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第八章　机械能守恒定律
1.功与功率
第1课时　功
目标导航：1.理解功的概念，掌握恒力做功的公式.会判断正功、负功.知道功率的物 理意义、定义式、单位.了解平均功率、瞬时功率、额定功率、实际功率的区别与联 系.（物理观念） 2.会求恒力的功、总功.知道一些简单的变力做功的求法.理解功率 的导出式P＝F·v的物理意义，并掌握其用法，会利用功率的两个公式来解释现象和进 行计算.（科学思维） 3.由瞬时功率的研究引导学生探究极限思想在物理中的应用. （科学探究） 4.能从现实生活中发现与“功和功率”有关的问题，能运用功解决一 些与生产和生活相关的实际问题.（科学态度与责任）
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研习任务一
情境　导学
　　如图所示，马拉着小车（包括人）沿水平面匀速前进了一段距离.
小车（包括人）受到几个力作用？每个力对小车做功吗？是正功还是负功？
提示：小车（包括人）受4个力作用：重力、支持力、拉力、摩擦力，其中拉力 做正功，摩擦力做负功，重力和支持力不做功.
知识　梳理
1. 做功的两个因素
2. 公式W＝Flcos α
力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者 的乘积.
3. 单位：国际单位制中，功的单位是 ，符号是 .1 J＝1 N×1 m＝1 N·m.
4. 正功和负功
α的取值 W的取值 含义
W＝0 力F
W＞0 力F对物体做
W＜0 力F对物体做 （或说成物体克服力F做功）
焦耳　
J　
不做功　
正功　
负功　
深化　理解
1. 功是过程量
它描述了力在空间上的累积效果，总与一个具体过程相联系.计算功时，一定要明确 是哪个力在哪个过程对物体做的功.
2. 对公式W＝Flcos α的理解
F表示力的大小；l表示力的作用点的位移大小；α表示力和位移方向间的夹角.
（1）公式只适用于恒力做功的计算.
（2）公式中l一般是选取地面为参考系时物体的位移.且l必须是力F作用过程中 的位移.
3. 正功与负功
（1）功是标量：只有正、负，没有方向，功的正、负不表示大小.
（2）正功、负功的物理意义
动力学角度 能量角度
正 功 表示这个力对物体来说是动力 力对物体做正功，使物体获得能量
负 功 表示这个力是阻力，对物体的运动起阻碍 作用 物体克服外力做功，使物体失去能 量
研习　经典
A
A. 轮胎受到地面的摩擦力做了负功
B. 轮胎受到的重力做了正功
C. 轮胎受到绳的拉力不做功
D. 轮胎受到地面的支持力做了正功
[解析]　轮胎受到地面的摩擦力与轮胎的运动方向相反，做负功，故A正确；轮胎受 到的重力与轮胎的运动方向垂直，不做功，B错误；轮胎受到绳的拉力与轮胎的运动 方向成锐角，做正功，C错误；轮胎受到地面的支持力与轮胎的运动方向垂直，不做 功，D错误.
判断力做正、负功的方法
（1）根据力F和物体位移l方向的夹角α判断——常用于恒力做功的情形.
（2）根据力F与物体瞬时速度方向的夹角θ判断——常用于曲线运动的情形.
如图所示：
　　①若夹角θ是锐角，力做正功.
　　②若夹角θ是钝角，力做负功.
　　③若夹角θ是直角，力不做功.
A. 重力做正功 B. 摩擦力做负功
C. 摩擦力不做功 D. 支持力不做功
解析：重力与速度方向成锐角，重力做正功；摩擦力与速度方向垂直，摩擦力不做 功；支持力与速度方向成钝角，支持力做负功.综上所述，选项A、C正确.
AC
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研习任务二
情境　导学
光滑的水平面上，两个互相垂直的水平作用力F1和F2作用在同一物体上，使物体 运动，如图所示.物体通过一段位移时，力F1对物体做功4 J，力F2对物体做功3 J. 力 F1与F2的合力对物体做的功为多少？
提示：合力做的功W合＝WF1＋WF2＝7 J.
深化　理解
1. 恒力功的计算
恒力功的计算，可直接应用公式W＝Flcos α，对此公式有两种理解：
（1）W＝F·lcos α，即功等于力F与位移在力F方向上的分量的乘积.
（2）W＝Fcos α·l，即功等于力F在位移方向上的分量与位移的乘积.
2. 总功的计算
物体受到多个外力作用时，计算合力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一 般有如下两种方法：
（1）先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcos α 计算.
（2）由W＝Flcos α计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn，然后将各个外力所做 的功求代数和，即W合＝W1＋W2＋…＋Wn.
