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浙江省舟山市普陀区2025年初中毕业生学业水平适应性考试数学试题卷（二模）
1．（2025·普陀二模）近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000014米，将数据“0.00000014”用科学记数法表示为（　　）
A． B．。
C． D．。
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.00000014=1.4×10-7；
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法表示形式即可确定答案.
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
2．（2025·普陀二模） 下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，正确，故A符合题意；
B.，错误，故B不符合题意；
C.，错误，故C不符合题意；
D.，错误，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据幂的乘方，合并同类项法则，同底数幂相除及完全平方公式计算，即可判断.
3．（2025·普陀二模）如图是某同学搭建的积木立体图，则该几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】从左边看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形．
故答案为：D．
【分析】根据从左边看得到的几何图形解答即可．
4．（2025·普陀二模）2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“BMI”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（m表示体重，单位：公斤；h表示身高，单位：米），成年人BMI数值标准见下表：
BMI范围 BMI＜18.5 18.5≤BMI＜24 24≤BMI＜28 BMI≥28
胖瘦程度 偏痩 正常 偏胖 肥胖
已知某位成年人身高1.6米，体重64公斤，则该成年人胖瘦程度为（　　）
A．偏瘦 B．正常 C．偏胖 D．肥胖
【答案】C
【知识点】有理数的乘除混合运算；不等式的性质
【解析】【解答】解： 该成年人的==25，
则 24≤25＜28，
则该成年人胖瘦程度为偏胖；
故答案为：C.
【分析】根据题意将m，h的值代入计算，即可判断.
5．（2025·普陀二模）小明同学在学习了八年级上册“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了下图，那么下列选项不适合填入的是（　　）
A．两边相等 B．一个角为直角
C．有一个角45° D．斜边与直角边比为：1
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；等腰直角三角形；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.两边相等的三角形是等腰三角形，故A不符合题意；
B.有一个角为直角的三角形是直角三角形，故B不符合题意；
C.有一个角45°的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，故C符合题意；
D.斜边与直角边比为的直角三角形是等腰直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形、直角三角形和等腰直角三角形的判断方法判断即可.
6．（2025·普陀二模）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，OC'：OC=2：3，△A'B'C'的面积为4，则△ABC面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ △ABC与△A'B'C'位似，
∴△ABC~△A'B'C'，AC∥A'C'，
∴△OAC~△OA'C'，
∴，
∴，
∵S△A'B'C'=4，
∴S△ABC=9，
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的概念可得△ABC~△A'B'C'，AC∥A'C'，进而可证△OAC~△OA'C'，即可得出相似三角形的对应边比等于位似比，再根据相似三角形的面积比等于对应边之比的平方，计算即可得出答案.
7．（2025·普陀二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，点N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E。若CD=2则DE=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：AD平分∠BAC，
∵ DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE，
∵CD=2，
∴DE=2，
故答案为：B.
【分析】由基本作图可得AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质即可得到CD=DE，即可得出答案.
8．（2025·普陀二模）小宜与同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单，若他们所点的餐总共为15份意大利面，х杯饮料，у份沙拉，则他们点了几份A餐？（　　）
A餐：一份意大利面 B餐：一份意大利面加一杯饮料 C餐：一份意大利面加一杯饮料与一份沙拉
A．15-x B．15-y C．15-x-y D．15-x+y
【答案】A
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵x杯饮料在B和C餐中，
∴在B和C餐中点了x份意大利面，
∴点A餐为15 - x；
故答案为：A.
【分析】根据点的饮料能确定在B和C餐中点了x份意大利面，根据题意可得点A餐的数量.
9．（2025·普陀二模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，BD=BC，AD=AE，若要求∠CDE的度数，则只需知道（　　）的度数
A．∠A B．∠B C．∠ACB D．∠DCE
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠BDC-(180°-∠B)=90°-∠B，
同理：∠ADE=90°-∠A，
∴∠ADE+∠BDC=180°-(∠A+∠B)，
∴∠DCE=180-(∠ADE+∠BDC)=(∠A+∠B)
故A、B不符合题意；
∵∠DCE=(∠A+∠B)= (180°-∠ACB)=90°-∠ACB
故C符合题意；
∠DCE和∠DCE没有数量关系，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质得到∠BDC=90°-∠B，∠ADE=90°-∠A，由三角形内角和定理求出∠DCE=90°-∠ACB，∠DCE和∠DCE没有数量关系，即可得到答案.
