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辽宁省名校联盟 2025届高三数学调研试卷(五)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 5 6 < 0}， = { | = 2 }，则 ∪ =( )
A. [ 2,3) B. ( 3,2] C. ( 6,2] D. [ 2,6)
2.已知向量 = (1,3)， = ( , 2)，且 ⊥ ，则| | =( )
A. 5 B. 5 2 C. 5 3 D. 2 5
3 2.已知函数 ( ) = 2 +1( > 0 且 ≠ 1)在区间[0,2]上单调递增，则 的取值范围是( )
A. (1, + ∞) B. (0, 12 ] C. (0,
1 1
2 ] ∪ (1, + ∞) D. [ 2 , 1)
4.已知 < 0，且 3 2 + 2 = 0 ，则 tan(2 4 ) =( )
A. 17 B.
1
7 C. 7 D. 7
5.已知复数 1， 2分别满足| 1| = 1，| 2 + 3 + 4 | = 2，则| 1 2|的最大值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6.在直三棱柱 1 1 1中， = 3， 1 = 6 2， = 1 = 3 5， 为棱 1 1的中点，则点 到平
面 1 的距离为( )
A. 10 B. 2 2 C. 6 D. 2
7.如图，正方形 1 1 1 1的边长为 1，取正方形各边的四等分点 2, 2, 2, 2，得到第 2 个正方形 2 2 2 2，
再取正方形 2 2 2 2各边的四等分点 3, 3, 3, 3，得到第 3 个正方形 3 3 3 3，依此方法一直进行下去，
1
若从第 个正方形开始它的面积小于第 1 个正方形面积的50，则 = ( )(参考数据：lg2 ≈ 0.3)
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
2
8
2
.已知 为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右顶点， 为 上一点， 关于 轴的对称点为 ， ⊥ ，
∠ = 60°，△ 的面积为 6 3，则 的焦距为( )
A. 3 B. 6 C. 2 3 D. 2 6
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某寄宿制学校为调查该校学生一天内在食堂的消费情况，随机抽取了 100 名学生的消费金额作为样本，
得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )
A. = 0.004
B.这 100 名学生消费金额的众数为 25
C.这 100 名学生消费金额的平均数为 26.5
D.为了解学生消费金额较低的原因，从消费金额低于 20 元的学生中用分层随机抽样的方法随机抽取 8 人
座谈，则应抽取消费金额在区间[0,10)内的学生 2 人
10.科学记数法是将一个正数 表示成 = × 10 ， ∈ [1,10)， ∈ 的计数方法，显然 = + ，其中
叫做 的首数，记为 ( )， 叫做 的尾数，记为 ( )，则( )
A. ( 4) = 1 B. ( 4) > 13
C. ( ) = ( ) + ( ) D. ( ) = ( ) + ( )
11.若函数 ( )的图象上存在无数个点，使得 ( )在这无数个点处的切线重合，则称 ( )为“共切线函数”，
则下列函数中是“共切线函数”的是( )
A. ( ) = + 2 B. ( ) = 3 +
2
C. ( ) = + 2 , ≤ 0, ( 2), > 0 D. ( ) =
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知圆锥的底面半径为 6，体积为 96 ，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，若截得的圆台体积为 84 ，
则该圆台的表面积为______．
13.若函数 ( ) = cos( + 3 )( > 0)
5
在区间( 6 , 6 )内恰有两个零点，则 的取值范围为______．
2 214.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 ， ， 为 上两个不同的点，
+ = 2 ( 为坐
2 3
标原点)， = 3 △ =
1 | 22 | ，则 的离心率为______．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且满足 +2 2 + = 2 +1 +1 + 2， 3 2 2 + 1 = 2，记 = 2 ．
(1)求证：{ }是等差数列；
(2)若 1 = 3
1 1 1 1
，求证： 1
+
3
+ … + < ．
2 4 +2 3
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱锥 中，侧面 是边长为 2 的等边三角形，底面 是以 为斜边的等腰直角三角形，
= 2 2， = (0 < < 1)．
(1) 1当 = 2时，求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若直线 42与平面 所成角的正弦值为 14 ，求 的值．
17.(本小题 15 分)
某商场开业期间为鼓励顾客消费，积极为顾客办理会员卡，办理了会员卡的顾客购物时能享受一定的优惠.
