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2024-2025学年人教版七年级下期末专题复习
专题四 实数期末提升卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．下列四个实数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．的平方根是（ ）．
A． B． C． D．4
3．下列各数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A．0 B． C． D．
7．下框是某同学提交的作业．
①．②．③．④的平方根是
其中正确的结果是：（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列说法：①1的平方根是；②正数的绝对值是它本身；③算术平方根等于它本身的数只有1；④立方根等于它本身的数有2个；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知，且是整数，则所有值的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．按如图所示的程序框图计算，若，则输出的结果为（ ）
A． B． C．3 D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如果一个正数两个不同的平方根是与，那么这个正数是 ．
12．如果的立方等于27，那么的算术平方根是 ．
13．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ．
14．比较大小 ．（填“”“”或“”）
15．观察下列等式：
第1层1+2＝3
第2层4+5+6＝7+8
第3层9+10+11+12＝13+14+15
第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24
…
在上述的数字宝塔中，从上往下数，2020在第 层．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）计算：
(1)；
(2)．
17．（9分）求下列各数的平方根．
(1)25；
(2)；
(3)．
18．（8分）求下列各式中的值
(1)
(2)
19．（7分）已知一个数的两个不相等的平方根分别为和．
(1)求这个数；
(2)平方根．
20．（8分）已知的平方根是的立方根是2，是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
21．（9分）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为．
【问题解决】
(1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积______，边长______．
(2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形．
(3)以小正方形的边长作为1个单位画数轴，将图②中点放在数1处，以为圆心，为半径画圆，与数轴交于点，直接写出点表示的数．
22．（12分）综合与实践
课题 中山市景点卡片及封皮制作
图示、数据及计算 图示
相关数据说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为
计算结果
【任务驱动】某中学课外活动小组制做了精美的中山市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．
【实践操作】A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形包装封皮
【解决问题】请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．
23．（12分）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方．
例如，记作，读作“的圈次方”；
再例如，记作，读作“的圈次方”；
一般地，把（，为大于等于的整数）记作，读作“的圈次方”
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：______；______；
（2）关于除方，下列说法错误的是______
.任何非零数的圈次方都等于
.对于任何大于等于的整数，
.
.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢
除方乘方幂的形式.
（1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：
______；______；
（2）计算：．
2024-2025学年人教版七年级下期末专题复习
专题四 实数期末提升卷（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．下列四个实数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据实数的大小比较方法比较各数大小，进而可求解．本题考查实数的大小的比较，解答的关键是要熟知比较方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【详解】解：根据实数大小的比较方法，得，
∴最大的数是，
故选：C．
2．的平方根是（ ）．
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查算术平方根、平方根，先求得，再求4的平方根即可，注意（易错点）．
【详解】解：∵，
∴的平方根是，
故选：C．
3．下列各数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数，算术平方根与立方根，根据无理数就是无限不循环小数，即可求解．
【详解】解：，，都是有理数，
是无理数，
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握求一个数的算术平方根及立方根是解题的关键．分别根据算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，正确，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的加法、实数的乘法运算，先由数轴得，再运算出，，即可作答．
【详解】解：结合数轴得，
故A选项不符合题意；
∴，
故B选项符合题意；
则，，
故C选项和D选项不符合题意；
故选：B
6．若，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了非负数的性质和算术平方根，先根据非负数的性质得，，即可求出a，b的值，再代入，根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
7．下框是某同学提交的作业．
①．②．③．④的平方根是
其中正确的结果是：（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了实数的运算，平方根，立方根，算术平方根，化简绝对值，正确计算是解题的关键．
【详解】解：，故①计算正确，
，故②计算错误，
，故③计算错误，
，4的平方根是，故④错误，
则正确的只有①，
故选：A
8．下列说法：①1的平方根是；②正数的绝对值是它本身；③算术平方根等于它本身的数只有1；④立方根等于它本身的数有2个；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查平方根，绝对值，立方根，平行线的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可．
【详解】解：1的平方根是；故①错误；
正数的绝对值是它本身；故②正确；
算术平方根等于它本身的数有；故③错误；
立方根等于它本身的数有，共3个；故④错误；
如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，分两种情况：
（1），的两边相互平行，如图所示
，
，
，
，
；
（2），的两边相互平行，如图所示
，
，
，
，
，
∴这两个角相等或互补；故⑤错误；
故选A．
9．已知，且是整数，则所有值的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查的是实数的性质，无理数的估算，由条件可得或，结合，，是整数，从而可得答案.