10．（2025·普陀二模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别为CD、AB上的点，且ED=2BF，连结 CF、EF、DF，其中∠CFE=∠CDF，CF=2，则 DF=（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∠A=∠B=90°，
∵∠CFE=∠CDF，∠FCE=∠DCF，
∴△CFE~△CDF，
∴，
由ED=2BF，CF=2
设CD=AB=m，BF=x，ED=2x，
AF=m-x，AD=BC=y，
∴，
∴m2-2mx =4，
在Rt△BCF中，BC2+BF2=FC2，即
y2+x2= 22= 4，
在Rt△ADF中
DF2=AF2+AD2=y(m-x) 2+y2=m2-2mx+x2+y2=4+4=8，
∴DF =，
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质，设CD=AB=m，BF=x，ED=2x，AF=m-x，AD=BC=y，先证明△CFE~△CDF，得出关于m，x的方程，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出关于x，y的方程，最后在Rt△ADF中，利用勾股定理即可求得DF.
11．（2025·普陀二模）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．（2025·普陀二模）在网络课程学习中，小蕾和小丽分别在《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为　 　。
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：《好玩的数学》用A表示，《美学欣赏》用B表示，《人文中国》用C表示，
根据题意得
一共有9种结果，两人恰好选中同一门课程的有3种情况，
∴
故答案为：.
【分析】根据题意可知此事件是抽取放回，列出树状图，求出所有等可能的结果数及两人恰好选中同一门课程的情况数，然后利用概率公式可求解。
13．（2025·普陀二模）如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P。PC=12，则⊙O的半径为　 　。
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵PC为 ⊙O 的切线，
∴OC⊥PC，即∠PCO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°，
在Rt△POC中，PC=12，
∴OC===；
故答案为：.
【分析】根据切线的性质及圆周角定理可得出∠A的度数，再通过三角函数关系即可求得半径的长度.
14．（2025·普陀二模）已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是　 　。
【答案】12π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积即为扇形的面积：=12π；
故答案为：12π.
【分析】圆锥的侧面积即为扇形的面积，根据扇形的面积公式计算即可.
15．（2025·普陀二模）已知点（m，n）在直线y=x+b（b为常数）上，若mn的最小值为-1，则b=　 　。
【答案】±2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将点（m，n）代入y=x+b中得，
n=m+b，
则mn=m(m+b)=m2+mb，
∵ mn的最小值为-1，
∴m＞0，且当时，mn取最小值，
则，
解得：b=±2；
故答案为：±2.
【分析】将点（m，n）代入y=x+b中得关于m，n的等式，再根据二次函数的性质，抛物线开口向上，存在最小值，利用二次函数顶点公式求最小值，即可得出关于b的方程，求解即可.
16．（2025·普陀二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为边AB上一点，连结CD，作点B关于CD的对称点E，连结CE、AE，延长CD、AE交于点F，若AE=DE=2，则EF=　 　。
【答案】
【知识点】圆的综合题；等腰直角三角形；四点共圆模型
【解析】【解答】解：作DH⊥AF于点H，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，
由折叠的性质得：BC=EC，∠CED=∠B，∠BCD=∠ECD，
∴∠CAB=∠CED=45°，AC=CE，
∴A，C，D，E四点共圆，
∵AE=DE=2，
∴，∠EAD=∠EDA，
∴∠ACE=∠ECD，
∴∠ACE=∠BCD=∠ECD=30°，
∵AC=CE，∠ACE=30°，
∴∠CAE=∠CEA=75°，
∴∠EAD=∠EDA=75°-45°=30°，
∠F=180°-60°-75°=45°，
∴∠DEH=60°，
∴∠EDH=30°，
∴EH=DE=1，
∴DH==，
∵DH⊥AF，∠F=45°，
∴△DHE是等腰直角三角形，
∴FH=DH=，
∴EF=+1，
故答案为：+1.
