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浙江省金华义乌稠州中学2024-2025学年九年级下学期3月独立作业数学试卷
1．（2025九下·义乌月考）的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
2．（2025九下·义乌月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·义乌月考）如图，王华用橡皮泥做了个圆柱，再用手工刀切去一部分，则其左视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·义乌月考）2023年湖州经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到4015.1亿元。数据4015.1亿用科学记数法可以表示为（　　）
A．40.151×1012 B．4.0151×1012
C．4.0151×1011 D．0.40151×1013
5．（2025九下·义乌月考）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·义乌月考）如图，是的直径，，是上的两点，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·义乌月考）“践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·义乌月考）利用尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线．下列作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九下·义乌月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在直线y＝kx+1上，对称轴为直线x＝1，有以下四个结论：①ab＜0，②b＜，③a＝﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
10．（2025九下·义乌月考）三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，图2也是一幅青朱出入图，设，，的面积分别为，，，已知，，则大正方形的面积为（　　）
A．64 B．60 C．56 D．52
11．（2025九下·义乌月考）因式分解： ＝　 　.
12．（2025九下·义乌月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则tanA的值是　 　．
13．（2025九下·义乌月考）圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为　 　．
14．（2025九下·义乌月考）如图，已知，直线分别与a，b相交于D，A两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，，则的度数为　 　．
15．（2025九下·义乌月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，是常数）在第一象限部分的图象与矩形的两边和分别交于，两点，将沿翻折得到，的延长线恰好经过点．若，则的值是　 　．
16．（2025九下·义乌月考）如图，正方形中，点是边的中点．连接，在上找一点，连接，将绕点顺时针旋转到．，延长线交于点．若，当F，E，G三点共线时，　 　．
17．（2025九下·义乌月考）（1）计算：；
（2）解方程：；
18．（2025九下·义乌月考）在矩形中，取的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
19．（2025九下·义乌月考）如图，各图形顶点都在格点上，分别根据下列要求画出图形．
（1）在图1中，在上找一点，使得平分面积．
（2）在图2中，在上找一点，使得将分成面积比为的两部分（找到一个即可）
20．（2025九下·义乌月考）体育是义乌市中考科目之一，现随机抽取初三年级部分学生进行“你最想选择哪个考试项目？”的问卷调查，参与调查的学生需从、、、、五个选项（：篮球；：立定跳远；：排球；：实心球；：跳绳）中任选一项（必选且只选一项）．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息完成以下问题：
（1）参加本次调查的一共有_____名学生；在扇形统计图中，“”所在扇形圆心角的度数是_____；
（2）请你补全条形统计图；
（3）已知立信中学初二年级共有750名学生，请你根据调查结果，估计初二年级最想选择“跳绳”的学生有多少人？
21．（2025九下·义乌月考）如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点O为摄像机旋转轴心，O为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接杆，，，点C到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．
（1）求显示屏所在部分的宽度；
（2）求镜头A到地面的距离．
（参考数据：，，，结果保留一位小数）
22．（2025九下·义乌月考）已知和（且）是同一直角坐标系中的两条抛物线．
（1）当，时，求抛物线的顶点坐标；
（2）判断与坐标轴的交点个数，并说明理由；
（3）如果对于抛物线上的任意一点均有．当时，求自变量的取值范围．
23．（2025九下·义乌月考）【基础巩固】（1）如图1，已知于点，于点B，P是上一点，已知，，，，求的周长；
【尝试应用】（2）如图2，已知，，点D，E分别在边和上，是上一点，且，，求的值；
【拓展提高】（3）如图3，已知，，点D，E分别在直线和直线上，是边上一点，且，，的两条直角边，直接写出此时的长度．
24．（2025九下·义乌月考）已知：是的外接圆，的平分线交于点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，是的直径，过点作，垂足为点，连接，若，，求的半径；
（3）如图3，是的直径，过点作，垂足为点，连接，若，，，点在上，连接，分别交，于点，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】利用相反数的定义（①符号相反；②绝对值相同的两个数互为相反数）分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A：和不是同类项，不能直接相加，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，原计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除和幂的乘方法则逐项计算即可.
