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2024-2025学年人教版七年级下期末专题复习
专题三 实数
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 平方根、算术平方根、立方根定义及性质
【例1】．下列说法错误的是（　　）
A．的算术平方根是 B．的平方根是
C．的平方根是 D．的算术平方根是
方法指导
区别：（1）定义不同：算术平方根，如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，平方根：如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根。立方根：如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做 三次方根），即如果，那么叫做的立方根。如=27，所以 3 是27的立方根。表示为
（2）个数不同：正数的算术平方根只有一个，正数的平方根有两个。任意实数都有立方根，立方根一个
（3）表示不同：正数a的算术平方根表示为，正数a的平方根表示为
立方根
（4）结果不同：正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根一正一负，它们互为相反数。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
联系：（1）同一个正数的平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根。
（2）存在的条件相同：只有非负数才平方根和算术平方根。
（3）特殊值0的平方根算术平方根都是0
变式训练1
1．下列说法中正确的是（ ）
A．3的平方根是9
B．
C．
D．3是9的平方根，可以表示为：
2．表示（ ）
A．2的算术平方根 B．2的平方根 C．2的平方 D．2的立方
3．的平方根是（ ）．
A． B． C． D．4
4．若，则（ ）
A．0.6 B．0.06 C．0.006 D．0.0006
5．已知，且与互为相反数，
(1)求的值；
(2)求的算术平方根；
(3)求的立方根．
重难点2 绝对值与算术平方根的非负性
【例2】．若，则的值（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
方法指导
一个数的绝对值、一个数的算术平方根都是非负数，它们的和为0，则每个非负数都为0
变式训练2
1．若实数满足，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．若，则的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．3
4．若实数，，满足： ，则的值为 ．
5．已知一个正数的两个平方根分别是和．
(1)求和的值；
(2)若，求的算术平方根．
重难点3 无理数概念及分类
【例3】．把下列各数的序号分别填入相应的大括号内：
①，②0，③，④，⑤．
(1)整数集合{ ……}；
(2)分数集合{ ……}；
(3)无理数集合{ ……}．
方法指导
无理数有三类：（1）不尽方根（2）特殊意义的数，如，（3）特定结构的数，如：01001000100001....
变式训练3
1．把下列各数填在相应的横线上（只需填序号）．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦0.111．
分数：__________________________；
无理数：_________________________．
2．判断下列各数是有理数还是无理数．
（每相邻两个1之间逐次增加一个0），．
3．下列六个数：（相邻两个2之间依次增加一个0），若无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，求的值．
4．有一个数值转换器，其工作原理如下图所示．
(1)若输入x的值是256，则输出y的值是_______；
(2)若输入有效的x的值后，始终输不出y的值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由．
5．如图，在下列边长为1的小正方形组成的网格中，利用网格点画图．
(1)画出一条线段，使得；
(2)在（1）的基础上，以为边，画出，使得的三边长都为无理数．
重难点4 实数大小比较及估算
【例4】．将下列各数近似的表示在数轴上，并用“”把它们连接起来．
，，，．
∴
方法指导
实数比较大小方法（1）借助数轴，利用数轴上表示的数右边的总比左边的大，（2）取特殊值比较，取特殊值时注意要在规定的取值范围内。
变式训练4
1．如图，周长为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点：
(1)那么点对应的数是______________；
(2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由．
2．如图，数轴上存在一个由4个相同的小正方形组成的大正方形，这个大正方形的面积为4．
(1)该图形中阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为 ，正方形的边长为 ；
(2)请在数轴上表示下列各数：，，；
(3)请比较（2）中三个数的大小，并用“<”号将它们连接起来．
3．小芳有一块长宽之比为，面积为的长方形纸片，她想沿着长方形边的方向裁出一块面积为的正方形纸片，她不知能否裁得出来，正在发愁．小宁见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
(1)这个长方形纸片的周长是多少？
(2)你同意小宁的说法吗？请通过计算进行说明．
4．比较大小：
(1)与2.42；
(2)2与；
(3)与；
(4)与．
5．比较下列各组数的大小：
(1)和6；
(2)和2.3；
(3)2，3，；
(4)4，，．
重难点5 实数与数轴综合应用
【例5】．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)实数的值是 ；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根．
方法指导
利用数轴，结合两点间的距离公式确定正负，再去掉绝对值符号进行计算
变式训练5
1．如图，数轴上点A，B表示的数分别是和2，点C表示的数为x．已知点C在数轴的负半轴上，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等．
(1)请求出数x的值．
(2)化简：．