【分析】作DH⊥AF于点H，先证明A，C，D，E四点共圆，可证∠ACE=∠ECD，求出∠ACE=∠BCD=∠ECD及其度数，由等腰三角形的性质求出∠CAE=∠CEA及其度数，进而得∠EAD=∠EDA及∠F的度数，然后分别求出EH的长度，FH=DH及其长度，即可求出EF的长度.
17．（2025·普陀二模）
（1）计算： -4cos45°+（-1）2025
（2）化简： （a-5）2+（3+a）（3-a）
【答案】（1）解：原式= =-1
（2）解：原式=a2-10a+25+9-a2
=-10a+ 34
【知识点】整式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据最简二次根式，三角函数，-1的奇次幂计算，即可得出答案；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式将代数式展开，再合并同类项即可.
18．（2025·普陀二模）小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的AI分析。
豆包给出分析： 这个解答从第 ▲ 步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误。 正确解答为：，其中x=1 解：原式=
【答案】解：①；
当=1时
原式=1-1=0
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【分析】根据同分母分式的加减运算法则求解即可.
19．（2025·普陀二模）电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房，成为中国电影票房榜冠军。为了解大家对电影的评价情况，小舟同学从某电影院观影后的观众中，随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于8分（电影评分用x表示，共分成四组：A.8下面给出了部分信息：
C组的数据是：9.1，9.2，9.3， 9.3，9.3， 9.3， 9.4， 9.4。
（1）求出C组数据的中位数和众数；
（2）补全条形统计图；
（3）若共有800名观众参加了此次评分调查，估计此次评分调查认为电影特别优秀（x>9.2）的观众人数是多少
【答案】（1）解：C组中位数：9.3分；众数：9.3分
（2）解：如图
（3）解： （人）
答：估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众为560人。
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可得出答案；
（2）根据题意求出A，D组的频数，即可补全条形统计图；
（3）根据样本估计总体计算即可.
20．（2025·普陀二模）如图，小明利用无人机测大楼的高度BC.在空中点P测得：到地面上一点A处的俯角∠MPA=60°，距离PA=80米，到楼顶C点处的俯角∠NPC=30°。已知点A与大楼的距离AB为70米。（点A、E、B共线且图中所有的点都在同一平面内）
（1）求点P到地面AB的距离PE；
（2）求大楼的高度BC。（结果保留根号）
【答案】（1）解：
在 中，
∵，
∴（米）.
答：点P到地面AB的距离PE为米；
（2）解：延长 BC 交 MN 于 D 点，如图，
在 中，
∵，
∴（米），
∵ 米，
∴（米），
∵，
∴ 四边形 PEBD 为矩形，
∴，PD = BE = 30 米，
在 中，
∵，
∴（米），
∴（米）。
答：大楼的高度 BC 为 米。
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】(1)先根据平行线的性质得到∠PAE=∠MPA=60°，再根据含30°角的直角三角形三边的关系计算出AE的长度，然后计算PE的长即可；
(2)延长BC交MN于点Q，先计算出BE的长度，易得四边形PEBQ为矩形，进而可得PQ=BE=30米，BQ=PE=米，接着在Rt△PQC中利用正切的定义计算出CQ的长度，然后计算BQ-CQ即可.
21．（2025·普陀二模）在现代智能仓储系统中，一款名为“SwifiBot”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据：
载重W（kg） … 10 12 15 20 30 …
v（m/s） … 6 5 4 3 2 …
（1）把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如（10，6），（12，5）..已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测与W之间的函数关系，并求出函数关系式；
（3）某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量。
【答案】（1）解：如图；
（2）解：v与W成反比例函数关系
设v =，(10，6)代入得：k=60
∴v=
(12，5)(15， 4)(20， 3)(30， 2)代入上式，均符合，
∴v=.
