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浙江省嘉兴市北京师范大学南湖附属学校2024-2025学年七年级下学期数学期中试卷
1．（2025七下·南湖期中）下列各式中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·南湖期中）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，其中0.00000000034用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·南湖期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·南湖期中）下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
5．（2025七下·南湖期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·南湖期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·南湖期中）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在的位置.若，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·南湖期中）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：＂今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问消、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·南湖期中）若方程组的解为，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·南湖期中）已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当与相等时，解得：②当与互为相反数时，解得；③若，则；④无论为何值，与的值一定满足关系式.其中正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2025七下·南湖期中）已如方程，改写成用含的式子表示的形式　 　.
12．（2025七下·南湖期中）计算：　 　．
13．（2025七下·南湖期中）若 ， 则 　 　
14．（2025七下·南湖期中）对x，y定义一种新运算“※”，规定：x※y=mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1※1=4，1※2=3．则2※1的值是　 　．
15．（2025七下·南湖期中）如图，，则的关系为　 　.
16．（2025七下·南湖期中）将一副直角三角尺按如图①所示放置，现将含角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图②，当时，.那么其他所有能够符合条件的的度数为　 　．
17．（2025七下·南湖期中）
（1）计算：
（2）化简：
18．（2025七下·南湖期中）
（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中.
19．（2025七下·南湖期中）解方程组：
（1）
（2）
20．（2025七下·南湖期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处，现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点E.
（1）请画出平移后的；
（2）若连结AD，CF，则这两条线段之间的关系是　 　；
（3）求的面积.
21．（2025七下·南湖期中）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形（），沿图中虚线前成四块完全一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形.
（1）图2中阴影部分的正方形的边长是　 　；
（2）利用图2中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式，之间的数量关系是　 　.
（3）利用（2）中的结论，对于实数x、y，当时，求的值.
22．（2025七下·南湖期中）阅读下列材料：数科书中这样写道：＂我们把多项式及叫做完全平方式＂，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.即将多项式为常数）写成（h、k为常数）的形式，且方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题.
（1）【知识理解】：
若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为　 　；
（2）配方：　 　；
（3）【知识运用】：
求多项式的最小值．
23．（2025七下·南湖期中）如图1，在三角形ABC中，，直线与边AC，AB分别交于D，E两点，直线与边BC，AC分别交于F，G两点，且.
（1）若，求的度数；
（2）如图2，为边AB上一点，连结PF，若，请你探索与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若，延长AB交直线于点，在射线DC上有一动点，连结PE，PQ，请直接写出的数量关系（用含的式子表示）.
24．（2025七下·南湖期中）根据以下素材，探索完成任务.
背景 素材1 素材2 为表彰同学在班级活动中的优异表现，琣主任王老师去文具店购买A，B两种款式的笔记本作为奖励． 买1本A款普通笔记本，2本B款普通笔记本共需14元； 买3本A款普通笔记本，4本B款普通笔记本共需32元． 为了满足市场需求，文具店推出每本1元的加印logo服务，顾客在选完款式后可以自主选择加印logo或者不印logo.
素材3 王老师购买A，B两款普通笔记本和加印logo笔记本各若干本，其中A款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的.
问题解决
任务1 求A款普通笔记本和B款普通笔记本的销售单价．
任务2 学习委员为更好的了解王老师所买的各种笔记本的本数情况，制作了以下不完全统计表格：
款式 A 普通笔记本(本) 加印笔记本(本)
B 　
①A款加印与B款普通笔记本之和为_________（用含m，n的代数式表示）； ②若王老师购买笔记本一共用了100元，求王老师购买笔记本的总本数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、3x+7=4y是二元一次方程，故符合题意；
B、5x-1=0不是二元一次方程，故不符合题意；
C、x2-2x+1=0是一元二次方程，故不符合题意；
D、x-2xy=6是二元二次方程，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】二元一次方程的定义是：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000000034用科学记数法表示为3.4×10-10，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a4·a2=a6，故A不符合题意；
B、a6÷a2=a4，故B符合题意；
C、(2ab2)2=4a2b4，故C不符合题意；
D、(a3)2=a6，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；平行公理的推论；垂线段的概念
【解析】【解答】解：A、由对顶角的定义可知，相等的角不一定是对顶角，故A选项错误；
B、连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故B选项正确；
C、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故C选项错误；
D、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用对顶角的性质、垂线的性质、平行线的性质及平行公理分别判断后即可确定正确的选项.