2．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
(1)图中正方形ABCD的面积为________，它的边长为________
(2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值，
(3)若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答：
①点P表示的数为________
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2025重合？
3．【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为．
【问题解决】
(1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积______，边长______．
(2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形．
(3)以小正方形的边长作为1个单位画数轴，将图②中点放在数1处，以为圆心，为半径画圆，与数轴交于点，直接写出点表示的数．
4．已知一个正数x的两个平方根分别是和．
(1)求a和x的值；
(2)如图，在数轴上表示实数的点是______．
5．如下图，一只蜗牛从点沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点，点表示．设点所表示的数为．
(1)实数的值为______；
(2)若在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数．求的立方根．
重难点6 数学思想方法
数形结合思想
【例6-1】．如下图，一只蜗牛从点沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点，点表示．设点所表示的数为．
(1)实数的值为______；
(2)若在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数．求的立方根．
方法指导
先判断绝对值里面的数与0的大小，然后去掉绝对值符号，由形转化为数，化简
变式训练6-1
1．如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为，由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点．
(1)图中点表示的数为________，点表示的数为________．
(2)某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，此长度为 ．
(3)若，，均为实数，且满足，，为图中拼成的正方形的边长的小数部分，请计算的值．
2．在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网．
(1)方格网中格点正方形的面积是_______，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点表示的数为_______；说明_______可以在数轴上表示．
(2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长．
3．如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m．
(1)实数m的值是______；
(2)求的值；
(3)在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
特殊值法
【例6-2】．已知的立方根是3，的算术平方根是2，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
方法指导
取特殊值注意在规定取值范围内
变式训练6-2
1．小茗同学探索的近似值的过程如下：
∵面积为145的正方形的边长是且
∴设，其中．
画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积
依题意，得
∴
∵
∴
此时可忽略，得
解得
∴即的近似值是12.04
(1)的整数部分为______．
(2)仿照小茗的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程，近似值精确到0.01）
2．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．由于的整数部分是1，因此我们可用来表示的小数部分．
例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．
根据以上内容，解答下列问题：
(1)的整数部分是________，小数部分是________．
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
(3)已知，其中是整数，且，求的值．
3．下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．
因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分，又如：．．的整数部分为2，小数部分为．
任务：
(1)根据小茗笔记内容可知，的整数部分是________，小数部分是_________；
(2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根．
2024-2025学年人教版七年级下期末专题复习
专题三 实数（解析版）
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 平方根、算术平方根、立方根定义及性质
【例1】．下列说法错误的是（　　）
A．的算术平方根是 B．的平方根是
C．的平方根是 D．的算术平方根是
【答案】C
【分析】本题考查了平方根，算术平方根概念，根据平方根，算术平方根概念逐一排除即可，正确理解平方根，算术平方根的概念是解题的关键．
【详解】解：、的算术平方根是，原选项说法正确，不符合题意；
、的平方根是，原选项说法正确，不符合题意；
、没有平方根，原选项说法错误，符合题意；
、的算术平方根是，原选项说法正确，不符合题意；
故选：．
方法指导
区别：（1）定义不同：算术平方根，如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，平方根：如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根。立方根：如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做 三次方根），即如果，那么叫做的立方根。如=27，所以 3 是27的立方根。表示为
