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2025 年湖南省益阳市部分校金太阳联考高三年级综合性考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2 + )(1 + 2 ) =( )
A. 3 B. 5 C. 4 + 3 D. 4 + 5
2.已知全集 = { ∈ | 2 ≤ ≤ 6}， = { 1,0,1,2}， = {2,3,4,5,6}，则 ∩ ( ) =( )
A. {1} B. {0,1,2} C. {0,1} D. {1,2}
2 2
3.过点(2, 6 ) 2 且与双曲线 3 2 = 1 有相同焦点的椭圆方程为( )
2 2 5 2 2 2 2 2A. + = 1 B.
2
8 3 32 + 4 = 1 C. 9 + 4 = 1 D. 8 + 5 = 1
4 tan = 2 cos
2 +1
.若 ，则 sin2 =( )
A. 2 B. 4 C. 12 D.
3
2
5.下列函数最小值为 2 的是( )
A. = 2 + 2 + 2 B. = + 1 C. = 2
+ 1 12 D. = ln + ln
6.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且对任意 ， ，都有 ( ) + ( ) = ( + ) + ，则 =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1
7.已知△ 是边长为 6 的等边三角形， 是△ 的内心， 是△ 内(不含边界)的一点，则 的
取值范围为( )
A. (0,18) B. (0,6 3) C. (0,9 3) D. (0,18 3)
8.已知函数 ( ) = 3，若| ( 1) ( 2)| = 2，则| 1 2|的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.2024 年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论是整体实力，还是结构性指标
都稳步提升. 2020 至 2024 年我国研究与试验发展( & )经费支出及其增长速度如图所示，则( )
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A. 2020 至 2024 年我国研究与试验发展( & )经费支出逐年增长
B. 2020 至 2024 年我国研究与试验发展( & )经费支出的第 25 百分位数为 24393 亿元
C. 2020 至 2024 年我国研究与试验发展( & )经费支出增长速度的极差为 6.3%
D. 2020 至 2024 年我国研究与试验发展( & )经费支出增长速度的平均数超过 10%
10.如图， 是正方形 的对角线，以 为折痕把△ 折起，使点 到达点 1的位置，记二面角 1
的平面角为 ，直线 与直线 1所成的角为 ，已知 = 2，则下列结论正确的是( )
A.若 = ，则 cos = 23 4
B.若 = 6，则 cos =
6
4
C. = 若 4，则 cos =
2
4
D. = 2 若 23，则 cos = 4
11.如图， 为坐标原点，点 ( , 0)， ( , 0)， (0, )( < 0 < < )在函数 ( ) = sin( + )的图象上，
且 ( )的最小正周期为 ，则下列结论正确的是( )
A. =± 2
B.若 是第三象限角，则 = 2
C. = 1 = 若 2，则 12
D. | | + | | 3的最大值为3 + 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某校高三有 1000 人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布 (110, 2)，且成绩优秀(不低于 130
分)的人数为 160，则估计此次考试数学成绩在 90 分至 110 分之间的人数为 ．
13.在△ 中， = 3， = 2 7，△ 的面积为 6 3，则△ 的周长 ．
14.已知圆 : ( 1)2 + 2 = 1 的圆心为 ，抛物线 : 2 = 2 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 ，圆