5．【答案】D
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、当∠1=∠2时，AD//BC，本选项不符合题意；
B、当∠3=∠4时，AD//BC，本选项不符合题意；
C、当∠BAD+∠ABC=180°时，AD//BC，本选项不符合题意；
D、当∠BAC=∠ACD时，AB//CD，本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、(x+2y)(x-2y)=x2-4y，故此选项错误；
B、(x-y)(-x-y)=y2-x2，故此选项错误；
C、(x-2y)2=x2-4xy+4y2，故此选项正确；
D、(x+y)2=x2+2xy+y，故此选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式对A进行判断；根据平方差公式对B进行判断；根据完全平方公式对C、D进行判断.
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵∠AED'=40°，
∴∠DED'=180°-40°=140°
由折叠可知，
∠D'EF=∠DEF=70°.
∵AD//BC，
∴∠EFC+∠DEF=180°，
∴∠EFC=180°-70°=110°.
故答案为：B.
【分析】根据平角的知识可求出∠DED'的度数，再由折叠的性质可得出∠D'EF=∠DEF，从而根据平行线的性质可得出∠EFC的度数.
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设清酒x斗，醑酒y斗，
依题意得：
故答案为：A.
【分析】设清酒x斗，醑酒y斗，根据“拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
9．【答案】C
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵方程组的解为
∴，即
又∵方程组
∴
解得
故答案为：C.
【分析】先根据方程组的解为，得到，进而得到，求解即可得到答案.
10．【答案】D
【知识点】相反数的意义与性质；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
由②得：x=2y+k+6③，
把③代入①中，得：④
把④代入③中，得：，
∴原方程组的解为
①当x与y相等时，x=y，
即
解得：k=-4，
∴①正确；
②∵方程的两根互为相反数，
∴x+y=0，
即，
解得：k=3，
∴②正确；
③4x·8y=32，
∴(22)x·(23)y=25，
∴22x·23y=25
∴22x+3y=25，
∴2x+3y=5，
将方程组的解代入得：
解得：k=11，
∴③正确；
④
①-②×2得x+5y=-12，
即x+5y+12=0.
∴④正确.
综上所述，①②③④都正确
故答案为：D.
【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据x=y列出方程，求出k即可判断；②根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出k即可判断；③把底数统一化成k，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出k；④在原方程中，我们消去k即可得到x，y的关系.
11．【答案】1-5x
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：5x+y=1，
y=1-5x.
故答案为：1-5x.
【分析】将x看做已知数求出y即可.
12．【答案】2x2-x
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：2x2-x.
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可.
13．【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵ax=3，ay=2，
∴ax+y=ax×ay=3×2=6.
故答案为：6.
【分析】由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，法则的逆用将待求式子变形，然后整体代入计算可得答案.
14．【答案】9
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵1※1＝4，1※2＝3，
∴
解得：
则x※y＝5x y
∴2※1＝2×5 1＝9，
故答案为：9．
【分析】根据定义新运算法则可列方程组，解之求出m、n，按照新运算法则求出2※1。
15．【答案】∠1+∠2=∠3
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴∠1=∠DCB，
∵CD//EF，
∴∠3=∠DCE=∠2+∠DCB，
∴∠1+∠2 =∠3，
故答案为：∠1+∠2=∠3.
【分析】根据平行线的性质定理，当一条直线与平行线相交时，形成的同位角相等，内错角相等.