为统计顾客办理会员卡的情况，商场采用随机抽样的方法统计了 200 名开业当天的顾客的办卡情况，得到
如下 2 × 2 列联表：
性别办理会员卡未办理会员卡合计
男 15 85 100
女 25 75 100
合计 40 160 200
(1)依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，能否认为办理会员卡与顾客的性别有关？
(2)该商场给持有会员卡的顾客设置了“石头、剪刀、布”游戏环节，游戏中每名顾客胜、负、平的概率均
1
为3，商场根据游戏结果设置了两种奖励方案，持卡会员只能自主选择其中一种方案参加游戏，且只能参加
一次游戏．
方案一：两名持有会员卡的顾客间进行一次游戏对决，每局比赛中胜者积 1 分，败者积 0 分，出现平局时
双方各积 1 分，出现连胜 2 局时，胜者额外奖励 1 分，先积满 3 分者获胜，比赛结束，胜者奖励 100 元，
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败者无奖励；三局比赛后，没有人积够 3 分或同时积够 3 分，比赛结束，游戏双方平分 100 元奖励．
方案二：两名持有会员卡的顾客间进行一次游戏对决，一局比赛中胜者奖励 50 元，败者无奖励，若出现平
局，双方均无奖励.比赛共进行三局，当出现连胜 2 局，但未出现连胜 3 局时，胜者额外奖励 20 元；当出
现连胜 3 局时，胜者额外奖励 50 元．
(ⅰ)顾客小李参加了方案一的游戏，求在小李获胜的情况下，比赛出现一局平局的概率；
(ⅱ)从节省资金的角度考虑，商场希望持有会员卡的顾客选择哪种奖励方案．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
18.(本小题 17 分)
已知函数 = ln 1．
(1)求 的单调区间；
(2)若 在区间 1,2 内有最小值，求 的取值范围；
(3)若关于 的方程 = 0 有两个不同的解 1， 2，求证： 1 + 2 > 2．
19.(本小题 17 分)
抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， 为 2上一点， 的纵坐标为 2 ，点 在 轴上， ⊥ 轴，线段
的中点为 ，且 / / 轴．
(1)求 的方程；
(2)已知 ， ， 为 上三个不同的点，点 在第一象限．
(ⅰ)若点 在原点，∠ = 90°，| | = | |，点 的横坐标 0满足 < 0 < + 1( ∈ )，求 ．
(ⅱ)在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足(2 2 1)(2 2 1) = 9， 3 2 +
3 2 3 2 = 2 ，△ 的重心 在 轴上，求点 的坐标．
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参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1290
13( 7 135 , 5 ]
142 55
15证明：(1)已知数列{ }的前 项和为 ，且满足 +2 2 +1 + = 2 +1 + 2， 3 2 2 + 1 = 2，记 =
2 ，
由 +1 +2 2 +1 + = 2 + 2，得( +2 +1) ( +1 ) = 2 +1 + 2，
即 +1 +2 +1 = 2 + 2，
因为 = 2 ，所以( +2 +1 +1 +2 + 2 ) ( +1 + 2 ) = 2 + 2，
所以 +2 +1 = 2①，
由 3 2 2 + 1 = 2，得( 3 + 23) 2( 22 + 2 ) + ( 1 + 2) = 2，
整理得 3 2 2 + 1 = 0，
即 3 2 = 2 1②，
由①②得 +1 = 2, ∈ ，
所以{ }是公差为 2 的等差数列；
(2)因为 1 = 1 2 = 1，所以 = 2 1，
1 1 1 1 1
即 = = ( )， +2 (2 1)(2 +3) 4 2 1 2 +3
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1 1 1
所以 1
+
3
+ … +
2 4 +2
= 14 × (1
1
5 ) +
1 × ( 14 3
1
7 ) +
1
4 × (
1 1 1 1 1 1 1 1
5 9 ) + … + 4 × ( 2 3 2 +1 ) + 4 × ( 2 1 2 +3 )
= 14 × (1 +
1
3
1 1
2 +1 2 +3 )
< 14 × (1 +
1 ) = 13 3，
1 1 1 1
则 1
+ + … + < 即可得证．3 2 4 +2 3
16解：(1)证明：在三棱锥 中，侧面 是边长为 2 的等边三角形，
底面 是以 为斜边的等腰直角三角形， = 2 2， = (0 < < 1)．
当 = 12时，由题意得 = = 2，
∵ = 2 2，∴ 2 = 2 + 2，∴ ⊥ ．
