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陕西省汉中市汉台区 2025 届高三数学二模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 2 1 ≤ 0}， = { |0 ≤ 2 1 ≤ 2}，则 ∪ =( )
A. { |1 < ≤ 32 } B. { | ≤ 2} C. { |
1
2 ≤ ≤ 2} D. { |
1
2 ≤ ≤
3
2 }
2.已知复数 满足(1 ) = ，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.2024 年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购
买了几台 型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间 (单位：年)与当年所需要支出的维修费用 (单位：
千元)有如下统计资料：
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7

根据表中的数据可得到线性回归方程为 = 1.23 + ，则( )
A. 与 的样本相关系数 < 0

B. = 0.08
C.表中维修费用的第 60 百分位数为 6.5
D.该型跑步机已投入使用的时间为 10 年时，当年所需要支出的维修费用一定是 12.38 万元
4.向量| | = | | = 1，| | = 3，且 + = 0，则 cos , =( )
A. 1 B. 3 C. 1 D. 32 2 2 2
5.若 是第二象限角，3 2 = ，则 =( )
A. 5 B. 5 55 C. 5 D. 5
6 1 1 5.已知等比数列{ }满足 + = 2 ， =
1
2 4，记 为其前 项和，则 3 =( )1 3 2
A. 7 B. 78 4 C.
7
2 D. 7
7.已知直线 ： 3 3 = 0 过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 ，且与抛物线 交于 ， 两点，则
以线段 为直径的圆的面积为( )
A. 62 649 B. 7 C. 9 D. 8
8.若 ∈ 满足 + > 1，则实数 的取值范围是( )
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A. 1 < < 0 B. ≤ 2 C. < < 2 D. > 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ( ) = 2sin(2 + 4 )，则( )
A. ( + ) = ( ) B. ( 3 8 ) = ( )
C. ∈ (0, 4 )， ( ) > 1 D. ∈ (0,

4 )， ′( ) < 0
10.掷一枚质量均匀的骰子，记事件 ：掷出的点数为偶数；事件 ：掷出的点数大于 2.则下列说法正确的是
( )

A. ( ) < ( ) B. ( ) + ( ) + ( ) = 1

C. ( ) > ( ) D. ( | ) > ( | )
11.棱长为 1 的正方体 1， 是正方形 1 1内(包括边界)一点，下列结论正确的有( )
A.三棱锥 1 的体积为定值
B.若点 在线段 1上，则异面直线 与 1 所成角为定值
C.若点 在线段 1上，则 1 + 的最小值为 2 + 2
D. = 2 3 2 3若 3 ，则点 轨迹的长度为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知直线 1： + + 1 = 0 与 2： + 2 + + = 0 平行，
则 1与 2间的距离为 ．
13.图中平行四边形有______个(用数字作答)．
14 , ≤ 1.已知 { , } = , > ，函数 ( ) = {
2, +1 }，若 ∈ [1,3]，使得关于 的不等式 ( ) ≤ ( )成
立，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中， ， ， 分别是角的对边，已知 2 = + ．
(1)若 = 2 + 2 2，求实数 的值；
(2)若 = 3，求△ 面积的最大值．
16.(本小题 15 分)
设数列{ }的前 项和为 2 ，若 2 = ， ∈ ．
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(1)证明：数列{ + +1}是等差数列；
(2)求 20．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ．
(1)求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(2) 设函数 ( ) = ( ) ，求 ( )在区间[0, 2 ]上的最大值和最小值．
18.(本小题 17 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， ， ， ， 分别为 1， ， 1 1， 1的中点， = =
5， = 1 = 2．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求二面角 1的余弦值；
(3)证明：直线 与平面 相交．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 +