16．【答案】45°，60°，105°或135°
【知识点】两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：分以下四种情况：(1)AC//DE，如图①，
此时点B在AE上，
∴∠BAD=45°，
(2)AB//DE，如图②，
∴∠EAB=∠E=90°，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=135°
(3)BC//AD，如图③，
∴∠BAD=∠B=60°，
(4)BC//AE，
如图④，
∴∠BAE=∠B=60°，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=105°，
综上所述，∠BAD其他所有可能符合条件的度数为：45°，60°，105°或135°.
故答案为：45°，60°，105°或135°.
【分析】分类讨论：AC//DE，AB//DE，BC//AD，BC//AE，针对每一种情况，计算出对应的∠BAD的度数即可求解.
17．【答案】（1）解：原式=1-(-8)
=1+8
=9
（2）解：原式=x3-8x3
=-7x3
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)利用零指数幂运算法则和负整数指数幂运算法则进行运算即可.
(2)根据单项式乘单项式以及积的乘方法则计算即可.
18．【答案】（1）解：原式=4ab3÷(4ab)-(8a2b2)÷(4ab)
=b2-2ab.
（2）解：(2x-y)2-(x+y)(x-y)
=4x2-4xy+y2-x2+y2
=3x2-4xy+2y2，
当x=-2，y=1时，
原式=3×(-2)2+4×(-2)×1=4.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】(1)直接利用多项式除以单项式的法则即可求出结果；
(2)根据完全平方公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x、y的值代入化简后的式子计算即可.
19．【答案】（1）解：
①+②，得4x=2，
解得：，
把代入②，得，
解得：
∴方程组的解为
（2）解：整理得，
把①代入②，得4×1-y=5，
解得：y=-1，
把y=-1代入①，得x+1=1，
解得：x=0，
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)利用整体代入消元法解方程组即可.
20．【答案】（1）解：如图所示，△DEF即为所求；
（2）平行，相等
（3）解：
【知识点】三角形的面积；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：(2)由图可知，线段AD与BE的位置关系是平行，数量关系是相等，
故答案为：平行，相等.
【分析】(1)将点B、C均向右平移6格、向下平移2格，再顺次连接可得；
(2)根据平移的性质可得；
(3)割补法求解即可.
21．【答案】（1）a-b
（2）(a-b)2=(a+b)2-4ab
（3）解：由(2)得：(x-y)2=(x+y)2-4xy，
∵x-y=2，xy=0.25，
∴22=(x+y)2-4×0.25，
∴(x+y)2=5，
∴
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：(1)由图形可得阴影部分的正方形的边长是a-b，
故答案为：a-b.
(2)阴影部分的面积可表示为(a-b)，也可以表示为(a+b)2-4ab，
则(a-b)2=(a+b)2-4ab，
故答案为：(a-b)2=(a+b)2-4ab.
【分析】(1)根据图形列出代数式即可；
(2)利用两种不同的方法表示出阴影部分的面积后即可得出等式；
(3)利用(2)中所得等式进行计算即可.
22．【答案】（1）±4
（2）10
（3）x2+y2-4x+6y+1，
=(x2-4x+4)+(y2+6y+9)-12，
=(x-2)2+(y+3)2-12，
∵(x-2)≥0，(y+3)≥0，
∴x2+y2-4x+6y+1的最小值为-12.
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：(1)∵多项式x2+kx+4是一个完全平方式，
∴x2+kx+4=x2±2×2x+22，
∴k=±4，
故答案为：±4.
(2)x2-4x-6=x2-4x+4-4-6=(x-2)2-10
故答案为：10.
【分析】(1)根据完全平方式的形式a2+2ab+b求解即可；
(2)利用配方法的步骤求解即可；
(3)先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可.
23．【答案】（1）解：延长AB交b于Q点，
∴∠AED=∠Q=44°，∠ABC=∠QBF=90°，
∴∠BFG=∠Q+∠QBF =44°+90°=134°.