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看是上下两个矩形，矩形的公共边是虚线．
故答案为：A．
【分析】从左向右看，得到的正投影就是其左视图，能看到的轮廓线用实线，看不到而存在的轮廓线用虚线，根据该结合体摆放的方式可得从左边看是上下两个矩形，两个矩形的宽之和等于圆柱体的高，矩形的长等于圆柱体的直径，矩形的公共边是虚线，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 4015.1亿 =401510000000=.
故答案为：C.
【分析】按照科学记数法的形式进行表示，其中对单位亿进行化简，即亿为9位数，可快速判断原数为几位数进行表示.
5．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 从袋中任意摸出一个球有6种情况，其中摸出一个球是红色的有4种情况，
∴P=.
故答案为：D.
【分析】 首先确定从袋中任意摸出一个球共有几种情况，再确定摸出一个球是红色的有几种情况，然后用概率公式求概率即可.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为⊙O的直径，
∴，
∵∠ACD与∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据直径对的圆周角为直角得到，再根据同弧对的圆周角相等得到，进而根据角的和差，由代入计算即可．
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意得
故选：A．
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，准确找出等量关系列出方程是解题的关键。设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据米乐说：“我比你多收集了7节废电池．”等量关系式是：米乐收集的废电池数-琪琪收集的废电池数等于7.可得。根据琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”等量关系式是：2（米乐收集的废电池数-8）=琪琪收集的废电池数+8.可得，据此得出二元一次方程组．对照选项选出正确答案。
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定；菱形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．如图；
根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，即∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，不符合题意；
B．作∠PAB的角平分线，则∠PAQ=∠BAQ，.作等腰PQ=PA，则∠PAQ=∠PQA，得到∠BAQ=∠PQA，即内错角相等，两直线平行，不符合题意；
C．如图所示，
根据作图痕迹可得PQ=BQ，PB=QB=BC，PC=PQ=PB，得到PQ=QB=BC=CP∴四边形PQBC是菱形
∴PC∥BQ，不符合题意；
D．如图；
作出线段的垂直平分线，则∠CPD=∠CBD，∠BCD=∠PCD作；作PC=CB，则∠CPD=∠CBD，但无法证AB∥PQ，符合题意．
故选：D．
【分析】
本题主要考查了作图。作一个角等于已知角；作角的平分线；作垂直平分线。根据作图过程找出相等的角或互补的角，结合平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）。对选项逐一判断找到不能判断AB∥PQ的选项。
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴ab＜0，所以①正确，符合题意；
②∵x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+1＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣﹣b+1＜0，
∴b＞，所以②错误，不符合题意；
③当x＝1时，y＝a+b+1＝a﹣2a+1＝﹣a+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a+1），
把（1，﹣a+1）代入y＝kx+1得﹣a+1＝k+1，
∴a＝﹣k，所以③正确，符合题意；
④当0＜x＜1时，ax2+bx+1＞kx+1，
即ax2+bx＞kx，
∴ax+b＞k，所以④正确，符合题意．
综上：正确的是①③④
故答案为：B．
【分析】由抛物线开口向下可得a＜0，由抛物线对称轴直线公式及对称轴直线为x=1可得b=-2a＞0，从而根据有理数的乘法法则可判断①；由图象可得当x=-1时，y=a-b，1＜0，再代入b=-2a可得关于字母b的不等式，求解可判断②；把x=1及b=-2a代入y＝ax2+bx+1可得y=-a+1， 从而得到抛物线的顶点坐标为（1，﹣a+1），再将点（1，﹣a+1）代入y＝kx+1即可判断③；由图象可得当0＜x＜1时，抛物线y＝ax2+bx+1在直线y＝kx+1上面，故ax2+bx+1＞kx+1，求解即可.
10．【答案】D
【知识点】解二元一次方程；直角三角形全等的判定-HL；列二元一次方程；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过N向CD 作垂线交AD于O，如图
在Rt△ADE和Rt△EON中
NE=AE，ON=DE
Rt△ADE≌Rt△EON
，
根据图1结合图2得到
∴，
∴，
联立
得：
设，
∵，
∴，
∴即，
解得：，
联立得：，解得(舍去)，
∴，
故选：D．
【分析】
题目主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质。先证Rt△ADE≌Rt△EON得到，根据图1结合图2得到，结合图形得出，继而得到小正方形的边长。再证，设AD=a，CQ=X=HG利用相似三角形得判定和性质得出，联立方程组求解，，联立求出a=6得最后根据即可得出结果．
11．【答案】2a(a+2)(a-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 解： = .