（3）解：
答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）根据题意，连线作图即可；
（2）根据（1）可知，图象为反比例函数，进而用待定系数法求解析式即可；
（3）根据题意可求出v的值，即可求出 的最值.
22．（2025·普陀二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，连结BE，EF，FG。
（1）求证：四边形BEFG为平行四边形；
（2）如图1，若BD=2AB，求证：BE⊥AO；
（3）如图2，当平行四边形ABCD为菱形时，若BD=AB，AB=8，求四边形BEFG的面积。
【答案】（1）证明： ∵ 四边形ABCD 是 ABCD，
∴，，
∵点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，
∴，，，
∴，，
∴五边形BEFG是平行四边形；
（2）证明：∵ ABCD，
∴AC，BD互相平分，
∴，
∵，
∴，
∴点E为AO中点，
∴；
（3）解：过点 E 作 于点 H，
菱形
为等边三角形
∴四边形BEFG的面积。
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据中位线定理可得EF∥AD，EF=AD，BG=BC，即可得出EF∥BG，EF=BG，即可得证；
(2)先证BO=BA，再根据等腰三角形三线合一证垂直即可；
(3)过点E作EH⊥BC于点H，易得BD的长度，根据边关系可得∠BAO的度数，进而可得△ABC为等边三角形，从而得解.
23．（2025·普陀二模） 已知二次函数y=（x-m）（x-m+2），回答下列问题：
（1）若该函数图象经过点（2，-1）
①求该函数图象与x轴的交点坐标；
②点A（-1，1）向上平移2个单位长度，向右平移K（K>0）个单位长度后，落在二次函数y=（x-m）（x-m+2）图象上，求K的值。
（2）若该函数图象经过点（2m-1， a）与点（3m-4，b），且与x轴的两个交点到点（1，0）的距离均小于2，求证：b＜a。
【答案】（1）解：①把(2，-1)代入y=(x-m)(x-m+2)得m=3，∴y =(x-3)(x-1)
则与x轴的交点坐标为(3，0)和(1，0)
②点A（-1，1)向上平移2个单位长度，向右平移k个单位长度后得(-1+k，3)
代入y=(x-3)(x-1)得：3=(k-1-3)(k-1-1)
∴k1=1， k2=5
（2）证明：把(2m-1， a)、(3m-4， b)代入得：
∵图象与x轴的交点(m，0)和(m-2，0)之间的距离为2，
（1，0）到(m，0)和(m-2，0)的距离均小于2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】(1)①利用待定系数法求得m的值，然后令y=0，解方程即可求解；
②求得平移后的点的坐标，代入解析式即可求解；
(2)根据题意得到关于m的不等式组，解不等式组求得m的取值范围，把点(2m-1，a)与点(3m-4，b)代入解析式可得a，b的代数式，即可得出b-a的代数式，即可证得结论.
24．（2025·普陀二模）如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，在CA延长线上取一点E，使得AE=AB，连结BE，在AE下方，作∠AFE=∠BCA，连结CF交⊙O于点D，连结BD。
（1）如图1，若∠BDC=∠AEF
①求证： △ABC≌△EAF；
②若AE=2，AF=4，求CD的长度。
（2）如图2，若AF=EF，2∠CBD=3∠BCA时，求证：BD=EF。
【答案】（1）解：①∵，
在和中
②连结AD
∵AC为直径
在 Rt 中， ，在 Rt 中， ，
在 Rt 中，
（2）证明：取的中点G，连接BG、AG
在和中
∴设
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)①利用ASA易证△ABC≌△EAF；
②根据①中结论可得全等三角形对应边相等，即可得BA=AE=2，BC=AF=4，根据勾股定理可求出AC，CF的长度，再根据等面积法可得AD的长度，再根据勾股定理即可求出CD的长度；
(2)取优弧的中点G，连结BG、AG，先证△GAB≌△FEA(ASA)，得AG=EF，设∠BCA=2x，∠CBD=3x，则∠G=∠BCA=2x，导角可证∠GBD=∠BCA，即可得证.