（2）解：∠PFG+∠AED=90°，
理由如下：
延长AB交b于Q点，
∵∠BFG+∠QFB=180°，
∴∠QFB=∠PFG，
在Rt△QFB中，∠QFB+∠Q=90°，
∴∵∠PFG+∠Q=90°，
又∠AED=∠Q，
∴∠PFG+∠AED=90°，
（3）①当点P在DC的延长线上时，如图，
在△QEP中，
∠PEQ+∠EPQ+∠EQP=180°，
∠EQP=∠EQF+∠PQF，
∠EQF=180°-m，
∴∠PEQ+∠EPQ+∠EQF+∠PQF=180°，
∴∠PEQ+∠EPQ+(180°-m)+∠PQF=180°，
∴∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m.
②当点P在DC上时，如图，
同理可得，∠PEQ+∠EPQ-∠PQF=m.
综上，∠PEQ，∠EPQ，∠PQF的数量关系为：
∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m或∠PEQ+∠EPQ-∠PQF=m.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)延长AB，结合平行线性质和外角定理即可；
(2)延长AB，结合平行线性质、外角定理和三角形内角和即可；
(3)结合题意画出图形，分类讨论即可.
24．【答案】解：任务1：设A款普通笔记本的单价为x元，B款普通笔记本
的销售单价为y元，
由题意得：
解得：
答：A款普通笔记本的单价为4元，B款普通笔记本的销售单价为5元.
任务2：①∵A款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的，
∴购买笔记本总本数为3m本，
∴A款加料笔记本与B款笔记本之和为：3m-m-n=2m-n，
故答案为：2m-n.
②由题意得：4m+5(2m-n)+(5+1)n=100，
整理得：14m+n=100，
∵m、n为正整数，且n<3m，
∴或
∴3m=18或21，
答：王老师购买笔记本的总本数为18本或21本.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设A款普通笔记本的单价为x元，B款普通笔记本的销售单价为y元，根据买1本A款普通笔记本，2本B款普通笔记本共需14元；买3本A款普通笔记本，4本B款普通笔记本共需32元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
任务2：①根据A款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的，得购买笔记本总本数为3m本，即可解决问题；
②根据王老师购买笔记本一共用了100元，列出二元一次方程，求出满足条件的正整数解，即可解决问题.
1 / 1浙江省嘉兴市北京师范大学南湖附属学校2024-2025学年七年级下学期数学期中试卷
1．（2025七下·南湖期中）下列各式中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、3x+7=4y是二元一次方程，故符合题意；
B、5x-1=0不是二元一次方程，故不符合题意；
C、x2-2x+1=0是一元二次方程，故不符合题意；
D、x-2xy=6是二元二次方程，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】二元一次方程的定义是：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程.
2．（2025七下·南湖期中）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，其中0.00000000034用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000000034用科学记数法表示为3.4×10-10，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．（2025七下·南湖期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a4·a2=a6，故A不符合题意；
B、a6÷a2=a4，故B符合题意；
C、(2ab2)2=4a2b4，故C不符合题意；
D、(a3)2=a6，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可.
4．（2025七下·南湖期中）下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；平行公理的推论；垂线段的概念
【解析】【解答】解：A、由对顶角的定义可知，相等的角不一定是对顶角，故A选项错误；
B、连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故B选项正确；
C、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故C选项错误；
D、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用对顶角的性质、垂线的性质、平行线的性质及平行公理分别判断后即可确定正确的选项.
5．（2025七下·南湖期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、当∠1=∠2时，AD//BC，本选项不符合题意；
B、当∠3=∠4时，AD//BC，本选项不符合题意；
C、当∠BAD+∠ABC=180°时，AD//BC，本选项不符合题意；
D、当∠BAC=∠ACD时，AB//CD，本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果.
6．（2025七下·南湖期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、(x+2y)(x-2y)=x2-4y，故此选项错误；
B、(x-y)(-x-y)=y2-x2，故此选项错误；
C、(x-2y)2=x2-4xy+4y2，故此选项正确；
D、(x+y)2=x2+2xy+y，故此选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式对A进行判断；根据平方差公式对B进行判断；根据完全平方公式对C、D进行判断.