（2）个数不同：正数的算术平方根只有一个，正数的平方根有两个。任意实数都有立方根，立方根一个
（3）表示不同：正数a的算术平方根表示为，正数a的平方根表示为
立方根
（4）结果不同：正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根一正一负，它们互为相反数。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
联系：（1）同一个正数的平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根。
（2）存在的条件相同：只有非负数才平方根和算术平方根。
（3）特殊值0的平方根算术平方根都是0
变式训练1
1．下列说法中正确的是（ ）
A．3的平方根是9
B．
C．
D．3是9的平方根，可以表示为：
【答案】B
【分析】本题主要考查的是平方根和算术平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．依据平方根和算术平方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：、3的平方根是，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、3是9的平方根，但不可以表示为：，故本选项不符合题意；
故选：．
2．表示（ ）
A．2的算术平方根 B．2的平方根 C．2的平方 D．2的立方
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根的概念，根据算术平方根的概念求解即可．
【详解】表示2的算术平方根．
故选：A．
3．的平方根是（ ）．
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查算术平方根、平方根，先求得，再求4的平方根即可，注意（易错点）．
【详解】解：∵，
∴的平方根是，
故选：C．
4．若，则（ ）
A．0.6 B．0.06 C．0.006 D．0.0006
【答案】A
【分析】本题考查立方根，理解一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍是得出正确答案的关键．
根据立方根的定义，一个数缩小1000倍，则它的立方根就缩小10倍，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选A
5．已知，且与互为相反数，
(1)求的值；
(2)求的算术平方根；
(3)求的立方根．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，再根据立方根的性质和相反数的定义可得的值；
（）把的值代入求出的值，进而根据算术平方根的定义即可求解；
（）把的值代入求出的值，进而根据立方根的定义即可求解；
本题考查了非负数的性质，算术平方根和立方根的定义，相反数的定义，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∵与互为相反数，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴的算术平方根为；
（3）解：∵，，
∴，
∴的立方根为．
重难点2 绝对值与算术平方根的非负性
【例2】．若，则的值（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
【答案】C
【分析】本题考查了非负数的性质，以及有理数的乘方运算，根据非负数的性质求出a、b的值是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
方法指导
一个数的绝对值、一个数的算术平方根都是非负数，它们的和为0，则每个非负数都为0
变式训练2
1．若实数满足，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，根据算术平方根和绝对值的非负性，据此列等式解出a与b的值．即，即可解答．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴
故选：D．
2．若，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根和平方数的非负性，有理数的乘方，求代数式的值，正确理解算术平方根和平方数的非负性是解题的关键．由题意得，，求得，，再代入求解即可．
【详解】解：，
，，
，，
．
故选：A．
3．若，则的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的算术平方根为3；
故选D．
4．若实数，，满足： ，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了绝对值，二次根式和完全平方式的非负性，根据几个非负数的和为0，则每个式子的值多位0，求出x、y、z的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
且，
，，，
，，，
．
故答案为：4
5．已知一个正数的两个平方根分别是和．
(1)求和的值；
(2)若，求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根．
（1）根据平方根的意义可直接列方程求解；
（2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）依题意得：，
解得：，
；
（2）∵
∴，
∴，
，
的算术平方根为3．
重难点3 无理数概念及分类
【例3】．把下列各数的序号分别填入相应的大括号内：
①，②0，③，④，⑤．
(1)整数集合{ ……}；
(2)分数集合{ ……}；
(3)无理数集合{ ……}．
【答案】(1)②，④；
(2)①；
(3)③，⑤．
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．
（1）根据整数的定义求解即可；
（2）根据分数的定义求解即可；
（3）根据无理数的定义求解即可．
【详解】（1）④，
整数集合{ ②，④，……}．
故答案为：②，④；
（2）分数集合{①，……}．
故答案为：①；
（3）无理数集合{③，⑤，……}．
故答案为：③，⑤．
方法指导
无理数有三类：（1）不尽方根（2）特殊意义的数，如，（3）特定结构的数，如：01001000100001....