2 = 1( > > 0)
2
的长轴长为 2 2，离心率为 2 ．
(1)求椭圆 的方程；
2 2
(2) 若椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)上点( 0, 0)处的切线方程是
0 0
2 + 2 = 1，
①过直线 ： = 2 上一点 引 的两条切线，切点分别是 、 ，求证：直线 恒过定点 ；
②是否存在实数 ，使得| | + | | = | | | |，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由．
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参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 2
1390
14( 1, 1 12 ] ∪ [ 2 , 3]
15解：(1)由 2 = + 及 + + = ，可得 = 3，
2 2 2
又由 = 2 + 2 2 + ，可得 2 = 2，
1
则由余弦定理，可得 = 2 = 2，
解得 = 1，即实数 的值为 1；
(2)因为 = sin = 33 2 ，
根据余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 ，
所以 = 2 + 2 2 ≥ 2 2，即 ≤ 2，
当且仅当 = 时等式成立，
2 3 3 3故 △ = 2 ≤ 2 2 = 4 ，
当且仅当 = = = 3等号成立，
即所求△ 3 3面积的最大值是 4 ．
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16证明：(1) ∵ 2 = 2，
∴当 ≥ 2 时，2 1 2 1 = ( 1) ，
两式相减得 2 (2 2 2 1 1) = ( 1) = 2 1，
又∵ 2 (2 1 1) = 2 2 1 + 1 = + 1
∴ + 1 = 2 1，
故( +1 + ) ( + 1) = [2( + 1) 1] (2 1) = 2，且 2 + 1 = 3，
所以数列{ +1 + }是以 3 为首项，公差为 2 的等差数列．
解：(2)由(1)知 + 1 = 2 1( ≥ 2)，
所以
20 = ( 1 + 2) + ( + ) + ( + ) + + ( + ) = 3 + 7 + 11 + . . . + 39 =
(3+39)×10
3 4 5 6 19 20 2 = 210．
17解：(1)因为函数 ( ) = ，所以 (0) = 1，
所以导函数 ′( ) = ( )，那么 ′(0) = 1，
所以函数 = ( )在(0, (0))处的切线方程为 1 = 1 ( 0)，即 = + 1．
(2)因为 ( ) = ( ) =
所以导函数 ′( ) = ( ) 1，
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = 2 ≤ 0 在[0, 2 ]上恒成立，且仅在 = 0 处等号成立，
所以函数 ( )在[0, 2 ]上单调递减，
所以 ( ) ≤ (0) = 0，
所以导函数 ′( ) ≤ 0 且仅在 = 0 处等号成立，

所以函数 ( )在[0, 2 ]上单调递减，
所以 ( ) = (0) = 1， ( ) = (

2 ) = 2．
18解：(1)证明：∵ ， 分别是 ， 1 1的中点，
∴ // 1，
∵ 1 ⊥平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ = ， 是 的中点，
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∴ ⊥ ，
又 ∩ = , 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2)由(1)可知， ⊥ ， ⊥ ， ⊥平面 ，
又 平面 ，∴ ⊥ ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,1,0)， (0, 1,1)，
∴ = ( 2,1,0)， = (0, 2,1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = 0 2 + = 0，即 ，令 = 2，可得 = (1,2,4)，
= 0 2 + = 0
又 ⊥ ， ⊥ ，
且 ∩ = ， 平面 1 1， 平面 1 1，
∴ ⊥平面 1 1，
∴ = (2,0,0)为平面 1的一个法向量，
∴ cos < ， >=
= 2 = 21，
| || | 21×2 21
由图形可知，二面角 1为钝二面角，
∴二面角 1的余弦值为
21；
21
(3)证明： (0,0,2)， (2,0,1)，
∴ = (2,0, 1)，
∴ = 2 + 0 4 = 2 ≠ 0，
∴ 与 不垂直，
∴ 与平面 不平行，
又 平面 ，
∴ 与平面 相交．
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2 = 2 2
19解：(1)由题意可知： ，
=
2
2
所以 = 2，
= 1
所以 = 2 2 = 1，
2
所以椭圆 的方程为
2 +
2 = 1；
(2)①证明：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， (2, )
，

由题设可知： ： 1 2 2 + 1 = 1, ： 2 + 2 = 1，
又因为 ， 经过点 (2, )，
1 + 1 = 1所以 2 + 2 = 1
，
所以 ， 均在直线 + 1 = 0 上，
即 ： + 1 = 0，
1 = 0 = 1
由 = 0 ，解得 = 0，
所以直线 过定点 (1,0)；
②设实数 存在，因为| | + | | = | | | |，
所以 = 1 1| | + | |，
当直线 斜率不存在时，此时 ： = 1，
= 1 = 1
由 2 + 2 2 = 2，解得 =± 2，2
所以| | = | | = 2，2
所以 = 1 1| | + | | = 2 2，
当直线 斜率 存在时，
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1 1
= +
1+ (1 2 ) × | 1 | 1+ (
1
)
2 × | 2 |
1 | | + | |
= × 1 2
1+ 2 | 1 2|
1 |
= × 1 2
|
1+ 2 | 1 2|
= 1
( 1+ 2)2 4 1 2
× ，
1+ 2 | 1 2|
= + 1
联立 2 + 2 2 = 2，
可得( 2 + 2) 2 2 1 = 0，
所以 1 + 2 =
2 1
2+2 , 1 2 = 2+2，
( 2 )2 4×(
2+2)×( 1) 2 2× 2+1
1 2+2 ( 2+2)2所以 = × = 2+21 = 2 2，1+ 2
2
2
+2 +1
2+2
综上可知，存在 = 2 2满足条件．
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