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第六章　圆周运动
专题三　竖直面内圆周运动模型及临界问题
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拓展一
专题　讲座
1. 模型概述
无支撑物（如球与绳连接，沿内轨道运动的“过山车”等）的竖直面内的圆周运动， 称为“轻绳模型”.
2. 模型特点
比较项目 特点
情境图示
弹力特征（最高点） 弹力可能向下，也可能等于零
比较项目 特点
受力示意图
力学方程
临界特征
物体能否过最高点的临界点
研习　经典
[典例1]　（2024·浙江温州期末）激光高速特技车（以下简称小车）依靠强磁电机提 供动力，能以很大的速度在空心球体中运动.如图甲所示，某同学将鱼缸固定在示数 已调零的台秤上，打开小车开关，使小车在竖直面内做半径为r＝0.064 m的匀速圆周 运动.已知鱼缸的质量M＝0.90 kg，小车的质量m＝0.01 kg，重力加速度g＝10 m/s2， 不考虑空气阻力等影响，运动模型如图乙所示.
（1）求小车恰能过最高点A时的速度大小v1和此时台秤的示数F1；
[答案]　0.8 m/s　9.0 N
（1）求小车恰能过最高点A时的速度大小v1和此时台秤的示数F1；
[答案]　0.8 m/s　9.0 N
解得v1＝0.8 m/s此时小车与鱼缸间弹力为0，则台秤的示数F1＝Mg＝9.0 N.
（2）若小车在最高点A时，台秤的示数为F2＝5.5 N，求此时小车速度大小v2.
[答案]　4.8 m/s
A. 0
C
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拓展二
专题　讲座
1. 模型概述
有支撑物（如球与杆连接，小球在弯管内运动等）的竖直面内的圆周运动，称为“轻 杆模型”.
2. 模型特点
比较项目 特点
情境图示
弹力特征（最高点） 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
比较项目 特点
力学方程
临界特征 v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg
（两力方向相反）
FN表现为拉力还是支持力的临界点
研习　经典
[典例2]　如图所示，小球A的质量为m＝0.5 kg.固定在长为L＝0.2 m的轻细直杆一端，
并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动.如果小球经过最高位置时，杆
对球的作用力为拉力，拉力大小等于球的重力（取g＝10 m/s2）.求：
（1）球在最高点时的速度大小；
[答案]　2 m/s
（2）当小球经过最低点时速度为4 m/s，杆对球的作用力的大小；
[答案]　45 N
（3）如果把其中轻细杆变成等长的轻绳，小球刚好能通过最高点的速度为多大.
竖直面内的圆周运动问题的分析思路
（1）定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条 件不同.
（3）研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运 动情况.
D
C. v2＝c时，杆对小球的弹力方向向下
D. v2＝2b时，杆对小球弹力大小为2mg
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拓展三
专题　讲座
1. 涉及常见三种力
（1）与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0或不被拉断的最大值.
（2）与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0.
（3）因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值.
2. 常用解题方法
（1）极限法
把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象显露，达到尽快求解的目的.
（2）假设法
有些物理过程转化没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问 题.因此分析时先假设出临界状态，然后再分析判定.
（3）数学方法
将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式，求得临界条件，具体步骤如下：
①对物体进行受力分析.
②找到其中可以变化的力以及它的临界值.
③求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值.
④用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值.
研习　经典
AC
A. b一定比a先开始滑动
B. a、b所受的摩擦力始终相等
[训练3]如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线 与轴线之间的夹角θ＝45°，一条长为L的轻绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶 点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看成质点），物体以速率v绕圆锥 体的轴线做水平匀速圆周运动.求：
答案：　2mg
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课堂强研习 合作学习 精研重难
课后提素养
A. 秋千对小明的作用力小于mg
B. 秋千对小明的作用力大于mg
C. 小明的速度为零，所受合力为零
D. 小明的加速度为零，所受合力为零
A
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解析：秋千摆到最高点，受力分析如图所示
切向：mat＝mgsin θ，径向：速度为0，向心力为0，则有T＝mgcos θ＜mg，在 最高点速度为0，向心力为0，但切向加速度不为0，所受合力不为零，故B、C、 D错，A正确.
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2. （2024·江苏南京协同体七校期中联考）长度为0.5 m的轻质细杆OA，A端有一质量 为2 kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高 点时的速度为1 m/s，取重力加速度g＝10 m/s2，则此时轻杆OA将（　　）
A. 受到16 N的压力
B. 受到24 N的压力
C. 受到24 N的拉力
D. 受到16 N的拉力
A
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A. 球A受到的向心力大于球B受到的向心力
B. 球A转动的半径是球B转动半径的一半
C. 当球A质量增大时，球A将向外运动
D. 当ω增大时，球B向外运动
BC
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解析：由于杆光滑，两球之间的细绳的拉力提供向心力，绳上各点的拉力大小相等， 所以球A受到的向心力等于球B受到的向心力，A错误；根据F＝mω2r，A、B两球的角 速度相等，mA＝2mB，得rB＝2rA，B正确；当A球质量增大时，需要的向心力变大，则 球A将做离心运动，向外运动，C正确；当ω增大时，两球的向心力增大相同数值，两 球相对于杆均不动，D错误.
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A. 人在最低点时对座椅的压力小于mg
B. 人在最高点和最低点时的向心加速度大小不相等
C. 人在最高点时对座椅仍可能产生压力，且压力不一定小于mg
D. 车在最高点时人处于倒坐状态，若没有保险带，人一定会掉下去
BC
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5. 如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线竖直，顶角为2θ＝60°，底面半径为R，在底 面圆心O处系一个轻质细线，长也为R，细线的另一端连一个小球，小球可视为质 点，现给小球一个初速度，使其在水平面内做圆周运动.已知重力加速度为g，则：
（1）要使小球不碰到圆锥筒，小球的线速度大小不超过多大？
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解析：设小球恰好与筒壁接触，但与筒壁间无作用力时，小球的线速度大小为v1，受 力分析如图1所示，
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（2）要使细线无拉力，小球的线速度大小应满足什么条件？
答案：　见解析
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