7．（2025七下·南湖期中）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在的位置.若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵∠AED'=40°，
∴∠DED'=180°-40°=140°
由折叠可知，
∠D'EF=∠DEF=70°.
∵AD//BC，
∴∠EFC+∠DEF=180°，
∴∠EFC=180°-70°=110°.
故答案为：B.
【分析】根据平角的知识可求出∠DED'的度数，再由折叠的性质可得出∠D'EF=∠DEF，从而根据平行线的性质可得出∠EFC的度数.
8．（2025七下·南湖期中）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：＂今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问消、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设清酒x斗，醑酒y斗，
依题意得：
故答案为：A.
【分析】设清酒x斗，醑酒y斗，根据“拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
9．（2025七下·南湖期中）若方程组的解为，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵方程组的解为
∴，即
又∵方程组
∴
解得
故答案为：C.
【分析】先根据方程组的解为，得到，进而得到，求解即可得到答案.
10．（2025七下·南湖期中）已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当与相等时，解得：②当与互为相反数时，解得；③若，则；④无论为何值，与的值一定满足关系式.其中正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】相反数的意义与性质；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
由②得：x=2y+k+6③，
把③代入①中，得：④
把④代入③中，得：，
∴原方程组的解为
①当x与y相等时，x=y，
即
解得：k=-4，
∴①正确；
②∵方程的两根互为相反数，
∴x+y=0，
即，
解得：k=3，
∴②正确；
③4x·8y=32，
∴(22)x·(23)y=25，
∴22x·23y=25
∴22x+3y=25，
∴2x+3y=5，
将方程组的解代入得：
解得：k=11，
∴③正确；
④
①-②×2得x+5y=-12，
即x+5y+12=0.
∴④正确.
综上所述，①②③④都正确
故答案为：D.
【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据x=y列出方程，求出k即可判断；②根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出k即可判断；③把底数统一化成k，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出k；④在原方程中，我们消去k即可得到x，y的关系.
11．（2025七下·南湖期中）已如方程，改写成用含的式子表示的形式　 　.
【答案】1-5x
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：5x+y=1，
y=1-5x.
故答案为：1-5x.
【分析】将x看做已知数求出y即可.
12．（2025七下·南湖期中）计算：　 　．
【答案】2x2-x
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：2x2-x.
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可.
13．（2025七下·南湖期中）若 ， 则 　 　
【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵ax=3，ay=2，
∴ax+y=ax×ay=3×2=6.
故答案为：6.
【分析】由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，法则的逆用将待求式子变形，然后整体代入计算可得答案.
14．（2025七下·南湖期中）对x，y定义一种新运算“※”，规定：x※y=mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1※1=4，1※2=3．则2※1的值是　 　．
【答案】9
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵1※1＝4，1※2＝3，
∴
解得：
则x※y＝5x y
∴2※1＝2×5 1＝9，
故答案为：9．
【分析】根据定义新运算法则可列方程组，解之求出m、n，按照新运算法则求出2※1。
15．（2025七下·南湖期中）如图，，则的关系为　 　.
【答案】∠1+∠2=∠3
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴∠1=∠DCB，
∵CD//EF，
∴∠3=∠DCE=∠2+∠DCB，
∴∠1+∠2 =∠3，
故答案为：∠1+∠2=∠3.
【分析】根据平行线的性质定理，当一条直线与平行线相交时，形成的同位角相等，内错角相等.
16．（2025七下·南湖期中）将一副直角三角尺按如图①所示放置，现将含角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图②，当时，.那么其他所有能够符合条件的的度数为　 　．
【答案】45°，60°，105°或135°
【知识点】两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：分以下四种情况：(1)AC//DE，如图①，
此时点B在AE上，
∴∠BAD=45°，
(2)AB//DE，如图②，
∴∠EAB=∠E=90°，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=135°
(3)BC//AD，如图③，
∴∠BAD=∠B=60°，
(4)BC//AE，
如图④，
∴∠BAE=∠B=60°，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=105°，
综上所述，∠BAD其他所有可能符合条件的度数为：45°，60°，105°或135°.