研习　经典
[典例2]　如图所示，用恒力F拉一个质量为M的物体，由静止开始在水平地面沿直线 运动的位移为s，力F与物体运动方向的夹角为α，已知物体与地面间的动摩擦因数为 μ，当地的重力加速度为g，试求：
（1）拉力F对物体所做的功；
[答案]　见解析
提示：如图所示，物体受重力、拉力、支持力和摩擦力，做初速度为零的匀加速直线
运动.
[解析]根据功的公式，拉力F对物体所做的功WF＝Fscos α.
（2）摩擦力f对物体做的功；
[答案]　见解析
提示：重力不做功，拉力做正功，支持力不做功，摩擦力做负功.
[解析]设地面对物体支持力的大小为N，根据物体在竖直方向的平衡条件可知：
N＝Mg－Fsin α，再根据滑动摩擦力公式f＝μN，
联立解得f＝μ（Mg－Fsin α）.
滑动摩擦力做的功
Wf＝f·s·cos θ＝－μ（Mg－Fsin α）·s.
（3）外力做的总功.
[答案]　见解析
[解析]因为重力和支持力不做功
所以W总＝WF＋Wf＝Fs·cos α－μ（Mg－Fsin α）·s.
[巧指导]
　（1）物体受几个力，如何运动？
　（2）分别判断每个力的做功情况.
计算总功的一般步骤和方法
　　（1）对物体进行正确的受力分析，明确物体受到哪几个力作用，以及每个力的 大小和方向.
（2）分析每一个力作用过程中所对应的位移，根据功的定义式W＝Flcos α，求 出每一个力所做的功.
（3）将各个力所做的功进行代数求和，即可计算出总功.
（4）若各个力是同时作用在物体上，也可先求出各个力的合力，再根据功的定 义式求出合力所做的总功.
[训练2]　如图所示，质量m＝50 kg的滑雪运动员从高度h＝30 m的坡顶由静止下滑， 斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面之间的动摩擦因数μ＝0.1.则运动员滑至坡底的过 程中：
（1）滑雪运动员所受的重力对他做了多少功？
答案：1.5×104 J
解析：重力做的功WG＝mgh＝50×10×30 J＝1.5×104 J.
（2）各力对运动员做的总功是多少？（取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，装备质量不计）
答案：1.3×104 J
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研习任务三
情境　导学
如图所示，第一个同学做的正功一定比第二个同学做的负功大吗？
提示：功是标量，功的正负既不表示方向也不表示大小，比较功的大小，只需比 较数值的大小，与正负号无关，所以正功不一定比负功大.
深化　理解
1. 微元法：W＝Flcos α只能用来计算恒力的功，若是求变力的功，可将运动过程分成 很多小段，每一小段内F可看作恒力，用公式W＝Flcos α求出每一小段内力F做的功， 然后累加起来就得到整个过程中变力做的功.
3. 图像法：若作用在物体上的力只是大小变化，而方向始终与位移在同一直线 上，可以将力随位移变化的关系描绘在F－x图像上，则图线与坐标轴围成的图 形的面积就表示力F对物体所做的功，如图甲、乙所示.这与运动学中由v－t图像 求位移原理相同.
4. 等效转换法：在某些情况下，通过等效转换可以将变力做功转换成恒力做功，然 后可以用公式W＝Flcos α求解.如图所示，用大小不变的力F拉绳子时，绳子对物体的 拉力FT为变力，FT对物体做的功不能用公式直接计算.但力FT对物体做的功与力F对绳 子做的功相等，可将计算绳子对物体做功的问题等效转换为求力F做功的问题.
研习　经典
[典例3]　如图所示，一辆拖车通过定滑轮将一重物G匀速提升，当拖车从A点水平移 动到B点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ的角度，求此过程中拖车对绳 子所做的功.
（1）拖车对绳子的拉力是恒力还是变力，能够应用公式W＝Flcos α直接求解吗？
提示：拖车对绳子的拉力方向总沿绳方向，所以拉力的方向不断变化，是变力，不能 用W＝Flcos α直接求解.
（2）拖车对绳子做的功与绳子对重物做的功有什么关系？
提示：拖车对绳子拉力的大小等于绳子对重物的拉力，拖车对绳子做的功等于绳子对 重物做的功，又因为重物匀速上升，拉力大小等于重力，这样可以把变力功转化为恒 力功.
[巧指导]
　　1. 求力做功时，应首先判断是恒力做功还是变力做功，若是恒力做功，则按公 式求；若是变力做功，则按变力做功的方法求.
　　2. 当只有力的大小变化而方向不变时，若力随位移均匀变化，则用图像法求； 当力的大小不变只有方向变化时，若力的方向始终与运动方向相同或相反，则该力做 的功等于力的大小与路程的乘积.