1 / 1浙江省舟山市普陀区2025年初中毕业生学业水平适应性考试数学试题卷（二模）
1．（2025·普陀二模）近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000014米，将数据“0.00000014”用科学记数法表示为（　　）
A． B．。
C． D．。
2．（2025·普陀二模） 下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·普陀二模）如图是某同学搭建的积木立体图，则该几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·普陀二模）2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“BMI”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（m表示体重，单位：公斤；h表示身高，单位：米），成年人BMI数值标准见下表：
BMI范围 BMI＜18.5 18.5≤BMI＜24 24≤BMI＜28 BMI≥28
胖瘦程度 偏痩 正常 偏胖 肥胖
已知某位成年人身高1.6米，体重64公斤，则该成年人胖瘦程度为（　　）
A．偏瘦 B．正常 C．偏胖 D．肥胖
5．（2025·普陀二模）小明同学在学习了八年级上册“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了下图，那么下列选项不适合填入的是（　　）
A．两边相等 B．一个角为直角
C．有一个角45° D．斜边与直角边比为：1
6．（2025·普陀二模）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，OC'：OC=2：3，△A'B'C'的面积为4，则△ABC面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2025·普陀二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，点N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E。若CD=2则DE=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025·普陀二模）小宜与同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单，若他们所点的餐总共为15份意大利面，х杯饮料，у份沙拉，则他们点了几份A餐？（　　）
A餐：一份意大利面 B餐：一份意大利面加一杯饮料 C餐：一份意大利面加一杯饮料与一份沙拉
A．15-x B．15-y C．15-x-y D．15-x+y
9．（2025·普陀二模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，BD=BC，AD=AE，若要求∠CDE的度数，则只需知道（　　）的度数
A．∠A B．∠B C．∠ACB D．∠DCE
10．（2025·普陀二模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别为CD、AB上的点，且ED=2BF，连结 CF、EF、DF，其中∠CFE=∠CDF，CF=2，则 DF=（　　）
A． B．3 C． D．
11．（2025·普陀二模）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025·普陀二模）在网络课程学习中，小蕾和小丽分别在《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为　 　。
13．（2025·普陀二模）如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P。PC=12，则⊙O的半径为　 　。
14．（2025·普陀二模）已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是　 　。
15．（2025·普陀二模）已知点（m，n）在直线y=x+b（b为常数）上，若mn的最小值为-1，则b=　 　。
16．（2025·普陀二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为边AB上一点，连结CD，作点B关于CD的对称点E，连结CE、AE，延长CD、AE交于点F，若AE=DE=2，则EF=　 　。
17．（2025·普陀二模）
（1）计算： -4cos45°+（-1）2025
（2）化简： （a-5）2+（3+a）（3-a）
18．（2025·普陀二模）小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的AI分析。
豆包给出分析： 这个解答从第 ▲ 步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误。 正确解答为：，其中x=1 解：原式=
19．（2025·普陀二模）电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房，成为中国电影票房榜冠军。为了解大家对电影的评价情况，小舟同学从某电影院观影后的观众中，随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于8分（电影评分用x表示，共分成四组：A.8下面给出了部分信息：
C组的数据是：9.1，9.2，9.3， 9.3，9.3， 9.3， 9.4， 9.4。
（1）求出C组数据的中位数和众数；
（2）补全条形统计图；
（3）若共有800名观众参加了此次评分调查，估计此次评分调查认为电影特别优秀（x>9.2）的观众人数是多少