【详解】解：∵，
∴或，
∵，，是整数，
∴的值为，，，，，；
∴所有值的个数有个，
故选：B．
10．按如图所示的程序框图计算，若，则输出的结果为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数和无理数的识别，根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可，理解算术平方根是解题的关键．
【详解】解：当时，算术平方根是，它是有理数，
再取算术平方根是，它还是有理数，
再取算术平方根是，它是无理数，
故输出的结果是，
故选：．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如果一个正数两个不同的平方根是与，那么这个正数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根的应用；解题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．根据一个正数的平方根互为相反数可得出a的值，代入后即可得出这个正数．
【详解】由题意得，
解得：，
则这个正数为：，
故答案为：．
12．如果的立方等于27，那么的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根与算术平方根的概念．利用立方根的概念，解出x的值，再利用算术平方根的概念即可解得．
【详解】解：∵
∴
∴的算术平方根是
故答案为：．
13．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根的应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：∵在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片，
∴大正方形的边长为，小正方形的边长为：，
∴，，
∴空白部分的面积为；
故答案为：．
14．比较大小 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，先计算出，再估算出，得出，即可得解．
【详解】解：，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．观察下列等式：
第1层1+2＝3
第2层4+5+6＝7+8
第3层9+10+11+12＝13+14+15
第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24
…
在上述的数字宝塔中，从上往下数，2020在第 层．
【答案】44．
【分析】根据题目中每层最大数字的特点，发现数字变化的特点，从而解答本题．
【详解】解：由题意可得，
第1层最大数是22-1，
第2层最大数是32-1，
第3层最大数是42-1，
第4层最大数是52-1，
……
∵442-1＜2020＜452-1，
∴2020在第44层，
故答案为：44．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的层数．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的乘方，立方根，算术平方根等知识，解题的关键是掌握各运算法则．
（1）先进行二次根式的乘方，求立方根，求算术平方根运算，再进行实数的加减；
（2）先进行平方，求算术平方根，求立方根运算，再进行加减．
【详解】（1）解：
（2）解：
17．（9分）求下列各数的平方根．
(1)25；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平方根．解题关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义计算即可．
【详解】（1）解：，
的平方根是；
（2）解：，
的平方根是；
（3）解：，
的平方根是．
18．（8分）求下列各式中的值
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的定义即可求解；
（2）根据立方根的定义即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
∴
∴
【点睛】本题考查利用平方根、立方根的定义解高次方程．掌握相关定义是解题关键．
19．（7分）已知一个数的两个不相等的平方根分别为和．
(1)求这个数；
(2)平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的求法和性质是解题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
（1）根据平方根的定义列方程解出求出，再求出和中，平方后可得的值；
（2）求出，再求平方根即可．
【详解】（1）解：∵一个数的两个不相等的平方根分别为和，
∴，
解得：，
∴，，
∴数的两个不相等的平方根分别为和，
∴数；
（2）解：，
∴平方根为．
20．（8分）已知的平方根是的立方根是2，是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了立方根、平方根、无理数的估算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据平方根和立方根的性质得，分别算出，再结合是的整数部分．且，得出，即可作答．
（2）由（1）得，再代入，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵ 的平方根是的立方根是2，
∴，
解得
则，
∴，
∵是的整数部分．且，
则，
∴；
（2）解：由（1）得，
，
的平方根为．
21．（9分）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为．
【问题解决】
(1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积______，边长______．
(2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形．
(3)以小正方形的边长作为1个单位画数轴，将图②中点放在数1处，以为圆心，为半径画圆，与数轴交于点，直接写出点表示的数．
【答案】(1)5；
(2)图见解析
(3)或
【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，熟练掌握算术平方根的几何意义是解题的关键．
（1）利用割补法求出正方形的面积，再进行开平方运算即可得到边长；
（2）根据边长为的格点正方形可知其面积为8，得到减去的四个直角三角形的面积都为2，即可得到直角三角形的两条直角边长均为2，从而得到答案；
（3）根据题意分情况讨论，当点在的右侧时，利用，即可求得答案；当点在的左侧时，利用，即可求得答案．
【详解】（1）解：由图形可得，
，
，
故答案为：5；．
（2）解：画边长为的格点正方形，
该正方形的面积为8，
网格由16个小正方形组成，即面积为16，
同（1）可知，减去的四个直角三角形的面积都为2，
即该直角三角形的两条直角边长均为2，
故图形如图所示即为所求，
（3）解：以小正方形的边长作为1个单位画数轴，将点放在数1处，
，
由（1）可知，
以为圆心，为半径画圆，与数轴交于点，
当点在的右侧时，，
即点表示的数为；
当点在的左侧时，，
即点表示的数为；
综上，点表示的数为或．
22．（12分）综合与实践
课题 中山市景点卡片及封皮制作
图示、数据及计算 图示
相关数据说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为
计算结果
【任务驱动】某中学课外活动小组制做了精美的中山市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．
【实践操作】A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形包装封皮
【解决问题】请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．
【答案】正方形卡片能直接装进长方形封皮中
【分析】此题考查了算术平方根的实际应用．设长方形的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可．
【详解】解：设长方形封皮的宽为，则长为，
根据题意可列方程，，
即，
解得：，
，
，
由正方形卡片的面积为，得正方形卡片的边长为，
，，
，
故正方形卡片能直接装进长方形封皮中．
23．（12分）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方．
例如，记作，读作“的圈次方”；
再例如，记作，读作“的圈次方”；
一般地，把（，为大于等于的整数）记作，读作“的圈次方”
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：______；______；
（2）关于除方，下列说法错误的是______
.任何非零数的圈次方都等于
.对于任何大于等于的整数，
.
.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢
除方乘方幂的形式.
（1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：
______；______；
（2）计算：．
【答案】，，；，，
【分析】初步探究：（1）利用除方的定义解答即可；（2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可；深入思考：（1）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可；（2）将算式中的除方化成乘方的形式，按有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：初步探究：
（1），
，故答案为：，；
（2）、，即任何非零数的圈次方都等于，故选项正确；
、，故选项正确；
、，
，
，故选项错误；
、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确，故选项正确，
故选：；
深入思考：
（1），
，
故答案为：，；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
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