故答案为： 2a(a+2)(a-2) .
【分析】先提取公因式2a，再根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．【答案】
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，
∴tanA＝，
故答案为：．
【分析】根据正切的定义“tanA＝”直接求解即可.
13．【答案】12
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线长为l，则
=2π×3
解得：l=12
故答案为：12.【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，可求出母线长。
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图：
，
，
∵，且
解得
故答案为：.
【分析】先根据平角求出∠4的度数，根据两直线平行，内错角相等得到，将∠2=∠1+2°代入解题即可．
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
将沿翻折得到，的延长线恰好经过点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图象上，，即点的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】设，根据矩形的性质和翻折的性质可得，，根据三角形内角和定理推出， 根据等角对等边得CE=OE=a，由勾股定理及矩形性质得；由平行线性质及角的和差可推出， 由等角对等边得，进而根据线段和差表示出AD，得，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，根据点在反比例函数图象上，可得点的纵坐标，可得，再求出，即可得到的值．
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，过H作，交的延长线于P，如图所示
绕点A顺时针旋转到，则，，
即是等腰直角三角形，
在
AB=AD，∠BAF=∠DAG，AF=AG
∴(SAS)，
∠AFB=∠AGD=135°，∠FGD=∠AGD-∠AGF=90°
三角形ABE面积等于三角形BED的面积
∵，
∴，
∴中，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出BE长，连接，过H作交的延长线于P，即可得到(SAS)，进而得到∠BGD=90°，利用等积法得到，求出DG长，再得到为等腰直角三角形，即可得到GP=HP，证明，根据对应边成比例得到，解题即可．
17．【答案】解：（1）
；
（2），
去分母，得：
去括号，得：，
移项合并同类项，得：，
系数化为1，
得：，
检验
当时，，
∴是分式方程的解．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）先求出零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，绝对值的值。然后根据有理数的计算法则计算；
（2）分式方程先去分母转化为整式方程，再去括号、移项、合并同类项、化系数为1.求出整式方程的解得到x的值。分式方式要检验，
18．【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，利用平行线的性质可得，，因而根据AAS可证明，即可证明．
（2）根据矩形的性质可得由勾股定理得再根据全等三角形的性质以及中点即可得解．
（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
由（）知，则，
∵，
∴，
∴
19．【答案】（1）解：如图所示，就是所求作的点，
（2）解：如图所示，点就是所求作的点，
或
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
20．【答案】（1）150，
（2）解：C组人数为（人），
B组人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），答：估计初二年级最想选择“跳绳”的学生有150人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）参加本次调查的一共有（名）；
在扇形统计图中，“”所在扇形圆心角的度数是；
故答案为：150，；
【分析】（1）利用A的频数除以它的占比得到调查人数；然后运用D组人数的占比乘以360°得到相应的圆心角的度数；
（2）先求出C组的人数，再运用调查人数减去其他组人数计算出B租的人数，补全条形统计图即可；
（3）用750乘以E组的占比解答即可.