20．（2025·普陀二模）如图，小明利用无人机测大楼的高度BC.在空中点P测得：到地面上一点A处的俯角∠MPA=60°，距离PA=80米，到楼顶C点处的俯角∠NPC=30°。已知点A与大楼的距离AB为70米。（点A、E、B共线且图中所有的点都在同一平面内）
（1）求点P到地面AB的距离PE；
（2）求大楼的高度BC。（结果保留根号）
21．（2025·普陀二模）在现代智能仓储系统中，一款名为“SwifiBot”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据：
载重W（kg） … 10 12 15 20 30 …
v（m/s） … 6 5 4 3 2 …
（1）把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如（10，6），（12，5）..已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测与W之间的函数关系，并求出函数关系式；
（3）某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量。
22．（2025·普陀二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，连结BE，EF，FG。
（1）求证：四边形BEFG为平行四边形；
（2）如图1，若BD=2AB，求证：BE⊥AO；
（3）如图2，当平行四边形ABCD为菱形时，若BD=AB，AB=8，求四边形BEFG的面积。
23．（2025·普陀二模） 已知二次函数y=（x-m）（x-m+2），回答下列问题：
（1）若该函数图象经过点（2，-1）
①求该函数图象与x轴的交点坐标；
②点A（-1，1）向上平移2个单位长度，向右平移K（K>0）个单位长度后，落在二次函数y=（x-m）（x-m+2）图象上，求K的值。
（2）若该函数图象经过点（2m-1， a）与点（3m-4，b），且与x轴的两个交点到点（1，0）的距离均小于2，求证：b＜a。
24．（2025·普陀二模）如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，在CA延长线上取一点E，使得AE=AB，连结BE，在AE下方，作∠AFE=∠BCA，连结CF交⊙O于点D，连结BD。
（1）如图1，若∠BDC=∠AEF
①求证： △ABC≌△EAF；
②若AE=2，AF=4，求CD的长度。
（2）如图2，若AF=EF，2∠CBD=3∠BCA时，求证：BD=EF。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.00000014=1.4×10-7；
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法表示形式即可确定答案.
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，正确，故A符合题意；
B.，错误，故B不符合题意；
C.，错误，故C不符合题意；
D.，错误，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据幂的乘方，合并同类项法则，同底数幂相除及完全平方公式计算，即可判断.
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】从左边看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形．
故答案为：D．
【分析】根据从左边看得到的几何图形解答即可．
4．【答案】C
【知识点】有理数的乘除混合运算；不等式的性质
【解析】【解答】解： 该成年人的==25，
则 24≤25＜28，
则该成年人胖瘦程度为偏胖；
故答案为：C.
【分析】根据题意将m，h的值代入计算，即可判断.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；等腰直角三角形；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.两边相等的三角形是等腰三角形，故A不符合题意；
B.有一个角为直角的三角形是直角三角形，故B不符合题意；
C.有一个角45°的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，故C符合题意；
D.斜边与直角边比为的直角三角形是等腰直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形、直角三角形和等腰直角三角形的判断方法判断即可.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ △ABC与△A'B'C'位似，
∴△ABC~△A'B'C'，AC∥A'C'，
∴△OAC~△OA'C'，
∴，
∴，
∵S△A'B'C'=4，
∴S△ABC=9，
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的概念可得△ABC~△A'B'C'，AC∥A'C'，进而可证△OAC~△OA'C'，即可得出相似三角形的对应边比等于位似比，再根据相似三角形的面积比等于对应边之比的平方，计算即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：AD平分∠BAC，
∵ DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE，
∵CD=2，
∴DE=2，
故答案为：B.
【分析】由基本作图可得AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质即可得到CD=DE，即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵x杯饮料在B和C餐中，
∴在B和C餐中点了x份意大利面，
∴点A餐为15 - x；
故答案为：A.