变式训练3
1．把下列各数填在相应的横线上（只需填序号）．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦0.111．
分数：__________________________；
无理数：_________________________．
【答案】分数：④⑤⑦；无理数：②③⑥．
【分析】本题考查了分数和无理数的概念，解题的关键是准确理解分数和无理数的定义并据此对给出的数进行分类．
先明确分数和无理数的定义，再根据定义逐一判断所给的数，最后将其序号填入相应类别．
【详解】分数的判断：
分数是有理数的一种表现形式，可以表示为两个整数之比．④，是两个整数和2的比，属于分数；⑤，也是两个整数和2的比，属于分数；⑦0.111是有限小数，有限小数可以转化为分数形式，例如，属于分数，
所以分数为④⑤⑦；
无理数的判断：
无理数，也称为无限不循环小数．②是开方开不尽的数，其结果是无限不循环小数，属于无理数；③，因为是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，属于无理数；⑥是一个常见的无限不循环小数，属于无理数，
所以无理数为②③⑥．
2．判断下列各数是有理数还是无理数．
（每相邻两个1之间逐次增加一个0），．
【答案】无理数：（每相邻两个1之间逐次增加一个0）；有理数：，
【分析】本题主要考查了实数分类，无理数和有理数定义，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．根据无理数是指无限不循环小数，整数和分数统称为有理数进行求解即可．
【详解】解：无理数：（每相邻两个1之间逐次增加一个0）；
有理数：，．
3．下列六个数：（相邻两个2之间依次增加一个0），若无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，求的值．
【答案】6
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，（每两个8之间依次多1个0）等形式．
先根据实数的分类得出2个无理数，有0个整数，4个非负数，然后求值即可.
【详解】解：和是无理数，共有2个无理数，；
没有整数，即整数有0个，；
是非负数，共有4个非负数，，
4．有一个数值转换器，其工作原理如下图所示．
(1)若输入x的值是256，则输出y的值是_______；
(2)若输入有效的x的值后，始终输不出y的值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由．
【答案】(1)
(2)1或0，见解析
【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．
（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；
【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数，
继续取算术平方根，不是无理数，
继续取算术平方根，不是无理数，
继续取算术平方根，是无理数，所以输出的值为；
（2）解：满足要求的x的值是1或0．
理由如下：
一个有理数，若算术平方根等于其本身，则求算术平方根的结果总是有理数，始终输不出y的值，而算术平方根等于本身的数是1和0，
所以满足要求的x的值是1或0．
5．如图，在下列边长为1的小正方形组成的网格中，利用网格点画图．
(1)画出一条线段，使得；
(2)在（1）的基础上，以为边，画出，使得的三边长都为无理数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是作图应用与设计作图，勾股定理和网格，熟知勾股定理是解答此题的关键．
（1）根据，然后利用网格的特点求解即可；
（2）根据勾股定理得到，，，然后画出三角形即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
；
（2）如图所示，即为所求；
，，．
重难点4 实数大小比较及估算
【例4】．将下列各数近似的表示在数轴上，并用“”把它们连接起来．
，，，．
【答案】数轴表示见解析，
【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的关键．先对各数化简，对无理数取近似值，再借助近似值在数轴上确定它们的大至位置即可．然后根据数轴上的数从左到右逐渐增大排列大小．
【详解】解：，，
如图所示：
∴
方法指导
实数比较大小方法（1）借助数轴，利用数轴上表示的数右边的总比左边的大，（2）取特殊值比较，取特殊值时注意要在规定的取值范围内。
变式训练4
1．如图，周长为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点：
(1)那么点对应的数是______________；
(2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查了实数与数轴，实数大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离等于圆的周长，即可解答；
（2）根据，然后利用不等式的性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：∵圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离为圆的周长，
∴点对应的数是，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，即，
∴．
2．如图，数轴上存在一个由4个相同的小正方形组成的大正方形，这个大正方形的面积为4．
(1)该图形中阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为 ，正方形的边长为 ；
(2)请在数轴上表示下列各数：，，；
(3)请比较（2）中三个数的大小，并用“<”号将它们连接起来．
【答案】(1)2，
(2)见详解
(3)．
【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，用数轴表示实数，以及利用数轴比较实数的大小．
（1）由题意知一个小正方形的面积为1，则阴影部分的面积为：，边长为；
（2）由，，在数轴上表示出各实数即可；
（3）根据数轴比较实数的大小即可．