（1）解：参加本次调查的一共有（名）；
在扇形统计图中，“”所在扇形圆心角的度数是；
故答案为：150，；
（2）解：C组人数为（人），
B组人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：估计初二年级最想选择“跳绳”的学生有150人．
21．【答案】（1）解：∵，与水平地面所成的角的度数为，
∴显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为．
过点C作过点D的铅垂线的垂线CM，垂足为M，则，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接，作垂直延长线于点，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴镜头到地面的距离为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作过点D的铅垂线的垂线CM，垂足为M，则，由由∠DCM的余弦函数即可求出CM的长，从而得出答案；
（2）连接AC，作AH垂直CM反向延长线于点H，易得AO=10cm，CE=10cm，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个内角为90°的平行四边形是矩形得出四边形ACEO为矩形，由矩形对边相等得AC=OE=10cm，∠ACE=90°，由同角的余角相等得∠CAH=∠DCM=36°，在中，由∠CAH的余弦函数即可求出AH，从而得出答案．
22．【答案】（1）解：当时，
∴顶点坐标为；
（2）解：2个或3个，理由如下：
与y轴交点，
令X=0，y=b
交点（0，b）
与X轴交点，令，则
当a≠b时，时，与轴有个交点，与轴有个交点，
所以与坐标轴的交点个数为2个或3个；
（3）解：∵抛物线上的任意一点均有，
顶点纵坐标
，
整理得：b=-3a，把b=-3代入中
，
a＜0，
即
解得，，如图所示：
根据图象可知，当或时，．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1 ）y=a（x-h）2+k 的顶点坐标（h，k），把a，b的值代入 用配方的方法转化成顶点式求其顶点坐标；
（2） 坐标轴的交点个数 即包含与X轴的交点，又包含与y轴的交点。根据一元二次方程根的判别式和函数的图象，得，分大于0或等于0两种情况讨论，即可确定交点的个数。
（3）先根据题意得到，且，然后得到，代入得到借助图象求出不等式的解集即可．
（1）解：当时，
∴顶点坐标为；
（2）解：2个或3个，理由如下：
令，则，
，
当时，与轴有个交点，与轴有个交点，
当时，与轴有个交点，与轴有个交点，
∴与坐标轴的交点个数为2个或3个；
（3）解：∵抛物线上的任意一点均有，
且，
整理得：，
的开口向上，且抛物线与x轴交点的横坐标为，，如图所示：
根据图象可知，当或时，．
23．【答案】解：（1），，，
在
，
∠A=∠B
，，
∴
∴的周长为：。
（2）分别过点作，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
设
由（1）知
DG=PH，GP=EH
∴，
∴，
（3）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
24．【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是的直径，∴，，
∵是的平分线，
∵
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
过点B作交于点M，
∴，
∵ ∠DAB=∠BCD=45°，∠ABD=∠ACD=45°，
，
，
∴
∴，
∴，
∴，
∴在中，
在
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为；
（3）解：设，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点G作交于N点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
1 / 1浙江省金华义乌稠州中学2024-2025学年九年级下学期3月独立作业数学试卷
1．（2025九下·义乌月考）的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】利用相反数的定义（①符号相反；②绝对值相同的两个数互为相反数）分析求解即可.
2．（2025九下·义乌月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A：和不是同类项，不能直接相加，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，原计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除和幂的乘方法则逐项计算即可.
3．（2025九下·义乌月考）如图，王华用橡皮泥做了个圆柱，再用手工刀切去一部分，则其左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看是上下两个矩形，矩形的公共边是虚线．
故答案为：A．
【分析】从左向右看，得到的正投影就是其左视图，能看到的轮廓线用实线，看不到而存在的轮廓线用虚线，根据该结合体摆放的方式可得从左边看是上下两个矩形，两个矩形的宽之和等于圆柱体的高，矩形的长等于圆柱体的直径，矩形的公共边是虚线，据此逐一判断得出答案.
4．（2025九下·义乌月考）2023年湖州经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到4015.1亿元。数据4015.1亿用科学记数法可以表示为（　　）
A．40.151×1012 B．4.0151×1012
C．4.0151×1011 D．0.40151×1013
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 4015.1亿 =401510000000=.
故答案为：C.
【分析】按照科学记数法的形式进行表示，其中对单位亿进行化简，即亿为9位数，可快速判断原数为几位数进行表示.
5．（2025九下·义乌月考）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 从袋中任意摸出一个球有6种情况，其中摸出一个球是红色的有4种情况，
∴P=.
故答案为：D.
【分析】 首先确定从袋中任意摸出一个球共有几种情况，再确定摸出一个球是红色的有几种情况，然后用概率公式求概率即可.