【分析】根据点的饮料能确定在B和C餐中点了x份意大利面，根据题意可得点A餐的数量.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠BDC-(180°-∠B)=90°-∠B，
同理：∠ADE=90°-∠A，
∴∠ADE+∠BDC=180°-(∠A+∠B)，
∴∠DCE=180-(∠ADE+∠BDC)=(∠A+∠B)
故A、B不符合题意；
∵∠DCE=(∠A+∠B)= (180°-∠ACB)=90°-∠ACB
故C符合题意；
∠DCE和∠DCE没有数量关系，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质得到∠BDC=90°-∠B，∠ADE=90°-∠A，由三角形内角和定理求出∠DCE=90°-∠ACB，∠DCE和∠DCE没有数量关系，即可得到答案.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∠A=∠B=90°，
∵∠CFE=∠CDF，∠FCE=∠DCF，
∴△CFE~△CDF，
∴，
由ED=2BF，CF=2
设CD=AB=m，BF=x，ED=2x，
AF=m-x，AD=BC=y，
∴，
∴m2-2mx =4，
在Rt△BCF中，BC2+BF2=FC2，即
y2+x2= 22= 4，
在Rt△ADF中
DF2=AF2+AD2=y(m-x) 2+y2=m2-2mx+x2+y2=4+4=8，
∴DF =，
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质，设CD=AB=m，BF=x，ED=2x，AF=m-x，AD=BC=y，先证明△CFE~△CDF，得出关于m，x的方程，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出关于x，y的方程，最后在Rt△ADF中，利用勾股定理即可求得DF.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：《好玩的数学》用A表示，《美学欣赏》用B表示，《人文中国》用C表示，
根据题意得
一共有9种结果，两人恰好选中同一门课程的有3种情况，
∴
故答案为：.
【分析】根据题意可知此事件是抽取放回，列出树状图，求出所有等可能的结果数及两人恰好选中同一门课程的情况数，然后利用概率公式可求解。
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵PC为 ⊙O 的切线，
∴OC⊥PC，即∠PCO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°，
在Rt△POC中，PC=12，
∴OC===；
故答案为：.
【分析】根据切线的性质及圆周角定理可得出∠A的度数，再通过三角函数关系即可求得半径的长度.
14．【答案】12π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积即为扇形的面积：=12π；
故答案为：12π.
【分析】圆锥的侧面积即为扇形的面积，根据扇形的面积公式计算即可.
15．【答案】±2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将点（m，n）代入y=x+b中得，
n=m+b，
则mn=m(m+b)=m2+mb，
∵ mn的最小值为-1，
∴m＞0，且当时，mn取最小值，
则，
解得：b=±2；
故答案为：±2.
【分析】将点（m，n）代入y=x+b中得关于m，n的等式，再根据二次函数的性质，抛物线开口向上，存在最小值，利用二次函数顶点公式求最小值，即可得出关于b的方程，求解即可.
16．【答案】
【知识点】圆的综合题；等腰直角三角形；四点共圆模型
【解析】【解答】解：作DH⊥AF于点H，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，
由折叠的性质得：BC=EC，∠CED=∠B，∠BCD=∠ECD，
∴∠CAB=∠CED=45°，AC=CE，
∴A，C，D，E四点共圆，
∵AE=DE=2，
∴，∠EAD=∠EDA，
∴∠ACE=∠ECD，
∴∠ACE=∠BCD=∠ECD=30°，
∵AC=CE，∠ACE=30°，
∴∠CAE=∠CEA=75°，
∴∠EAD=∠EDA=75°-45°=30°，
∠F=180°-60°-75°=45°，
∴∠DEH=60°，
∴∠EDH=30°，
∴EH=DE=1，
∴DH==，
∵DH⊥AF，∠F=45°，
∴△DHE是等腰直角三角形，
∴FH=DH=，
∴EF=+1，
故答案为：+1.
【分析】作DH⊥AF于点H，先证明A，C，D，E四点共圆，可证∠ACE=∠ECD，求出∠ACE=∠BCD=∠ECD及其度数，由等腰三角形的性质求出∠CAE=∠CEA及其度数，进而得∠EAD=∠EDA及∠F的度数，然后分别求出EH的长度，FH=DH及其长度，即可求出EF的长度.
17．【答案】（1）解：原式= =-1
（2）解：原式=a2-10a+25+9-a2
=-10a+ 34
【知识点】整式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据最简二次根式，三角函数，-1的奇次幂计算，即可得出答案；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式将代数式展开，再合并同类项即可.
18．【答案】解：①；
当=1时
原式=1-1=0
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【分析】根据同分母分式的加减运算法则求解即可.
19．【答案】（1）解：C组中位数：9.3分；众数：9.3分
（2）解：如图
（3）解： （人）
答：估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众为560人。
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可得出答案；
（2）根据题意求出A，D组的频数，即可补全条形统计图；
（3）根据样本估计总体计算即可.