【详解】（1）解：∵由题意知：一个小正方形的面积为1，
∴阴影部分的面积为：，边长为．
故答案为：2，；
（2）解：，，
则在数轴上表示如下：
；
（3）解：由（2）可知：．
3．小芳有一块长宽之比为，面积为的长方形纸片，她想沿着长方形边的方向裁出一块面积为的正方形纸片，她不知能否裁得出来，正在发愁．小宁见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
(1)这个长方形纸片的周长是多少？
(2)你同意小宁的说法吗？请通过计算进行说明．
【答案】(1)这个长方形纸片的周长是
(2)不同意小宁的说法，见解析
【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．
（1）长方形纸片的长和宽分别为和，根据题意列方程，解方程即可求解；
（2）求出面积为的正方形纸片的边长为，与长方形纸片的宽比较大小即可．
【详解】（1）解：（1）设长方形纸片的长和宽分别为和，依题意得：
，
∴（负值舍去），
∴，．
∴长方形纸片的长为，宽为，
∴长方形的周长是，
答：这个长方形纸片的周长是．
（2）解：不同意小宁的说法．理由如下：
∵要裁出面积为的正方形纸片，
∴正方形纸片的边长为，
∵，，
∴不能裁出一块面积为的正方形纸片．
∴不同意小宁的说法．
4．比较大小：
(1)与2.42；
(2)2与；
(3)与；
(4)与．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查比较实数大小，熟练掌握比较实数大小的方法以是解题的关键．
（1）通过估算无理数大小进行比较即可；
（2）比较两数的立方大小即可求解；
（3）比较两数绝对值的立方大小即可求解；
（4）利用作差法求解即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，且，
所以．
（2）解：因为，而，
所以．
（3）解：因为，而，
所以，
所以．
（4）解：因为，而，
所以，
所以，
所以．
5．比较下列各组数的大小：
(1)和6；
(2)和2.3；
(3)2，3，；
(4)4，，．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题关键．
（1）根据算术平方根的定义，进而即可求解；
（2）根据立方根的定义，进而即可求解；
（3）根据立方根的定义可得，比较即可获得答案；
（4）结合算术平方根和立方根的定义，首先比较4与的大小，再比较4与的大小，即可获得答案．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
；
（3）解：，
；
（4）解：，
，
，
，
．
重难点5 实数与数轴综合应用
【例5】．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)实数的值是 ；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根．
【答案】(1)
(2)
(3)的立方根为2
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；
（2）由（1）可知、，再利用绝对值性质和二次根式的混合运算，继而求得答案；
（3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根．
【详解】（1）解：一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，实数m的值是：．
故答案为：．
（2）解：由数轴可知：，．
∴
．
（3）解：∵与互为相反数，
，
，
∴，，
∴，，
∴，
∵8的立方根为2，
∴的立方根为2．
【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
方法指导
利用数轴，结合两点间的距离公式确定正负，再去掉绝对值符号进行计算
变式训练5
1．如图，数轴上点A，B表示的数分别是和2，点C表示的数为x．已知点C在数轴的负半轴上，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等．
(1)请求出数x的值．
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
（1）根据，利用数轴上两点间的距离公式列出关于x的方程，即可求得x的值；
（2）根据（1）中x的值代入计算即可．
【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是和2，
∴，
由已知得，
∵点C在数轴的负半轴上，
∴；
（2）解：∵，
∴．
2．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
(1)图中正方形ABCD的面积为________，它的边长为________
(2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值，
(3)若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答：
①点P表示的数为________
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2025重合？
【答案】(1)10，
(2)
(3)①；②不存在
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，
（2）利用无理数估算的方法即可求得和；将和代入计算即可；
（3）①根据点表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，②判断是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论．
本题考查实数与数轴，算术平方根，正方形的面积，无理数的估算．掌握等面积法是解决（1）的关键，（2）中需注意小数部分原数整数部分．
【详解】（1）解：正方形的面积为；
正方形的边长为；
故答案为：
（2）解：，
，
∴，
；
（3）解：①点A表示的数为1，正方形的边长为，
点表示的数为：；
②不存在．
理由：假设存在正整数，则，
，
，
n为正整数，
为有理数，而为无理数，
上式等号不成立．即不存在正整数．
3．【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为．