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
∵ = 1 2 ，∴ 为 的中点，∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ．
∴ ⊥平面 ．
∵ 平面 . ∴平面 ⊥平面 ．
(2)设 ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ．
则 ⊥ ， ⊥ ．
又 ⊥平面 ， / / ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ．
以 为坐标原点， , , 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 (1,0,0)， ( 1,2,0)， ( 1,0,0)， (0,0, 3)，
= ( 1,0, 3)， = (1, 2, 3)， = (0,2,0)，
∴ = + = (1,0,0) + ( 1,0, 3) = (1 , 0, 3 )，
即 (1 , 0, 3 )， = (2 , 0, 3 )．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0,
则
= (2 ) + 3 = 0,
令 = 2，则 = ( 3 , 0, 2)．
设直线 与平面 所成角为 ，
> | = |
| | 3 + 3( 2)| 6 | 1| 42
则 sin = |cos < ， | | | = = 4 =| 2 2 3 2+( 2)2 2 +1 14 ，
整理得 3 2 10 + 3 = 0 1，解得 = 3或 = 3．
∵ 0 < < 1 1，∴ = 3．
17解：(1)零假设为 0：办理会员卡与顾客的性别无关，
200×(15×75 85×25)2 25
则 2 = 100×100×40×160 = 8 = 3.125 < 3.841，
依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，我们推断 0不成立，因此可以认为 0成立，即认为办理会员卡与顾
客的性别无关；
(2)(ⅰ)记小李在第 局获胜为事件 ，在第 局打平为事件 ，小李获胜为事件 ，三局中出现一局平局为事
件 ，

则 ( ) = ( 1 2) + ( 1 2 3) + ( 1 2 3) + ( 1 2 3) + ( 1 2 3) + ( 1 2 3) + ( 1 2 3)
= ( 1 )2 + 1 × 1 × 1 + 1 × 1 × 1 + 1 × 1 × 1 + 1 × 1 × 1 + 1 × 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 × 3 + 3 × 3 × 3
= 13，
( ) = ( 1 2 3) + ( 1
1 3 2
2 3) = 2 × ( 3 ) = 27，
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2
( )
所以 ( | ) = = 27 2 ( ) 1 = 9，
3
2
即在小李获胜的情况下，比赛出现一局平局的概率为9；
(ⅱ)方案一中，一次游戏商场需支付奖金 100 元，
设方案二中一名持卡会员一次游戏获得的奖金为随机变量 ，
由题意可知， 的可能取值为 0，50，100，120，200，
( = 0) = ( 2 )33 =
8
27，
( = 50) = 13 ×
1
3 × (
2 2 4
3 ) = 9，
( = 100) = 1 × 2 1 23 3 × 3 = 27，
( = 120) = 1 × 1 × 2 + 2 × 1 × 1 43 3 3 3 3 3 = 27，
( = 200) = ( 1 )3 = 13 27，
所以 的分布列为：
0 50 100 120 200
8 4 2 4 1
27 9 27 27 27
( ) = 0 × 8 + 50 × 4 + 100 × 2 + 120 × 4 + 200 × 1 = 1480所以 27 9 27 27 27 27 ，
1480 2960
所以方案二中一次游戏商场需支付奖金为 2 × 27 = 27 > 100，
所以从节省资金的角度看，商场希望持有会员卡的顾客选择方案一．
18解：(1) 1的定义域为 0, + ∞ ， ′ = ，
当 ≤ 0 时， ′ < 0，
所以 的单调递减区间为 0, + ∞ ，无单调递增区间；
当 > 0 时， ′ ， 随 的变化情况如下表所示：
1 1
0, 1
,
+ ∞
′ 0 +
↓ ↑
1 1所以 的单调递减区间为 0, ，单调递增区间为 , + ∞ ．
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综上，当 ≤ 0 时， 的单调递减区间为 0, + ∞ ，无单调递增区间；
1 1
当 > 0 时， 的单调递减区间为 0, ，单调递增区间为 , + ∞ ；
(2) 1 1 1 1当 ≤ 2时， ′ = ≤ 2 < 0，
