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湖南省长沙市 2025 届高三下学期最后一卷
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 2, 1,0,1,2}， = { | = ln(2 2)}，则 ∩ =( )
A. { |0 < < 2} B. { |1 < < 2} C. {1} D. {1,2}
2.已知复数 = ，则| 2025 2026| =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 0
3.已知等比数列 的各项均为正数，且当 ≥ 2 时有 = 2 1 +1 ，则数列{ln }的前 20 项和为( )
A. 420 B. 220 C. 210 D. 190
4.已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为 90%，从该群体中随机抽取 10 人，设这 10 人中持满
意态度的人数为 ，随机变量 = 2 + 3，则 ( ) =( )
A. 1.8 B. 3.6 C. 4.2 D. 4.8
5.已知 ∈ (0, 2 )， ∈ (0,

2 )，且 tan = tan +
1
cos ，则( )
A. 3 = 2 B. 2 + =

2 C. 3 + =

2 D. 2 =

2
2 2
6.已知 1， 2分别为椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点， 为 的上顶点，直线 1与 交于另一点
，且 2 ⊥ 2，则 的离心率为( )
A. 5 1 1 15 B. 2 C. 4 D. 5
7.已知点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，定义 ， 两点间的曼哈顿距离 ( , ) = | 1 2| + | 1 2|，欧氏距离
( , ) = ( 2 21 2) + ( 1 2) .在平面直角坐标系 中，已知点 (2,2)，点 满足 ( , ) ≤ 1，点
满足 ( , ) ≤ 1，则| |的最大值为( )
A. 2 2 1 B. 2 2 + 1 C. 13 1 D. 13 + 1
8.已知函数 ( )和 ( )的定义域均为 ，且 = (4 + )为偶函数， = ( + 4) + 1 为奇函数，若 ∈ ，
均有 ( ) + ( ) = 2 + 1，则 (7) (7) =( )
A. 575 B. 598 C. 621 D. 624
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， ， 为三个随机事件，且 ( ) > 0， ( ) > 0，则下列结论正确的是( )
A.若 ( | ) = ( )，则 ( | ) = ( )
B. ( | ) + ( | ) = 0
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C.若 ， 互斥，则 ( ∪ | ) = ( | ) + ( | )
D.若 ( ) > 0，则 ( ) = ( ) ( | ) ( | )
10.已知函数 ( ) = sin( + )，则( )
A. ( )是周期函数 B. ( )的最小值是 1
C. ( )的图象有对称轴 D. ( )的图象有对称中心
11.已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 1，且| +1 | = ，则下列结论正确的是( )
A.若{ }
3
是递增数列，且 3 1，4 2，5 3成等差数列，则 = 5
B. = 1 { 5 1 ( 1)