故答案为：45°，60°，105°或135°.
【分析】分类讨论：AC//DE，AB//DE，BC//AD，BC//AE，针对每一种情况，计算出对应的∠BAD的度数即可求解.
17．（2025七下·南湖期中）
（1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）解：原式=1-(-8)
=1+8
=9
（2）解：原式=x3-8x3
=-7x3
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)利用零指数幂运算法则和负整数指数幂运算法则进行运算即可.
(2)根据单项式乘单项式以及积的乘方法则计算即可.
18．（2025七下·南湖期中）
（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中.
【答案】（1）解：原式=4ab3÷(4ab)-(8a2b2)÷(4ab)
=b2-2ab.
（2）解：(2x-y)2-(x+y)(x-y)
=4x2-4xy+y2-x2+y2
=3x2-4xy+2y2，
当x=-2，y=1时，
原式=3×(-2)2+4×(-2)×1=4.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】(1)直接利用多项式除以单项式的法则即可求出结果；
(2)根据完全平方公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x、y的值代入化简后的式子计算即可.
19．（2025七下·南湖期中）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①+②，得4x=2，
解得：，
把代入②，得，
解得：
∴方程组的解为
（2）解：整理得，
把①代入②，得4×1-y=5，
解得：y=-1，
把y=-1代入①，得x+1=1，
解得：x=0，
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)利用整体代入消元法解方程组即可.
20．（2025七下·南湖期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处，现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点E.
（1）请画出平移后的；
（2）若连结AD，CF，则这两条线段之间的关系是　 　；
（3）求的面积.
【答案】（1）解：如图所示，△DEF即为所求；
（2）平行，相等
（3）解：
【知识点】三角形的面积；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：(2)由图可知，线段AD与BE的位置关系是平行，数量关系是相等，
故答案为：平行，相等.
【分析】(1)将点B、C均向右平移6格、向下平移2格，再顺次连接可得；
(2)根据平移的性质可得；
(3)割补法求解即可.
21．（2025七下·南湖期中）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形（），沿图中虚线前成四块完全一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形.
（1）图2中阴影部分的正方形的边长是　 　；
（2）利用图2中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式，之间的数量关系是　 　.
（3）利用（2）中的结论，对于实数x、y，当时，求的值.
【答案】（1）a-b
（2）(a-b)2=(a+b)2-4ab
（3）解：由(2)得：(x-y)2=(x+y)2-4xy，
∵x-y=2，xy=0.25，
∴22=(x+y)2-4×0.25，
∴(x+y)2=5，
∴
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：(1)由图形可得阴影部分的正方形的边长是a-b，
故答案为：a-b.
(2)阴影部分的面积可表示为(a-b)，也可以表示为(a+b)2-4ab，
则(a-b)2=(a+b)2-4ab，
故答案为：(a-b)2=(a+b)2-4ab.
【分析】(1)根据图形列出代数式即可；
(2)利用两种不同的方法表示出阴影部分的面积后即可得出等式；
(3)利用(2)中所得等式进行计算即可.
22．（2025七下·南湖期中）阅读下列材料：数科书中这样写道：＂我们把多项式及叫做完全平方式＂，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.即将多项式为常数）写成（h、k为常数）的形式，且方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题.
（1）【知识理解】：
若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为　 　；
（2）配方：　 　；
（3）【知识运用】：
求多项式的最小值．
【答案】（1）±4
（2）10
（3）x2+y2-4x+6y+1，
=(x2-4x+4)+(y2+6y+9)-12，
=(x-2)2+(y+3)2-12，
∵(x-2)≥0，(y+3)≥0，
∴x2+y2-4x+6y+1的最小值为-12.
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：(1)∵多项式x2+kx+4是一个完全平方式，
∴x2+kx+4=x2±2×2x+22，
∴k=±4，
故答案为：±4.
(2)x2-4x-6=x2-4x+4-4-6=(x-2)2-10
故答案为：10.
【分析】(1)根据完全平方式的形式a2+2ab+b求解即可；
(2)利用配方法的步骤求解即可；
(3)先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可.