分别交于点 ， ， ， (点 ， ， ， 在直线 上依次排列)，则| | + 2| |的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记 为数列{ }的前 项和.已知 2 1 = 2， +1 + 1 = 2 + 2( ≥ 2)．
(1)证明：{ }是等差数列．
(2)若 4， 5， 7成等比数列，求使 > 成立的 的最小值．
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16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 (6 + ) + 3 ln ，其导函数为 ′( )．
(1)设 ′(2) = 1．
①求 的值;
②求 ( )在(0,2)上的最大值．
(2)讨论 ( )的单调性．
17.(本小题 15 分)
2
:
2
已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 (2,0)，点 ( 2,3)在 上．
(1)求 的方程．
(2) ( 5已知 4 , 0)，直线 与直线 =
1
2交于点 ，直线 与 交于点 ．
①求| |;
②求直线 的斜率．
18.(本小题 17 分)
如图，在棱长均为 2 的八面体 中，下底面 是正六边形，且平面 、平面 均垂
直于底面．
(1)证明：平面 //平面 ．
(2)求八面体 的体积．
(3)求二面角 的正弦值．
19.(本小题 17 分)
一个袋子中有大小和质地均相同的 100 个球(标号为 1，2， ，100)，甲从袋子中随机摸出 ( ∈ +, < 100)
个球后将球放回，再由乙从袋子中随机摸出 个球.记被甲或乙摸到的球的个数为 ．
(1)已知 = 2．
①求标号为 1 的球被甲或乙摸到的概率;
②求 ( = 2)．
(2)求使 ( = )取得最大值的整数 ．
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参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12340
1310 + 2 7
142 2
15(1)证明：当 ≥ 2 时， +1 + 1 = 2 + 2，即 +1 ( 1) = 2，
所以 +1 = 2．
因为 2 1 = 2，所以 +1 = 2 恒成立，
所以{ }是等差数列．
(2)解： 4 = 1 + 3 = 1 + 6， 5 = 1 + 4 = 1 + 8， 7 = 1 + 6 = 1 + 12．
因为 4， 5， 7成等比数列，
所以( 1 + 8)2 = ( 1 + 6)( 1 + 12)，解得 1 = 4，
所以 = 2 6．
= × ( 4) +
( 1)
2 × 2 =
2 5 ．
> ，即 2 5 > 2 6，整理得( 1)( 6) > 0，解得 < 1 或 > 6．
因为 为正整数，所以 的最小值为 7．
2
16 (1) ( ) = 2 (6 + ) + 3 = 2 (6+ ) +3 ( 3)(2 ) (4 )解： ①由题意得 ′ = ，则 ′(2) = 2 = 1，
解得 = 2． ②由 ①得 ( ) = 2 8 + 6ln ( ) = 2( 3)( 1)， ′ ．
当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，当 ∈ (1,2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
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所以 ( )在 = 1 处取得极大值，也就是最大值，最大值为 (1) = 1 8 + 6ln1 = 7．
(2) ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = ( 3)(2 ) ．
当 ≤ 0 时，由 ′( ) < 0，得 0 < < 3，由 ′( ) > 0，得 > 3， ( )在(0,3)上单调递减，在(3, + ∞)
上单调递增;
当 0 < < 6 时，由 ′( ) < 0，得2 < < 3，由 ′( ) > 0，得 0 < < 2或 > 3，
( )在(0, 2 )