所以 在区间 1,2 内单调递减，无最小值，不合题意，
1
当2 < < 1 时， ′ =


1
，
当 ∈ 1, 1 时， ′ < 0， 单调递减，
当 ∈ 1 , 2 时， ′ > 0， 单调递增，
所以 1在 = 处取得最小值，
当 ≥ 1 时， ′ = 1 1 ≥ 1 > 0，
所以 在区间 1,2 内单调递增，无最小值，不合题意，
综上 1的取值范围为 2 , 1 ；
(3)证明：不妨设 0 < 1 < 2，
1 ln 1 1 = 0 ln 1+1 = ln 由题意得 ，消去 得 2+1，
2 ln 2 1 = 0 1 2
ln +1
设 2 = 1 > 1 ，代入上式得 ln 1 = 1 ，
ln = ln = ln + ln = ln +12 1 1 1 ，
ln + ln = +1 ln 2 +2下证 1 2 1 > 0，
即证 + 1 ln 2 + 2 > 0，
= + 1 ln 2 + 2 > 1 = ln + 1设 ，则 ′ 1，
令 = ln + 1 1 > 1 ，则 ′ =
1 1
2 =
1
2 > 0，
所以 ′ 在区间 1, + ∞ 内单调递增，即 ′ > ′ 1 = 0，
所以 在区间 1, + ∞ 内单调递增，即 > 1 = 0，
所以 ln 1 + ln 2 > 0，所以 1 2 > 1，
因为 1 ≠ 2， 1, 2 > 0，
所以 1 + 2 > 2 1 2 > 2．
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19解：(1)将 2 1 1 = 代入 ，得 = 2 ，因此 =2 4 ，2
因此 1 1 = 8 = 2，所以 = 2，
因此 ： 2 = ；
1
(2)( 0 2ⅰ)设 ( 2 22, 2)， ( 0, 0)，那么 = 2 2 =0 2 0+
，
2
1 1 1
由于 = ，因此 = 1，0 0 0+ 2
1
所以 2 = 0 ，①0
2 1 0
2
2
又因为 的中点为 ( 2 , 2 )，因此 = ， = 2，2 2 2 2 20 2

1 2 0

根据 ⊥ 2，得 2 = 1 ，与①联立可得 6 4 4 4 2 1 = 0．2 2 2 0 0 00 2
又因为 2 3 20 = 0，那么 0 4 0 4 0 1 = 0，
令函数 ( ) = 3 4 2 4 1( > 0)，那么导函数 ′( ) = 3 2 8 4，
设方程 ′( ) = 0 的两根分别为 1， 2( 1 < 2)，
可得 1 =
4 2 7
3 < 0，
4+2 7
2 = 3 ∈ (3,4)，
因此函数 ( )在区间( 2, + ∞)内单调递增，在区间(0, 2)内单调递减，
又因为 (5) > 0， (4) < 0，即 4 < 0 < 5，
因此 = 4；
(ⅱ)根据(2 2 1)(2 2 1) = 9，可得 8 2 2( + ) = 8，
所以 8(1 ) = 2 2( + ) + ，所以1 = 2 2，
所以 tan( + ) = 2 2，因此 = 2 2，
2 2 2
又因为 3 2 + 3 2 3 2 = 2 ，因此 = + 2 =
3，因此 ，
3 = 2
因此 tan( + ) = 2 2+ 2 ，1 2 2× 2 = 2
所以 = 2 = ，因此 = ，
因此三角形 为等腰三角形，
设重心 ( , 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 0, 0)， 的中点为 ( ′, ′)，
那么根据 = 2 ，可得 ′ =
0 3 0
2， ′ = 2 ，
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1 2 1 2 1 1 1那么 = = = = = 1 2 21 22 1+ 2 2 ′
，
0
根据 = ，即| | = | |，可知 ⊥ ，
1
因此 0 = 1，所以 ( ) = 1，所以 = 1 =
2
0 0 0 0
1，
( 2 0 3 因此 02 , 2 )，
那么| | = ( 2 0 3 20 2 ) + ( +
0 2 3 2
0 ，2 ) = 2 1 + 0
1 2 3 2
因此直线 为 + 02 = (
0 )，即 = + 0 3，
0 2 0 2 2
2
= 0 +
0 3 2
联立直线 和抛物线方程可得 2 2，化简得 2 + 0 + 30 ，
2 = 2 2
= 0
2
根据韦达定理可得 1 =
0 + 32 ， + = ，2 2 1 2 0
2
所以| | = 1 + 20| 2 2
0 3 2 2
1 2| = 1 + 0 0 4( 2 + 2 ) = 3(1 + 0)( 0 2)
，
= | | = 2 2×
3
2 1+
2
0
由 | | ，得 = 2，解得 20 =
7
2，2 3(1+ 2)( 20 0 2)
5
所以 = 20 1 = 2，
5
故点 的坐标为( 2 , 0)．
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