的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．解题的关键是了解对顶角的定义、平行线的性质、垂直的性质等知识．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；
B、对于直线、、，如果，，那么，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
6．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点向点的方向平移6个单位长度到三角形的位置，，，则阴影部分的面积为（ ）
A．40 B．42 C．45 D．48
【答案】D
【分析】本题主要考查平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质得到，，阴影部分的面积与梯形的面积一致，即可得到答案．
【详解】解：将其中一个沿点向点的方向平移6个单位长度到三角形的位置，，，
，，
阴影部分的面积与梯形的面积一致，
，
．
故选D．
7．如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的性质，过B，D，F分别作水平线的垂线，得，由平行线的性质结合已知条件可得出可得结论．
【详解】解：如图所示，过B，D，F分别作水平线的垂线，则，
∴，
∴，
根据题意得，
，，
∴
∴，
故选：D．
8．下列说法不正确的是（ ）
A．“相等的角是对顶角”是假命题
B．“两直线平行，同位角相等”是真命题
C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形”
D．“若，则”是假命题的反例可以是
【答案】C
【分析】根据对顶角的概念，平行线的判定，等边三角形的定义，绝对值的定义判断各项，即可得出结论．
【详解】解：A．“相等的角是对顶角”是假命题，正确，故A选项不符合题意；
B．“两直线平行，同位角相等”是真命题，正确，故B选项不符合题意；
C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“三角形的三个内角都相等”，错误，故C选项符合题意；
D．，，故“若，则”是假命题的反例可以是正确，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，命题的条件，用反例法证明命题的真假，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则的度数用含x的式子一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质与判定，过点作，利用平行线性质得到，过点作，利用平行线性质得到进行求解，即可解题．
【详解】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，即
过点作，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，且，则 ．
【答案】/20度
【分析】本题考查平行公理的推理，平行线的性质．
过点C作，则，由平行公理的推论得到，从而，再根据即可求解．
【详解】解：过点C作，

∴
∵，，
∴，
∴，
∵．
故答案为：
12．如图，直线相交于点O，过点O作，若，则的度数是 ．
【答案】/132度
【分析】本题考查几何图形中求角度．正确的识图，理清角度之间和差关系，是解题的关键．
垂直的定义，得到，利用对顶角相等得出，即可求解．
【详解】解：因为，
所以．
因为，
所以，
故答案为：．
13．如图，直线相交于点O．已知平分，将射线绕点O逆时针旋转到．当时，是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查对顶角，补角，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．分两种情况进行讨论：①是之间；②在之间，再结合角的和差进行求解即可．
【详解】解：①当是之间时，如图，
直线、相交于点，，
，
，
，
，
，
，
即；
②当在之间时，如图，
直线、相交于点，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：82.5或202.5．
14．某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
【答案】252
【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键；
利用平移和平行分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向向下平移到上，竖直方向的线段沿水平方向向左平移到上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角边的长度，然后求出面积进行计算，即可解答．
【详解】解：如图：
地毯的总长度至少为(米)．
此时，总面积为 (平方米)，
所以购买地毯至少需要(元)．
15．如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ．
【答案】96
【分析】本题主要考查平行线和角平分线．熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差倍分计算，添加辅助线，是解题关键．
过点M作，过点E作，可得，结合角平分线的计算得，结合图形利用各角之间的数量关系得出，由已知条件求解即可得出结果．
【详解】解：如图所示，过点M作，过点E作，
∵，
∴，
∴，，，，
∵ 平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：96．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）如图①②，的两边分别平行．
（1）在图①中，与有什么数量关系？为什么？
（2）在图②中，与有什么数量关系？为什么？
（3）由（1）（2）你能得出什么结论？用一句话概括你得到的结论．
【答案】（1）∠B=∠E，理由见解析；（2）∠B+∠E=180°，理由见解析；（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【分析】（1）由已知AB∥EF，DE∥BC，根据平行线的性质得：∠B=∠EOC，∠EOC=∠E，即可得出答案；
（2）由已知AB∥DE，EF∥BC，得：∠B=∠DOC，∠BOE+∠E=180°，即可得出答案；
（3）由（1）和（2）得出结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【详解】解：（1）∠B=∠E