6．（2025九下·义乌月考）如图，是的直径，，是上的两点，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为⊙O的直径，
∴，
∵∠ACD与∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据直径对的圆周角为直角得到，再根据同弧对的圆周角相等得到，进而根据角的和差，由代入计算即可．
7．（2025九下·义乌月考）“践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意得
故选：A．
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，准确找出等量关系列出方程是解题的关键。设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据米乐说：“我比你多收集了7节废电池．”等量关系式是：米乐收集的废电池数-琪琪收集的废电池数等于7.可得。根据琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”等量关系式是：2（米乐收集的废电池数-8）=琪琪收集的废电池数+8.可得，据此得出二元一次方程组．对照选项选出正确答案。
8．（2025九下·义乌月考）利用尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线．下列作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定；菱形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．如图；
根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，即∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，不符合题意；
B．作∠PAB的角平分线，则∠PAQ=∠BAQ，.作等腰PQ=PA，则∠PAQ=∠PQA，得到∠BAQ=∠PQA，即内错角相等，两直线平行，不符合题意；
C．如图所示，
根据作图痕迹可得PQ=BQ，PB=QB=BC，PC=PQ=PB，得到PQ=QB=BC=CP∴四边形PQBC是菱形
∴PC∥BQ，不符合题意；
D．如图；
作出线段的垂直平分线，则∠CPD=∠CBD，∠BCD=∠PCD作；作PC=CB，则∠CPD=∠CBD，但无法证AB∥PQ，符合题意．
故选：D．
【分析】
本题主要考查了作图。作一个角等于已知角；作角的平分线；作垂直平分线。根据作图过程找出相等的角或互补的角，结合平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）。对选项逐一判断找到不能判断AB∥PQ的选项。
9．（2025九下·义乌月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在直线y＝kx+1上，对称轴为直线x＝1，有以下四个结论：①ab＜0，②b＜，③a＝﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴ab＜0，所以①正确，符合题意；
②∵x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+1＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣﹣b+1＜0，
∴b＞，所以②错误，不符合题意；
③当x＝1时，y＝a+b+1＝a﹣2a+1＝﹣a+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a+1），
把（1，﹣a+1）代入y＝kx+1得﹣a+1＝k+1，
∴a＝﹣k，所以③正确，符合题意；
④当0＜x＜1时，ax2+bx+1＞kx+1，
即ax2+bx＞kx，
∴ax+b＞k，所以④正确，符合题意．
综上：正确的是①③④
故答案为：B．
【分析】由抛物线开口向下可得a＜0，由抛物线对称轴直线公式及对称轴直线为x=1可得b=-2a＞0，从而根据有理数的乘法法则可判断①；由图象可得当x=-1时，y=a-b，1＜0，再代入b=-2a可得关于字母b的不等式，求解可判断②；把x=1及b=-2a代入y＝ax2+bx+1可得y=-a+1， 从而得到抛物线的顶点坐标为（1，﹣a+1），再将点（1，﹣a+1）代入y＝kx+1即可判断③；由图象可得当0＜x＜1时，抛物线y＝ax2+bx+1在直线y＝kx+1上面，故ax2+bx+1＞kx+1，求解即可.
10．（2025九下·义乌月考）三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，图2也是一幅青朱出入图，设，，的面积分别为，，，已知，，则大正方形的面积为（　　）
A．64 B．60 C．56 D．52
【答案】D
【知识点】解二元一次方程；直角三角形全等的判定-HL；列二元一次方程；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过N向CD 作垂线交AD于O，如图
在Rt△ADE和Rt△EON中
NE=AE，ON=DE
Rt△ADE≌Rt△EON
，
根据图1结合图2得到
∴，
∴，
联立
得：
设，
∵，
∴，
∴即，
解得：，
联立得：，解得(舍去)，
∴，
故选：D．
【分析】
题目主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质。先证Rt△ADE≌Rt△EON得到，根据图1结合图2得到，结合图形得出，继而得到小正方形的边长。再证，设AD=a，CQ=X=HG利用相似三角形得判定和性质得出，联立方程组求解，，联立求出a=6得最后根据即可得出结果．
11．（2025九下·义乌月考）因式分解： ＝　 　.
【答案】2a(a+2)(a-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 解： = .
故答案为： 2a(a+2)(a-2) .
【分析】先提取公因式2a，再根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．（2025九下·义乌月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则tanA的值是　 　．
【答案】
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，
∴tanA＝，
故答案为：．
【分析】根据正切的定义“tanA＝”直接求解即可.