【问题解决】
(1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积______，边长______．
(2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形．
(3)以小正方形的边长作为1个单位画数轴，将图②中点放在数1处，以为圆心，为半径画圆，与数轴交于点，直接写出点表示的数．
【答案】(1)5；
(2)图见解析
(3)或
【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，熟练掌握算术平方根的几何意义是解题的关键．
（1）利用割补法求出正方形的面积，再进行开平方运算即可得到边长；
（2）根据边长为的格点正方形可知其面积为8，得到减去的四个直角三角形的面积都为2，即可得到直角三角形的两条直角边长均为2，从而得到答案；
（3）根据题意分情况讨论，当点在的右侧时，利用，即可求得答案；当点在的左侧时，利用，即可求得答案．
【详解】（1）解：由图形可得，
，
，
故答案为：5；．
（2）解：画边长为的格点正方形，
该正方形的面积为8，
网格由16个小正方形组成，即面积为16，
同（1）可知，减去的四个直角三角形的面积都为2，
即该直角三角形的两条直角边长均为2，
故图形如图所示即为所求，
（3）解：以小正方形的边长作为1个单位画数轴，将点放在数1处，
，
由（1）可知，
以为圆心，为半径画圆，与数轴交于点，
当点在的右侧时，，
即点表示的数为；
当点在的左侧时，，
即点表示的数为；
综上，点表示的数为或．
4．已知一个正数x的两个平方根分别是和．
(1)求a和x的值；
(2)如图，在数轴上表示实数的点是______．
【答案】(1)a的值为3，x的值为16；
(2)
【分析】本题考查了平方根的概念及无理数的估算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得，，求解即可；
（2）先代入表示出的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可．
【详解】（1）一个正数x的两个平方根分别是和，
，，
解得，
所以，a的值为3，x的值为16；
（2），
，
，
，即，
∴在数轴上表示实数的点是，
故答案为：．
5．如下图，一只蜗牛从点沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点，点表示．设点所表示的数为．
(1)实数的值为______；
(2)若在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数．求的立方根．
【答案】(1)；
(2)的立方根为．
【分析】本题考查了数轴表示数，非负数的性质，立方根的意义，解题关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义．
（1）根据在数轴上表示的数进行解答即可；
（2）根据非负数的意义，以及立方根的意义，进行解答．
【详解】（1）解：∵一只蜗牛从点沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点，点表示，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵与互为相反数，
∴ ，
∴，
解得：，
∴，
∴的立方根为．
重难点6 数学思想方法
数形结合思想
【例6-1】．如下图，一只蜗牛从点沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点，点表示．设点所表示的数为．
(1)实数的值为______；
(2)若在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数．求的立方根．
【答案】(1)；
(2)的立方根为．
【分析】本题考查了数轴表示数，非负数的性质，立方根的意义，解题关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义．
（1）根据在数轴上表示的数进行解答即可；
（2）根据非负数的意义，以及立方根的意义，进行解答．
【详解】（1）解：∵一只蜗牛从点沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点，点表示，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵与互为相反数，
∴ ，
∴，
解得：，
∴，
∴的立方根为．
方法指导
先判断绝对值里面的数与0的大小，然后去掉绝对值符号，由形转化为数，化简
变式训练6-1
1．如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为，由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点．
(1)图中点表示的数为________，点表示的数为________．
(2)某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，此长度为 ．
(3)若，，均为实数，且满足，，为图中拼成的正方形的边长的小数部分，请计算的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了运用数轴上的点表示无理数，平方根，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）先由题意得该半圆的半径为，再运用数轴知识进行求解即可；
（2）先求出大正方形的面积为，再减去两个长方形的面积求得中心小正方形的面积，最后运用平方根知识进行求解即可；
（3）先利用平方根的以及二次根式的性质等知识求得、、，再代入求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积为，
小正方形的对角线为，
，
点表示的数为，点表示的数为，
故答案为：，；
（2）解：由题意得，大正方形面积为，两个小长方形面积为，
小正方形的面积为，
小正方形的边长为，即小长方形的对角线的长度为；
（3）解：，，均为实数，且满足，，
，，
为图中拼成的正方形的边长的小数部分，
，
当，，时，；
当，，时，；
综上所述，的值为或．
2．在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网．