若 3，且 2 1}是递增数列， 2 是递减数列，则 = 4 + 4 × 3 1
C.若 = 1，则存在数列 ，使得当 = 4 ( ∈ )时， =
D.若 = 1，则存在数列 ，使得当 = 4 1( ∈ )时， =
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.过点 (1,4)，且在 轴、 轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条.
13.已知向量 = (1,0)， = (1, )，25 = + 24 ，则当 tan < ， >取得最大值时，| | = ．
14.在空间直角坐标系 中，点 (20,0,0)， (0,20,0)， (0,0,20)，已知若点 ( , , )在平面 内，则
+ + = 20，则在三棱锥 内部(不包括表面)的整点(横、纵、竖坐标均为整数的点)的个数
为 . (用数字作答)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，菱形 的对角线 ， 交于点 ，且 = 6， = 4， 为 的中点， ⊥平面 ，且 = 2.
现沿 将△ 翻折至△ 1 的位置，使得平面 1 ⊥平面 ，且点 1和 在平面 的同侧．
(Ⅰ)证明： 1 //平面 ;
(Ⅱ)求直线 和平面 1 所成角的正弦值．
16.(本小题 15 分)
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某公司是从事无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种无
人机性能都很好，但对操控人员的水平要求较高.已知在单位时间内，甲、乙两种无人机操作成功的概率分
2 1
别为3和2，假设每次操作成功与否相互独立．
(Ⅰ)该公司分别收集了甲种无人机在 5 个不同地点测试的两项指标 ， ( = 1,2,3,4,5)，数据如下表所示：
地点 1 地点 2 地点 3 地点 4 地点 5
2 4 5 6 8
3 4 4 4 5
试求 与 之间的相关系数 ，并利用 说明 与 的线性相关程度. (若| | > 0.75，则线性相关程度较高，否则
线性相关程度不高)
(Ⅱ)操作员连续进行两次无人机的操作，在初次操作时，随机选择这两种无人机中的一种，若初次操作成功，
则第二次继续使用该种无人机，若初次操作不成功，则第二次使用另一种无人机进行操作，求操作成功的
次数的数学期望．
( )( )
附： = =1 ， 0.9 ≈ 0.95．
( )2 =1 =1 ( )2
17.(本小题 15 分)
如图，动圆与半圆 2 + 2 = 4( ≥ 0)相切(内切或外切)，也与 轴相切．
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹方程．
(Ⅱ)直线 1的斜率为3，且与(Ⅰ)中所得的轨迹由左至右分别交于点 ， ， ， ，是否存在 满足| | = 2| |
若存在，求出 的方程;若不存在，请说明理由．
18.(本小题 17 分)
( ) ( )
若对于函数 ( )的定义域 内的任意非零实数 ， ，恒有 1 21 2 > 0，则称 ( )为区间 上的“理想”函1 2
数.已知函数 ( ) = sin ， ( ) = sin cos ， ， ∈ .
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(Ⅰ)若 ( ) 的图象在点( 2 , ( 2 ))处的切线经过坐标原点，求 ．
(Ⅱ)若 ( )是定义在 上的“理想”函数，且 ≥ 1，
(ⅰ)求 的取值范围;
(ⅱ)若当 取最大值时， ( ) = ( ) + 2 ( ) cos 是定义在( 2 , 2 )上的“理想”函数，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
设 是由 × 个实数组成的 行 列的数表，其中每个数的绝对值均不大于 1，且所有数的和为 0.记 ( )
为 的第 行各数之和，1 ≤ ≤ ， ( )为 的第 列各数之和，1 ≤ ≤ ，并记 ( )为| 1( )|，| 2( )|， ，
| ( )|，| 1( )|，| 2( )|， ，| ( )|中的最小值．
1 1 0.5
0 0.5 1
表 1
1 1
1
表 2
(Ⅰ)设数表 如表 1 所示，求 ( )的值;
(Ⅱ)设数表 如表 2 所示，求 ( )的最大值;
(Ⅲ)给定正整数 ，对于所有的 2 行(2 + 1)列数表 ，求 ( )的最大值．
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参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
123
135
14969
15解：(Ⅰ)证明∵ 1 = 1 ，∴ 1 ⊥ ，
又平面 1 ⊥平面 ，平面 1 ∩平面 = ，
∴ 1 ⊥平面 ，又 ⊥平面 ，∴ 1 // ．
又 1 平面 ， 平面 ，
∴ 1 //平面 ．
(Ⅱ)由题及(Ⅰ)可知，以 为坐标原点， ， ， 1所在直线分别为 轴， 轴、 轴建立如图所示的空间直