23．（2025七下·南湖期中）如图1，在三角形ABC中，，直线与边AC，AB分别交于D，E两点，直线与边BC，AC分别交于F，G两点，且.
（1）若，求的度数；
（2）如图2，为边AB上一点，连结PF，若，请你探索与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若，延长AB交直线于点，在射线DC上有一动点，连结PE，PQ，请直接写出的数量关系（用含的式子表示）.
【答案】（1）解：延长AB交b于Q点，
∴∠AED=∠Q=44°，∠ABC=∠QBF=90°，
∴∠BFG=∠Q+∠QBF =44°+90°=134°.
（2）解：∠PFG+∠AED=90°，
理由如下：
延长AB交b于Q点，
∵∠BFG+∠QFB=180°，
∴∠QFB=∠PFG，
在Rt△QFB中，∠QFB+∠Q=90°，
∴∵∠PFG+∠Q=90°，
又∠AED=∠Q，
∴∠PFG+∠AED=90°，
（3）①当点P在DC的延长线上时，如图，
在△QEP中，
∠PEQ+∠EPQ+∠EQP=180°，
∠EQP=∠EQF+∠PQF，
∠EQF=180°-m，
∴∠PEQ+∠EPQ+∠EQF+∠PQF=180°，
∴∠PEQ+∠EPQ+(180°-m)+∠PQF=180°，
∴∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m.
②当点P在DC上时，如图，
同理可得，∠PEQ+∠EPQ-∠PQF=m.
综上，∠PEQ，∠EPQ，∠PQF的数量关系为：
∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m或∠PEQ+∠EPQ-∠PQF=m.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)延长AB，结合平行线性质和外角定理即可；
(2)延长AB，结合平行线性质、外角定理和三角形内角和即可；
(3)结合题意画出图形，分类讨论即可.
24．（2025七下·南湖期中）根据以下素材，探索完成任务.
背景 素材1 素材2 为表彰同学在班级活动中的优异表现，琣主任王老师去文具店购买A，B两种款式的笔记本作为奖励． 买1本A款普通笔记本，2本B款普通笔记本共需14元； 买3本A款普通笔记本，4本B款普通笔记本共需32元． 为了满足市场需求，文具店推出每本1元的加印logo服务，顾客在选完款式后可以自主选择加印logo或者不印logo.
素材3 王老师购买A，B两款普通笔记本和加印logo笔记本各若干本，其中A款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的.
问题解决
任务1 求A款普通笔记本和B款普通笔记本的销售单价．
任务2 学习委员为更好的了解王老师所买的各种笔记本的本数情况，制作了以下不完全统计表格：
款式 A 普通笔记本(本) 加印笔记本(本)
B 　
①A款加印与B款普通笔记本之和为_________（用含m，n的代数式表示）； ②若王老师购买笔记本一共用了100元，求王老师购买笔记本的总本数．
【答案】解：任务1：设A款普通笔记本的单价为x元，B款普通笔记本
的销售单价为y元，
由题意得：
解得：
答：A款普通笔记本的单价为4元，B款普通笔记本的销售单价为5元.
任务2：①∵A款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的，
∴购买笔记本总本数为3m本，
∴A款加料笔记本与B款笔记本之和为：3m-m-n=2m-n，
故答案为：2m-n.
②由题意得：4m+5(2m-n)+(5+1)n=100，
整理得：14m+n=100，
∵m、n为正整数，且n<3m，
∴或
∴3m=18或21，
答：王老师购买笔记本的总本数为18本或21本.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设A款普通笔记本的单价为x元，B款普通笔记本的销售单价为y元，根据买1本A款普通笔记本，2本B款普通笔记本共需14元；买3本A款普通笔记本，4本B款普通笔记本共需32元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
任务2：①根据A款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的，得购买笔记本总本数为3m本，即可解决问题；
②根据王老师购买笔记本一共用了100元，列出二元一次方程，求出满足条件的正整数解，即可解决问题.
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