13．（2025九下·义乌月考）圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为　 　．
【答案】12
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线长为l，则
=2π×3
解得：l=12
故答案为：12.【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，可求出母线长。
14．（2025九下·义乌月考）如图，已知，直线分别与a，b相交于D，A两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图：
，
，
∵，且
解得
故答案为：.
【分析】先根据平角求出∠4的度数，根据两直线平行，内错角相等得到，将∠2=∠1+2°代入解题即可．
15．（2025九下·义乌月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，是常数）在第一象限部分的图象与矩形的两边和分别交于，两点，将沿翻折得到，的延长线恰好经过点．若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
将沿翻折得到，的延长线恰好经过点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图象上，，即点的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】设，根据矩形的性质和翻折的性质可得，，根据三角形内角和定理推出， 根据等角对等边得CE=OE=a，由勾股定理及矩形性质得；由平行线性质及角的和差可推出， 由等角对等边得，进而根据线段和差表示出AD，得，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，根据点在反比例函数图象上，可得点的纵坐标，可得，再求出，即可得到的值．
16．（2025九下·义乌月考）如图，正方形中，点是边的中点．连接，在上找一点，连接，将绕点顺时针旋转到．，延长线交于点．若，当F，E，G三点共线时，　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，过H作，交的延长线于P，如图所示
绕点A顺时针旋转到，则，，
即是等腰直角三角形，
在
AB=AD，∠BAF=∠DAG，AF=AG
∴(SAS)，
∠AFB=∠AGD=135°，∠FGD=∠AGD-∠AGF=90°
三角形ABE面积等于三角形BED的面积
∵，
∴，
∴中，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出BE长，连接，过H作交的延长线于P，即可得到(SAS)，进而得到∠BGD=90°，利用等积法得到，求出DG长，再得到为等腰直角三角形，即可得到GP=HP，证明，根据对应边成比例得到，解题即可．
17．（2025九下·义乌月考）（1）计算：；
（2）解方程：；
【答案】解：（1）
；
（2），
去分母，得：
去括号，得：，
移项合并同类项，得：，
系数化为1，
得：，
检验
当时，，
∴是分式方程的解．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）先求出零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，绝对值的值。然后根据有理数的计算法则计算；
（2）分式方程先去分母转化为整式方程，再去括号、移项、合并同类项、化系数为1.求出整式方程的解得到x的值。分式方式要检验，
18．（2025九下·义乌月考）在矩形中，取的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，利用平行线的性质可得，，因而根据AAS可证明，即可证明．
（2）根据矩形的性质可得由勾股定理得再根据全等三角形的性质以及中点即可得解．
（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
由（）知，则，
∵，
∴，
∴
19．（2025九下·义乌月考）如图，各图形顶点都在格点上，分别根据下列要求画出图形．
（1）在图1中，在上找一点，使得平分面积．
（2）在图2中，在上找一点，使得将分成面积比为的两部分（找到一个即可）
【答案】（1）解：如图所示，就是所求作的点，
（2）解：如图所示，点就是所求作的点，
或
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
20．（2025九下·义乌月考）体育是义乌市中考科目之一，现随机抽取初三年级部分学生进行“你最想选择哪个考试项目？”的问卷调查，参与调查的学生需从、、、、五个选项（：篮球；：立定跳远；：排球；：实心球；：跳绳）中任选一项（必选且只选一项）．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息完成以下问题：
（1）参加本次调查的一共有_____名学生；在扇形统计图中，“”所在扇形圆心角的度数是_____；
（2）请你补全条形统计图；
（3）已知立信中学初二年级共有750名学生，请你根据调查结果，估计初二年级最想选择“跳绳”的学生有多少人？
【答案】（1）150，
（2）解：C组人数为（人），
B组人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），答：估计初二年级最想选择“跳绳”的学生有150人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）参加本次调查的一共有（名）；
在扇形统计图中，“”所在扇形圆心角的度数是；
故答案为：150，；
【分析】（1）利用A的频数除以它的占比得到调查人数；然后运用D组人数的占比乘以360°得到相应的圆心角的度数；
（2）先求出C组的人数，再运用调查人数减去其他组人数计算出B租的人数，补全条形统计图即可；
（3）用750乘以E组的占比解答即可.
