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第八章　机械能守恒定律
专题七　机械能守恒定律和功能关系的应用
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拓展一
专题　讲座
1. 速率相等的连接体模型
（1）如图所示的两物体组成的系统，当释放B后，在A、B运动的过程中，二者的速 度均沿绳子方向，因A、B在相等时间内运动的路程相等，则A、B的速率相等.
　　　 　　　 　　　
（2）判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即 如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒.这类题目的典型特点是系 统不受摩擦力作用.
2. 角速度相等的连接体模型
（1）如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕过O点的轴转 动，在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等，则A、B转动的角速度相等.
　　　 　　　 　　　
（2）系统机械能守恒的特点
①一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，系统通过内力做功实现机 械能在物体间的转移；
②内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者的代数和为零.
3. 分速度大小相等的连接体模型
（1）如图所示的两物体组成的系统，当释放后，在A、B运动的过程中，A、B的速度 并非均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的位移大小不相等，则A、B的速度大小 不相等，但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等.
　　 　　 　　
（2）列系统机械能守恒表达式的两种思路
①系统动能的减少（或增加）量等于重力势能的增加（或减少）量；
②一个物体机械能的减少量等于另一个物体机械能的增加量.
研习　经典
[典例1]　（2024·江苏宿豫中学高一月考）如图所示，A物体用板托着，离地高度
h＝1.0 m，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态.已知A物体质量
M＝1.5 kg，B物体质量m＝1.0 kg，现将板抽走，A将拉动B上升，设A着地后不反弹， B上升过程中不会碰到定滑轮，取g＝10 m/s2.求：
（1）A着地时，B的速度大小；
[答案]　2 m/s
（2）B物体在上升过程中离地面的最大高度.
[答案]　1.2 m
BD
C. 下滑过程中小球a机械能增大
D. 下滑过程中小球a机械能减小
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拓展二
专题　讲座
1. 功与能的区别
比较 内容 功 能
性质 过程量 状态量
功能 关系 不同形式的能量之间的转化是通过做功来实现的.做功的过程就是各种形式的能量之间转化（或转移）的过程，且做了多少功，就有多少能量发生转化（或转移），因此，功是能量转化的量度，但功、能的本质不同
2. 常用的几种功能关系
功 能的变化 表达式
重力做功 正功 重力势能减少 重力势
能变化 WG＝－ΔEp
＝Ep1－Ep2
负功 重力势能增加
弹力做功 正功 弹性势能减少 弹性势
能变化 W弹＝－ΔEp
＝Ep1－Ep2
负功 弹性势能增加
合力做功 正功 动能增加 动能
变化 W合＝ΔEk＝
Ek2－Ek1
负功 动能减少
功 能的变化 表达式
除重力（或
系统内弹力）外其他力做功 正功 机械能增加 机械能变化 W其他＝ΔE＝E2－E1
负功 机械能减少
一对滑动摩擦力做的总功 负功 机械能减少 内能变化 Q＝Ff·x相对
研习　经典
AC
A. 升降机对物体做功5 800 J
B. 合力对物体做功5 800 J
C. 物体的重力势能增加5 000 J
D. 物体的机械能增加5 000 J
　　当系统机械能发生变化时，一定有除重力（或系统弹力）之外的其他力做了功， 且其他力做的功量度机械能的变化.
AB
A. 重力做功mgR
C. 合外力做功mgR
D. 克服摩擦力做功mgR
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课堂强研习 合作学习 精研重难
课后提素养
A. 物块的速度一直减小到0
B. 物块加速度先不变后减小
C. 弹簧弹性势能先不变后增大
D. 物块和弹簧组成的系统的机械能一直增大
D
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解析：从物块接触弹簧开始至到达最高点的过程中，对物块受力分析，沿斜面方向有 F风－mgsin θ－kx＝ma，弹簧的压缩量x从0开始增大，物块先沿斜面加速，加速度向 上且逐渐减小，当a减小到0时，速度加速到最大；然后加速度反向且逐渐增大，物体 减速，直至减速到0，故A、B错误；由于弹簧的压缩量不断增大，所以弹性势能不断 增大，故C错误；由于风力对物块一直做正功，所以物块与弹簧组成的系统机械能一 直增大，故D正确.
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A. 先做匀加速直线运动后做匀速直线运动
C. 飞至2h0高处时无人机所受的升力为2mg
D. 机械能增加量为5.5mgh0
CD
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2
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3. 某同学用实验室中的过山车模型研究过山车的原理.如图所示，将质量为m的小球 从倾斜轨道上的某一位置由静止释放，小球将沿着轨道运动到最低点后进入圆轨道. 他通过测量得到圆轨道的半径为R. 已知重力加速度为g.
（1）小球能够顺利通过圆轨道最高点的最小速度v为多少？
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（2）若不考虑摩擦等阻力，要使小球恰能通过圆轨道的最高点，小球的释放点距轨 道最低点的高度差h为多少？
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（3）该同学经过反复尝试，发现要使小球恰能通过圆轨道的最高点，小球的释放点 距轨道最低点的高度差比（2）的计算结果高Δh，则从释放点运动到圆轨道最高点的 过程中小球损失的机械能ΔE为多少？
答案：mgΔh
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