角坐标系，则 1(0,0,3)， ( 2,0,0)， (0,3,0)， (2,0,0)， (1,
3 , 0)， (0,3,2)， 1 = (2,0,3)， = (3,
3
2 2 , 0)，
= (1, 32 , 2)，
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1 = 2 + 3 = 0,
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，则 = 3 + 32 = 0,
令 = 2，可得 = ( 1,2, 23 )
设直线 和平面 1 所成的角为 ，
| | | 1 3
4
sin = = 3
|
= 32 29则 | || | 7 29 203 ，
3× 2
即直线 和平面 1 所成角的正弦值为
32 29．
203
16 2+4+5+6+8解：(Ⅰ) = 5 = 5 =
3+4+4+4+5
， 5 = 4，
5 ( )( ) = 6， 5 ( )2 = (2 5)2 + (4 5)2 =1 =1 + (5 5)
2 + (6 5)2 + (8 5)2 = 2 5，
5 2 2 =1 ( ) = (3 4) + (4 4)
2 + (4 4)2 + (4 4)2 + (5 4)2 = 2，
5
相关系数 = =1
( )( ) = 6 = 9 ≈ 0.95，
5 ( )2 5 ( )2 2 5× 2 10 =1 =1
因为 > 0.75，所以 与 具有较强的线性相关关系．
(Ⅱ)设操作成功的次数为 ，则 的所有可能取值为 0，1，2．
( = 0) = 12 × (1
2 1 1 1 2 1
3 ) × (1 2 ) + 2 × (1 2 ) × (1 3 ) = 6，
( = 1) = 1 × (1 2 ) × 12 3 2 +
1
2 ×
2
3 × (1
2 1
3 ) + 2 × (1
1
2 ) ×
2
3 +
1 1 1 35
2 × 2 × (1 2 ) = 72，
( = 2) = 1 2 2 1 1 1 252 × 3 × 3 + 2 × 2 × 2 = 72，
所以 ( ) = 0 × 16+ 1 ×
35 + 2 × 25 = 8572 72 72．
17解：(Ⅰ)设动圆圆心为 ( , )，作 ⊥ 轴于点 ．
①若动圆与半圆外切，则 = 2 + ，∴ 2 + 2 = + 2，
2 + 2 = 2 + 4 + 4 = 1两边平方得 ，化简得 24 1( > 0)．
②若动圆与半圆内切，则 = 2 ，∴ 2 + 2 = 2 ，
两边平方得 2 + 2 = 2 4 + 4，化简得 = 1 24 + 1( > 0)．
1
综上，当动圆与半圆外切时，动圆圆心的轨迹方程为 = 4
2 1( > 0);
1
当动圆与半圆内切时，动圆圆心的轨迹方程为 = 24 + 1( > 0)．
(Ⅱ) 1假设满足题意的 存在，可设 的方程为 = 3 + ．
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1
依题意，可得 与曲线 = 24 1( > 0)
1
交于 ， 两点，与曲线 = 4
2 + 1( > 0)交于 ， 两点．
= 1 1
由 3
+ , = + ,
与 3
= 1 24 1 =
1
4
2 + 1,
消去 整理得 3 2 4 12 12 = 0 ①
与 3 2 + 4 + 12 12 = 0 ②．
设 ( , )， ( , )， ( , )， ( , )，
+ = 4 4则 3， = 4 4， + = 3， = 4 4．
因为| | = 1 + ( 1 )23 | |，| | = 1 + (
1
3 )
2| |，且| | = 2| |，
所以| | = 2| |，
即( + 2 ) 4 = 4[( 2 + ) 4 ]，
得( 4 )23 + 16 + 16 = 4[(
4
3 )
2 16 + 16] 2，解得 = 3．
= 2 10将 3代入方程 ①，得 = 2， = 3．
1
因为函数 = 4
2 1( > 0)的定义域为( ∞, 2) ∪ (2, + ∞)，
所以假设不成立，即不存在满足题意的直线 ．
18(Ⅰ) 由题可知 ′( ) = cos cos + sin ，则 ′( 2 ) = 2，
又 ( 2 ) = 1，所以 ( )
4
的图象在点( 2 , ( 2 ))处的切线方程为 1 = 2 ( 2 )，将(0,0)代入，得 = 2．
(Ⅱ)( )由题可知 ′( ) = cos 1．
①当 1 ≤ ≤ 1 时， ′( ) ≤ 0 ( )恒成立 ( )在 上单调递减，又 (0) = 0，故 ≠ 0 时，恒有 < 0，符
合题意．
②当 > 1 时， ′(0) = 1 > 0，故存在 0 > 0，使得 ( )在(0, 0)上单调递增，
则 ( 0) > (0) = 0，又 (2 ) = (sin2 2) < 0，
( 1) ( 2)故当 1 ∈ (0, 0)， 2 = 2 时， < 0，不符合题意．1 2
综上，实数 的取值范围为[ 1,1]．
( )由题可知 ( ) = sin cos + 2(sin )cos = cos [tan ( + 2) + 2sin ]，
令 ( ) = tan ( + 2) + 2sin ， ∈ ( 2 ,