20．【答案】（1）解：
在 中，
∵，
∴（米）.
答：点P到地面AB的距离PE为米；
（2）解：延长 BC 交 MN 于 D 点，如图，
在 中，
∵，
∴（米），
∵ 米，
∴（米），
∵，
∴ 四边形 PEBD 为矩形，
∴，PD = BE = 30 米，
在 中，
∵，
∴（米），
∴（米）。
答：大楼的高度 BC 为 米。
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】(1)先根据平行线的性质得到∠PAE=∠MPA=60°，再根据含30°角的直角三角形三边的关系计算出AE的长度，然后计算PE的长即可；
(2)延长BC交MN于点Q，先计算出BE的长度，易得四边形PEBQ为矩形，进而可得PQ=BE=30米，BQ=PE=米，接着在Rt△PQC中利用正切的定义计算出CQ的长度，然后计算BQ-CQ即可.
21．【答案】（1）解：如图；
（2）解：v与W成反比例函数关系
设v =，(10，6)代入得：k=60
∴v=
(12，5)(15， 4)(20， 3)(30， 2)代入上式，均符合，
∴v=.
（3）解：
答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）根据题意，连线作图即可；
（2）根据（1）可知，图象为反比例函数，进而用待定系数法求解析式即可；
（3）根据题意可求出v的值，即可求出 的最值.
22．【答案】（1）证明： ∵ 四边形ABCD 是 ABCD，
∴，，
∵点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，
∴，，，
∴，，
∴五边形BEFG是平行四边形；
（2）证明：∵ ABCD，
∴AC，BD互相平分，
∴，
∵，
∴，
∴点E为AO中点，
∴；
（3）解：过点 E 作 于点 H，
菱形
为等边三角形
∴四边形BEFG的面积。
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据中位线定理可得EF∥AD，EF=AD，BG=BC，即可得出EF∥BG，EF=BG，即可得证；
(2)先证BO=BA，再根据等腰三角形三线合一证垂直即可；
(3)过点E作EH⊥BC于点H，易得BD的长度，根据边关系可得∠BAO的度数，进而可得△ABC为等边三角形，从而得解.
23．【答案】（1）解：①把(2，-1)代入y=(x-m)(x-m+2)得m=3，∴y =(x-3)(x-1)
则与x轴的交点坐标为(3，0)和(1，0)
②点A（-1，1)向上平移2个单位长度，向右平移k个单位长度后得(-1+k，3)
代入y=(x-3)(x-1)得：3=(k-1-3)(k-1-1)
∴k1=1， k2=5
（2）证明：把(2m-1， a)、(3m-4， b)代入得：
∵图象与x轴的交点(m，0)和(m-2，0)之间的距离为2，
（1，0）到(m，0)和(m-2，0)的距离均小于2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】(1)①利用待定系数法求得m的值，然后令y=0，解方程即可求解；
②求得平移后的点的坐标，代入解析式即可求解；
(2)根据题意得到关于m的不等式组，解不等式组求得m的取值范围，把点(2m-1，a)与点(3m-4，b)代入解析式可得a，b的代数式，即可得出b-a的代数式，即可证得结论.
24．【答案】（1）解：①∵，
在和中
②连结AD
∵AC为直径
在 Rt 中， ，在 Rt 中， ，
在 Rt 中，
（2）证明：取的中点G，连接BG、AG
在和中
∴设
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)①利用ASA易证△ABC≌△EAF；
②根据①中结论可得全等三角形对应边相等，即可得BA=AE=2，BC=AF=4，根据勾股定理可求出AC，CF的长度，再根据等面积法可得AD的长度，再根据勾股定理即可求出CD的长度；
(2)取优弧的中点G，连结BG、AG，先证△GAB≌△FEA(ASA)，得AG=EF，设∠BCA=2x，∠CBD=3x，则∠G=∠BCA=2x，导角可证∠GBD=∠BCA，即可得证.
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