（1）解：参加本次调查的一共有（名）；
在扇形统计图中，“”所在扇形圆心角的度数是；
故答案为：150，；
（2）解：C组人数为（人），
B组人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：估计初二年级最想选择“跳绳”的学生有150人．
21．（2025九下·义乌月考）如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点O为摄像机旋转轴心，O为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接杆，，，点C到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．
（1）求显示屏所在部分的宽度；
（2）求镜头A到地面的距离．
（参考数据：，，，结果保留一位小数）
【答案】（1）解：∵，与水平地面所成的角的度数为，
∴显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为．
过点C作过点D的铅垂线的垂线CM，垂足为M，则，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接，作垂直延长线于点，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴镜头到地面的距离为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作过点D的铅垂线的垂线CM，垂足为M，则，由由∠DCM的余弦函数即可求出CM的长，从而得出答案；
（2）连接AC，作AH垂直CM反向延长线于点H，易得AO=10cm，CE=10cm，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个内角为90°的平行四边形是矩形得出四边形ACEO为矩形，由矩形对边相等得AC=OE=10cm，∠ACE=90°，由同角的余角相等得∠CAH=∠DCM=36°，在中，由∠CAH的余弦函数即可求出AH，从而得出答案．
22．（2025九下·义乌月考）已知和（且）是同一直角坐标系中的两条抛物线．
（1）当，时，求抛物线的顶点坐标；
（2）判断与坐标轴的交点个数，并说明理由；
（3）如果对于抛物线上的任意一点均有．当时，求自变量的取值范围．
【答案】（1）解：当时，
∴顶点坐标为；
（2）解：2个或3个，理由如下：
与y轴交点，
令X=0，y=b
交点（0，b）
与X轴交点，令，则
当a≠b时，时，与轴有个交点，与轴有个交点，
所以与坐标轴的交点个数为2个或3个；
（3）解：∵抛物线上的任意一点均有，
顶点纵坐标
，
整理得：b=-3a，把b=-3代入中
，
a＜0，
即
解得，，如图所示：
根据图象可知，当或时，．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1 ）y=a（x-h）2+k 的顶点坐标（h，k），把a，b的值代入 用配方的方法转化成顶点式求其顶点坐标；
（2） 坐标轴的交点个数 即包含与X轴的交点，又包含与y轴的交点。根据一元二次方程根的判别式和函数的图象，得，分大于0或等于0两种情况讨论，即可确定交点的个数。
（3）先根据题意得到，且，然后得到，代入得到借助图象求出不等式的解集即可．
（1）解：当时，
∴顶点坐标为；
（2）解：2个或3个，理由如下：
令，则，
，
当时，与轴有个交点，与轴有个交点，
当时，与轴有个交点，与轴有个交点，
∴与坐标轴的交点个数为2个或3个；
（3）解：∵抛物线上的任意一点均有，
且，
整理得：，
的开口向上，且抛物线与x轴交点的横坐标为，，如图所示：
根据图象可知，当或时，．
23．（2025九下·义乌月考）【基础巩固】（1）如图1，已知于点，于点B，P是上一点，已知，，，，求的周长；
【尝试应用】（2）如图2，已知，，点D，E分别在边和上，是上一点，且，，求的值；
【拓展提高】（3）如图3，已知，，点D，E分别在直线和直线上，是边上一点，且，，的两条直角边，直接写出此时的长度．
【答案】解：（1），，，
在
，
∠A=∠B
，，
∴
∴的周长为：。
（2）分别过点作，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
设
由（1）知
DG=PH，GP=EH
∴，
∴，
（3）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
24．（2025九下·义乌月考）已知：是的外接圆，的平分线交于点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，是的直径，过点作，垂足为点，连接，若，，求的半径；
（3）如图3，是的直径，过点作，垂足为点，连接，若，，，点在上，连接，分别交，于点，，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是的直径，∴，，
∵是的平分线，
∵
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
过点B作交于点M，
∴，
∵ ∠DAB=∠BCD=45°，∠ABD=∠ACD=45°，
，
，
∴
∴，
∴，
∴，
∴在中，
在
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为；
（3）解：设，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点G作交于N点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
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