(1)方格网中格点正方形的面积是_______，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点表示的数为_______；说明_______可以在数轴上表示．
(2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长．
【答案】(1)2，，无理数
(2)见解析；
【分析】本题考查无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）先根据网格特点，求出正方形的面积，再根据无理数的表示和正方形的面积公式求得，进而可得求解；
（2）先构造为边的正方形，求得它的面积，进而利用正方形的面积公式以及无理数的表示求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，正方形的面积为，即
以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴相交于点
点表示的数为
说明无理数也可以在数轴上进行表示
故答案为：2，，无理数
（2）解：如图，构造为边的格点正方形，
3．如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m．
(1)实数m的值是______；
(2)求的值；
(3)在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
(3)的平方根为
【分析】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，平方根的含义；
（1）根据数轴上两点之间的距离可得答案；
（2）由数轴可知：，再根据绝对值的意义化简即可；
（3）根据非负数的性质求解，，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为，，
∴，
（2）解：由数轴可知：，
∴，，
∴；
（3）解：∵与互为相反数，
∴，
又，均为非负数，故且，
即，，
∴，
∴的平方根为．
特殊值法
【例6-2】．已知的立方根是3，的算术平方根是2，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的定义，无理数的估算，掌握其基本定义是解题的关键．
（1）利用算术平方根以及立方根的定义可以求出a、b，根据的估值可以求出c；
（2）将（1）求出的值代入即可．
【详解】（1）∵的立方根是3，的算术平方根是2，
∴，
∴，
∵c是的整数部分，，
∴．
（2）将代入得：，
∴的平方根是．
方法指导
取特殊值注意在规定取值范围内
变式训练6-2
1．小茗同学探索的近似值的过程如下：
∵面积为145的正方形的边长是且
∴设，其中．
画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积
依题意，得
∴
∵
∴
此时可忽略，得
解得
∴即的近似值是12.04
(1)的整数部分为______．
(2)仿照小茗的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程，近似值精确到0.01）
【答案】(1)16
(2)16.44
【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目中的方法，按照方法进行估算；
（1）根据270附近的平方数确定的整数部分即可；
（2）按照题目给出的方法求出的近似值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
的整数部分为16，
故答案为：16．
（2）解：示意图如图所示：
∵面积为270的正方形边长为，
且，
∴设，其中
根据示意图，可得图中正方形面积为
又∵，
∴，
当时，可忽略，得：，解得：
即．
2．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．由于的整数部分是1，因此我们可用来表示的小数部分．
例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．
根据以上内容，解答下列问题：
(1)的整数部分是________，小数部分是________．
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
(3)已知，其中是整数，且，求的值．
【答案】(1)；．
(2)
(3)
【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键；
（1）根据题意求出，即可求解；
（2）利用，得出，得到的整数部分是2，的小数部分是，则，同理可得的整数部分是，即，代入即可得到答案；
（3）求出，则，由，其中是整数，且得到，，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是，小数部分是；
（2）解：，
，
的整数部分是，小数部分是，即．
同理可得的整数部分是，即，
；
（3）解：∵ ，其中是整数，且，
∴是的整数部分，是的小数部分，
∵，
∴，
∴，，
∴．
3．下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．
因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分，又如：．．的整数部分为2，小数部分为．
任务：
(1)根据小茗笔记内容可知，的整数部分是________，小数部分是_________；
(2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根．
【答案】(1)6，
(2)
【分析】本题考查了估算无理数的大小．
（1）先估算出的范围，即可得出答案；
（2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可．
【详解】（1）解∶∵，
∴，即，
∴的整数部分是6， 小数部分是，
故答案为∶6，；
（2）解：∵，
∴，即，
∴，即
∵，其中x是整数，且，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
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