2 )，
则 ′( ) = 1cos2 + 2cos 2，
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令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = 2sin ( 1cos3 1)，
因为当 ∈ ( 2 , 0)时， ′( ) < 0，当 ∈ (0,

2 )时， ′( ) > 0，
故 ( ) 即 ′( )在( 2 , 0)上单调递减，在(0, 2 )上单调递增，且当 →± 2时， ′( ) →+∞， ′(0) = 1 ．
①当 ≤ 1 时， ′( ) ≥ 0 恒成立， ( )在( 2 , 2 )上单调递增，又 (0) = 0，
故 ( ) 在( 2 , 0)

上恒小于 0，在(0, 2 )上恒大于 0，又 ( ) = cos ( )且 cos > 0，

故在( 2 , 0) ∪ (0,
( )
2 )上，恒有 > 0，符合题意;
②当 > 1 时， ′(0) < 0，必存在 ∈ (0, 2 )，使得 ′( ) = 0，
则 ( )在(0, ) 上单调递减，在( , 2 )上单调递增，且 ( ) < 0，

当 → 2时， ( ) →+∞，

故存在 ∈ ( , 2 )，使得 ( ) = 0．
故 ( )在(0, ) 上恒小于 0，在( , 2 )上恒大于 0，
则当 1 ∈ (0, )， 2 ∈ ( ,

2 )
( 1) ( 时， 2
)
< 0，不符合题意．1 2
综上， 的取值范围为( ∞,1]．
19解：(Ⅰ)由题可知 1( ) = 1.5， 2( ) = 1.5， 1( ) = 1， 2( ) = 0.5，
3( ) = 1.5，∴ ( ) = 0.5．
(Ⅱ)先用反证法证明 ( ) ≤ 1:
若 ( ) > 1，则| 1( )| = | + 1| = + 1 > 1，∴ > 0.同理可知 > 0，∴ + > 0．
由题可知所有数的和为 0，即 + + = 1，∴ = 1 < 1，与题目条件矛盾，∴ ( ) ≤ 1.
易知当 = = 0， = 1 时， ( ) = 1，符合题意，∴ ( )的最大值为 1.
(Ⅲ)对于给定的正整数 ，任给数表 如下：
任意改变 的行次序或列次序，或把 中的每个数均换成它的相反数，记所得数表为 ′，则 ( ) = ( ′)．
所以不妨设 1( ) ≥ 0，且 ( ) ≥ 0(1 ≤ ≤ + 1)，
由 ( )的定义知 ( ) ≤ 1( )， ( ) ≤ ( )(1 ≤ ≤ + 1)，
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又因为 1( ) + 2( ) + + 2 +1( ) = 0，
所以( + 2) ( ) ≤ 1( ) + 1( ) + 2( ) + + +1( )
= 1( ) +2( ) +3( ) 2 +1( ) =
+1 2 +1 =1 = +2 ≤ ( + 1) × ( 1) = 2 + 1．
( ) ≤ 2 +1所以 +2．
例如对于下面的数表 0:
2 +1
则 ( 0) = +2．
2 +1
综上可知， ( )的最大值为 +2．
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