甲
乙
A. 0
D
知识　构建
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课堂强研习 合作学习 精研重难
课后提素养
A. 摩擦力对物体做正功
B. 支持力对物体做正功
C. 重力对物体做正功
D. 合外力对物体做正功
解析：摩擦力方向平行皮带向上，与物体运动方向相同，故摩擦力做正功，A对；支 持力始终垂直速度方向，不做功，B错；重力对物体做负功，C错；合外力为零，不 做功，D错.
A
A. 摩擦力做的功为－fs
B. 力F做的功为Fscos θ
C. 重力做的功为mgs
D. 力F做的功为Fssin θ
解析：摩擦力大小为f，则摩擦力所做的功Wf＝－fs，故A正确；由题意可知，拉力方 向与位移方向的夹角为90°－θ，则根据功的公式可得WF＝Fscos（90°－θ）＝Fssin θ，故B错误，D正确；由于竖直方向上没有位移，故重力不做功，故C错误.
AD
A. A、B都克服摩擦力做功
B. A、B间弹力对A、B都不做功
C. 摩擦力对B做负功，对A不做功
D. A、B间弹力对A不做功，对B做正功
BC
解析：A、B间的相互作用力f1与f2、FAB与FBA如图所示，A没有发生位移，f2、FBA对A 不做功，B发生了位移，f1做负功，FAB与位移成90°角，不做功，B、C对，A、D错.
A. 0 B. 500 J C. 500π J D. 1 000π J
D
解析：
由于F的方向保持与作用点的速度方向一致，因此利用微元法可把圆周划分成很多小 段研究，如图所示.
当各小段的弧长Δsi足够小（Δsi→0）时，在这Δsi内F的方向几乎与该小段的位移方向 重合，故WF＝F·Δs1＋F·Δs2＋F·Δs3＋…＝F·2πR＝1 000π J（这等效于把曲线拉直）， 故D正确.
5. 质量为M的木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面 从A点滑至B点，在木板上前进了L，而木板前进了l，如图所示.若滑块与木板间的动 摩擦因数为μ，重力加速度为g，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？这一对摩擦 力做功的代数和为多大？
答案：－μmg（l＋L）　μmgl　－μmgL
解析：滑块所受摩擦力Ff＝μmg，位移为（l＋L），且摩擦力与位移方向相反，故摩 擦力对滑块做的功为W1＝－μmg（l＋L），
木板所受的摩擦力Ff'＝μmg，方向与其位移l方向相同，故摩擦力对木板做的功
W2＝μmgl，这一对摩擦力做功的代数和W＝W1＋W2＝－μmgL.
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课时作业（十五）　功
[基础训练]
A. 功是标量，正、负反映大小，－8 J比5 J小
B. 力对物体做正功还是负功，取决于力和位移的方向关系
C. 力做功总是在一个过程中完成，所以功是过程量
D. 凡是发生位移的物体，一定有力做功
BC
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解析：功是标量，正、负表示做正功还是负功，即动力做功还是阻力做功，而功的大 小的比较取决于其绝对值的大小，因此－8 J 比5 J大，故A错误；根据功的计算公式W ＝Flcos θ，其中θ表示力的方向与位移方向之间的夹角，因此可知力对物体做正功还 是负功，取决于力和位移的方向关系，故B正确；有力作用在物体上，并且物体在力 的方向上发生了位移，力就对物体做了功，而力做功总是在发生位移的过程中完成 的，所以功是过程量，故C正确；功的两个必要因素是：有力作用、在力的方向上发 生位移.如果物体所受到的力与位移垂直，那么力并不对物体做功，例如人提着物体 水平匀速运动，在此过程中人对物体做功为零，故D错误.
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A. 功的正、负表示功的大小，负功一定比正功小
B. 因为功有正功和负功，所以功是矢量
C. 功的负号表示功的方向与力的方向相反
D. 功的正、负只表示动力做功还是阻力做功
解析：功是标量，功的正、负代表动力做功还是阻力做功，不表示大小，也不表示方 向，故选D.
D
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A. 人对车厢做正功 B. 车厢对人做负功
C. 人对车厢做负功 D. 车厢对人做正功
解析：人与车一起加速向左运动的过程中，车厢给人的力向左，人的位移向左，车厢 对人做正功；根据牛顿第三定律，人给车厢的作用力向右，车厢的位移向左，人对车 厢做负功，A、B错误，C、D正确.