理由：∵BA∥EF，BC∥DE，
∴∠B=∠EOC，∠EOC=∠E，
∴∠B=∠E；
（2）∠B+∠E=180°
理由：∵BA∥ED，BC∥EF，
∴∠B=∠DOC，∠BOE+∠E=180°，
∵∠DOC=∠BOE，
∴∠B+∠E=180°；
（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
17．（8分）如图，点，，分在，，上，且，，下面写出了证明“”的过程，请补充完整（括号内填上推理依据）：
证明：，，
______，_________ ．（ ）
，
____________ ．（ ）
，
____________．（ ）
．（ ）
，（ ）
．（ ）
【答案】；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；平角的定义；等量代换
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质进行推理即可．
【详解】证明：，，
，．（两直线平行，同位角相等）
，
．（两直线平行，内错角相等）
，
．（两直线平行，同位角相等）
．（等量代换）
，（平角的定义）
．（等量代换）
故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；平角的定义；等量代换
18．（8分）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线．
(1)试判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查角平分线的定义，垂直的定义，几何中角度的计算，掌握角平分线的定义及计算是关键．
（1）根据角平分线的定义得到即可求解；
（2）根据角平分线的定义得到，根据垂直的定义即可求解．
【详解】（1）解： ，
分别是的平分线
，
，
；
（2）解：平分，
，
由（1）知，
．
19．（7分）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米50元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要元．
【答案】元
【分析】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的关键．
根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解．
【详解】解：解：地毯的长度至少为：（米）；
（元）．
答：铺设梯子的红地毯至少需要米，花费至少元．
20．（8分）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题．
【详解】解：（答案不唯一）已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（两直线平行，同位角相等），
．
已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，同位角相等）．
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
21．（9分）【阅读理解】
如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题．
例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”．
【解决问题】
给出命题“如果，那么．”
(1)写出命题的题设和结论，及逆命题．
(2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明．
【答案】(1)是题设，是结论；逆命题是：如果，那么
(2)假命题，见解析．
【分析】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
（1）命题的题设为，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题；
（2）命题是假命题，举出一个反例进行说明即可．
【详解】（1）解：∵命题“如果，那么．
∴是题设，是结论；
逆命题是：如果，那么．
（2）解：命题是假命题，
反倒：，但是3不等于．
22．（12分）综合与实践
【课题学行线的“等角转化”．
如图1，A是外一点，连接，，求的度数．
解：如图1，过点A作，
∴________，________
又∵，
∴________
【问题解决】
（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2，，，，，交于点E，求证：．
（3）如图3，，点P在下方，求证：．
【答案】（1）;（2）见解析；（3）见解析．
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点A作，从而利用平行线的性质可得 ，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答；
（2）过点作，进而得出，即可证明；
（3）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）如图1，过点A作，
∴，，
又∵，
∴；
故答案为：．
（2）过点作，
，
，
，，
，
，
，
．
（3）过点作，
，
，
，
，
，
，
．
23．（13分）综合与探究：
如图1，，．
(1)如图1，设，，求、之间的数量关系；
(2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)不发生变化，
(3)或
【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点作，则有，，再根据直角得到结论；
（2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论；
（3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题．
【详解】（1）解：如图，过点作，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：不发生变化，，理由为：
由（1）可得，，
、的角平分线交于点，
，，
如图，过点作，
，，
，
，，
；
（3）解：由（2）得，，由（1）得，
，
，
如图，过点作，
，
，
，，
，
当点在点的左侧时，如图，
则，
，
，
当点在点的右侧时，如图，
则，
，
．
综上，的读数为或
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