上单调递增，在( 2 , 3)上单调递减，在(3, + ∞)上单调递增;
当 = 6 时， ′( ) ≥ 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增;

当 > 6 时，由 ′( ) < 0，得 3 < < 2，由 ′( ) > 0，得 0 < < 3 或 >

2， ( )在(0,3)上单调递增，

在(3, 2 )上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增．
综上所述，当 ≤ 0 时， ( )在(0,3)上单调递减，在(3, + ∞)上单调递增;
当 0 < < 6 时， ( )在(0, 2 )上单调递增，在( 2 , 3)上单调递减，在(3, + ∞)上单调递增;
当 = 6 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增;

当 > 6 时， ( )在(0,3)上单调递增，在(3, 2 )上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增．
2 + 2 = 4, 2
17解：(1) = 1,由题意可得 4 9 解得 2
2 2 = 1, = 3,
2
2
所以 的方程为 3 = 1．
(2) ①直线 3的方程为 = 4 ( 2)，即 3 + 4 6 = 0．
2
2
3 = 1,联立 可得 13 2 48 + 27 = 0．
3 + 4 6 = 0,
又 = 3，所以 =
9 9
13，即点 的纵坐标为13．
| | = 1 + 1 2 ( )
2
= 1+
1 × (3 9 )2 = 50．
( 3)2 13 134
= 3 5②直线 的方程为 ( )，即 12 + 13 15 = 0．
2 5 44
1 9 1 9
令 = 2，得 = 13，则 ( 2 , 13 ).
9
因为点 ， 的纵坐标均为13，所以直线 的斜率为 0．
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18(1)证明：在八面体 中， ， ， ， 四点共面．
因为八面体 的棱长均为 2，所以四边形 为菱形， // ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
同理， / /平面 ．
因为 ∩ = ，所以平面 //平面 ．
(2)解：取 的中点 ，连接 ， ， ， ．
在△ 中， ⊥ ．
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，所以 ⊥平面 ．
因为八面体 的棱长均为 2，
所以 = 3 = 3， 1△ = 2 sin∠ = 3．
三棱柱 的体积 1 = △ = 3 × 3 = 3．
根据对称性可得，三棱柱 的体积与三棱柱 的体积相等．
三棱柱 的体积 2 = △ = 6．
八面体 的体积 = 2 1 + 2 = 12．
(3)解：连接 ，与 交于点 ，连接 ， ．
在正六边形 中， ⊥ ， // ， = = 1，所以四边形 为平行四边形，
所以 = = ， // // ，四边形 为平行四边形， // ，
所以 ⊥平面 ．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0, 1,0)， ( 3, 0,0)， (0,0, 3).
= ( 3, 1,0)， = (0,1, 3).
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 3 + = 0,
则 取 = (1, 3, 1)．
= + 3 = 0,
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取平面 的一个法向量为 = (1,0,0)．
cos < ， >= = 5 2 5 5 ，sin < ， >= 5 ，
所以二面角 2 5的正弦值为 5 ．
19解：(1) ①设事件 为“标号为 1 的球被甲摸到”，事件 为“标号为 1 的球被乙摸到”，
由题意得 和 是相互独立的事件，则 与 相互独立．
1
( ) = ( ) = 99 1
2
= ，
100 50
( ) = ( ) = 1 1 4950 = 50，
所以标号为 1 的球被甲或乙摸到的概率 = 1 ( 49 2 9950 ) = 2500．
②“甲从袋子中随机摸出 2 个球后将球放回，再由乙从袋子中随机摸出 2 个球”包含的样本
点总数为( 2 2100) ．
因为 = 2，所以甲、乙摸到的球相同，
则事件 = 2 所含的样本点个数为 2100，
2
( = 2) = 100 1
( 2 2
= ．
100) 4950
(2)整数 满足 ≤ ≤ ，其中 是 2 和 100 中的较小者．
“甲从袋子中随机摸出 个球后将球放回，再由乙从袋子中随机摸出 个球”包含的样本点
总数为( 2100) ．
当 = 时，同时被甲和乙摸到的球的个数为 2 ，仅被甲摸到的球的个数为 ，仅被乙摸到的球的
个数为 ，
则事件 = 所含的样本点个数为 2 = 100 100 100 100

此时 ( = ) = 100 100 = 100 ( 2 100) 100
令 ( = ) ≤ ( = + 1)，则 100 ≤ +1 +1 100 ，
≤ 2 ( +1)
2
解得 102 ．
因为 1 ≤ < 100，
2 2
所以 2 ( +1) = +100 1102 102 > 0，
( +1)2 2 2
即 2 102 > ，2
( +1) 100 = (101 )102 102 < 0，
( +1)2
即 2 102 < 100，
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2
显然 2 ( +1)102 < 2 ，
2
所以 < 2 ( +1)102 < ．
2
因为 ∈ +， < 100，所以( + 1)2 102 ( = ) = 2 [
( +1)
不可能被 整除， 在 102 ]处取得最大值．
(注：[ ]表示不超过 的最大整数)
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