CD
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A. 这两个力一定大小相等、方向相反
B. F1是动力，F2是阻力
C. 这两个力做的总功为0
D. F1比F2做的功多
解析：由力F1、F2做功的正负可以确定力F1、F2与位移的夹角分别小于90°、大于 90°，但这两个力不一定大小相等、方向相反，A错误；F1做正功一定是动力，F2做 负功一定是阻力，其做功一样多，两个力的总功等于这两个力所做功的代数和，故总 功为0，B、C正确，D错误.
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A. 甲中做功最少 B. 丁中做功最多
C. 做功一样多 D. 无法比较
解析：功是力和在力的方向上的位移的乘积，四种情况中力和在力的方向上的位移都 相同，所以四种情况做功一样多.或由W＝Flcos α计算，也可判断出四种情况做功一 样多，故C正确.
C
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A. 不做功
B. 先做负功后不做功
C. 先做负功后做正功
D. 先做正功后不做功
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解析：若刚开始物体的速度等于传送带速度，则物体不受摩擦力，此时摩擦力不做 功，故A正确；若刚开始物体的速度大于传送带的速度，摩擦力向左，则摩擦力做负 功，物体做减速运动，当两者速度相等时，摩擦力不做功，故B正确；由B项可知如 果摩擦力做了负功后，物体速度减小，当速度减小到与传送带速度相等时，摩擦力就 不做功了，速度不变，一直运动，之后摩擦力不可能做正功，故C错误；当物体的速 度小于传送带速度时，出现相对滑动，则物体要受到向右的滑动摩擦力，摩擦力做正 功，速度增大，当两者速度相等时，摩擦力不做功，故D正确.
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7. 如图所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20 kg，斜面倾角α＝ 37°，斜面的长度l＝0.5 m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求货物从斜面顶端 滑到底端的过程中受到的各个力所做的功以及合力做的功.（取g＝10 m/s2）
答案：见解析
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解析：
斜面上的货物受到重力G、斜面支持力FN和摩擦力Ff三个力的作用，如图所示.货物位 移的方向沿斜面向下，可以用正交分解法，将货物所受的重力分解到与斜面平行的方 向和与斜面垂直的方向.可以看出，三个力中重力和摩擦力对货物做功，而斜面支持 力对货物不做功.其中重力G对货物做正功
W1＝mglsin 37°＝20×10×0.5×0.6 J＝60 J
支持力FN对货物不做功，W2＝0
摩擦力Ff对货物做负功
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W3＝（μmgcos 37°）lcos 180°＝－0.2×20×10×0.8×0.5 J＝－16 J
所以，合力做的总功为
W＝W1＋W2＋W3＝（60＋0－16） J＝44 J
也可以先计算合力再求功，则合力做的功
W＝F合l＝（mgsin 37°－μmgcos 37°）l
＝（20×10×0.6－0.2×20×10×0.8）×0.5 J＝44 J.
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[能力提升]
A. 物体A克服摩擦力做的功最多
B. 物体B克服摩擦力做的功最多
C. 物体C克服摩擦力做的功最多
D. 三个物体克服摩擦力做的功一样多
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A. F1做的功比F2做的功多
B. F4做的功最多
C. F3的大小不一定等于零
D. 这四个力的合力对物体做的总功为 0
解析：功是标量，但功的正、负不是表示大小，所以F1做的功比F2做的功少，F2做的 功最多，故A、B错误；F3做功为0，F3的大小不一定等于零，可能是F3的方向与位移 方向垂直，故C正确；这四个力的合力对物体做的总功为W合＝（30－50＋0＋40） J ＝20 J，故D错误.
C
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A. 合力对运动员所做的功为3 000 J
B. 摩擦力对运动员所做的功为12 000 J
C. 重力对运动员所做的功为15 000 J
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C. ρgL2 D. ρgL4
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12. 小球在空中某处从静止开始自由下落，与水平地面碰撞后上升到空中某一高度 处，此过程中小球速度随时间变化的关系如图所示，已知小球质量为1 kg，整个过程 中所受的阻力大小不变，求：
（1）小球下落的加速度大小；
答案：8.0 m/s2
（2）小球初始位置距地面的高度；
答案：1 m
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（3）此过程小球克服阻力所做的功.
答案：2.75 J
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13. 如图所示，水平传送带以速度v＝6 m/s顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为 L1＝10 m，若在M轮的正上方，将一质量为m＝3 kg的物体轻放在传送带上（取g＝10 m/s2），已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3，则在物体由M处传送到N处的 过程中，
（1）传送带对物体的摩擦力做了多少功？
答案：54 J
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（2）若将传送带速度调至v'＝9 m/s，求传送带对物体的摩擦力做了多少功？
答案：90 J
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（3）若物体与传送带间的动摩擦因数μ'＝0.1，求传送带对物体的摩擦力做了多 少功？
答案：30 J
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